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Full text of "Journal de mathématiques pures et appliquées"

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in 2010 with funding from 

Univers ity of Ottawa 



http://www.archive.org/details/s2journaldemat13liou 



JOURNAL 



DE 



MATHÉMATIQUES 



PURES ET APPLIQUÉES. 



■;** 



PARIS. IMPRIMERIE DE GÀUTHIER-VILLARS, SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER , 

rue (Je Seine-Saint-Germain, lo, près l'Institut. 



JOURNAL 



DE 



MATHÉMATIQUES 

rURES ET APPLIQUÉES, 

ou 

RECIËIL MENSUEL 

OK MRMOJRES SUR LES DIVERSES PARTIES DES MATHÉMATIQUES; 

PAR JOSEPH LÏOIVILLE, 

MtMBr.t DL l'aCADLMIE DES SCIENCES ET DL BL'KEAU I»ES LUMJIIL'DES. 
mUFEb-SEUU AU COLLÊfiE DE FaASt.E. 



DEUXIEME SERIE. - TOME XllI. - ANiXEE 1808. 



PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS , IMPRlIMEUll-I.lBRAlRE 

DE I,' ÉCOLE IMI'ÉIUALE l'OLVlECHNIQUE , DU BUllEAU DES LONGllUDES, 

SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, 
Quai dos Auyustiiis, n" 5;"). 

18C8 



s 



^n 






TABLE DES MATIÈRES. 

DEUXIÈME SÉRIE. - TOME XUI. 



F'apcs - 

Extrait d'une Lettre adresw'e à M. Besge; par M. /. Liouvillc i 

Principes d'une nouvelle turbine à double couronne mobile et à lames liquides 
oscillantes; Considérations nouvelles sur les roues verticales à aubes courbes; 
par M. Anatole rie Caligriy 5 

Des inaxima et miiiima des sommes composées de valeurs d'une fonction en- 
tière et de ses dérivées; par i\l. P. Tihéhychtf. Traduction du russe, par 
M. N. de Khauihnf.\ <) 

Mémoire sur une machine soiifflanle, comprenant un tiavail inédit sur le même 

sujet ; ])ar M. Anamle de Cnligny 4^ 

Sur la propagation et la polarisation de la lumière dans les cristaux; pai 

M. Emile Snrran. (SvcanA Mémoire.) 69 

Sur' la résolution algébrique des équations primitives de degré p' [p étant pre- 
mier iiiipair) ; par M. Canàlle Jordan 111 

Extrait d'une Lettre adressée à IM. /.f0Hi.7/é'; par M. .'/«a/o/f r/e fa//g-/?j-. . . . i3tj 

iSlenioire sur le mouvement vibratoire d'une membrane de forme elliptique; 
■ |)ar M. Emile Dlalliieu ••S" 

Théorème sur le tautochronisme des épicycloïdes <iuan(l on a égard au frotte- 
ment; par M. Hatofi île la Goupillière 204 

Mémoire s\ir les ondes dans les milieux isotropes déformés; par AL Boussinesq 20g 

Formules de l'clasticitc des corps amor|'.lies que des compressions permanentes, 
et inégales ont rendus hétorotropcs; par 1\I. f/c >S'i7/.7/-/^i"«rt/;;' 2(2 

Exposition, d'après les principes de Jacobi, de la mélhoile suivie par M. Delaunay 
dans sa Théorie du Mouvement de la Lune autoui de la Terre; extension de 
la méthode; p.ir M. F. Ti'.sciand 255 



VI TABLE DES MATIERES. 

Pages 

Sur les vibrations intérieures des molécules; par M. Charles Briot 3o4 

Théorie nouvelle des ondes lumineuses; par M. Boussinesq 3r3 

Étude sur les vibrations rectilignes et sur la diffraction, dans les milieux iso- 
tropes et dans l'élher des cristaux; par M. Boussinesq 3:|0 

Note sur l'application de lu théorie du mouvement varié des liquides imparfaits 

à l'élude des tremblements de terre; jiar M. Jmitnle de Culignr 372 

Mémoire sur l'influence des frottements dans les mouvements réguliers des 

fluides; par I\l. Boiissiiicsij 377 

Addition au Mcmniio intitulé : « Théorie nouvelle des ondes lumineuses ; par 

M. Boussinesq faS 



ERRATUM. 



Page 9, ligne dernière, au lieu de x Aw, lisez x, du. 



JOURNAL 



DE 



MATHËMATIOVES 

PURES ET APPLIQUÉES. 



EXTRAIT D'UNE LETTRE ADRESSÉE A M BESGE; 
Par m. J. LIOUVILLE. 



« ... Le théorème de Jacobi concernant le nombre des décompo- 
sitions du quadruple d'un entier impair m en une somme de quatre 
carrés impairs, que l'illustre auteur trouve égal à la somme 

des diviseurs de m, donne lieu à l'équation suivante : 

où je désigne généralement par 

F[k) 

le nombre des classes de formes quadratiques binaires (primitives ou 
non) de déterminant — k, dont un au moins des coefficients extrêmes 
est impair. Le signe sommatoire porte sur les valeurs de /, qui forment 
la suite des nombres impairs 

I, 3, 5, 7, 9, ii,.-j 

Tome XJH ( i' bérie). — Janvier i868. 



2 JOURNAL- DE MATHÉMATIQUES 

en ayant soin de s'arrêter au moment où la quantité placée sous le 
signe F deviendrait négative. 

» En y remplaçant m par 3/?i, l'équation (i) devient 

(a) '2^F[i2m-i') = !;,{'im), 

sous la condition de 

\2in — P > o. 

Or je me suis assuré (par une démonstration bien simple) que l'équa- 
tion (a) se décompose en deux autres, si l'on considère à part les va- 
leurs de i divisibles par 3 et celles qui ne le sont pas. 

n En ne considérant que ces dernières, ce que j'indiquerai au moyen 
d'un accent placé sur le signe sommatoire 

2, 

on a 

(3) \;>(i2m-/ = ) =Ç,(3m) - Ç, (m). 

)) Veut-on au contraire ne retrancher de i2/« que des carrés impairs 
dont les racines soient multiples de 3, on aura l'équation ci-après : 

(4) ^F{xim-gP} = i;,{m), 
dans laquelle les valeurs de i seront encore 

I, 3, 5, 7, 9, I I,..., 

connue pour l'équation (2), mais cette fois sous la condition de 

l'un — 9/- >> o. 

Il y avait, je crois, quelque intérêt à rapprocher l'équation (4) de 
l'équation (i). 

» Soit, par exemple, 

m = i, 

par conséquent 

Ç, (3m)=r4, Ç, (m) = .i. 



PURES ET APPLIQUÉES. 
On devra avoir, d'après l'équation (3), 

ce qui est exact, puisqu'en effet 

F(i,) = 3; 
puis, d'après l'équation (4), 

F(I2 -9.1^) = ,, 

ce qui est exact aussi, puisque 

F(3).= i. 
» Soit ensuite 

m = 3, 
d'où 

Ç,(3,n) = .3, ?.(/«) = 4. 
On devra avoir, d'après l'équation (3), 

F(36-i^) + i^(36- 5^) =9, 
c'est-à-dire 

i^(3ô) + F(ii)=9, 

ce qu'on trouve exact, eu égard aux valeurs connues 

F(35) = 6, F(,i) = 3; 

puis, d'après l'équation (4), 

F(36-9.i = ) = 4, 
c'est-à-dire 

ce qui est vrai encore, 
a En prenant enfin 

m = 5, 



4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

on aura, d'une part, 

F(6o - r-) + F(6o - 5-) + F{6o - f) = 18, 

c'est-à-dire 

F(59) + F(35j + /^(ii) = 18; 

puis, d'autre part, 

F(6() — 9.1') = 6, 
c'est-à-dire 

F{5i) = 6. 

Mais je ne veux pas pousser plus loin ces vérifications faciles. » 



»%V^\*^***** 



PURES ET APPLIQUÉES. ^ 



Principes d'une nouvelle turbine à double couronne mobile et à 
lames liquides oscillantes; Considérations nouvelles sur les 
roues verticales à aubes courbes; 

Par m. Anatole DE CALIGNY. 



Cette roue se compose de deux turbines concentriques, analogues a 

celle de Borda, mais ne formant ensen.ble qu'iuie seule pièce mobile. 

l 'eau entrera de bas en haut dans celle dont le diamètre est le monidre. 

Elle sortira latéralement par le sommet des aubes courbes de celle-c. 

pour entrer dans celle dont le diamètre est le plus grand. C'est par 

cette dernière qu'elle doit sortir du système après avou- agi sur ses 

aubes courbes, soit en montant, soit en descendant. 

Ces aubes par lesquelles l'eau doit sortir peuvent donc avoir dans la 

couronne extérieure une disposition notablement différente de celle 

des aubes qui servent à faire entrer l'eau. 

Pour bien comprendre comment l'eau peut passer de la première 
couronne dans la seconde, on peut supposer (ce qui sera précisément 
un des cas de la pratique) la hauteur de chute et le diamètre de la tur- 
bine tels que la force centrifuge diffère peu en moyenne delà pesan- 
teur pour chaque molécule d'eau considérée. Dans l'hypothèse dont 
il s'agit, il est facile de voir que l'ascension de l'eau, en vertu de la 
vitesse acquise restante, quand chaque molécule arrivera dans la pre- 
mière couronne à la hauteur où l'on veut qu'elle tende à se transvaser, 
sera plus que suffisante pour que la force centrifuge, assez sensible- 
ment égale à la pesanteur dans celle hypothèse, ait le temps de faire 
passer toute l'eau de la couronne intérieure dans la couronne exté- 



rieure. 



Quant à la perle de force vive résultant de la vitesse latérale, dans 
le sens du rayon de la roue, par suite de la seule action de la force 
centrifuge, il est clair que si la largeur des couronnes est petite par 



6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

rapport à la hauteur de chute motrice, cette perte ne sera qu'une pe- 
tite fraction de la chute. 

Ce que je viens de dire a seulement pour objet de faire comprendre 
la possibilité du jeu de l'appareil dans une des circonstances qui [jcu- 
vent être proposées. Mais à la rigueur on pourrait transvaser l'eau 
d'une couronne dans l'autre par un autre moyen. 

Il y aurait une cause de perte de force vive plus importante peut- 
être que l'avantage de faire sortir l'eau par des orifices différents 
de ceux par lesquels elle est entrée, si, pour la transvaser d'une 
couronne à l'autre, on faisait courber le sommet de la lame liquide au 
moyen de surfaces courbes disposées à sou sommet dans la couronne 
intérieure, sans prendre des précautions particulières. Mais il résulte de 
mes expériences, comme on peut le voir (t. VII, 2* série de ce Journal, 
dans un Mémoire qui y est publié p. 169 à 200), qu'on peut, même 
dans un coude à angle droit brusque, réduire à très-peu de chose la 
résistance de l'eau en mouvement, au moyen de lames courbes con- 
centriques. H est facile d'eu conclure que, dans certaines limites du 
moins, on peut, en employant ces lames coiu'bes concentriques, trans- 
vaser l'eau de la couronne intérieure dans la couronne extérieure, 
quand même on ne tiendrait pas compte de l'effet précité de la force 
centrifuge. 

Je dois convenir que sans la roue à augets à grandes vitesses de 
M. Poncelet, je n'aurais pas pensé à l'avantage résultant de faire sortir 
l'eau par un orifice différent de celui par lequel elle est entrée, pour 
les circonstances où l'on voudrait, comme ci-dessus, employer dans 
une turbine un mode d'introduction de l'eau par ascension, analogue 
à celui qui se présente dans la roue verticale à aubes courbes de 
M. Poncelet. 

Je me suis demandé pourquoi personne n'avait proposé pour ces 
dernières de transvaser l'eau motrice dans deux couronnes latérales 
verticales renfermant des aubes courbes, afin de permettre à l'eau de 
sortir par des orifices différents de ceux par lesquels elle est entrée. On 
pourrait essayer d'appliquer à cette circonstance, c'est-à-dire quand 
les roues verticales à aubes courbes ne seraient pas trop larges, un 
moyen analogue à celui que je viens d'indiquer poiu' se passer au be- 
soin de la force centrifuge dans la turbine décrite ci-dessus, en trans- 



PURES ET APPLIQUÉES. -7 

vasaiit l'eau rl'une couronne dans l'autre par l'emploi de canaux laté- 
raux où la résislance aux coudes serait diminuée par l'emploi de lames 
concentriques. 

M. le général Poncelet me fit l'honneur de présenter de ma part à 
l'Académie des Sciences, le 20 décembre i863, une Note que j'avais 
■adressée à cette Académie le 16 novembre de la même année, et qui sur 
sa demande a été publiée dans les Comptes rendus. Cette Note ren- 
ferme la description du principe d'une turbine où l'eau entre par as- 
cension sur des aidjes courbes d'une manière analogue à ce qui se 
présente dans sa roue verticale à aubes courbes, où l'eau entre par- 
dessous. 

En présentant aujourd'hui un perfectionnement de cette turbine, 
mon but est seulement de bien fixer les idées sur des principes dont 
l'utilité ne pourra être détnontrée d'une manière définitive que par 
l'expérience. Mais abstraction faite de tout résultat industriel, il m'a 
semblé intéressant de signaler des idées qui poiuTont au moins servir 
de complément aux théories générales des turbines. 

Il est d'ailleurs bon de remarquer que pour chacun des principes 
sur lesquels les turbines peuvent être contruites, il faut tenir compte 
des vitesses des aubes qui donnent le maximum d'effet. De sorte qtie 
cela seul se rattache à une question d'utilité publique. 

Je n'aurais pas eu les idées, objet de cette Note, sans celles qui sont 
dues à M. Poncelet, et je serais heureux de montrer une fois de plus 
toute la portée des conséquences qui pourront, même plus tard, ré- 
sulter des travaux de cet illustre savant. 

Dans la tiubine à lames oscillantes, telle que je l'avais présentée en 
i863, on ne peut introduire l'eau par toute la circonférence, l'eau 
devant entrer et sortir par les mêmes orifices. Mais pour la nouvelle 
forme qui vient d'être indiquée, l'eau devant sortir par la couronne 
extérieure et entrer seulement [jar la couronne intérieure, on ne voit 
pas de raison pour qu'elle ne puisse pas être introduite en même temps 
par toutes les aubes courbes de la couronne intérieure. On conçoit en 
effet la possibilité de disposer au-dessous de cette couronne mobile 
une couronne de conducteurs fixes^ analogue à celle qui introduit 
l'eau sur le pourtour entier des turbines du genre de celle Borda. Il 
est vrai que ces conducteurs amenant l'eau par-dessous seront d'une 



8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

construction plus difficile que pour ces dernières turbines. Il ne s agit 
d'ailleurs ici que d une simple exposition de principes, l'expérience 
seule pouvant montrer s'il n'y aura pas quelque difficulté particulière 
relative au mode d'introduction de l'eau dans ces turbines à lames li- 
quides oscillantes. 

Je suis un de ceux qui ont présenté il y a plus de vingt ans des ré- 
sultats de calculs sur une disposition de roues verticales à aubes 
courbes, dans laquelle l'eau motrice entre de haut en bas, au lieu d'en- 
trer de l)as en haut (voir le Bulletin de la Société Philomnlhique , 
journal l'Institut^ 1847 et i8/i8). Si je rappelle cette circonstance, 
c'est pour bien montrer le but de cette Note, qui n'a rien d'exclusif, 
mais permet de généraliser les idées sur des questions importantes 
pour la science et l'iiidustrie. 



ERRATUM. 

TOME xr. — an:née 1866. 
Piigp 4 '4) ligne 23, nu lieu fie est élevée, lisez élevée est. 



PURES ET APPLIQUÉES. 

*WX\x'W\i\\\'*\^ ^v^\\^'W^\\\»v\^w^ W'ftA.' A/\>\^ (W'wx^vv \viv\- 'V\A\^*'VVS'\'V'>W'\'\.* »v\'^^^^'K^^V^^'V^''\^'^'V^ W\^v^x"W^'\x'^'V^^'v^^" 

Des maxinia et niinima des sommes composées de valeurs 
d'une fonction entière et de ses dérivées ; 

Par m p. TCHÉBYCHEF 

Traduction du russe, par M. N. de Khanikof. 



Extrait des Métnnires de V Académie des Sciences de Sai/if-Pélershoiirg, t. XII. 



1. Le calcul des variations nous donne le moyen de déterminer les 
valeurs maxima et minima des intégrales uniquement dans le cas, oi'i 
la forme des fonctions inconnues, renfermées sons le signe de l'intégra- 
tion, est supposée entièrement arbitraire. Mais si, d'après la nature de 
la question, la forme de ces fonctions inconnues est limitée par quelques 
conditions, leur détermination, en vue de rendre majrimum ou jnini- 
mum une intégrale, ou en général une somme quelconque de leurs va- 
leurs, exige des procédés particuliers. 

Nous nous bornerons ici à considérer le cas le plus simple de ce 
genre de questions; savoir, celui où la fonction inconnue est supposée 
entière et d'un degré déterminé, et où tous les termes de la somme 
proposée s'expriment au moyen de cette fonction, de ses dérivées et 
d'une variable indépendante, et forment une fonction également en- 
tière et de forme déterminée. • 

Ce cas mérite une attention pai ticulière à cause de ses applications, 
qui comprennent, entre autres, la solution de la question de l'interpo- 
lation parabolique d'après la méthode des moindres carrés. 

2 Soit 
une fonction donnée et entière de la variable indépendante .r du poly- 

Tome XIII {-i' série). — Janvikp, i8G8. 2 



.m-i 



lo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

nome inconnu 

j = A„ -+- A , .r +...-+- A; x' -+-... + A,„_ , jc 
et de ses dérivées 

Désignons par x,, x^, x^,... une série de valeurs quelconques de 
la variable indépendante x, que pour plus de simplicité nous suppo- 
serons différentes entre elles, et par ^ F (x,, ) ,, j| ,),",...) la somme 

des valeurs de la fonction F {x,j\j%r",...) pour ces valeurs de la 
variable x. La valeur de celle somme dépendra de celle des coeffi- 
cients A„, A,,..., A;,..., A,„_, du polynôme 

j = Ag-h A, X -h...-h Aix' + ...-h A,„_, x"'-\ 
et les valeurs de ces coefficients qui rendront la somme 

un maximum ou un minimum, d'après les principes du calcid diffé- 
rentiel, seront données parles équations : 



^ F (.r„ j„ j; , j;' 






dA, 



O, 



dÂ, = "' 



dA„-, ~ 



PURES ET APPLIQUÉES. ,i 

Mais comme les quanlités A„, A,,. . ., A,,. .., A,„_, n'entrent pas dar.s 

la formule 2]F(x„ J„ J,' > J,", •• ) indépendamment des fonctions 

J' !'■> j")--i la dérivée de celte somme par rapport à A, s'exprimera 
en général ainsi : 

^ y '^F (■'•., ■rMj',',J,".-.. ) ç(y, ^ dF(:ri,ji,j'.,y;,...) dy'. 

^ ^i <i\, "^ 2é dy'. Ta, 

Or la forme de la fonction 

j- = Ao + A , j:' + . . -f- A, x' + , . . + A,„_, X'"- ' 

et de ses dérivées 

y' = (.A, -^...-1- Ikix'-' +.,.-+- [m — \)^,„_^x"'-\ 
j"=i.2.A,+...+ /(/_,)A,x'-=-^...+ (,n-i)(/;7_2)A„,_,x 



) 



nous donne 






i J- 



En mettant ces valeurs des dérivées ^, ^, ^,... dans l'expros- 

dAi d Al dAi ' 

sion trouvée poiu- la dérivée ^- ., et en désignant, pour 

abréger, les valeurs des dérivées ~, ^, ^, pour x quelconque par 
M, N, P,.,., et pour x = x, par M,, N„ P„ nous aurons 

dir =2M,-.:+2:^N,^r;-+2/(/-.)ivrr+.... 

2.. 



12 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

En déterminant, à l'aide de cette formule, les valeurs et la dérivée 

pour /=;o, I, 2, 3,..., m — i, nous verrons 



fiAi 

que les équations qui déterminent les valeurs du coefficient du poly- 
nôme 

j — Ao H- A, jr +...+ A,„^,jc"'-', 

qiii rendent la somme ^ F(j^,,j„y, ,...) un maximum ow un mini- 
mum, se réduisent donc à : 

2M,x°=o, 

2;M,jr,+2;'N.-xf=o, 



21 M, xr' +2('" - N,-xr^ +2 ("^ - ')('« - 2) P,.r;"-' + .. . =: o, 

5. Faisant, pour abréger, 

[x — Xi){x ~ Xi){x — X3)...(x — j:,„_,) = (p(.r), 

et désignant par U, V, W,... les fonctions entières qu'on obtient en 
divisant les produits M.(f' {x), Ny'(x), Pip' (jc),... par (f[x), nous 
remarquons que les fractions 

nif' ix) N.i)'(x) P(f'{^) 

; — ; — > -, — r-J — ; — r''"'' 

<p(ar) ç(x) ç{j) 

transformées en fractions simples, s'expriment ainsi : 

7(x) - ^Z-x-.r,' 

Mfl_w-t-V-?i— 



PURES ET APPLIQUEES. i3 

où, d'après notre notation (n°2) M,-, N„ P„... désignent les valeurs 
de M, N, P,.-. quand on y fait x = a„ et les sommations doivent être 
étendues à toutes les valeurs de x, depuis x = x, jusqu'à j: =x,„. 

Si, à l'aide de ces formules, nous déterminons la valeur de l'expres- 
sion 

My'(.r) _ y(.f) ^ y(^) _ 

l') (f (j;) (Ix dx' '"' 

nous trouverons qu'elle se réduit à 

N,- P, 



^ d.r '^ Ux' ' ■ " Zé\x — Xi 



yx — Xi^ [x — Xi) 



■i3 



rfV d-Vi 



OU 



les termes U h :^ ■■■■, exprunent une fonction entière. 



l.r dx- 



lU 



Quant à la somme 

N, P, 



^ \_x Xi 



xiY [x — XiY 



M N ■ Pi 

après y avoir transformé les fractions j-f^^ ^^_',..j. ' ^^_'.r.^.' 



en séries 



MiX," UiXi M,.r' 
-f- — -T- ~r" 



N,x,' 2N;jr, 3N,-.r,' 

L H 1- ; — + . . . , 

x^ -^ X' 

1 . 1 P,^; ^ 2.3P.-r, 3.4 P,.r,' 



et après y avoir réuni les termes de dénominateurs communs, elle 
nous donne la série suivante : 



i4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Donc il résulte que les sommes 

2m,x,", 

2;M,.r,+2^'^"' 



yM,-.r;"^' 4-2(m - \)'Ni x'"-^ ^^{m — i)[in - 2)P,<'-' + , 

pper 



sont les coefficients de-» —■, —■,■■-, —, dans le développement de l'ex- 
pression 



,/ ^ ?' (-'-^ ^> P/(^) 
M y' (■»■■) _ y(.r) _^ y(-r) __ 
f{jc) d.T dx- ■ • • 1 

selon les puissances décroissantes de la variable x. Mais nous savons, 
d'après le n° 2, que ces sommes forment les premiers membres des 
équations qui déterminent les valeurs des coefficients du polynôme 

j' = Ao + A,x + AnX- -{-...-I- Am-,x'"~', 

pour lesquels la somme V F(jr,, 7 ,, ;'', , ^" ,...) devient un maximiun 
ou un minimum, et nous concluons que ces équations s'obtiennent 
en réduisant à zéro les coefficients de-» —,i— >■•■■> —> dans le déve- 
loppement de l'expression 



X X- X' 



M,^'(x) <p(.r) (flx 



(f (.r) rfjT rf.r' 

suivant les puissances décroissantes de la variable x. Partant sous cette 

condition : 

^/N^lifO ^, V^'(x) 
j , .M f' {■■'^\ » [x\ <f ix] 

L expression — y-^- y 1 J] —■■■•, (ivec une approai- 

nia/inn [>nnsséc jusrpi' aux puissances. t~'" inclusivement, est égale à une 



PURES ET APPLIQUÉES. ,5 

Jonction entière, où M, N, P,... sont, comme nous l'avons vu dans 
le n^S, les dérivées partielles de la fonction F(x, j, j', j",..), prises 

par rapporta j, ;',)",.... 

4. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que les coeffi- 
cients du [jolynônie 



m-\ 



j— Ao+ A, j: 4- AaJ:- 4-...+ A,„_|X 

étaient entièrement arbitraires : examinons maintenant le cas où le 
choix de ces coefficients est limité par plusieurs équations de la forme 



OU Jt[x, y\f,j",...), f^_[x, y\ j',j",...) sont des fonctions quel- 
conques entières de >r, du polynôme j et de ses dérivées ; ', y",.... 
Nous supposerons, pour commencer, que les sommes que nous venons 
d'écrire s'étendent à toutes les valeurs de la variable x 

ainsi que la somme ^/o \^h Ji, T\ > jI ,•••, dont on cherche la valeiu- 
maximum ou minimum. 

Par les propriétés connues des maxima et minima relatifs, les 
valeurs des coefficients Aq, A,, A,,..., A,„_,, qui rendent la somme 

'^fo[^nJi-'j'< ' ft )•••) II» maximum ou un minimum sous les condi- 
tions exprimées par les équations 



» 






ifi JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

sont déterminées en égalant à zéro les dérivées partielles prises par 
rapport à Ao, A,,..., A,„ de la somme 

2/o(-^''/'' /■ 'TI v) +^. 2/' (•^' '•'''•' ^' '/"'•••) 

où les quantités X,, X;,... sont des facteurs constants. Celte somme se 
ramène à la suivante : 

-H Kf-ii^njhy ,y, ,■■■) +•••], 

qui peut être remplacée par 

^F{Xi,ji, y , y ,....], 

en supposant que 

+ >.2/2(-a?, /,.)■', .r"v) +•••• 

Ainsi, d'après ce qui vient d'être exposé dans les n°' 2 et 3, con- 
cernant les équations 



f/^ F (■'■'. :>., y,, y,,- 






= O, 



o, 



nous concluons que, dans le cas actuel, les équations propres à déter- 
miner les coefficients du polynôme 

j = Ao+ A, X 4- AaX^ H-...+ A,„^,x-'"-' 



PURES ET APPLIQUÉES. 17 

se réduiront à la condition trouvée à la fin du n^S, en ne perdant pas 
toutefois de vue que la fonction F (jf, j, j', j",...)doit être remplacée 
par la somme 

/o(-^, J-. y, j"v)+>.yi(-r,7,7',j",...)+^.y.(.^,7, /',/',•■•) -+-•••, 

où X,, X,,... sont des facteurs inconnus constants. Cette condition 
nous donnera les moyens de déterminer les coefficients du poly- 
nôme jr = Ao + A, j:'4- A2X^4-...-+- A„_,.r'"-' en fonction des fac- 
teurs X,, Xj,.... En mettant enfin ces coefficients du polynôme ^ dans 
les équations (2), nous aurons autant d'équations qu'il y a de fac- 
teurs X,, X2,..., d'où nous obtiendrons leur valeur. 

5. Passons maintenant au cas où il s'agirait de rendre maximum 
ou minimum une somme 

étendue aux valeurs x, = a^,a.., n,,..., mais de façon que le choix 
des coefficients du polynôme J = Ao + A, a' + .. -+- A,„_, x'"-' .soit 
limilé par les équations de condition 

2;<i>2(x,r,j',jr",...): 



2 ) 



où les sommes s'étendent respectivement à toutes les valeurs de oc : 

oc — /;,, èj, 63,..., 

oc ^= C f, C21 C3 , . . . , 



difiéreiites entre elles et différentes aussi des valeurs x — a^, a.,, a^,.... 
Pour réduire ce cas à celui que notis venons d'examiner dans le 
numéro |)récéden(, nous remplacerons toutes ces sommes, étendues 
à différentes valeurs de la variable oc, par des sommes étendues aux 
mêmes valeurs de la variable indépendante. Pour y parvenir, nous 

Tome XIII {-î' série). — jANViEn 18G8. 3 



i8 JOURNAL DE MATHEMATIQUES 

poserons 

{x — n,){x — rtj){a' — ^3.)... = 's>„{x), 
{jc — b,){x - /?2)(.r — b:,)... = 9, (x), 
{x — c,) [x - c,) {x — C3)... = ^.(.r), 



et 

'^a{x)<p,{x)(D.,{x)....= {x - a,){x — (u)ix — a,)... 

X [x — b,){x — h^) [x — hi)... 
X [x — 6-, ) (.r - C2)(.r - C3)... 
X =9 ix). 

Puis nous déterminerons des fonctions entières So, S,, So,..., et 
To, T|, T.,,..., de manière à ce qu'elles satisfassent aux équations 

f'{x)So = 'f i^)T„ ^-9'u(a•)ç■,(.r)92(x)..., 

(3) ; f (^)S, ^-ç(j-)T, + 9',(x)(po(x)r^.,(.r)..., 

* 9'(jr)S. = 9(.r)T, + (j5;(r)(po(jr)(35,(.r)..., 



Ces équations auront toujours une solution, car, par hypothèse, les 
lacines de l'équation y (^,r) = 0, égaies à rt,,«2v; b,, A^,...; c,, Cj...; .-.; 
(hffèrent toutes entre elles; donc la fonction (p {x) n'aura pas de fac- 
teur commun avec sa dérivée ^' (x). Il sera aisé de montrer, à l'aide 

de ces équations (3), que les sommes Vs„*I>o (-^^ .)') j'-, J'\'--)> 

^S,<l',(x, j, 7', j", ...). ^So'I'ofjt', r, J', j",...)v< étendues à 
toutes les valeurs de jt = a,, a.^, «s,.--; ^n ^'21 '''sv-; c,, c,, c^,.-.; ... ; 
se réduiront : à la somme y^<l'„(j:, ; , y, j'\...), étendue uniquement 

aux valeurs de x = a,, Ho , n, ,... ; à la somme ^<I>, {x,j-, j', j-",..), 
étendue uniquement aux valeurs de x = Z»,, /^fo. ^^3 )••• j '' ^^ somme 
2<I'2(.r, ; , ^'j jr",...), étendue uniquement aux valeurs de x = c,, 
Cj, C3,..., et ainsi de suite. 

F'our le faire voir à l'égard de la somme "^ S„ (l'„ ' x, ) , j\j-'\...), 



PURES ET APPLIQUÉES. u) 

nous remarquons que, d'après ré(|uation 

(p'{x)So = (p{x)T^ + (p'„(,r)9,(a:)<p2(.r)..., 

et d'après la manière dont les fonctions 9 (x), (po(.^), f, (x),... sont 
formées, la fonction So deviendra zéro pour x = b,, b.,, b-,,...; 
c,, fo, r3,,..; ..., c'est-à-dire pour les racines communes aux équations 
y (x) = o et y, (.r) Çj (x)... = o, car, pour ces valeiu'sde la variable .r, 
la dérivée ({)'{jc) ne pourra pas devenir zéro, n'ayant pas, comme nous 
venons de le dire, de facteur commun avec 9 [x). 

D'un autre côté, pour x = a,, «o, «3,..., racines communes aux 
équations cp {x) = o et (pn[x) — o, nous vo3'ons que la dérivée 

<p'{x)= -J-±dl±JJ-AU.- = ^^l^r)fp,[x)^,{x)... 

-^(p\{x)(f,{x)(f^{x)... 
+ (p'^{x)(f„{x)cp,{x)... 



se réduit au produit 

<p',{x)rp,{x)(p,{x)..., 

et par conséquent, en vertu de l'équation 

(f'{x)So = (p{x)To-^ (p'o{x)(p,{x) tp.{x)..., 

pour ces valeurs de x, ou bien pour x = a, , rt,, «3,..., S^ sera 
égale à i. 

D'où il est évident que la somme ^ S„ «l)» (x,r, /', j",..). étendue 
à toutes les valeurs de la variable x, x = rt,, «.>, rt^,...; b,, /;., , i,,...- 

f,, Cj,C3 se réduit à la somme 2, *o l'^, J, j\ j",-), étendue 

uniquement aux valeurs de x, x = a,, rto, «3 , 

Nous trouverons de même que les sommes 

2s.<i>,(x,7,7',r--), i; S,*, (x, .,-,/, j",...) 

étendues aux valeurs de la variable x, x~rt,. rto, «3,...; /;,, é.,, 

3.. 



20 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

/?3,. ..;..., c,, Ca, C3,..., se réduisent à la somme 2$, (j?, j, j', j",...), 
étendue seulement aux valeurs de x = i,, b^^ b^,...; à la somme 
2$2 ("3^, J', j'i J"",-.-)i étendue seulement aux valeurs de x = t,, 
ts, C3,..., et ainsi de suite. 

En remplaçant, d'après ce qui vient d'être dit, les sommes 
y^'^.ix, y, j\ f\...), ^i\[x, r, f, j\. ..),..., étendues 
chacune à des valeurs différentes de la variable a:, par les sommes 
2S„<I'o(^,J,y,j",...),2S,a>,(.r,j,j',j",..),2;S.«ï'2(x,j,j',j",...),..., 

étendues aux mêmes valeurs de la variable x données par l'équation 
9 [x] = o, nous concluons que dans ce cas les coefficients du poly- 
nôme ^ = Ao + A, ^ + A, .r- + . . . + A,„_i x'"'* se détermineront par 
la méthode indiquée dans le numéro précédent, quand on remplacera 
dans les formules de ce numéro les fonctions yj, (a.*, }', j', ^ ",.-•)» 
./.(■^i J\ J'» jr% ••■), J'A^'^ J^ J'' f\- ■■).■■■, par les produits 
So'I)o(^,j,j',j",...), S,<I), (jr,j-,j-',j",...), S.<I>.(j7,j,j',j",. ..),••., 
et par conséquent ils se détermineront par la condition établie à la fin 
du n° 3 si l'on y pose 

r(-r,jr,j',j",...) = S„<I>„(a:,j,jr',j",...) + X.S,<D,(x,j,7',j",...) 
+ X,S,$,(ar,j,j',j",...) + ..., 

où X, , Xj,.-., sont des facteurs constants, mais inconnus. 

En déterminant, pour cette forme de la fonction F(a", j\ j\ j ",...), 
la valeur des dérivées 



m— dF{^,y,y,y",. 


■') 


dy 
AT _dY[x,y,y',/\...) 


dy' 

„ _ dY[x,y,y',y",. 


■■) 


^ - dy" 



et en désignant les dérivées partielles des fonctions •Po» *I'm 'I'sv) 



PURES ET APPLIQUÉES. 21 

prises par rapport à j, j?', j",.--, par M„, M,. Mj,..., N„, N,, N^,..., 
P„, P,, Po,.. , nous obtenons 

M = S„ M„ + X, S, M, + Xo S2 M, + . . . , 
N = S„ No -4- X, S, N, + Xj S2 N, + . . . , 
P = So P„ + X, S, P, -f- X, So Pj -I- . . . , 



Donc l'expression (i), qui d'après le n° 5, doit être égale, pour la 
valeur cherchée du polynôme/ = Aq + A, .r -+-...+ A^^jX""', à une 
fonction entière, avec une approximation poussée jusqu'à la puissance 
.r""" inclusivement, s'exprimera ainsi : 

SoM„y'(^) ^, S,M,<p'(.r) S. M,y'(x) 

^{x) ^{x) y(.r; 

^ r S,.W,y'(.r) ^ ^ S,N,y'(.r) _^ ^^ S.,N./(^) ^ T 



(4) 



lïx 






rfa;^ 



Mais les équations (3), qui servent à déterminer les fonctions S^, S, , 
Sj,..., nous donnent 



— ; — T" ■ — ■'■0 "T" ^ — ; ' 



Si? {^) rp , tp,(ar) ()>„(.»') <f2(j;)... 
; — T- = A 1 -r- ■ -, — ; 5 

S.?'C^) _ T _i_ ?',(-^)<Po(^)?.(-^) --- 

— ; — p — ■'^2 "1" ; — i ' 



En remplaçant, dans les seconds membres de ces équations, f {x) par 



22 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

le produit <po (•^) <Pi {^) ^2 (•^0» "Oi's •'luroiis 



U) 



^ — i 2 —r" — ; — ; ' 

îl-'') fiW 



, . „ . , f . S.o' .r S,<?'.r S,^'(.r) . ?, f-î^ 

I) OU ion voit que les fonctions — ^7— r' — r^r' , , '■•■ et — r-r? 

I y(x) ^(x) ,f(.v) <p,(.r) 

?ii:Ls '^''•' , . .. ne diffèrent entre elles que par des parties entières. 

Donc, si dans l'expression (4), nous mettons ces dernières à la place 
des premières, nous ne changerons que la partie entière de cette ex|)res- 
sion ; quant an degré d'exactitude avec lequel cette formule représente 
une fonction, il restera le même, et par conséquent elle pourra toujours 
servir à déterminer le polynôme } = A„ 4- A|.r -)-...+ A,„_, .r'""'. En 
exéculant cette substitution nous obtenons l'expression suivante : 

M,<p'„(j:) , ^ M, y', (.r) , .^ Hillifl -i- 

; — ; 1~ Al ; — ^ -|- Ao ; ^ -1- ■ • • 

(p„(.r) (f, (x) f,{^] 



(4 bis] 






clx' 



Cette expression, d'après ce qui vient d'être exposé, doit se réduire à 
une fonction entière, qui la représentera exactement jusqu'à la puissance 
— m de la variable x inclusivement, toutes les fois que le polynôme 

;■ = A(,+ A.x +...+ A,„_,x"'-' 
aura des coefficients voulus pour que la somme '^'[\{.r,y, r',_r'\...) 



PURES ET APPI.lQrÉES. 23 

devienne un maximum ou un minimum, sous les conditions 

2'î>,(-r,.7-,r',j",. ..) = «.. ^<i>,{jc, r, y', j", ...)-= '^2:--- 

Nous sommes parvenus;! celte conclusion en supposant que les séries 
a,, a^,a2,...,b,, b^, b3,...,c,,C2-,C3,... ne contenaient pas des termes 
égaux entre eux; mais, par la mélhode des limites, il nous serait aisé de 
l'appliquer aussi au cas où ces séries auraient des membres conuniuis. 

6. Nous avons établi dans ce qui précède, la condition qui sert 
à déterminer la valeur du polynôme, d'un degré donné 7-, qui rend la 

somme "^ *I'o('^) }'i ï'i r"v) i'" maximum ou un minimum, et nous 

n'avons fait que deux hypothèses concernant les coefficients de ce 
polynôme. D'après l'une, leurs valeurs étaient supposées arbitraires, et 
d'après l'autre, elles devaient satisfaire aux équations 

^<i\{a;r,y,j",...) = y,. 2«i>,(a-, j, y, j",... ) = «.,.... 

Dans ce dernier cas, la condition qui sert à déterminer le polynôme 
cherché contient des constantes inconnues X,, Xj,..., dont la valeur se 
trouve par les mêmes équations de condition auxquellesdoit satisfaire 
le polynôme j\ et qui sont en nombre égal à celui des inconnues 
/,,L,.... 

La détermination du polynôme >, limité par la condition de rendre 

la somme 2i*^o i^^ ' ' ' ' )'">■••) "" "laximum ou un minimum, a de 
l'analogie avec la solution des questions semblables dans le calcul ties 
variations. Dans le cas particulier, quand cette somme se réduit à luie 
intégrale, le polynôme ; , déterminé comme il vient d'être dit, peut 
être considéré comme une valeur approchée de la fonction qu'on 
obtient à l'aide de la méthode des variations. Mais dans le calcul des 
variations, la fonction cherchée, étant déterminée par une équation 
différentielle, s'obtient en l'intégrant par les méthodes connues, tandis 
que, dans le cas que nous examinons, la détermination du polyiiùmejf 
exige des procédés spéciaux, car elle se réduit à une condition qui ne 
se laisse pas exprimer par des équations de formes connues. 



24 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Pour montrer comment des polynômes peuvent être déterminés à 
l'aide de ces conditions, examinons le cas très-simple où les fonctions 
'^o{3C,f,j',fy..),1>, (J:,J,J',J",...),'^2(^,J,J^J",. ..)••• ne con- 
tiennent j qu'à une puissance qui ne dépasse pas la seconde, ses 
(\énvées y', y",... a une puissance qui ne dépasse pas l'unité, et avec 
des coefficients qui ne dépendent que de la variable x. 

Dans ce cas les dérivées 

IVr _ '' 'i'4^yX,/,y'\---) «T d'i',{x,j,y',j",....) 
iVlo — — ' iVJ , = , ■ ■ • 

ne contiendront pas v', ^",..., et 7' ne s'y trouvera qu'à la première 
puissance. Pour les dérivées 

f/t'cl.r, y,y,y',...) d^,{x, y, y', x",...) 

c/y uy 

_ cU\{x,y,y,y\...) _ <h\^,{x, y,y',y",...) 
P.,- ^p ' P.- ^p '■•••' 

elles ne contiendront pas du tout j', j' , j\ Parlant l'expression 

(4 his) du n"» qui représente exactement le polynôme 



m— I 



y — Aq ~t- a I ce H— . . H— A;^_| oc 

jusqu'au terme multiplié par x~'" inclusivement, et qui doit être égale 
à une fonction entière, se réduira au binôme 

uj - V, 

dans lequel u et v ne sont fonction que de la seule variable indépen- 
dante X. Ainsi, dans ce cas, la recherche du polynôme 



j =3 Ao 4- A, X 4- . . . -t- A 



;n - 1 • 



assujetti à la condition de rendre la somme ^^ <!>„ (jr, j, 7 ', j^",...) un 

maximum ou un minimum, se réduit à la détermination d'un polynôme 
j-, de degré m — i, tel, que le binôme uy — v^ qui lui est identique 
jusqu'au terme multiplié par x~'" inclusivement, soit une fonction 



PURES ET APPLIQUÉES. . aS 

entière. Nous allons montrer que les polynômes qui jouissent de cette 
propriété s'obtiennent facilement à l'aide de la série que j'ai publiée 
dans mon Mémoire intitulé : Développement des fonctions en séries , à 
Vaide des fractions continues [*]. 

7. Nous avons établi dans ce Mémoire, qu'en développant une 
fonction quelconque u en fraction continue 



'h-+- 



'/=-i- . 



P P P. 
en désignant, de plus, par -^i -^> Tf'"' s*'^ fractions réduites, par 

R,, R,, R3,... les différences 

«Q, -P,, uQ,-P„ «Q3-P,,..., 

et par oj,, ojj, Wj,-. les fonctions entières qu'on obtient à l'aide de la 
formule 

«„=(-i)"-<E^„(Q„v'-Q„p); 

nous aurons pour développer la fonction v d'après les valeurs R,, Rj, 
Rj,..., la série que voici 

(5) p = Ef + w, R, + ojoRo -+- W3R3,..., 

où E désigne la partie entière de la fonction, et où l'on admet que u 
et V sont des fonctions développables suivant les puissances entières et 
décroissantes de la variable x. 

Pour déterminer, à l'aide de cette série, le polynôme 

au moyen duquel la différence uy — v est réductible à une fonction 

[*] Mémoires de V Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg, t. IV. 

Tome XIII (2" série). — Ja>vif.r 1868. 4 



26 JOURNAI. DE MATHÉMATIQUES 

entière exacte, jusqu'aux termes en x~"^ inclusivement, désignons |)ar 

P P. P 
Q^ le dernier dénominateur des fractions convergentes — ^i — :, ft' "■' 

Qi ^-- Qs 

dont le degré soit inférieur à w, et par F^, F„_,,..., F^, F,, 
'>. '/y-i, . , Tj, r, les quotients et les restes obtenus par la division du 
polynôme f par Q;^, du premier reste r^, par Q„-,, du second reste, 
p3''Q/i— 2, et ainsi de suite. 

En égalant les dividendes aux produits des quotients ajoutés aux 
restes, nous obtenons \\x\^ suite d'équations 

y ^y- ■i,y- ""~ ' /-i-i ' // -— t^y. — I Vy — 1 "^ 'V — M*"l 

'■3 = l^'iQi + '"2, ''2 = l'i Ql + 'l- 

En éliminant de ces équations les restes z'^, /'^_,,. ., Tj, z^, et en ob- 
servant que le dernier reste ?,, qu'on obtient par la division de l'a- 
vant-dernier reste par Q, = i est zéio, nous sommes conduit à l'ex- 
pression de 7 que voici 

j = F^ Q, + F^_, Q,_, + . . . + F, (), + F, Q. . 

Mais comme notre polynôme cberché y = Ao+ A,.x + . . . -f- A,„_,jr '""' 

ne sera jamais d'un degré supérieur à m — i, il est évident que la 

fonction F„, qui s'obtient par la division de j^' par Q,^, ne pourra pas 

./■'""' 
être d'un degré plus élevé que-——! et pai' conséquent son degré 

Qy 

sera inférieur à celui du quotient ^^' » car, par hypothèse, Q.^^-, est 
d'iui degré supérieur à ?n — i. Quant aux fonctions F^_,, F„_,,--., 
F,, F,, leurs degrés seront inférieurs à ceux des tiuotients " ? 

k"^""' ■ ■ ■ ' ^' TT' car elles résultt'nt de la division des restes r^, f^_,,..., 

r,, r, par Q„ _ ,, Q,,_2, ., Qj, Q,, ''t ces restes eux-mêmes obtenus par 
la division de r par Q„, de r^ par Q„ . , et ainsi de suite, seront néces- 
sairement de degrés inférieurs à Q,„ Q„ _,,..., Q2, Q,- 

Pour déterminer les facteurs F,. F,_,, F„_ ,,..., Fo, F, dans le dé- 



PURES ET APPLIQUÉES. 37 

veloppcment do j parla formule 

(6) J = F^Q„ + F,„_,g^_,-t-...+ F,Q, + F,Q,, 

nous observons que le binôme tiy — v devient, en y substituant pour^' 
sa dernière valeur, cl en y exprimani 4' pnr la formule (5), 

II) —v= F/, Q^ u 4- F,„_, Q„_ , « + . . . -f- F, Q2 M + F, Q, u 

Ep — W, R, — 0)2 R2 'J'3 R3 ■ ■•) 

en y remplaçant Q^m, Q„^iU, .., QoM et Q, m par leurs valeurs dé- 
duites des égalités 

R^t = Q/." — P//, R/x-i = Q/x-i '< — P„_,,..., 

nous obtenons la formule que voici 

„j _ ^,= _ Ei' + F, P, +F2P2+... 

+ F/,_, P^._. + F,, P^. + (F, - oj.jR, + [F, - 0..; K2 + .. 
+ (F,/_i — oj„_, I R„_i + (F„. — Wy.) R„. — oj„, ,_i R„+i +.... 

En examinant cette nouvelle expression de la différence u/ — i\ 
nous voyons que ses termes 

- E v + F, P, + F, P2 -h . . . + F^._, P^-, + F„ P„, 

forment une fonction entière, et que les autres, comme il est aisé de 
le voir, sont tous de puissances négatives et vont en décroissant. En 
effet, conformément à notre notation, 

R, = Q,z^-P,, R, = Q2"- P., ■•, 
Rf,-, = Q„_, u — P^_,, R^. — Q,,u — P/,, R,-^, — Q^.^., u — P^+,,..., 

et ces restes, d'après les propriétés des fractions réduites, sont de 
degrés égaux à ceux des fractions 

III II I 

4. 



28 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

En rapprocliaiit ces considérations de ce qui a été dit, dans le nu- 
méro précédent, sur les fonctions F,, F^, F3,..., F^_,, F,,, et, dans le 
Mémoire cité, sur les fonctions oj,, w^, 'jJa,---, 'jJ/i-n '^J/x, '^J/^+iv? '' 'Ic- 
vient évident que dans les derniers termes de la formule 

(F, - w,)R, + (F„- w,)R,+... 

les facteins de R,, Ro, R3,. . seront des fonctions entières de degrés 

inférieurs à ^' ^ ^" ^"^' ^■"^■' 
Mueueuis a pr' 77'- •' 7: ' -7^ — ' 7^ 

VI V-' vy— 1 vy- V/'-t-i 

Donc le premier de ces termes (F, — oj,) R, sera d'un degré inférieur 

à ^ — = — et ne sera pas inférieur à ^: le second terme (F, — ojo) R2 

sera d'un degré inférieur à 7^^' pr = ;^ et ne sera pas inférieur à — -> • • • ; 

le ternie «„+,, R,j.+, sera d'un degré inférieur à ""^^ = ^ 1 

et ne sera pas inférieur à . et ainsi de suite. 

D'où il résulte qtie, dans l'expression ci-dessus trouvée, pour le 
binôme uj — v, la partie fractionnaire sera exprimée par la série 

(F, - M,)R,+(F„- oj,)R. +... 

-I- (F^„_, — oj„i_,)R^_i + (F„ — w„) R,„.— 'j\u.-h\^,j.-i-i —••■■> 

où les puissances des membres vont en décroissant. Donc le degré 
d'exactitude avec lequel noire binôme se réduit à une fonction en- 
tière sera déterminé par le degré du premiei' de ses termes qui ne 
devient pas zéro. 

A l'aide de ce résultat, il nous sera aisé de trouver la valeur des 
fonctions F,, F^,..., F^_,, F^^, qui entrenl dans l'expression (6) du po- 
lynôme cherché, ou de nous convaincre de son impossibilité. 

I^es termes (F, — oj,) R,, (F„ — ojo) Ro, . . . , (F^._, — o),^-,) R/^_, , 
comme nous venons de le voir, ne |)euvent être de tlegrés iutérieiu's 

aux fractions --) tt-vj p— ; donc ils ne peuvent être d'un degié infé- 



PURES ET APPLIQUÉES. 29 

', car, d'après notre notation, dans la suite des dénomina- 
teurs Q(, Q21 •■••, Q». i' 'l'y ^'1 ^"'"'1 V^^ "" ^^"' *1 "'^ degré supérieur 
k m — I. Ainsi la différence itj — i' ne peut se ramener à une fonction 
entière qui la représente exactement jusqu'au terme où jc est de la 
puissance — m, que dans le cas où tous ces termes disparaissent, 
ce qiù entraîne forcément les équations suivantes ; 

F, — 0J| =: O, Fo — '>l2 = O,..., FfA-, — 'J>„.-1 = o- 

qui nous doiuient 

(7) F| = o)|, F2=ojj,..., F„._, = '.j„_,. 

Avec ces valeurs des fonctions F,, F, ,..., F„_,, l'expression ci- dessus 
trouvée pour la partie fractionnaire du binôme ny — t' se réduit à la 
série 

[P/j. 'J>a) R,i/. — 'J\u-h\ R//-t-l WyH-2 Ry.H-î —•■•■, 

où, comme nous venons de le voir, les termes Wy-t-i R//.-n, '^y-t-ïR/^i-f-iv'! 
sont de degrés inférieurs à ceux des fractions » ■■■■■^ et. 

Vy-i-i V/'.-i-'-i 

par conséquent inférieurs à x~"\ car, d'après notre notation, les 
dénominateurs Q^y+i , Q,,/h-2 , . - • , ne sont pas de degrés inférieurs à m. 
Nous voyons ainsi que pour réduire l'expression ci-dessus trouvée de 
la différence uj — u k une fonction entière qui la représente exacte- 
ment jusqu'aux termes où la variable jc est à la puissance — m, d est 
nécessaire et suffisant de donner aux fonctions F,, Fo,..., F^_, les 
valeurs (7) et de rendre la puissance du membre (F„— f.),)R„ infé- 
rieure à — m. 

Mais comme, d'un autre côté, pour que le polynôme cherché, re- 
présenté par la formule 

j = F, Q, H- F, Q, + . . . + F„_ , Q,_ , + F„ Q, , 

reste, comme l'exigent les conditions de la question, d'iui degré qui 
ne soit pas supérieur à m, il est nécessaire et suffisant qu'avec les va- 
leurs (7) des fonctions F,, Fn,..., F„_,, le terme F„Q,^ ne soit pas 



3o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

d'un degré supérieur à /n — i , car tous les autres termes, comme il est 
aisé de le voir, seront de degrés inférieurs km — i . 

En effet, conformément à ce qui vient d'être dit, les degrés des 
facteurs F, = oi, F^ = fo., i-i F^_, = w^.— , seront inférieurs à ceux 

de —^? —'»••■) -p^: donc les produits F, Q, , FoQj,..., F^, Q^ ne con- 
tiendront que des termes de degrés inférieurs à Q^, Qs,--, Qv, et pai 
conséquent inférieurs à la puissance a;'""', car, d'après notre nota- 
tion, tous ces dénominateurs des fractions réduites de u ont des de- 
grés moindres que ?« — i . 

En vertu de quoi nous concluons que le polynôme cherché jy sera 
donné par la formule 

j = F, Q, + F, Q, + . . . + F,„_ , Q,,,_, 4- F/, Q,, , 

où F, = W|, Fj =: ojo, . . . , F^_, = Wv— I , et où le facteur F,, est une 
fonction entière déterminée par les conditions suivantes : 

La puissance du produit F^ Q,^ ne surpassera pas m — \ , et la puis- 
sance du produit ( F,^ — oj „ ) R^^. ne surpassera pas — m — \ . 

Or, d'après notre notation, R,j, = Q„?f— P„, de plus, d'après les 
propriétés des fractions réduites, Q„ ?/ — P^ étant du même degré 

que la fraction ? on peut, en déterminant le facteur F^, par 

la méthode que nous venons d'exposer, remplacer R^ par la frac- 

i 
lion 



Ceci nous permet d'exprimer les conditions qui déterminent le fac- 
teur F^, de la manière suivante : 

La puissance du produit F^ Q^ ne surpassera pas m — i , et la puis- 
sance du quotient -^- ne surpassera pas — m — i . 

Pour ce qui est des fonctions w,, o)^, 0)3,..., elles s'expriment géné- 
ralement, comme nous l'avons dit dans le numéro précédent, ainsi : 

o.„ = (-i)''E7„iQ„i'-EQ„i'). 
Ayant déterminé à l'aide de cette formule les valeurs w,, Wo,..., Wu— i 



PURES ET APPLIQUÉES. 3i 

et les ayant mises, conformément à (7), à la place de F,, Fj, F„_, 

dans l'expression du polynôme cherché j-, nous obtenons pour cette 
dernière la formule que voici : 

j = r,j, Q, 4- oj., Q, + . . . + 'j)f,-, Q,,-, + F,„ Q„ , 

où lefacteurF, doit satisfaire aux oonditionsque nous venons d'énoncer. 
Nous allons donc nous occuper, dans le numéro suivant, de la ma- 
nière de déterminer F^ sous ces conditions. 

8. D'après notre notation, Q^ est le dernier dénominateur de la 
suite Q,, Q.j,..., Q„. , Q^4.,,-., dont le degré est inférieur à m; par 
conséquent le dénominateur Q,,+ , sera, ou du degré m, ou d'un des;ré 
supérieur à m. Dans le premier cas, comme il sera aisé de le faire 
voir, il n'y aura (|u'une valeur de F„ propre à satisfaire aux conditions 
qui limitent le choix de cette quantité, c'est-à-dire qu'il faudra que F„ 
soit égal à m^; dans le second cas, ou il n'y aura pas du tout de valeur 
de F„ qui satisfasse à ces conditions, ou bien F^^ s'exprimera au 
moyen d'une fonction à plusieurs coefficients arbitraires. 

En effet, d'après les conditions qui déterminent la fonction F„, le 
degré du produit F,,. Q„ ne pourra pas surpasser m— r, et celui du 

quotient -^ '- ne surpassera pas — m — i ; mais le dénominateur 

Q/.-1-T Pst de la puissance m. Ainsi quand le numérateur sera entier 



SI 



Q, 
ipérieur à —m — i. Donc, dans ce cas, on est forcé d'admettre que 



et différent de zéro, le degré du quotient ^ — '-- sera nécessairement 



F„ — ',j„ = o, 
ou bien 

Ensuite, d'après ce qui a été dit précédemment, le degré de la 
fonction co„ est inférieur à celui de %^; donc, en donnant a F„ la 
valeur oj„, nous rendons la puissance du produit F^ Q,^ infériein-eà celle 
^'^ oT ^" ~ ^^^--^-'i ^^ P^"' conséquent inférieure à celle de x'", car, 



;^2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

dans le cas que nous examinons, le dénominateur Q/x-n est du degré m. 

D'où il résulte que si Q/i+i est du degré 77z, on peut toujours faire 
Fy = oj^ , et qu'aucune autre valeur de ce facteur F,^. iie satisfera aux 
conditions établies dans le numéro précédent. 

Dès lors, dans ce cas, le polynôme cherché j ne peut avoir qu'une 
seule valeur, et elle sera déterminée par la formule que nous venons 
d'écrire, c'est-à-dire par 

J = '^1 Qi + w, Qa + . . . + (w^_, Q^_, + F^ Q„ , 

pourvu que nous y fassions F,^ = w^. 

Passons maintenant au cas où le dénominateur Q^-m est d'une 
puissance supérieure à m. Conformément aux conditions qui dé- 
terminent le facteur F„, le produit F/,Q<. doit être d'un degré qui 

ne soit pas supérieur à m—i, et le degré du ciuotient ~ 

Ne ,w -i- 1 

ne doit pas surpasser — m — i, ou bien, ce qui est la même chose, le 
facteur F,^ ne doit pas avoir un degré supérieur à celui de — — ? 

et le degré de la différence F„ — w^. ne doit pas surpasser celui de ''^'t,' • 

Or cette propriété est évidemment exprimée par les deux équations 
suivantes : 

(8) ¥,, = C,x-'+C^x^-' + ... 

et 

( 9) F,„ - '.^,, = C'x'' + C"x-' ■-' + . . . , 

où V désigne la puissance de la fonction '-—-■, v, celle de la fonc- 
tion %^5 et les quantités C,, Co,..., C, C",..., sont des coefficients 

indéterminés. 

L'élimination de F^ à l'aide de ces deux équations nous doiuie 

ov. = C, X' + Co.r— + ... - C'.r'-'' - C'oc"-' - ..., 

équation qui ne peut être satisfaite par aucune valeur des coefficients 



PURES ET APPLIQUÉES. 33 

C,, C2,..., C, C",.--, si le degré de la fonction oj,,. surpasse v et v,. 
D'où il est aisé de voir que si la puissance de w^ est supérieure à v et y,, 
il est impossible de satisfaire aux conditions qui déterminent F,,, dans 
l'expression du polynôme cherché, et par conséquent, dans ce cas, 
notre problème n'a pas de solution. Dans le cas contraire, quand la 
puissance de w,, n'est pas supérieure au moins à l'un des nombres 
V et V,, la valeur du facteur F„ sera facile à trouver, et, comme il est 
aisé de le voir, elle sera déterminée, ou par la seule équation (8) ou 
par la seule équation (9), selon que v sera ou ne sera pas <V|. 

En effet, mettons l'expression de F^, donnée par l'équalion (8), 
dans la formule (9), nous aurons 

C, X' 4- Co X'-' + . . . - 60/, =: Cx'--' C'a-" -' -+-.... 

Si le nombre v est inférieur au nombre v,, le degré de la première 
partie de cette équation ne surpassera pas celui de la seconde, car 
si V < V| la puissance de la fonction w^. ne peut être supérieure à v, , 
puisque dans ce cas, contrairement à l'hypothèse, cette puissance 
serait siq:)érieure aiix deux nombres v et v,. Donc, par un choix con- 
venable des coefficients C, C",.., on poiuTa toujours satisfaire, dans 
ce cas, à l'équation 

C, .x"+ CjX"-' + ... — 0,^. = C'a^"' + C".r''-' + ..., 

quels que soient les coefficients C,, Co,... du premier membre de cette 
équation. 

De même si v n'est pas <v,, l'équation (9) nous donne 

F^. = Wj,, + C'j:"' -h C'a'" '-' + . . ., 

et, en y laissant tous les coefficients arbitraires, nous obtenons une 
valeur de F^^ qui satisfait à l'équation (8) si l'on donne des valeurs 
convenables aux coefficients C,, C,, — 

Ainsi, il est bien établi que toutes les fois que le degré de la fonc- 
tion w^ n'est pas supérieur au moins à l'un des deux nombres v et v, 

degrés des fonctions — - et 'l"' U la valeur du facteur F„ , satisfaisant 

Tome XIII (2= série). — Janvier i8G8. 5 



34 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

aux conditions du numéro précédent, peut être trouvée. Ile plus, la 
valeur de F^ sera déterminée par l'équation 

F^ = C, X' + C, x" ^ ' + . . . 
ou par l'équation 

F„ = oj^ + C'jc'' -+- C"x'''~^ + ... 

selon que l'on aura v < v, ou hien v>v,. Quant aux coefficients C,, 
Co,..., C, C",..., ils restent arbitraires. 

9. Pour donner un exemple, cherchons à déterminer le polynôme 

j — A„+ A,.x + Xo.r^ -h ... -1- A,„_, x'"-' , 

sous la condition de rendre maximum ou minimum la valeur de la 
somme 

2:ÎLn-/(r,)Pô(a-,) 
étendue aux valeurs j: = j:-,, jTj, jc^, 

Nous commencerons par supposer que le choix des coefficients A„, 
A,, Aj,... du polynôme cherché^ n'est limité par aucune condition 
particulière, et puis nous traiterons le cas où la valeur d'un de ces 
coefficients est donnée. 

La première liypothèse, avec les valeurs réelles de x,, jTo, j^-j ,... et 
l'invariabilité de signe de la fonction 6 (x), nous donnera la formule 
déjà connue de l'interpolation parabolique d'apiès la méthode des 
moindres carré.s dans les cas ordinaires; la seconde, avec les mêmes 
conditions pourles quantités x,, cr.,., j?3,... et la fonction (.r), nous 
conduira aussi à une formule d'interpolation |)arabolique d'après la 
iuélhode des moinrlres carres^ mais dans les cas particuliers où l'ini 
des coefficients de l'expression j' est assujetti à la condition d'avoir- 
une valeur donnée. 

■Si dans les formules du n° 2 nous faisons 



PURES ET APPLIQUÉES. 3;'î 

nous trouverons 

,, '/Ffjr, r, .r'i.r") r /, m /- 

- rfy - °' 

p _ dF {.r, r,.r'..Y") _ 

avec de lelles valeurs des fonctions M, N, P,... et dans l'hypolliese 
que le choix des coefficients du polynôme n'est limité par aucune con- 
dition spéciale, nous aurons à remplir d'après le n"* 3 la condition 
suivante : 

L'e.rpression 

doit être réductible à une Jonction entière, avec une approxinuitimi 
poussée jusqu'au terme x'"", inclusivement. 

Désignant par il>, (x), ']i^[x),..., |,._,(j:-), <j>/..(x), «j-^-n, (j:-) les dé- 
nominateurs des réduites qu'on obtient en développant la fonction 

en luie fraction continue 



0(x)^'(x) 



'?[■'') 



7o- 



'l'-\-- 



q. 



'!,■ 



et supposant que dans la suite de valeurs 

la dernière fonction d'un degré inférieur à m soit if/,.(a:), nous trou- 
verons que le polynôme r = A„ 4 A,. r +...-+- A'"^'.r,„_,, qui salis- 

5.. 



36 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

fait à cette condition, sera donné par la formule 

j = oj,d;,(.r) -!- oj2ij;o(x) 4-...-I- w,,^_i 4^,„_, (.r) + F„. '|^,, (j:),. • , 

où les facteurs m,, 0^2,.., oj,,_, seront déterminés par la formule 



«„=(-i)«-'Er/„ 



„(x)/(x)9(x)y'(x) „ ^„ (.r)/(^)9(.r)y'(.r)- 



!p(jr) 



-E 



et le facteur F^, d'après le n° 8, n'aura qu'une valeur déterminée 
F^ = «u, si la fonction i|j^_,(a') est du degré m. Dans le cas con- 
traire, si notre problème admet une solution, c'est-à-dire si la somme 

V - [_^-, —y (a:,)]- 9x peut devenir un maximum ou un minimum, le 

facteur F,^ contiendra plusieurs coefHcienIs indéterminés et sera donné 
par l'iMie des formules 

F„ = C,jc'-\~C.x'-' +..., 

F/,. = u,, + Cx'' + C"x"-' +.. ., 

où V et V, désignent les deerés des fonctions , , , et -^^—-- Comme 

précédemment, on appliquera la première de ces deux formules si 

V < V,, et la seconde dans le cas de v = v,. Enfin pour savoir si notre 
problème admet une solution, il faudra examiner, comme nous l'avons 
indiqué dans le n° 8, si le degré de la fonction w,^ n'est pas supérieur 
au moins à l'un des nombres v et v,, car ce n'est que dans ce casque 
le facteur F,, peut satisfaire aux conditions du problème. 

Quand les quantités x,, Xj, 0-3,... ont des valeurs réelles , et que la 

fonction [x) ne change pas de signe, la fraction continue, qu'on ob- 

1. 1 1. ■ 6('^)?'(''^) -i 

tient en développant 1 expression '^ ■> comme il est connu, sera 

de la forme 

1 

'/o -< 

A, .r -f- B, + 

AiX + Bj -+-. 



PURES ET APPLIQUÉES. 37 

oijA,,B|, An, Bj,... sont des quantités constantes [*]. Dans ce cas les 
fonctiotis (/,, ^2,. .., (y,„..., ont pour valeurs 

7i = A|J: + B|, «y., = AoO: + B,,,..., </„ = A„.r -\- \],„ 

et les dénominateurs ']i,[jc), <\i.,{x),..., ^„_,{x), '|,„(.r), |,„4-i (-af).---, 

1 r • - 1 . 11. • 9 (^) v' i^) Il » 

(les tractions réduites de 1 expression ■ seront de aeeres o, 

I, 2,..., m — 2, m — I, m, — 

Comme dans ce cas le dernier dénominateur d'un degré inférieur 
à m, est '\i,„{x), et celui qui le suit immédiatement, c'est-à-dire '\i,„+, {jc) 
est du degré m, d'après ce qui a été établi, le polynôme clierché j' sera 
donné par la formule 

Mettons à la place de (j,, sa valeur^,, = A„x + B„ dans la formule du 
n° 7 qui sert à calculer les facteurs w,, 0;,,..., w,„_,, w,„, nous aurons 

o.,-(-.r-'E(A„.r + B„)P"^-^^^-'-^^^-'-^^'<-'-E'^"'"^-^'''-)^^-^^'^-n- 

L ?(■'■] <f(-ï) J 

Si nous désignons par U la fonction entière qu'on obtient en divi- 
sant le produit i{>„(x)y(x)ô (x) (p'(x) par <{>{x), nous aurons, par 
notre notation 

et 



u+2 



x, 
f(xi)9{Xi)-],„{.ri) 



[*] Voyez le Mémoire inlitulé : Recherches sur les fr-aclions continues [OaicÏKnié... 
Mémoires savants de l' Académie de Saint-Pétersbourg, t. IX). Du reste cela résulte aussi 
de ce que r,, x-,, jTj,... étant réels, et 6 [.r] conservant toujours le inéuie signe, noli-e 
problème a toujours une solution, quel que soit /;;, car cela suppose d'après le n" (jue 
dans la série ij/i [x), ij/j (.r),..., il y aura toujours un dénominateur du degré /;; , et 
que par conséquent il s'y trouvera des dénominateurs de tous les degrés, ce qui n'est 
possible que quand la fraction continue dont il s'agit a la foime que nous venons 
d'indiquer. 



38 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

d'oii nous tirons 

Ainsi l'expression trouvée ci-dessus |)Gur le flicteur ',y„ se réduit à la 
suivante : 

o.„ = (-,)"- E (A„.r + B„);^:^MlMk{ii). 

('.etff formule peut s'écrire ainsi : 

I '- 

X 

Le terme placé sous le signe E est du degré zéro ; donc, en faisant 
,r = x; , nous aurons sa partie entière, et nous trouverons ainsi : 

En calculant d'après cette formule les valeurs des flicteurs oj,, Wj,..., 
'•">m-\i "mi ^t 611 les mettant dans l'expression du polynôme^, nous 
obtiendrons la formule que voici : 

J = A, 2/(-^/) Q W ^, (.r,-).4;.(.r) - h.^f[.r^d{r,) ^,{x,).^,[x) + ... 

+ (- i)'"-- A„_, V y(j^.)$ [ce,) (j/„,_, (x^O-tm-i (•';■) 

+ (- i)'"-' A,„2/(-^,) 5 {Xi) y,„ (x,-).4',«(^"- 

C'est ainsi que l'on détermine le polynôme Ju degré m — i qui rend 
maximum ou minimum la somme ^ - [r, — /(^()]^ ^ (-^i), étendue 
aux valeurs réelles de ij; = a.-,, a'j , x,,..., et dont le facteur {x) ne 
change pas de signe. Cette formule sert pour l'interpolation parabo- 
lique, d'après la méthode des moindres carrés, quand il n'existe aucune 
conflition particulière relative à ses coefficients. 

10 Passons maintenant au cas où, dans le polynôme cherché 

jr = A„ ~V A, .X -r- ... + A,„.,, .r'"-', 



PURES ET APPLIQUÉES. 39 

le coefficient de x', où / est un des nombres o, 1, 2,. ., m ~~ i , est 
supposé donné. 

La condition que le coefficient de x', dans le polynôme j, doit être 
égal à un nombre donné, peut èlre exprimée par l'égalité 

2<ï',(.r,r,jr', r", ■■) = «,, 

pomvu toutefois qu'on n'étende celte somme qu'à la seule valeur de 
la variable .T, .r = o, et que la fonction $, (:r, 7, j', 7",...) se réduise 

à un seul terme r' = '—^- Dans ce cas, d'après la notation du n" 5, 

•^ a.v' ' 

nous aurons 

...' (^\ 
(p, [oc) = X et 



(■'■) 



et toutes les dérivées partielles de <I>| [x, y, j', j",...) = /', prises par 
rapport à j', /', y",j'"', seront zéro, excepté la seule dérivée j', cpii 
sera égale à 1 . 

Supposant, con)me ci-devant, que la somme cju'on se pro|)ose de 

rendre un maximum ou un minimum est '^-[j' — J {•''c)]' [x], et 

qu'elle s'étend aux valeurs de la variable x, telles que x,, x^, x^, .., 
nous aurons, en conservant la notation du n° o, 

^h^'-,^=^[j--J\^r)]e{x), 







d<î>a 






Wo 








0, 


Po 




dy" 




0, 



et 



[x - x^)[x — Xi)[x — x^)...=. f,,{x] 



Avec ces valeurs des fonctions Mo, Ng, Po,---? ?o(-5i) <"' fil-^ji '"' 
ayant en vue la remarque que nous venons de faire sur les dérivées 



4o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

|3ai'lielles de la fonction $, [x,, y, >', j",..,) =/', prises par rapport 
à j^, }■', y",..., j',..., le polynôme cherché sera déterminé, d'après 
le n" 5, par la condition suivante : 

L expression . , ^° H — ir —n- doit se réduire a une 

fonction entière avec une approximation poussée jusqu'au terme x~'" 
inclusix'ement. 

Comme cette expression, après la diffèrentiation et la multiplication 
indiquées, se réduit à la différence 

rti^r]^{.r) ["/(.r)9(.r)y'„(x) 



?»(^) 



J 



[ /(■'•) 9 (.r)y'„(x) _ 1.3. . ■/>, -[ 



pour déterminer le polynôme y nous devons, conformément à ce qui a 

été dit au n" 7, développer en fraction continue l'expression — °° '' • 

En nous bornant à examiner le cas où toutes les valeurs de jr,, X2, JC",,-.. 
sont réelles, et où la fonction 6 [x] ne change pas de signe, nous 
aiu'ons, d'après ce qui a été dit dans le numéro précédent, 

9 (■'•) % (■'•) ^ L 



^"'"^ A,x+B, + 



Aj.r 



où A,, B,, Aj, B2, •., sont des constantes. Ce développement de la 

1- . 9 (.r) o ix] , I ■ 1 1 ■ • 1 ■ 

fonction — — -^, — nous donnera la suite de dénominateurs des re- 






luites 'i^,[x), (];2(x),..., ^,„_, (JJ), '|,„(x), ']>,„+, (.r),..., qui seront de 
degré o, i, 2,..., /h — 2, w — i, »i, — 

Comme le dernier dénominateur de degré inférieur à m est ij^m {^^)-, 
pl comme celui qui le suit immédiatement, <i^m+\ ip^)-, ^st de degré ni + i, 
le polynôme cherché j = A„ -1- A, j:-r-...+ fo,„_, a;'""', d'après le n" 8, 
s'exprimera par 

j — w, 'I, (x) -t- w. ^{^.(jr) H-...+ w,„_, ij^,„_, (jt) + ^),„(|;,„(j: ),,... 

Mais comme dans le cas que nous examinons 

ry, = A,.r+R,, 7, = Aj.r + B^,-., Qi ^ ^'i (•^). Q. = '\>.{x),.... 



PURES ET APPLIQUEES. 4> 

el 

/(.r)9(.r)y'.(^) i.a.../)., 

" = • — ?4:f) P^T-' 

nous aurons, d'après le n° 7, pour déterminer les facteurs w,, w, ,..., 
w,„_,, 'jj,„, la formule que voici : 

ce qui peut élre écrit ainsi : 

.,„_(-.) E(A„a- + B„)[^ ^-^^ t. ^-j^^ J 

Mais, d'après ce qui a été établi dans le numéro précédent, l'expres- 
siou E ( A„ j: -h B„) ^ , V — E -^ ^ ^ \ V°^ ^ se réduit a 

et la fonction <])„ [x], développée par la série de Maclaurin, nous donne 

J,„(X| _ ^,.(0) 1 ^'„(0) I ■^njO) 

J.I+. x'+' I JC' 1.2.../ .C 

par conséquent 

'^ :r'+' I.2.../(/-M) T" l"i ^ 1.2... (/ + ,)(/ +2)?'- i,";-*----» 

et la diilerence , — L ■ ' se réduit a la série 



1.2.../X I.2...(/ — l).r' 

Toraï Xlll ; i' térie). — Jvsvisr i86S. 



42 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

En multipliant cette expression par A„ x + B„ et en rejetant dans ce 

.A„yjo) rB„,î,'„(o) A„4,;,-'(o) -| , 
produit — - — r + — 7 H ^-7-; r - + .. , les termes ou ia 

^ 1.2./ Li.2.../ I.2...(/— l)J.r 

variable x a des exposants négatifs, nous aurons pour la valeur de 

E(A„x-(- B„) ^^^-^ E ,^', l'expression " • Par conséquent 

la formule qui sert à déterminer w„ se réduit à 

Ayant déterminé d'après celte formule les valeurs des facteurs w,, ojji 
«3,..., w,„_i, &j,„ et les ayant mises dans l'expression du polynôme 
cherché j = "j, ij>, (x) + Wj (|>2(-^) + ••• + w„_, (]/,„_, (.r) -h w,„ •!;,„ (jr-j, 
nous verrons qu'il se réduit à 

J- = A, [2/(^.-)5(.r,) ^, (X,.) - X.f.(o)] ^. (0.) 

+ (-!)'"-< A,„ [y^Ji-r,] e (x,) :,„(.r,) - >., 4.;„ (o)] ^,„ (x), 

où X, est une constante inconnue qui, dans notre cas, sera déterminée 
par la condition que le coefficient de x' doit avoir une valeur donnée. 
On trouvera aussi de la même manière l'expression du polynôme^, 
dans le cas où plusieurs de ses coefficients sont donnés, et les autres 
sont déterminés par la condition de rendre maximum ou minimum 

la somme 2- [j" ~J{^')Y ^ (•^)> étendue à des valeurs données de 

la variable x. 



PURES ET APPLIQUÉES. 43 



MExMOIRK SUR UNE MACHINE SOUFFLANTE, 

UN TRAVAIL INÉDIT SUR LE MÊME SUJET ; 
Par m. Anatole DE CALIGNY. 



J'ai présenté à I Académie desSciences, le g décembre i844, un Mé- 
moire inédit, conservé au Secrétariat de cette Académie, il est enre- 
gistré sons le n° 377. Je vais en donner la copie même en y laissant 
quelques détails secondaires qui ont un peu vieilli, et sur lesquels je 
reviendrai plus loin, mais que j'ai cru devoir conserver surtout pour le 
cas où il y aurait une question de priorité. On verra d'ailleurs que ces 
détails ne sont pas inutiles et combien ils font ressortir la nouveaulr du 
résultat définitif. 

n Les machines soufflantes unies par des chutes d'eau ayant divers 
inconvénients, j'ai été invité à m'occuper plus spécialement de ce pro- 
blème. Le résultat suivant auquel je suis parvenu est assez simple pour 
pouvoir être expliqué même sans la figure, que l'on trouvera plus loin [*j. 

» Étant donné un tuyau de conduite dont une des extrémités part 
d'un réservoir contenant les eaux motrices, l'autre se relevant verti- 
calement, je suppose que l'eau sort à gueule-bée par cette dernière ex- 
trémité jusqu'à ce qu'elle y soit parvenue à une vitesse convenable, si 
à cette époque une vanne cylindrique est soulevée de manière à éta- 
blir la communication entre ce tuyau et un tuyau vertical supérieur. 



[*J Cette figure n'est pas indispensable à cause des simplifications résultant de phé- 
nomènes nouveaux trouvés depuis la rédaction de ce Mémoire inédit. 

6 . 



44 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

l'eau ne pouvant plus s'échapper latéralement s'élancera dans ce der- 
nier, que je suppose avoir vers son sommet deux systèmes de clapets 
à air, dont un a pour but de permettre l'introduction de l'air dans 
un réservoir latéral. Cet air sera comprimé dans le réservoir dont il 
s'agit et d'où il partira en temps convenable pour produire l'effet indus- 
triel voulu. La colonne liquide redescendra ensuite au-dessous de la 
vanne, en vertu de la hauteur acquise dans le tuyau vertical et de la 
détente de l'air qui reste à son sommet. Le second système de sou- 
papes à air a pour but d'empêcher la production du vide à l'époque 
de la détente. Quand le mouvement de descente est éteint, et que la 
vanne est redescendue, le jeu recommence ainsi de suite indéfiniment. 

» Il n'est pas nécessaire d'employer une vanne frottante, il est même 
plus simple d'employer la soupape cylindrique a double siège, dite de 
Cornwall, qui, étant liée à un flotteur ou à un contre-poids d'une ma- 
nière quelconque, sera soulevée par la percussion de l'eau, quand 
celle-ci partie du repos aura acquis la vitesse suffisante, et retombera 
par son propre poids, quand la colonne liquide l'abandonnera à elle- 
même en redescendant. 

» Quand l'eau sort à gueule-bée, elle n'est point arrêtée dans sa 
coiu'se par cette soupape qui coupe seulement le rt-bord extérieur du 
champignon liquide. Lorsque cette opération se fait, il faut seulement 
que les filets se relèvent et prennent à leur sommet la même vitesse qu'à 
la sortie immédiate du tuyau. Mais par la raison même que le mouve- 
ment de la soupape ou vanne se fait de bas en haut et ne peut d'ailleurs 
être rigoureusement instantané, la percussion qui en résulte dans le 
liquide n'a rien de brusque, d'autant plus que selon un principe de 
M. Poncelet, il y a ime différence capitale dans l'importance de la per- 
cussion considérée comme effet destructif entre le choc d'une grande 
masse contre une petite, et cehii d'une petite masse contre une grande. 
Or, précisément dans le cas dont il s'agit, une assez longue colonne 
n'a qu'à augmenter un peu les vitesses d'une masse très-petite par rap- 
port à elle, et qui n'est qu'un simple bouillon de sortie, de sorte que, 
selon ce principe, il ne peut en résulter qu'un choc insignifiant. 

» Il n'y a pas non plus de percussion brusque de la soupape sur 
sou siège, quand elle se ferme; d'abord, parce qu'elle porte un cône 
annulaire, qui entre dans un cône annulaire fixe d'où il chasse l'eau. 



PURES ET APPLIQUÉES. 45 

Or, on sait que les cônes rentrant ainsi l'un dans l'autre sont Irés- 
iisités en Amérique pour amortir parfaitement les chocs, et leurdispo* 
sition sera d'autant plus facile à établir ici (|ue, les tuyaux étant assez 
gros, la soupape ou vanne cylindrique n'aura pas à parcourir un che- 
min assez petit pour qu'il en résidte sous ce rapport quelque difficulté 
d'exécution [*]. 

» Mais ce moyen, n'étant pas le seul qu'on puisse employer, 
je profiterai de cette occasion jjour proposer d'une manière plus 
générale, que je ne l'ai fait autre part, un nouveau modérateur hydrau- 
lique. 

« Étant données des pièces solides quelconques en mouvement, si 
l'on pouvait y appliquer des forces iuunatérielles vers l'époque où l'on 
veut qu'elles s';urètent, le |)roblème d'un modérateur serait résolu. 
Or, c'est précisément ce qui arrivera si, quand ces j)ièces partent du 
repos, elles enlèvent sans plus de choc entre elles qu'il n'y en a dans la 
machine d'Atwood, un flotteur d'une densité analogue à celle de l'eau. 
I/ineitie du système sera surmontée pendant le mouvement et le 
poids du flotteur n'agira qu'à l'époque où il sortira de l'eau, précisé- 
ment comme le ferait une force immatérielle. Les pièces de la ma- 
chine quelconque en mouvement seront donc graduellement arrêtées 
par pression et non par percussion. On peut même observer que 
la loi selon laquelle elles s'arrêtent est déterminée parla forme du flot- 
leur qui s'émerge. Si, comme dans le cas dont il s'agit, on ne veut pas 
que la pièce arrêtée revienne immédiatement sur ses pas, condition qui 
peut d'ailleurs ici être assurée par la forme de la soupape de Cornwall 
sous laquelle agira la pression de la colonne ascendante dans le tuyau 
vertical, il suffit que le flotteur ayant ce but particulier se décroche 
et retombe à sa place en vertu de l'excédant de sa densité sur celle de 
l'eau. Il sera accroché à la période suivante quand la pièce dont il 
s'agit arrivera elle-même au repos en descendant, et ainsi de suite in- 
définiment. 



[*] " Il est à peine nécessaire de remarquer qu'en retombant d'elle-nièine la soupape 
convenablement équilibrée n'aura que îles vitesses analo^^ues à celles de la colonne 
descendante, h répo(]ue où son mou\tincnt s'éteint. On sait d'ailleurs ce que c'est 
(ju'une soupape qui retombe sur son sii l^o. • 



46 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

» Je reviens maintenant plus particulièrement à la machine souf- 
flante, en m'altachant plutôt à faire bien comprendre son principe qu'à 
décrire des détails secondaires qu'il suffisait d'indiquer. 

)) Quand on n'aura besoin de comprimer l'air que sons des pressions 
médiocres, analogues par exemple à celle d'une hauteur d'eau d'un 
mètre, la colonne liquide n'éteindra son mouvement qu'en parcourant 
un chemin qui sera loin d'être très-petit. De ce côté, il n'y aura donc 
pas non plus de choc brusque, le mouvement s'éteindra, il est vrai, 
plus tôt que si la colonne n'avait point à faire un travail utile, mais les 
choses se passeront évidemment d'une manière qui aura bien moins 
d'analogie avec une percussion qu'avec ce qui se présenterait, si la co- 
lonne était transportée sur une autre planète où la pesanteur serait 
plus grande que sur la terre. Il m'a semblé que cette dernière idée 
offrait le moyen le plus sensible de faire voir que par le mode d'action 
particulier de la résistance d'un long matelas d'air qui, dans les ma- 
chines soufflantes ordinaires, ne sera comprimé que sous des pressions 
peu élevées, le mouvement s'éteindrait aussi graduellement qu'on peut 
le désirer, conformément aux vrais principes de la mécanique indus- 
trielle. La compression du matelas d'air ne parvient point d'ailleurs 
instantanément à son maximum. 

» La quantité de travail utilement produit, plus le travail disponible 
qui reste après l'action utile, afin que la colonne liquide en redescen- 
dant puisse abandonner la soupape annulaire, dépend, si le tuyau ho- 
rizontal est assez long en amont de cette soupape, du temps pendant 
lequel l'écoulement extérieur durera. Pour s'en rendre compte, il 
suffit de remarquer que, si ce tuyau est assez long, la force vive 
emmagasinée dans son intérieur pourra être, si l'on veut, bien plus 
grande que celle qui serait suffisante pour faire verser l'eau à des hau- 
teurs bien plus considérables que celles de la chute motrice, si le 
tuyau vertical était sans soupape à air et indéfiniment prolongé; d'où 
il résulte que l'on aurait bien plus de force qu'il n'en faudrait pour 
que le niveau redesendît plus bas que la soupape annulaire. 

» Au reste, pour ne laisser aucun doute sur ce point particulier, j'ai 
construit im petit modèle fonctionnant d'un appareil de ce genre; 
connue il avait simplement pour but d'établir la possibilité de son jeu, 
étant indéfiniment abandonné à lui-même, il n'était d'ailleurs employé 



PURES ET APPLIQUÉES. 4? 

qu'à souffler alternativement de l'air, ou à verser de l'eau par le som- 
met de son tuyau vertical. 

,, Ou pourrait craindre au premier aperçu qu'il n y eut po.u- des 
pressious un peu plus fortes des vibrations dans la colonne d'au-. Je 
ferai remarquer à ce sujet que le phénomène se présente d'une manière 
,rop graduelle pour que ces craintes puissent être bien sérieuses. 
Quand le matelas d'air est comprimé, et qu'il pousse une partie de son 
fluide dans un réservoir d'air cylindrique d'un diamètre analogue au 
sien et d'une longueur suffisante, où la compression ne sera pas généra- 
lement trop différente de celle de l'atmosphère, il est naturel de penser 
que la sortie de l'air du tuyau vertical dans ce cylindre comprime sous 
un excès de pression, qui n'est pas très-considérable, présentera des 
phénomènes qui ne seront pas sans analogie avec ceux de la sortie de 
l'air poussé par un tuyau dans l'atmosphère, puisque dans ce dernier 
milieu la pression naturelle est elle-même considérable. Or voici 
comment j'ai étudié ce dernier phénomène. 

,. Étant donné un tuyau d'environ o°',o5 de diamètre, et de Z,™ de 
long, dont les deux extrémités étaient ouvertes, je bouchais avec la 
main une de ces extrémités, et je l'enfonçais par l'autre à diverses 
profondeurs dans ie bassin Saint-Victor. Le tuyau, étant ensuite su- 
bitement débouché par le sommet, l'eau du bassin s'y élançait en 
vertu des lois de l'oscillation, et je suivais de l'œil avec une antre per- 
sonne le mouvement des poussières adhérentes au tuyau avant qu il 
fût enfoncé, et qui étaient chassées par le mouvement de la colonne 
liquide. Il était naturel de penser que le mouvement de ces poussières 
pourrait indiquer s'il y avait des vibrations intérieures capables d'ab- 
sorber des quantités notables de force vive dans la colonne d'air. Or, 
on voyait très-distinctement les poussières chassées dans le même sens 
que l'eau, tant que celle ci montait, sans revenirsur leurs pas,et de plus, 
h colonne d'air ne s'éparpillait pas immédiatement à sa sortie du 
tuvau, mais conservait jusqu'à une certaine distance la forme cyliu- 
dnque d'une manière bien tranchée. Je pense donc que la colonne 
d'air sera chassée sans vibrations trop importantes dans l'appareil que 
je propose, s'il a un assez grand diamètre pour que celui du r.servo.r 
d'air ne soit pas trop différent du sien, ou ne s'élargisse que d'une ma- 
nière assez graduelle. 



48 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

» Quant à l'expérience dont je viens de parler, il est à peine néces- 
saire d'ajouter que je ne considérais pas ce qui se passe au moment où 
j'ouvrais le sommet du tube, et où il se présentait une petite explosion 
pendant un temps trop court pour qu'elle pût être facilement observée. 

» Dans les machines soufflantes dont il s'agit ici, le volume de l'air 
chassé à chaque période dans le réservoir sera toujours un peu moindre 
que celui du tuyau vertical, qui peut d'ailleurs être élargi. On peut va- 
rier les effets, soit en laissant la colonne liquide monter plus haut 
pour ne redescendre guère par son propre poids, soit en Uinitant la 
hauteur de son ascension et conservant à son sommet de l'air com- 
primé, qui agira comme nous l'ai'ons dit par sa détente. Cela peut dé- 
pendre du genre d'effets qu'on aura à produire, et je ne crois pas de- 
voir encore entrer dans ces détails [*]. J'ajouterai seulement ici, d'après 
mes expériences sur la durée des oscillations des colonnes liquides et sur 
les diverses machines de ce genre que j'ai essayées, que les périodes 
se succéderont dans les deux cas assez rapidement pour que, sans dé- 
passer des dimensions exécutables, ces appareils puissent fournir le vo- 
lume d'air suffisant pour les exploitations qui se présentent le plus 
fréquemment. Il n'est pas indispensable de répéter sur ces durées ce 
que j'ai dit dans mes précédents Mémoires, et il est d'ailleurs évident 
qu'elles pourront encore être diminuées par la résistance de l'air qui 
se comprime, puisque plus une pression moyenne est grande, moins 
elle est de temps à engendrer une quantité de mouvement donnée et 
vice versa. 

» On ne peut se dissimuler que l'air sera un peu mouillé par la co- 
lonne liquide, mais on remédiera en grande partie à cet inconvénient 
au moyen d'un disque flotteur, alternativement soulevé par la colonne 
liquide, et qui, à cause de sa petite masse, pourra évidemment être 
disposé de manière à ne pas offrir d'inconvénients sérieux. 

» Il me reste à dire quelque chose de la manière dont l'eau se dégorge 
à sa sortie de la soupape annulaire. Il faut dans toutes les machines 



[*] t En générai, on sera toujours plus sûr de ne pas se tromper dans ses calculs, 
quand on évitera de trop compter sur la détente, quand 1 air atmosphérique doit 
rentrer à une époque donnée, parce que cette détente occasionnera des différences dans 
la densité de la masse fluide soumise à ce phénomène. • 



PURES ET APPLIQUÉES. 49 

Iivdraiiliqnes une certaine partie de chute pour se débarrasser de l'eau 
motrice, par la raison même qu'elle ne doit s'échapper qu'avec de pe- 
tites vitesses, ce qui occasionnera nécessairement des intumescences. 
C'est ce genre de perte de force vive qui était l'objet spécial de mon der- 
nier Mémoire. (Il s'agissait d'un Mémoire sur les ondes présenté en 1844.) 
Je ne crois donc |)as nécessaire de m'étendre aujourd'hui sur ce sujet. 
Je remarquerai seulement que plus la profondeur de l'eau dans le 
bief inférieur sera grande, plus la section de chasse sera grande, et 
plus, par conséquent, les vitesses seront petites dans cette décharge, ce 
qui diminuera l'importance des ondes. 

Concltisions . 

» La machine soufflante dont je viens de donner une idée succincte 
n'éprouvant nécessairement aucune percussion brusque un peu no- 
table, et pouvant être, par conséquent, exécutée dans de grandes di- 
mensions, il résulte de mes diverses expériences sur les colonnes li- 
quides oscillantes d'un grand diamètre que le travail en résistances pas- 
sives sera peu de chose par rapport au travail moteur. 11 est de plus 
essentiel d'observer qu il n'y aura qu'un seul déchet total à considérer, 
tandis qu'il y en aurait deux, si une machine soufflante quelconque, 
telle, parexem|)le, qu'un ventilateur, était mue par une première ma- 
chine telle qu'iuie roue, de sorte que l'effet utile définitif ne serait que 
le produit de deux fractions. 

» Il est à peine nécessaire d'ajouter qu'il sera bon de construire deux 
machines, afin que la densité de l'air soit plus constante dans le ré- 
servoir. 

» Ce système substitue des colonnes liquides aux pistons soufflants. 

» ... 11 est d'ailleurs à remarquer que les moyens à enqjloyer pour 
fermer la soupape ont bien moins d'importance qu'on n'est porté à le 
croire au premier aperçu. Quand même on serait dans la pratique 
obligé de la faire fonctionner au moyeu d'iuie cataracte ou de tout 
autre système analogue, la quantité d'eau que cela ferait débiter sans 
utilité directe pour le travail serait très-peu de chose par rapport aux 
masses d'eau débitées par le tuyau, supposé toujours d'un grand dia- 
mètre. C'était même de cette manière que j'avais d'abord fait le cal- 
Toma XIII (î" série). — Février 1868. 7 



5o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

cul, quand je discutai pour la première fois cette invention avec plu- 
sieurs ingénieurs civils. 

>) Je n'entre pas ici dans le détail des proportions de l'appareil ; cela 
n'offrirait rien de bien nouveau, après ce que j'ai développé sur les oscil- 
lations de ces grandes colonnes dans mes précédents Mémoires. Mon 
but, en ce moment, est de bien faire connaître les discussions sur les 
dimensions des diverses parties, lorsque ce sujet aura été mieux éclairci, 
quant à ses détails secondaires, par des expériences assez en grand. 

» Il est à peine nécessaire d'ajouter que, si l'on emploie une cata- 
racte, il n'y a point à s'embarrasser du retour de la colonne jusqu'à la 
soupape, quand les circonstances permettront de donner au tuyau 
horizontal une assez grande longueur, et que, par suite, ou débitera 
une quantité d'eau considérable par rapport au volume du tuyau 
d'ascension, on pourra simplifier et accélérer le jeu de cette période 
en vidant tout simplement ce tuyau, dont l'eau tombera dans le bief 
inférieur étant suivie par l'air des clapets. » 

La figure ne devant pas être reproduite dans ce journal, où il ne s'a- 
git que d'exposer le principe, on ne donne pas non plus la légende, 
conservant ces détails pour des recueils spéciaux. Il est d'ailleurs es- 
sentiel de ne reproduire que textueWement, et sans niiciine modification, 
ce qui est relatif à ce manuscrit déjà ancien, parce que je m'appuierais 
sur son texte dans le cas où il y aurait une question de priorité. 



Réflexions sur ce Mémoire inédit, simplifications résultant des phéno- 
mènes nouveaux décrits dans le tome VII, 2* série, utilité de ces 
détails inédits pour V industrie et pour l'histoire de l'hydraulique. 

J'ai trouvé des phénomènes qui permettent de simplifier le jeu de la 
vanne cylindrique ou soupape de Cornwall, sans employer la percus- 
sion de l'eau, de sorte que le système diffère encore plus du bélier 
hydraulique. Ces phénomènes ont été exposés dans un Mémoire que 
j'ai publié dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées , 
année 18G2, t. VII, 2^ série, p. 1G9 à 200, à la fin duquel j'ai dit 
quelques mots de cette machine soufflante. 



PURES ET APPLIQUÉES. 5i 

Le Mémoire inéilit (jiie je viens de transcrire m'a paru Ires-utile, 
uiême encore aujourd'hui, pour l)icn iDontrer le développement de 
l'idée fondamentale, abstraction faite des moyens les plus simples de 
fiire foiictiouiier la vanne cylindrique ou la soupape de Cornvvall. 

Quoique je n'aie pas reproduit la figure, parcequ'il y a peu de figures 
de ce genre dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées, j'ai 
cru devoir reproduire tout le manuscrit, sauf ce qui est relatif à la lé- 
gende, sans chercher à dissimuler quelques légers défauts de rédaction 
ou de (létaU, qui même font aujourd'hui mieux ressortir encore tout 
l'avantage pratique des phénomènes nouveaux de succion que j'ai 
trouvés depuis la présentation de ce Mémoire, et sur lesquels j'ai fait 
des expériences très.en grand, dont j'ai parlé dans mes Mémoires pré- 
cédents, notamment dans celui de 1862 et dans celui qui a pour objet 
un de mes systèmes d'écluses de navigation. Une addition à ce dernier 
Mémoire est spécialement consacrée aux phénomènes dont il s'agit; je 
parle aussi d'un phénomène différent, qui peut être appliqué quand on 
veut à un soulèvement, dans ma Note sur des machines pour les épui- 
sements, publiée aussi dans le tome XI, 2*^ série. 

Des Extraits du manuscrit que je viens de transcrire ont été publiés 
dans le volume de l'Académie des Sciences de Turin pour l'année 1869, 
dans mon Mémoire intitulé : Notice historique et critique sur les ma- 
chines à compression d'air du Mont-Cenis. 

Deux pages d'extrait officiel, publiées par M. Arago dans les Comptes 
rendus de l'Académie des Sciences de V Institut de France, avaient été 
réproduites dans la Renie universelle de Liège, année 1859, cahier de 
iiKu-s et avril, par M. de Cuyper, professeur de Mécanique à l'Université 
de Liège, inspecteur des études à l'École des Mines de Belgique, etc., 
dans un Mémoire où il défend mes droits de priorité aux compresseurs 
a colonnes liquides oscillantes fonctionnant sur le versant italien du 
Mont-Cenis. 

Comme je parlerai dans un autre Mémoire des compresseurs à co- 
lonnes oscillantes du tunnel des Alpes, il est essentiel de remarquer, 
pour éviter tout malentendu, qu'il ne s'agit que des machines souf- 
flantes dans le Mémoire manuscrit que je viens de transcrire. Je re- 
viendrai dans un autre Mémoire sur les compresseurs proprement dits, 
ayant le premier exposé deux principes bien distincts. Dans l'un, la 



52 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

force vive s'emmagasine comme pour le bélier hydraulique par un 
écoulement à l'extérieur; dans l'autre, elle s'emmagasine seulement à 
l'intérieur du système. Mais dans l'un et l'autre cas une colonne li- 
(juide est substituée aux pistons qui comprimaient l'air au moyen des 
anciennes machines. 11 est vrai que l'air était comprimé dans la machine 
de Scheinnitz, mais on n'y employait pas sensiblement la force vive de 
la colonne liquide. 

Ce qui précède m'a paru d'ailleurs très-utile pour éclairer plus spécia- 
lement, et abstraction faite de toute question de priorité, les vrais prin- 
cipes du système considéré au point de vue des machines soufflantes. 

On y voit d'ailleurs comment, même avant des expériences directes, 
j'avais pu rassurer sur le genre de perte de force vive, qui, au premier 
aperçu, semblait pouvoir résulter de la possibilité de mouvements in- 
térieurs dans la colonne d'air comprimé. 

Quant au inodéraleur hydraulique décrit dans ce Mémoire, je n'y 
vois plus aujourd'hui d'application directe au jeu de ces grandes vannes 
cylindriques ou soupapes de Cornvvall, excepté peut-être pour des 
pièces de dimensions énormes. Mais en général l'expérience a montré 
qu'elles étaient faciles à manœuvrer, même sans cataracte , au moyen 
de divers phénomènes de succion, que j'ai trouvés depuis. Cependant 
il est intéressant de conserver la trace de ce modérateur, non-seule- 
ment à cause des applications qu'd pourra avoir dans l'industrie, 
mais à cause du principe, qui est d'ailleurs celui d'une des poujpes à 
flotteur décrites dans une de mes Notes publiée dans le Journal de 
Mathématiques pures et appliquées, t. XII, a^ série. 

On peut voir, dans mon Mémoire précité de 1862, conmienl les es- 
pèces de vannes cylindriques ou de soupapes de Cornwall, dont il 
s'agit pour les machines soufflantes, peuvent fonctionner, étant alter- 
nativement attirées de haut en bas par de puissants phénomènes de 
succion. Il ne paraît pas, d'après mes expériences très en grand, qu'il 
fût bien utile de les fermer en les levant, selon ce qui a été exposé dans 
le Mémoire inédit d'après un conseil qui m'avait été donné. 



PURES ET APPLIQUÉES. 53 

Détails inédits sur une expérience de Montgolfier mentionnée 
dans le Journal de l'École Polytechnique. 

Longtemps après avoir trouvé les principes précédents, j'ai pensé 
qu'il pourrait être utile d'essayer de recueillir tout ce que Montgolfier 
aurait pu avoir dit, même verbalement, sur la possibilité de se servir du 
bélier hydraulique pour obtenir une machine soufflante ou à compri- 
mer de l'air. Je me suis donc adressé directement à M. Seguin, Membre 
correspondant de l'Institut, neveu de Montgolfier. 

Dans une lettre qu'il m'a fait l'honneur de m'écrire le aS janvier 1860, 
il s'est exprimé ainsi relativement à cette question. « — Je puis vous 
» dire, je crois en pleine connaissance de cause, que la seule et unique 
» idée de mon oncle Montgolfier en inventant le bélier hydraulique, 
» a été de donner aux arts et à l'agriculture un moyen d'employer di- 
" rectement, et le plus efficacement possible, la force développée par 
» la chute de l'eau, à l'élévation d'une partie de cette même eau à des 
» hauteurs indéfinies. 

» Le bélier hydraulique ne fut pour mon oncle qu'une application 
» partielle d'un principe que lui avait révélé son vaste et immense 
» génie, savoir que le mouvement a une existence aussi réelle que la 
» matière, qu'il ne peut être ni créé ni annihilé, et, qu'une fois produit, 
» il se perpétue indéfiniment jusqu'à ce que les causes qui lui avaient 
» donné naissance se reproduisent en sens inverse, de manière à ra- 
» mener les corps qu'il avait affectés d'abord, à l'état de repos. 

» J'ai vu dans des expériences faites vers l'année mil huit cent, rue des 
» Juifs, n° 18, au Marais, où mon oncle était logé alors, la tension du 
» réservoir d'air destiné à régulariser la pression sur la nappe d'eau, 
» qui communiquait au tuyau d'ascension, s'élever jusqu'à une jires- 
" sion représentée par quarante-deux atmosphères, ce qui evit suffi 
» pour élever l'eau à plus de quatre cents mètres de hauteur. Mais je 
>i ne lui ai jamais entendu dire qu'il eût eu l'intention de l'apphquer, 
» ni à des machines soufflantes, nia des machines de compression. 

» Je désire, Monsieur, que ces renseignements puissent remplir Tob- 
» jet que vous vous êtes proposé en me faisant l'honneur de vous 
« adresser à moi » 



54 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

La rue des Juifs étaut loin de tous les quartiers élevés de Paris, j'ai 
cru pouvoir en conclure que l'expérience mentionnée dans la lettre de 
M.Seguin, et dont Monigolfier avait dit lui-même quelques mots, 
dans le Journal de l'Ecole Poljtechnique, avril 1808, 14" cahier, 
p. 297, avait pour objet la compression de l'air dans une cloche, qui 
n'élevait pas d'eau. J'ai donc cru devoir demander à M. Seguin quel- 
ques explications à ce sujet. 

Il m'a fait l'honneur de m'envoyer un croquis de cet appareil dans 
une lettre du 27 octobre 1860. Il s'agissait d'un bélier hydraulique 
ordinaire, dont, en effel, on bouchait d'abord avec un robinet le 
tuyau d'ascension, quand on voulait expérimenter sur ces pressions 
élevées. La cloche était, me dit-il, en cristal ; elle pouvait avoir qua- 
rante à cinquante centimètres de hauteur, dix à douze centimètres de 
diamètre et un centimètre d'épaisseur. 

On faisait jouer le bélier jusqu'à ce qu'un manomètre disposé à l'in- 
térieur même de la cloche en cristal, servant de récipient, indiquât une 
pression de quarante atmosphères; et à mesure qu'on approchait de 
ce terme, on faisait éloigner les femmes et les enfants en prévenant les 
curieux du danger auquel ils s'exposaient en assistant à l'expérience. 
Les deux extrémités supérieure et inférieure de la cloche étaient re- 
tenues par deux plaques eu fer, qui la serraient fortement au moyen 
de boulons. 

D'après les détails qui précèdent, Montgolfier avait exécuté une ma- 
chine à comprimer de l'air, qui a fonctionné sans élever de l'eau. Mais 
il est certain que dans l'état ou était alors la science, il n'a point pensé 
à propo.ser une machine ayant pour but de comprimer ou de souffler 
de l'air sur une grande échelle, de manière, en vin mot, que le résultat 
pût être appliqué à Vindustrie, comme on l'entend aujourd'hui. 

Ce qui a complètement changé l'état de la question, c'est l'appli- 
cation que j'ai proposé des vannes cylindriques ou des soupajies de 
Cornwall aux machines hydrauliques de ce genre. 

J'ai montré le premier d'immenses colonnes liquides fonctionnant 
par ce moyen, même dans des enveloppes fragiles, sans aucun coup de 
bélier |)ossible, parce que les sections transversales ne sont jamais 
bouchées. Je suis d'ailleurs le premier qui pour ces grandes colonnes 



PURES ET APPLIQUÉES. 55 

liquides ait signalé le principe auquel j'ai donné le nom de principe des 
vitesses continues. 

Je reviendrai dans un autre Mémoire sur la forme du système ap- 
pliquée au tunnel des Alpes, c'est-à-dire sur l'idée que j'ai proposée 
aussi le premier de laisser la force vive de la colonne comprimante 
se développer seulement à l'intérieur du système. 



Considérations théoriques sur cet appareil. 

Depuis que ce qui précède est écrit, j'ai eu occasion de faire des ex- 
périences nouvelles sur l'appareil à tube oscillant considéré comme 
machine à élever de l'eau. 11 en est résulté des conséquences sur les 
proportions à donner à ce système considéré comme macliine soufflante. 

Il est intéressant d'ailleurs de faire remarquer qu'une partie de l'aug- 
mentation de l'effet utile obtenu dans ces dernières expériences pro- 
vient de ce que la rondelle en caoutchouc n'était pas clouée. Il n'était 
pas même nécessaire, dans les limites où elle a été employée, qu'elle 
fût encastrée. Elle montait et descendait librement entre le siège fixe 
et le tube mobile. Mais je reviendrai sur ce sujet dans un autre Mémoire. 

Je remarquerai seulement ici qu'il n'est pas nécessaire pour un bon 
effet utile d'élever autant d'eau à chaque période qu'on l'avait cru 
jusqu'à présent. J'ai repris l'étude de la question à ce point de vue au 
moyen du calcul différentiel. 

J'ai été conduit à une équation du troisième degré sur laquelle je 
donnerai ultérieurement des développements reposant sur l'étude des 
diverses parties des résistances passives. Il suffit de dire ici que, dés à 
présent, elle rend assez bien compte des proportions qui doivent être 
gardées entre It s quantités d'eau élevée et les dimensions de l'appareil, 
pour qu'il soit utile d'indiquer les considérations suivantes : 

Dans les machines soufflantes on ne comprime ordinairement l'air 
qu'à des tensions assez faibles. Il semble donc, au premier aperçu, 
qu'on a seulement à se préoccuper de voir si l'effet utile serait con- 
venable dans le cas où le travail recueilli à chaque période serait gé- 
néralement assez faible. 

C'est en effet ce qui se présentera relativement quand les chutes mo- 



n6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

trices atteindront certaines limites. Mais il est intéressant de remarquer 
que, pour les chutes motrices moindres, dans le cas par exemple où la 
tension de l'air doit être analogue à celle qui résulterait d'une pression 
hydrostatique d'un mètre de hauteur d'eau, si l'on comprimait toute la 
quantité d'air contenue dans le tuyau vertical entre le hief d'aval et le 
sommet de la chambre de compression, surtout si toute cette colonne 
devait être refoulée dans le récipient, on arriverait à recueillir une quan- 
tité de travail qui se trouverait être trop grande à chaque période pour 
un bon effet utile. On serait obligé de dépenser trop d'eau motrice à 
chaque période. 

Mais on peut obvier à cet inconvénient en ne comprimant qu'une 
j)artie de la colonne d'air dont il s'agit, ce qui est facile, si l'on permet 
à l'air de s'échapper à l'extérieur, pendant une partie de l'ascension de 
la colonne liquide, au moyen d'un orifice latéral, qui sera alternative- 
ment bouché par une soupape. Celle-ci pourra fonctionner d'une ma- 
nière analogue à ce qui s'est présenté dans un de mes premiers appa- 
reils à colonne liquide oscillante considérée d'abord comme élévatoire, 
que j'ai fait fonctionner à l'École des Mines en 1 887 , en présence d'une 
Commission de l'Institut, et que j'ai proposé depuis à la Société Phi- 
lomathique (voir le Bulletin du 8 août 1846) de transformer en ma- 
chine soufflante ou à compression d'air. MM. Combes et Séguier ont 
assisté en 1837 à cette expérience. 

Dans l'appareil que je rappelle, l'orifice latéral dont il s'agit était 
alternativement bouché par un flotteur faisant fonction de soupape al- 
ternativement soulevée par la colonne liquide ascendante. Ou conçoit 
que, si cet appareil est employé à comprimer de l'air, on peut disposer 
un orifice latéral analogue à la hauteur convenable pour que la colonne 
d'air restée au-dessus soit comprimée à la tension demandée, mais de 
manière que le travail employé à la compression de l'air pour chaque 
période soit réglé de façon à remplir les conditions nécessaires pour 
le maximum d'effet, ainsi que cela résulte des considérations théo- 
riques dont j'ai seulement dit quelques mois ci-dessus. Je les déve- 
lop[)erai ultérieurement par l'étude des phénomènes, qui d'ailleurs sont 
déjà assez connus poiu' qu'on puisse en apprécier convenablement l'in- 
fluence, et sur lesquels je vais donner provisoirement quelques détails 
nouveaux. 



PURES ET APPLIQUÉES. 57 

Les phénomènes de succion sur lesquels repose le jeu automatique 
de mon appareil à tube oscillant considéré comme machine à élever de 
l'eau au moyen d'une chute d'eau, objet d'un Mémoire publié dans ce 
Journal en 1862, t. YII, 2* série, sont beaucoup plus nouveaux et plus 
compliqués que ceux sur lesquels repose le jeu automatique de mon 
moteur hydraulique à flotteur oscillant, objet d'un Mémoire publié 
aussi dans ce Journal en 1847, *• ^^^' ''" série. 

Il paraissait d'abord en résulter que l'effet utile de cet appareil éléva- 
toire atteindrait difficilement celui de ce moteur. Mais les étu"des nou- 
velles que je viens de faire sur ce sujet changent l'état de la question, 
parce que l'incertitude sur le mode d'action du phénomène avait prin- 
cipalement pour objet ce qui se présente dans les grandes levées du tube 
oscillant. Or, il résulte de mes dernières expériences que les petites levées 
de ce tube sont souvent plus convenables qu'on ne pouvait l'espérer, 
parce qu'il n'est pas nécessaire d'élever à chaque période autant d'eau 
qu'on devait le croire au premier aperçu. 

Il était naturel de craindre une perte trop notable de force vive, si 
l'orifice, résidtant de la levée alternative de ce tube, était d'une assez 
petite section. Mais en définitive cette perte, provenant du degré de 
vitesse de sortie de l'eau, comme il faut luie vitesse donnée pour pro- 
duire la succion suffisante au jeu automatique, on conçoit déjà que, 
si l'on ne laisse pas la vitesse dépasser une certaine limite, la perte de 
force vive résultant de cette vitesse de sortie sera limitée par rapport à 
la chute; d'autant plus qu'il résulte d'expériences directes, que, pour 
les petites levées, une vitesse donnée occasionne une succion plus forte 
que pour les grandes levées d'un même tube mobile, toutes choses 
égales d'ailleurs. 

On conçoit donc déjà combien l'état de la question est changé par 
la possibilité de limiter plus qu'on ne le savait la quantité d'eau élevée 
à chaque période, puisque cela permet de diminuer la levée du tube 
mobile. Il en est ainsi, à plus forte raison, si, comme l'indique le ré- 
sultat obtenu par le calcul différentiel, il doit y avoir de l'avantage à 
diminuer ainsi cette quantité dans de justes proportions^ dont on a 
déjà une idée suffisante pour éclairer la pratique. 

Mais cette première conséquence étant obtenue, il est utile de rap- 
peler un phénomène qui permettra de mieux préciser encore l'état de 

Tumfi XIII (2* série). — Tëvrier i86S. O 



58 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

la question. En effet, si l'essentiel, quant à l'étranglement de sortie, 
paraît être en général de ménager par la levée du tube mobile une 
section analogue à celle du tuyau de conduite fixe, il est intéressant de 
remarquer, d'après des observations qtie tout le monde peut répéter 
facilement sur les décharges latérales des canaux qui amènent l'eau sur 
les roues hydrauliques des moulins dans beaucoup de localités du dé- 
partement de Seineet-Oise, qu'il se produit dans ces décharges latérales 
un phénomène de contraction de la veine liquide qui diminue beau- 
coup la véritable section d'écoulement. Cette diminution dépend de 
circonstances locales que je me propose d'étudier plus spécialement. 
Mais c'est surtout dans la seconde moitié de la section de l'orifice que 
se fait l'écoulement {voir le tome XV, i'^ série, de ce Journal). 

On peut provisoirement admettre qu'il est rationnel de diminuer de 
moitié la levée du tube mobile qui donnerait une section égale à celle 
du tuyau de conduite fixe. 

Les essais directs faits sur l'appareil ne sont pas contraires à cette 
prévision théorique. Quant à l'étude des très-grandes levées, je revien- 
drai sur ce sujet après de nouvelles expériences, parce qu'on s'est 
aperçu, en démontant l'appareil d'essai, que des causes d'étranglements 
considérables y avaient été introduites pendant mon absence, de sorte 
qu'il y aura lieu de recommencer toute cette nouvelle série d'expé- 
riences, même quant à l'appréciation de l'effet utile. Mais les résultats 
obtenus malgré cette circonstance changent notablement l'état de la 
question. 

Déjà l'effet utile en eau élevée paraît dépasser sensiblement soixante 
pour cent de la quantité de travail moteur dépensé, tandis que dans le 
Mémoire précité de 1862, je n'osais annoncer qu'un effet utile de cin- 
quante pour cent : on obtiendra probablement soixante-dix avec une 
construction plus soigiiée. 

Le Jury inlernalional de l'Exposition universelle de 1867 m'a dé- 
cerné une médaille d'argent surtout à l'occasion de ces nouvelles ex- 
périences. Il est |)eut-étre convenable d'attendre la publication du 
Rapport avant de rendre compte de tous les détails des expériences 
faites par la Commission, qui admet je crois, un effet utile moyen 
ayant peu différé de soixante pour cent. 



PURES ET APPLIQUÉES. 39 

SUR LA 

PROPAGATION ET LA POLARISATION DE LA LUMIÈRE 
DANS LES CRISTAUX; 

Par 31. Emile SARRAU, 

liJîîcnifiir des Mantifactures de l'État. 



SECOND MEMOIRE. 



Nous avons montré, dans un premier Mémoire inséré dans ce 
Journal, comment l'étude analytique des phénomènes lumineux 
dépend de trois fonctions symboliques à coefficients périodiques dont 
il importe de déterminer la forme essentielle pour réduire les équations 
auxiliaires. Ces fonctions, désignées par F, G, H dans le Mémoire précité, 
représentent les composantes de la force accélératrice appliquée à un 
point quelconque de l'éther : leur expression dépend nécessairement 
des idées admises sur la constitution de l'éther, et ce second Mémoire 
a pour objet l'examen des résultats qu'introduit une hypothèse 
particulière dont les conséquences paraissent conformes aux faits 
observés. 

Cette hypothèse est développée dans les Chapitres II et III. Elle 
revient à supposer que, dans les milieux matériels comme dans le vide, 
l'éther est isotrope et que la seule modification introduite p^r l'action 
de la matière pondérable consiste dans une altération périodique de 
la densité. 

Les Chapitres IV et V sont consacrés à l'étude des propriétés des 
ondes planes propagées par les cristaux des divers systèmes déduites 
des équations obtenues dans les Chapitres précédents. 

Nous avons cru utile de rappeler brièvement dans le premier Cha- 
pitre la méthode générale qui a été appliquée par Cauchy à l'étude 
des mouvements simples, afin de fixer les notations qui sont constam- 

8.. 



6o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

ment employées dans ce travail. Nous indiquons à cette occasion une 
règle fort simple pour déterminer les éléments d'une vibration ellip- 
tique. 

CHAPITRE PREMIER. 

RAPPEL DES PROPRIÉTÉS DES ONDES PLANES. — DÉTERMINATION UhS 
ÉLÉMENTS d'une ONDE POLARISÉE ELLIPTIQUEMENT. 

1. Soit en général nn système d'équations auxiliaires de la forme 

iDju = L,u-\- L2P+ Estv, 
D'f = M,^^ + M^v -+- Mjiv, 
Dn*'= ^,u-\- N2t'+ Njtv, 

les L, M, N étant des fonctions symboliques entières, à coefficients 
constants, de D.,, D^., D^ ; on a un système d'intégrales particulières, 
en posant 



, , ii _. ^ _ ^ _ „«^-l-/3j'-i--/î-cr< 

^^^ P ~ Q~ R ~ 



P, Q, R ; a, /3, 7, <7 étant des constantes, réelles ou imaginaires, satis- 
faisant aux équations 

/ 5=P = A,P + A.Q + A3R, 

(3) a-Q = B,P+ BoQ+ B3R, 
I 7-R = C,P + CjQ-t- C3R, 

où le.s A, B, C représentent les résultats obtenus en écrivant a, jS, y 
au lieu de D^;, D^, D^ dans les L, M, N des équations (i). En éliminant 
P, Q, R entre les équations (3) on a une équation caractéristique 

(4) F(«, /3, 7, a) = o. 

Enfin, on déduit des mêmes équations les rapports de deux des con- 
stantes P, Q, R à la troisième. 

îi. On sait que tout système d'intrégales des équations (i) s'obtient 



PURES ET APPLIQUÉES. 6i 

en combinant par addition un nombre fini ou infini d'intégrales simples 
de la forme (i). 11 est aisé d'en conclure que tout mouvement du 
système peut être considéré comme résultant de la composition d'un 
nombre fini ou infini de mouvements dans lesquels les déplacements 
sont les parties réelles d'un système d'intégrales simples. De la seule 
considération de ces mouvements simples, on peut déduire, comme l'a 
fait Cauchy, les propriétés générales des vibrations. 

5. Supposons les coordonnées rectangulaires, et soit généralement 

I a = rt' H- ai, !î = b' -h bi, -i =: c' -^ ci, o- = j' + si, 

(5) ' 

i V^pe'% Q^qe'^', R = ;e". 

Désignons de plus par p et p' les distances du point x, j, z aux plans 
ayant pour équations 

(6) aX + bY + cZ = o, 

(7) «'X + //Y -+- c'Z = o, 

il est aisé de voir que les déplacements du mouvement simple corres- 
pondant aux intégrales (2) sont 

!n '=z pe ^^ ~' ' cos{hp — st -i- 1], 
V = r/e'''p'-'''cos{hp - st + p.), 
w = re'' '' ■~'''cos(7^j5 — st + y), 



h et h' étant déterminés par les formules 

(9) ^^ = o» + 6- + cS 11- = a'- -^ b'- -^ c'- . 

Les formules (8) représentent un mouvement par otides planes pa- 
rallèles au plan fixe (6). Les valeurs absolues de^ et — donnent la 

' ' Il X 

longueur d'ondulation et la durée de la vibration. La vitesse de propa- 
gation des ondes planes est fournie par le rapport oj = j- Les quantités 
h'el s' sont àes coefficients d'extinction. Quand h' n'est pas nul, l'aiu- 



62 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

plitude des déplacements décroît en progression géométrique quand 
on s'éloigne d'un certain côté du plan représenté par l'équation (7). 
Quand s' est positif, le mouvement s'éteint pour des valeurs croissantes 
du temps; si /= o, l'amplitude est constante en chaque point et le 
mouvement est dit persistant. 

4. Nous ne considérons dans ce qui suit que des mouvements 
simples persistants : dans ce cas, on déduit aisément des formules (8) 
les deux équations 



(10) -sin(|j. — v) -f- -sin(v — X)+ — sin (X — fj.) = o, 

(■') (^)'--^7^-os(^-v)+(|)^=e-'">'sin^(/..-v), 

qui montrent que les trajectoires atomiques sont généralement ellip- 
tiques. Si A' = o toutes les ellipses sont égales ; si h' n'est pas nul, les 
points à égale distance du plan (7) ont des trajectoires égales. 

Les ellipses peuvent se réduire à des cercles ou à des drdites. Suivant 
les cas, la polarisation du mouvement simple est elliptique, circulaire 
ou rectiligne. 

5. Problème. — Déterminer la gra?ideur et la direction des axes 
principaux des trajectoires elliptiques dans un mouvement simple 
persistant. 

lies déplacements u, p, iv sont les parties réelles des valeurs (2) de 
M, V, TV, qui, en posant s' — oQthp—st^=(f, deviennent 

(12) f^=Pe*>'^'', i. = Qe'''^' + '", iv=Ue''>'+'"; 

par suite, en désignant par Po,Qo) Ro les imaginaires conjuguées de P, 
Q, R, on aura 

^u =e''>'(Pe5"+ PoC-'"), 

('3) l2^=e*>'(Qe^- + Q„e-^'), 

2Tv = e''''''(Ue^'+ RoC"^'). 



PUKES ET APPLIQUEES. 63 

A l'aide de ces valeurs, et en posant 

(i4) Me'^' = e'*'^'(P^ + Q^ -)-R--=), 

(i5) l^e'^'^'ip-' + q' + /■ = ), 

on trouve aisément que la distance c?, qui sépare un point quelconque 
de sa position d'équilibre, est déterminée par la formule 

(i6) 2c?^ = I -hMcos(29 + 5), 

de sorte que le maximum et le minimum de c? s'obtiennent en posant 
2<p + 6 =^ o et 2(p -h Ô ^ n, et se déduisent de la relation 

(17) 2c?^=IrhM. 

Pour le grand axe, on a ç) = , et les projections de demi-grand axe 

sont les parties réelles des valeurs correspondantes de u, i>, (v, qui sont, 
d'après les formules (12), 



6 



^'^^ u = Ve''''''e ~'\ i> = Qe''''''e ^ , iv=Re" . 
Pour le petit axe, on a 

22 

par suite, les projections du demi-petit axe sont les parties réelles de 

— i 
trois imaginaires obtenues en multipliant les précédentes par e^ := /, 

c'est-à-dire les coefficients des parties imaginaires des expressions (18). 

Les formules (17) et (18) ramènent la solution du problème à la 

détermination du module et de l'argument de la forme imaginaire 

A = P=H-Q2-^R^ 

Quand le mouvement se propage sans s'affaiblir, on ah'— o, et on 
déduit de ce qui précède le théorème suivant : 

Dans tout mouvement simple polarisé elliptiquement, représenté par 



64 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

les intégrales (2), les demi-axes principaux des trajectoires sont donnés 
par la j or mule c?^ = - (I ± M), dans laquelle I désigne l'intensité du 
mouvement vibratoire, et M le module de V expression 

k = P- + Q- + R=. 

De plus, les projections sur les trois axes coordonnés du demi-grand 
axe {et du demi-petit axe) sont représentées par les parties réelles [et 
les coefficients de i) des trois imaginaires que l'on obtient en multi- 
pliant les coTistantes P, Q, R par 

6. Polarisation circulaire. — Pour qu'un mouvement persistant 
soit polarisé circulairement, il faut et il suffit que les deux valeurs (17) 
de â soit égales, et, par suite, que M soit nul; on doit donc avoir 

p2+Q2+R2=o. 

7. Polarisation rectiligne. — Pour que la polarisation soit rectili- 
gne, il faut et il suffit que les valeurs des déplacements soient, quel que 
soit (jp, proportionnelles à des constantes réelles. Il faut donc que les 
rapports de deux des quantités P, Q, R à la troisième soient réels. 

8. Nous terminerons ce qui est relatif à la polarisation des mouve- 
ments simples par une remarque sur le sens dans lequel s'effectuent 
les vibrations non reclilignes. 

Nous appellerons direct le mouvement d'un point se mouvant sur 
les plans coordonnés de oj vers oz, de oz vers ox, ou de ox vers oj. 
Cela posé, si on considère un mouvement simple projeté sur le plan 
xoj^ les équations de ce mouvement seront 

u = pe '' cos {hp — si -j- ).), 
i> = qe' '' cou {h çi — st -h p.). 

Soit o l'angle (croissant dans le sens direct) que fait avec ox la pro- 



PURES ET APPLIQUÉES. 65 

iectioii E du ravoii vecteur. De la relation tang(p = =» on déduit 

£- '-^ = s[jqe"''''''sin (p. - X). 



^"./. 



Donc, le sens du mouvement projeté est direct ou rétrograde sui- ■ 
vaut que sin (/jl — X) est positif ou négatif, ou, ce qui revient au même, 

Q ■ r 

suivant que le coefficient de /, dans le rapport —, est positit ou né- 
gatif. 

9. On voit ])ar ce qui précède comment toutes les particularités re- 
latives à la polarisation d'un mouvement simple se déduisent des va- 
leurs des constantes P, Q, R, auxquelles sont proportionnelles les inté- 
grales simples correspondantes. C'est de l'équation caractéristique (/j) 
que résultent les lois de la propagation du mouvement. 

En effet, cette équation détermine en général la longueur d'ondu- 
lation et le coefficient d'extinction d'une onde plane persistante qui se 
propage dans une direction donnée, et s'éteint à partir d'un plan dé- 
terminé. 

Soient effectivement (/, m, n) et f/', m', n') les cosinus des angles 
que les normales aux plans (6) et (7) font avec les axes. On aura, en 
conservant les notations des formules (5) et (9), 

a = //'/' -H hli, |3 = h' m' + hmi, 7 = h'n' -f- hiii, c = si, 

et l'équation caractéristique devient 

(19) ¥[h'l'-hhli, h'ni' + hini, lin'+lmi, si) — o. 

Le premier membre de cette équation est imaginaire de la forme 
X + Y/, et le système simultané X = o, Y = o, résolu par rapport à h 
et A', devra présenter une solution réelle, si la propagation d'une onde 
plane évanescente dans la direction donnée est compatible avec la 
constitution du milieu que l'on considère ; //' fournit le coefficient dex- 
tinclion, et la longueur d'ondulation s'obtient en divisant 271 par //. 

Si une onde plane peut se propager sans aftaiblissement dans inie 
direction donnée, la valeur correspondante de h doit être une racine 

Tome Xlll {i' série). — Février i8('8. 9 



66 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

réelle de l'équation 

(20) F (/?//, hmi, /iiu\ (ji)=zo. 

10. Lorsque le plan des ondes coïncide avec le plan d'extinction, 
ou a /' =; /, m' = m, n' == «, et en posant // + /// = A, si = a, l'équa- 
tion (19) devient 

(2') F (A/, km, kti, c) = o. 

Dans ce cas, si on résout l'équation par rapport à A, toute racine 

dépourvue de partie réelle correspond à un mouvement simple non 

évanesceiit. De sorte que l'onde ne s'éteint pas, ou s'éteint, suivant que 

, / , , . . . 

le rapport -est réel ou unagmau-e. 

La substitution de l'équation (21) à l'équation (19) simplifie nota- 
blement la discussion de l'équation caractéristique, et sidfit à l'élude 
des propriétés essentielles des vibrations lumineuses propagées par les 
cristaux. Le cas particulier auquel elle se rapporte se réalise pour les 
ondes réfractées qui se pro[)ageut dans un cristal imparf:iitement trans- 
parent, quand les ondes incidentes sont parallèles à la face réfringente 
du cristal. 

CHAPITRE IL 

RÉDUCTION DES ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES DE l'eTHER 
d'aPRH:S L"HYPOTHi':SE QUI ASSIMILE CE MILIEU A UN STSTÎîME PÉ- 
RIODIQUEMENT ISOTROPE. 

1. L'analyse qui fait l'objet de ce Cliapitre est basée sur les hypo- 
thèses suivantes : 

1° L'étber peut tire assiniiié à un système de points s'atlirant ou se 
repoussant. L'action mutuelle de deux points, dirigée suivant la ligne 
qui les joint, est une fonction de la distance qui s'évanouit dès que la 
variable dont elle dépend dépasse une limite très-petite; 

2° La sphère d'activité de chaque point de l'éther renferme un nom- 
bre extrêmement grand d'atomes distribués sans régularité; 

3" La densité de l'éther renfermé dans un cristal est sensiblement 
constante dans l'étendue de la sphère d'action d un de ses points. 



PURES ET APPEIQUÉES G7 

Pour légitimer cette dornière supposition, il suffit d'Hilmettre que le 
rayon de la spiière d'action est très-petit par rapport aux ditiiensioiis 
d'un parallélipède élémentaire de l'assemblage des molécides maté- 
rielles. En effet, la densité de i'étlieren un point quelconque peut être 
cousidéi'ée comme une fonction continue des coordoiniées qui fixent 
la position de ce point dans l'intérieur d'une alvéole de l'assemblage 
moléculaire. .Si on passe de ce point à un antre compris dans sa s|jhère 
d'action, les coordonnées varient, dans l'hypothèse adoptée, de quan- 
tités très-petites par rapport à elles-mènips, et la densité reçoit un ac- 
croissement du même ordre, qui peut être négligé dans le calcul de 
certains termes. 

^. En se basant sur ces hypothèses, on est conduit à des équations 
identiques à celles que l'on obtiendrait en supposant que la constitu- 
tion de l'éther est la même, dans tous les sens, autour de chaque point. 

Leur forme est la même que celle des équations auxquelles satis- 
font les vibrations d'iui milieu homogène et isotrope; seidement, les 
coefficients sont alors des fonctions périodiques des coordonnées. 

Les hypothèses admises reviennent donc à considérer l'éther ren- 
fermé dans un cristal comme constituant un système périodiquement 
isotrope. 

3. Ce résultat paraîtra d'adlenrs fort naturel si on observe qu'un 
système de points doit être parfaitement mobile, à la manière des 
fluides pondérables dont les molécules sont sphériques, ou sont du 
moins assez éloignées les unes des autres pour que leur forme n'ait au- 
cune influence sensible sur leur action mutuelle. En vertu de cette mo- 
bilité parfaite, les forces extérieures an système doivent dispo.ser les 
points de matiière que leur intervalle moyen soit le même autour d'un 
point, dans toutes les directions. 

La cause particulière qui, dans les corps cristallisés ou non, retient 
les molécules sur les directions où elles sont plus ou moins resserrées 
ne peut être, suivant une remarque de Poisson ['], que la partie de 
leur action qui dépend de leur forme et de leur situation relatives. 



[* j Jouniul de l'Ecole Polytechnique, XX' cahier, p. 98. 

9- 



C8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Si donc on considère l'élher comme un système de points, l'état sta- 
tique qu'il présente dans l'intérieur d'un corps pondérable doit être 
assimilé, non à la constitution d'un corps cristallisé ou d'un solide 
homogène déformé, mais à celle A' un fluide soumis à des forces exté- 
rieures. Tel serait, par exemple, un gaz magnétique répandu dans un 
système de petits aimants distribués périodiquement. 

Il y a donc lieu de supposer que l'éther des coips |jondérables n'est 
|)as homogène, mais reste isotrope. 

On verra d'ailleurs, dans la suite de ce travail, qu'il suffit d'avoir 
égard à la périodicité des coefficients dont dépendent les équations de 
ses mouvements vibratoires, pour expliquer, dans cette hypothèse, non- 
seulement la double réfraction, mais encore la polarisation elliptique 
et circulaire qu'impriment à la lumière certains cristaux dissymétri- 
ques. Il n'est doue pas nécessaire de supposer, connue on l'a fait jus- 
qu'à présent, que l'action de la matière pondérable modifie l'inter- 
valle moyen des atomes de l'éther dans les diverses directions, autour 
d'un même point. 

Analjse. 

4. Supposons d'abord l'éther en équilibre. Soient : 

p. et m les masses de deux atomes voisins; 
X, j, z les coordonnées lectangulaires de^x; 
X -\- h, y -\- k, z -h l, celles de m; 
r la distance des deux atomes; 
pmrj{r) leur action mutuelle. 

Les composantes suivant les axes de la force accélératice exercée 
par maux' p sont mhj [r], mkf[r), inlj [r), et en désignant par X, Y, 
Z les composantes de la force accélératrice exercée par la matière sur 
ce même point, les équations de l'équilibre sont 

x-+-2;'«v(') = o, 

(i) {Y+2'«A-/(r) = o, 

Z +;^m//(/-) = o, 



PURES ET APPLIQUÉES. % 

le2,s'étendanl à tous les atomes m compris dans la sphère d'action 
de (x. 

S. Supposons maintenant que le milieu vibre. Soient u, ., w les 
déplacements de f. et « + c?«, . + cJ., n- -H .?.v ceux de ,n : a distance 
de ces points devient r + c?r, et en négligeant les produits des <?, on a, 
pour les composantes de la force accélératrice exercée sur le point p. 
par l'éther environnant, 

I 2 'nhf{r) + 2 '« /(O ^'" + E '"^'/'('"^ '^^' 

( 2; '"/J'('-) + 2 '«/'('■) ^"' + 2 '"^ ^ '('"^ ^'■• 

Si on suppose enfin que les déplacements de l'éther sont très-petits 
par rapport aux dimensions d'un parallélipipède élémentaire de 
l'assemblage moléculaire, les variations correspondantes de X, Y, Z 
sont négligeables, et, en ayant égard aux équations (i), on obtient pour 
les équations du mouvement 

( Dr w = 2 '«/('") ^"' -^ 21 '"^ ^'^'') '^'■■ 

La variation c?r est donnée par la formule 

(r + ârf = (/i 4- c?«)^ + (^ -4- <?^^r + (^ + 0'^^)'' 

qui se réduit à 

râr= hâu ■+■ kâv ■+- Zt?iv' 

dans l'approximation adoptée. 

6 Pour transformer les équations (3) en équations aux dérivées 
partielles, il suffit de développer les c? par la série de Taylor, suivant 



70 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

la lormule symbolique 

^ — e''D^-i-^nj.-f-/D, _ j 

On obtient ainsi les équations des mouvements vibratoires sous la 
forme 



(4) 



(Dfu= F,u + F.A'+ Fjîr, 
' Df p = G, w -I- Got' -+- Ggiv, 
' D,-w= H, M 4- Hat» + H3U', 



les F, G, H étant déterminés par les formules 

' F, =J,'nf{r){e^ - i) -^2"»^ h^ [e^ - 1), 
G, ^ ^mf{r) {e>-i]+ ^n/-^ k'{e^-i). 



f'{r) 



(sr 



) 



H3 = 2 "'^l'-) (e^ - + 2: '«-4^ l' {e^ - •)> 



/'l' 



F, =G, =^ni'^kl (e^-i), 
H, =F3 =^m^lh (e>-i), 



G, = H, = ;^ 



>?l 



/'('•) 



hk{e' = i), 



\ X = AD.^ + AD, + /D,. 

Cauchy a écrit les équations (4) sous une forme symbolique fort 
simple. Écrivant a, |3, -y, c au lieu de D^, D^, D^, D„ il pose 



on a alors 

(7- 



A = 2'«/(/')(^^-t), 

( F, = A + D;B, F, = G, = D,3D, B, 
G2 = A + D| B, T! , = F;, = D, DJi, 
H3 = A + D.; B, G3 = Hj = D^D^B; 



i: 



PURES ET APPLIQUÉES. 71 

et les équations (4) deviennent 

I cr=« — ku + D,(D, B;^ -h DjBf + D.Bxv), 

(8) , (7^- = Af + D,3(D,.R/^ -f- DjBi' + D.^Bxi'), 

( 7= H' = Atv -t- D.^(D,Cm + DjEf + D.,Bw), 

les seconds memljres représentant les fonctions symboliques F, G, 
H dont dépend la forme des équations auxiliaires. Le calcul de ces fonc- 
tions est ainsi ramené à celui des deux fonctions A et B dont la réduc- 
tion peut d'ailleurs être effectuée comme si ses symboles a, /5, 7 étaient 
des quantités réelles. 

7. Pour réduire A etB, il suffit d'employer la méthode indiquée par 
Cauchy dans son Mémoire sur les deux espèces d'ondes planes qui 
peuvent se propager dans les systèmes isotropes de points (i). 

Soit un point m compris dans la sphère d'action du jjoint |u., dési- 
gnons par /■ la distance [j-m et par 9 et la colatitude et la longitude de 
celte distance, de sorte que les projections de /■ siw les trois axes sont 

A =: rcosy, A =: rsinçcosî, / = rsino sin5. 

Imaginons un cône très-délié, ayant son sommet au ponit u., ren- 
fermant le point tn et découpant sur une sphère concentrique de 
rayon égal à i l'élément superficiel oj. Décrivons de plus, du point a 
comme centre, deux sphères tres-rapprochées avec les rayons r et 
r-\- ^r. Le volume très-petit compris entre ces trois surfaces est /-w Ar; 
il renferme un grand nombre d'atomes dont la masse s obtient en 
multipliant le volume par la densité de l'éther au point /«, que nous 
supposons ne pas différer sensiblement de la densité p de l'éther au 
point ^. 

On voit que l'on a, dans cette hypothèse, 

(a = p22'"/('-)(^^-')-a/', 
(9) 



(i) Nouveaux exrrcices d'Analyse et de I'Iijs'kiuc iiintliéi)i(iti(jnr, t. \" . 



72 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Le premier signe de sommation V* s'étend à tous les éléments oj 

d'nne sphère de rayon égal à l'unité, et le second à toutes les valeurs 
de 7' croissant par degrés très-petits Ar d'une valeur très-petite à une 
limite égale au rayon de la sphère d'activité de l'éfher. 

Enfin, si l'on substitue, avec Poisson, à la première sommation une 
intégrale définie, il vient 



lo 



(■0 



I et r désignant les deux intégrales définies 

11 = / (10 i [e^ — r)sinyf/y, 

] */o »/ o 

r=/ dO \ (e^- I -X - ^) sinof/9, 

où l'on a 

>, = r (acosç + jjsinç cos0 + y sinip cosS). 

Ces intégrales sont réductibles à une intégrale simple. En effet, 
d'après luie formule de Poisson, on a généralement 

(12) r'"^5 / "/ (/OsinffiJs == ^ f f{x)dx, 

en posant 

u = acosç + psinç) cos6 + ysiny ^in5, 

k^ ^ a- ^ fù"- -\- f' 
En tenant compte de celte formule, oii trouve 



I'=27rr— =-^ — ■?. 



PURES EY APPLIQUÉES. 7^ 

Substituant enfin ces valeurs de I, 1' dans les formules (10), il ne 
reste qu'à effectuer la sommation relative à r. 

8. Cette sommation ne peut être qu'indiquée puisque la forme de 
la fonction /(r) est inconnue. Mais, sans qu'il soit nécessaire d'effec- 
tuer le calcul, on voit que A et Bsont des fonctions de k^. En désignant 
alors par B' et B" les dérivées première et seconde de B par rapport a A-, 
et posant 

( A-4-2B'==E{A^), 4B" = F(A-^), 
^^"^^ \ 5 = c<«+ fit' + Yiv, 

on réduit les équations (8) aux suivantes 

I cUi = E{k-)u -hF{k-) aQ, 

(i5j G'i' =E(A")k -hF{k^)^Q, 

! G-n' = E[k-)w-hF{k-') -fi. 

Telles sont les équations des vibrations de l'éther, dans le vide comme 
dans les milieux matériels. Dans le vide, les coefficients sont des 
constantes. Dans les milieux matériels, ils sont des fonctions 

de x, j, z. 

9. En supposant constants les coefficients des équations (i5), on en 
déduit aisément, comme Caucliy l'a fait le premier, les propriétés des 
ondes planes propagées par l'éther du vide. 

Pour qu'un mouvement simple représenté par les intégrales 

P ~ Q ~ R ~ 

soit compatible avec la constitution du système, il faut que ses para- 
mètres satisfassent aux trois équations obtenues en écrivant P, Q, R au 
lieu de m, v, w dans le système ( i 5), et en y considérant a, a, jS, y, non 
plus comme des caractéristiques de dérivation, mais comme des con- 
stantes. 

Éliminant P, Q, R, on a l'équation caractéristique qui se dédouble 

Tome XIH (2« série). — Févbieh 1868. lO 



74 JOURNAI, DE MATHÉMATIQUES 

comme il suit : 

(i6) G-' = E{k'), 

(17) a- = E{A-=) +-F(/f^)A-=. 

Dans le premier cas, on trouve 

(18) ô = aP + ,SQ + 7R = o, 

et dans le second 

/ \ P Q R 

(19) â = y=v' 

relations d'où il résulte que les mouvements simples et non évanes- 
cents que peut propager l'éther du vide sont nécessairement de deux 
sortes : les uns dans lesquels les vibrations sont parallèles au plan des 
autres, sans polarisation déterminée; les autres, dans lesquels les vi- 
brations sont perpendiculaires à ce plan. Ces deux genres de vibrations 
constituent les ondes transversales et longitudinales . 

10. Ces propriétés cessent de subsister, en général, pour les vibra- 
lions propagées dans un milieu cristallisé. Les coefficients des équa- 
tions (i5) deviennent des fonctions périodiques des coordonnées, et il 
faut appliquer la méthode d'intégration développée dans le premier 
Mémoire. Les équations auxiliaires se déduisent alors, d'après la règle 
générale énoncée dans ce Mémoire, des trois fonctions symboliques 
F, G, H, qui se réduisent actuellement aux seconds membres des équa- 
tions (i 5). D'ailleurs, la forme de ces trois fonctions se sim|)ldie encore 
en ayant égard aux remarques suivantes. 

li. L'observation indique que dans le vide : 

1° Les vibrations lumineuses sont transversales; 

u" Les rayons de différentes couleurs se propagent avec la même 
vitesse. 

Il résulte d& ces deux propriétés que la valeur de - déduite de l'é- 
quation (10) est indépendante de a, el <]ue, par suite, la fonction E(A'') 
se réduit sensiblement à .son premier terme. 



PURES ET APPLIQUÉES 75 

Il suffit, pour que cette condition soit réa]isée,que les deux séries (1 3) 
très-convergentes à cause de la petilesse de r, se réduisent sensiblement 
à leurs premiers termes. Comme il n'existe d'ailleurs aucime raison de 
supposer que les termes négligeables dans le vide aient une valeur sen- 
sible dans l'intérieur des cor[)s pondérables, on voit que les équations 
générales des vibrations se réduisent aux suivantes ; 

/ G^ H = ek^ii -\-/xO, 
(20) . g'- V =ipk.'^i< 4-^/37, 

' G'w =^ ek'- iv -hj'^0, 

dans lesquelles e et J désignent des constantes ou des fonctions pério- 
diques, suivant que l'on considère I éther libre ou l'éther renfermé dans 
un cristal. 

Les coefficients e gX f ont les valeurs suivantes, d'après les formules 

(i4N(io)et(i3): 

4-, 



tii 



12. Appliquant actuellement aux équations (20) la règle générale 
qui sert à former les équations auxiliaires qui régissent les vibrations 
moyennes [*J, on trouve que ces équations sont de la forme suivante : 

/ g'u = A=(F,« + F,v' + Fjtr) + (/a +f,[i +/,7)6, 

(22) < J^' = A-(G,ii-^G,i^ + G3iv) + (g,a + g2/3 + g37)^' 
( G'w = k- (H|« +Hoy 4- Hjti') + [h, a -+- h„^j + h^-f) 5, 

lesyi g, h, F, G, H désignant des fonctions symboliques entières et à 
coefficients constants de a, [i, 7. 

Nous rappelons que C7, a, /3, 7 représentent les caractéristiques de 
dérivation D,, Dj-, D^, D^, et que l'on a, dans les équations (22), 

A-- = «^ -+- |S^ H- 7^ Q ~ au -\- ^\> -\- 7tv. 



[*] Juiirnid ite Mathématiques pures et appliquées, t XII, 1867, p. 17. 

10.. 



yG JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Î5. En se reportant d'ailleurs à l'analyse du Mémoire précité, ou 
voit que les fonctions indéterminées dont dépendent les équations (22) 
doivent être considérées comme des séries ordonnées suivant les puis- 
sances de a, |3, 7, très-rapidement convergentes en général. On pourra 
donc, dans une première approximation, les réduire à des constantes. 
Dans ce cas, les équations (22) renferment 18 termes du second ordre 
an lieu de 54 que laissait subsister l'analyse du premier Mémoire. 

On obtient de nouvelles approximations en conservant successive- 
ment dans ces fonctions les termes du premier, du deuxième, etc., ordre 
par rapport à «, /3, -v. Les termes dont il s'agit fournissent l'explication 
de la dispersion, de la polarisation elliptique et de l'exlinction que 
présentent certains cristaux. 

14. Les équations (■>.2) constituent le résultat définitif que nous nous 
proposions d'obtenir dans ce Chapitre. Le système (20) dont elles dé- 
rivent, quand on v considère les coefficients comme constants, ne sont 
pas altérées par une substitution linéaire orthogonale appliquée aux 
variables JC, j-, z, ou, ce qui revient au même, restent les mêmes quand 
on déplace d'une manière quelconque autour de l'origine le système 
des axes coordonnés. 

Les hypothèses d'où se déduisent les équations (20) reviennent par 
conséquent à considérer l'éther comme présentant, en chacun de ses 
points, la même constitution dans toutes les directions. 

Cette constitution varie d'ailleurs d'un point à un autre de l'éther 
compris dans l'intérieur d'un corps; mais, en un point déterminé, elle 
est la même dans tous les sens. Ainsi se trouve justifiée la dénomina- 
tion (le pcriodiqueinent iiotrope (pie nous avons employée au commen- 
cement de ce Chapitre pour caractériser la constitution que présente 
probablement l'éther dans l'intérieur des corps cristallisés. 

1d. Les équations (22) reçoivent d'importantes réiluctions par suite 
de la symétrie propre aux divers systèmes cristallins. On obtient ces 
réductions par la méthode générale qui est développée dans notre pre- 
mier Mémoire. 

D'après cette méthode [*], on détermine l'influence des divers élé- 

[*J Joiirnnl tic J\fat/iriiiillit/i/r.! purrs et a/ip/i'/iicf.i, t XII, 1867, p. 25. 



PURES ET APPLIQUÉES. 77 

meiits de symétrie communs au polyèdre moléculaire et à l'assemblage 
cristallin, en exprimant que les équations auxiliaires, mises sous la forme 
générale 

/ Q^n = F, /< -f- Fji' + F3 (V, 

(aS) '. (j-v = G, « -+- G2 1» -)- G3 u', 

' (7-iV = H, « -+- Hol' + JIjlA', 

ne sont pas altérées par certaines substitutions linéaires appliquées 
simultanément à u, v, iv et à a, fi, y. Les seconds membres des équa- 
tions (21) sont linéaires et homogènes par rapport à u, t», rv, et de cette 
condition résulte essentiellement la forme que présentent, suivant les 
cas, les F, G, H fonctions de u, ]3, y. 

Cela posé, si on revient aux équations (22), et si on observe : 

1° Que A^ et Ô se reproduisent identiquement quand on applique une 
substitution linéaire quelconque aux variables t/, p, ir et «, ^S, y; 

2° Que les termes pro|)orlionnels à k' at k sont fonctions linéaires 
et homogènes, les premiers de //, t», iv, les seconds de a, /3, y. 

Il sera aisé de conclure que, dans chaque syinétrie particulière, les 
fonctions F, et^^ des équations (22) seront composées en a, /5, 7 comnu^ 
la fonction F, des équations (23); les fonctions F^ et/o di' système (22, 
comme la fonction F2 du système (23), et ainsi de suite. 

On pourra donc écrire sans difficuhé, en se reportant aux divers 
systèmes précédemment obtenus [*], les diverses classes d'équations 
auxiliaires qui se déduisent des équations (22), quand on tient compte, 
non-seulement du système cristallin, mais encore des divers cas de mé- 
riétlrie (béunédrie ou télartoédrie) que présente chaque système. 

Î6. Parmi les divers systèmes d'équations que l'on obtient ainsi, il 
faut remarquer celui qui est relatif à Vholonxie centrée de la symétrip 
terbijinire (système du prisme droit à base rectangle), lorsque dans 
une première approximation on réduit les équations auxiliaires à 
l'homogénéité. 

Ce système doit foinnir, en effet, l'explication complète des phéno- 
mènes optiques que présentent (quand on néglige la dispersion) les 

[*] Luc. cit., p. 34 et suivanteb. 



78 JOURNAT. DE MATHÉMATIQUES 

cristaux holoédriques connus sous le nom de cristaux à deux axes op- 
tiques, c'est-à-dire des phénomènes qui, sous le nom de double réfrac- 
tion et polarisation, ont si vivement attiré, depuis Fresnel, l'attention 
des physiciens et des géomètres. 

Or, en ayant égard aux remarques du numéro précédent, on obtient 
immédiatement les équations dont il s'agit : 

/ a-u —j'k^H -+-/, (z5. 



\esf, g, h de ces formules représentant des paramètres constants. 

Rétablissant enfin les caractéristiques de dérivation, on obtient le 
système suivant : 

i Bfu =f{-D- 4- D; + D|) u +/, D, (D,M + D,t^ ^ D,tv), 

(a5) Df v =-- g (D; + Df + D|) c + g, D^ (D^ u + D, v + D,u'), 

I Dfîi' 3= // (D; + D; -+- Dij w + h, D, (D^. u -+- D, f -^ D, w). 

Ces équations conduisent à de nouvelles et importantes propriétés 
des ondes lumineuses, dont l'étude fait l'objet d'un des Chapitres sui- 
vants. 

Nous nous bornerons à remarquer ici que ces équations renferment 
six paramètres distincts. L'étude approfondie des phénomènes lumi- 
neux semble indiquer que trois seulement de ces paramètres, corres- 
pondant aux trois indices principaux de réfraction, sont réellement 
indépendants. 

On verra, en effet, que l'on reproduit exactement les faits d'obser- 
vation en supposant les trois relations 

/-+-/, = g + g, = h^h,=o. 

Il parait assez difficile de déterminer avec précision la cause phy- 
sique de ces dernières relations, qui introduisent une extrême simpli- 
cité dans les équations des phénomènes et dans l'énoncé des lois qui 
en résultent. Nous essayerons cependant de montrer, dans le Chapitre 



pur. ES ET APPLIQUÉES. 79 

suivant, comment on peut en retrouver l'origine dans une hypothèse 
de Fresnel sur la constitution de Téther. La discussion qui fait l'objet 
(le ce Chapitre signalera plus d'un rapprochement entre les principes 
de la théorie que nous exposons et l<s hypothèses admises par l'illustre 
physicien sur la nature intime de l'agent qui propage les |)hènomènes 
lumineux. 

CHAPITRE IlL 

REMARQUES SUR DEUX POINTS FOND.IMENTAUX DE LA THÉORIE PHYSIQUE 

DE LA LUMli.RE. 

Remarque L — L'hypothèse de Fresiiel sur la variation de densité 
(jue la matière pondérable imprime à l'éther peut seivir de base a une 
théorie de la double réfraction. 

1. On sait qu'une des hypothèses admises par Fresnel dans son 
Mémoire sur les modifications que la réflexion imprime à la lumière 
polarisée consiste à supposer que l'indice de réfraction d'une substance 
est proportionnel à la racine carrée de la densité de l'éther, contrai- 
rement aux idées admises depuis par Mac-Cullagh et M. Newmann, 
qui supposent que la densité de l'éther est la même dans tous les corps, 
et que son élasticité est seule altérée différemment par les divers 
milieux pondérables. 

Or cette hypothèse de l'illustre jjhysicien ne paraît guère conciliable 
avec les idées qu'il avait précédemment adoptées dans son célèbre 
Mémoire sur la double réfraction, où, négligeant toute variation de 
densité de l'éther dans les cristaux, il attribue la production des phé- 
nomènes à une variation de l'élasticité dans les diverses directions 
autour d'un point. 

De là une sorte de contradiction qire les considérations développées 
dans le Chapitre précédent font complètement disparaître, en établis- 
sant que la théorie de la double réfraction peut être exclusivement 
basée, comme celle de la réflexion, sur la variation périodique qué- 
prouve la densité de l'élbeî' dans l'intérieur des corps cristallisés. 

2, En effet, Us équations (aS ) duChapitîe précédent renferment 
évidemment une théorie complète de la doul)le réfraction et de la po- 



8o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

larisation, qui, si l'on fait provisoirement abstraction des relations natu- 
relles qui peuvent exister entre les paramètres, ne doit différer de 
celle de Fresnel que par certaines particularités relatives à la direction 
des vibrations et à la forme de la surface des ondes. Ces équations ont 
été d'ailleurs déduites du système (20), en sîipposant seulement que 
les coefficients e et y sont des fonctions périodiques des coordonnées. 

3. Cela posé, il est aisé de voir que la périodicité de ces deux coef- 
ficients dépend de celle d'un seul élément, qui est la densité de l'éther. 
En se reportant, en effet, aux valeurs (12) de e,f, on voit qu'elles 
s'obtiennent en nudtipliant la densité p par certaines sommes dont le 
calcul ne pourrait être achevé que si l'on connaissait la loi qui régit les 
actions intérieures de l'éther. 

En considérant l'éther comme continu, les sommes pourraient être 
réduites à des intégrales définies prises entre deux limites égales à zéro 
et au rayon de la sphère d'activité de l'éther. Elles auraient donc des 
valeurs égales pour l'éther libre ou pour l'éther renfermé dans un 
corps quelconque, de sorte que e et y seraient proportionnels a la 
densité. 

Mais, suivant une remarque de Poisson, ces intégrations autour d'un 
point ne sont pas admissibles en général, et il est nécessaire de consi- 
dérer les "S comme des sommes aux différences finies. 

4. Dans ce cas, on pourra effectuer ces sommations sur des termes 
tous proportionnels à Vintervalle moyen â' qui sépare deux poinis 
voisins de l'éther. Cet intervalle peut être considéré comme constant 
dans toute l'étendue de la sphère d'activité, puisqu'il est lié à la den- 
sité, supposée constante dans la même étendue, par une relation de 

la forme p = -j^? A désignant un nombre constant. 

En conséquence, le résultat final des sommations ne pourra contenir 
que des nombres, des constantes dépendant de la fonction des forces 

intérieures, et enfin l'intervalle â. Les sommes ^ sont des fonctions 

1 
dec?, qui, puisque (? est inversement proportionnel à p^, se transforment 



PURES ET APPLIQUÉES. 8i 

en fonctions de p. On peut donc poser 

et l'on voit clairement ainsi qu'il suffit d'admettre une variation pério- 
dique de la densité pour déduire des équations (20), par la méthode 
générale d'intégration, le système auxiliaire (25), d'où on déduit enfin 
les lois qui régissent la double réfraction et la polarisation des vibra- 
tions moyennes. 

RexMarque II. — Les relntioîis qui existent entre les paramètres des 
équations auxiliaires peuvent être rattachées à la cause physique qui j 
suivant une hypothèse de Fresnel, produit l'absence de toute vibration 
longitudinale dans Véther. 

5. Nous avons remarqué, à la fin du Chapitre précédent, que l'on 
était conduit à des résultats conformes aux faits observés, en suppo- 
sant entre les paramètres des équations (aS) les relations 

f^J\=ë+g^ = h+h,=o. 

Pour admettre ces relations, il suffit d'admettre que les deux fonctions 
y et ()> sont égales et de signes contraires, de sorte que l'on a 

(0 ?(p) + Hp) = o. 

Or il est remarquable que dans cette hypothèse la vitesse de propa- 
gation des ondes longitudinales dans l'éther libre, déduite de l'équa- 
tion 0-- = f e -^f) ^'» se réduit à zéro. 

On voit donc que la relation hypothétique (i) revient à attribuera 
l'éther cette inaptitude à propager les vibrations longitudinales que 
Fresnel considérait comme l-a propriété caractéristique de ce milieu 
élastique. 

6. Sans rechercher ici quelle peut être l'origine de cette propriété, 
nous l'admettrons avec la relation fondamentale (i), qui en est la for- 
mide équivalente, comme un postulatum dont l'exactitude est dé- 
montrée par la confirmation expérimentale des conséquences qui en 
résultent. 

Tome Xlli ('2' série). — Février i8GS. ' ï 



8a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Nous supposerons donc désormais que les vibrations de l'éther, 
dans un milieu quelconque, sont régies par les équations 

i o^'u ^ e[k-u - aS), 

(2) oU- =e{k'i' -p9), 

' (7^îv = e [k-iv — 7^), 

dans lesquelles e désigne une fonction de la densité, et, par suite, une 
fonction périodique des coordonnées. 
En posant, pour abréger, 

(3) V = Pn-a6, V=A'i'-f;Ô, W = /:'-<»■ -7$, 

on trouve que le système des équations auxiliaires est réductible à la 
forme 

, c-u^F, U + FoY ^- FjW, 

(4) ^n- =G, U + GoV ^-GaW, 
( !7^-w= H, U + H,V-r H3W, 

et que les F, H, G, fonctions de «, /3, 7, éprouvent, par suite de la 
symétrie cristalline, les mêmes réductions que les fonctions désignées 
par les mêmes lettres dans le système général des équations auxiliaires 
considérées au second Chapitre de notre premier Mémoire. Par suite, 
on obtiendra les équations (4) relatives aux divers systèmes et cas 
particuliers de mériédrie, en écrivant U, V, W au lieu de u, v, w 
dans les seconds membres des équations obtenues dans le Mémoire 
précité. 

7. Pour donner une idée des résultats définitifs que fournit la 
théorie précédente, nous avons réuni dans un tableau, à la fin de ce 
Chapitre, les équations aux dérivées partielles qui, en conservant les 
termes du second et du troisième ordre, régissent les vibrations lumi- 
neuses dans les principaux systèmes. 

Nous laissons de côté les systèmes asymétrique et binaire, qui 
donnent lieu a des équations assez complexes, et exigent, suivant 
toute probabUité, l'emploi spécial de certaines coordonnées obliques. 



PURES ET APPLIQUÉES. 83 

Nous renvoyons enfin aux deux Chapitres suivants l'étude des pro- 
priétés principales des ondes planes. 

8. Il importe d'observer que les principes d'où résultent ces équa- 
tions font de notre théorie une sorte de commentaire à celle qu'a 
adoptée Fresnel dans son Mémoire sur les modifications que la réflexion 
imprime à la lumière polarisée [*]. Ce Mémoire peut être considéré 
comme l'expression des idées définitives de son auteur sur le méca- 
nisme des phénomènes optiques. Il est, en effet, postérieur au Mé- 
moire sur la double réfraction [**] et à un premier Mémoire sur la 
réflexion [***], où Fresnel a cherché à expliquer les lois de ce phéno- 
mène à l'aide d'hypothèses autres que celles d'une densité variable de 
l'éther. 

Les physiciens ne verront donc peut-être pas sans intérêt que les 
notions fondamentales qui ont paru les plus plausibles à l'illustre 
physicien suffisent à une théorie complète de la double réfraction et 
de la polarisation rectiligne, et permettent même d'obtenir analyti- 
quement les lois de la polarisation elliptique et circulaire constatées 
expérimentalement sur la lumière propagée par certains cristaux hémi- 
édriques. 

TABLEAU DES ÉQUATIONS QUI RÉGISSENT LES PHÉNOMÈNES OPTIQUES DANS LES CRISTAUX 
CLASSÉS d'après LA NATURE ET LE NOMBRE DE LEURS ÉLÉMENTS DE SYMÉTRIE. 

Observation générale. — On a simplifié les équations ci-après en 
observant que la dilatation cubique 5 des vibrations lumineuses, rigou- 
reusement nulle dans les milieux isotropes, est généralement très- 
petite dans les cristaux. On peut, par suite, réduire approximati- 
vement, dans les termes du troisième ordre, U, V, W aux valeurs 
simples 

U = k' u, V = X- V, W = A- iv. 



[* ] Janvier i823. 
[**] Novembre 1821. 
['**J Novembre 1819. 



84 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

I. — Symétrie terbinaire, 

i" Holoaxie centrée ou homoédiie [A-, 2L-, C, FI, aP] : 

/ ç-n ^ j [k-ii — a5), 

(5) ^-^=g{kU' -/se), 

( ff2n'= h{k^w- yô). 

2" Holoaxie héinisymetrique [A^, 2L-, oC, oP] : 

/ a^u =f[k^n — r/.O) -+- A- (9, yii -+- 9, /3w), 

(6) ^ 5-' i' = g (A' (' - fid) -H A-'^ (x, aîv+ /o 7 M ), 
c7-n'= //(A-(r— yS) + A'- (|, jSaz + tj;, «z k ). 



3° He'miaxie dichosj métrique [A-, oL", oC, 2P] : 

'. G^u ^J'[k^ii — a6) -h A'* (<P( ocn -h ÇoP'' + 'fs 7''')> 

{ (7^tv= A (A= H'— yô) + A- (|, y;< -l- 1^2 «"')• 



II. — Sj m et rie ternaire. 

1° Holoaxie centrée ou Jioinoédrie [A% 3L", C, II, 3P^] : 

/ Q-u =J[k-u — xO), 

(8) a'-V =g(A-^.-p9), 

( (7=iv = g-(A^iv— y5). 

2" Holoaxie hémisymétrique [A% SL'', oC, oP] : 

I ff=/^ =f[k-u-oiO)^f,k''[^w-yv), 

(9) 1 <7=i^ =g{k-^ -fiO) - k-(g,yu +g.,ac^v) + h,k''((ii' - ytv), 
(7=iv=: g^(A^r— yô) + k^{g, /3« 4-g2 ai') — h, k^{^w-h yc ). 



PURES ET APPLIQUÉES. 85 

3° Iléminxie dichos) métrique [A', oL^, oC, 3P] : 

, a-u =f{k-u - aQ) +J\ k"- {^v + yiv), 
(lo) G^'v =g{k-v - fiO) + k''(g,^ii -i- g^^av] + h, k-{f-iv — yw), 
\ (j^w^=^ g [k-iv— yO) -h A" (g, yn-hg^OLiv) — k, k- {Çiiv-\- yv ). 

III. — Symétries quaternaire et sénaire. 

\° Holoaxie centrée ou hoinoédrie [A", /JL-, C, FI, 4P-], 
[A% 6L-, C, n, 6P-] : 

/ cr^M =f{k^n - aO), 
(m) iGU>=g{kU' -^6), 

{ <7^w=g[k''iv ~ yO). 

2° Holoaxie hémisjmétrique [A*, 4L% oC, oP], [A% 6L-, oC, oP] ; 

j a^u =f{k^u - aO) +J\k-'{^^w - yv), 
(i2) ' a^v =g{k^v - ^6)- k'ig, yu^g.xw). 



a-w=g[k''w-yQ)-\- k^g,fiu + g^av ). 

3° Hémiaxie dichosy métrique \K\ oL-, oC, 4P], [A*, oL", oC, 6P] : 

/ o-ii =f{k-u — a5) +J, A--(j3«' + yw), 
(i3) j o^-^=g[k^v -[iQ)^k^[g,^u + g,av), 

' G''w=g[k-w- 76)-+- A-^(g-, yu-^ g-j aw). 

IV. — Symétrie terquaternaire. 

1° Holoaxie centrée ou homoédrie [3L', 4L'. 61>-, C, 3P*, 6P-] : 

7'^u —J\k^u — aô), 

;.4) \ c^^=f{k^i> -^Q), 

aHv=f{k^-iv-yO). 



86 JOURNAI. DE MATHÉMATIQUES 

2" Holoaxie hémisymétrique [31/, [\\?^ 61.-, oC, oP] : 

(i5) . a=c. =/(A-t._^5)+/A-(aiv-7«), 

( G^w=f[k^iv- y6) -h/\ k''[[ui -av). 

3° Hémiaxie hémisjmétncjue [3L°, 4I-', oC, oP] : 

, <7-n =f[k-u — aô) -+- A^(/, •yi' +y, |3tv), 

(16) a'v =f{k'i' -m + l^'[t\vy+l.iu ), 

4° Hémiaxie cUchos) métrique [3L^, 4L% oC, 6PJ : 

, (7-;^ —f{k'-u — a5) -hj] k'^['jv + |3îv), 

(17) 7^»^ =/(A=P-iSÔ)+/,A^(aiv+7«), 



CHAPITRE IV. 

SUR LES PROPRIÉTÉS DES ONDES PLANES DE l'ÉTHER RENFERMÉ DANS 
UN MILIEU HOMOÉDRIQDE. 

1. Ce Chapitre est consacré à l'étude des ondes planes déduite des 
formules (5), (8) el (i4) du tableau précédent. 

Voici le résumé des principaux résultats obtenus : 

Dans les cristaux à deux axes optiques, l'équation aux vitesses des 
ondes planes coïncide rigoureusement avec celle de Fresnel. 

Quant à la polarisation, elle est déterminée par le théorème suivant : 
La vibration d'une onde plane est dirigée dans le plan déterminé par la 
normale à l'onde et le rajon lumineux correspondant; elle est de 
plus perpendiculaire au raj on. La vibration n'est donc pas comprise 
dans le plan de l'onde, comme le supposait Fresnel; sa direction fait 
avec ce plan un angle qui pour certains cor|)s Irés-biréfringents, l'azo- 
tate <le soude |)ar exemple, peut dépasser 9 degrés. 



PURES ET APPLIQUÉES. 87 

2. Ce résultat conduit à des conséquences importantes pour la 
théorie de la réflexion et de la réfraction de la lumière à la surface 
des cristaux. 

Bien que ces conséquences no soient pas développées dans ce Mé- 
moire, nous croyons devoir les indiquer brièvement, afin de préciser 
les circonstances qui servent de contrôle à la théorie et aux hypo- 
thèses sur lesquelles elle est basée. 

5. La théorie de la réflexion et de la réfraction cristallines com- 
prend deux problèmes distincts : 

Le premier a pour objet la recherche des équations de condition 
auxquelles satisfont les dé[)lacenients atomiques sur la sui'face de sé- 
paration des deux milieux; 

Le second comprend l'élude des mouvements simples ou par ondes 
platies que peuvent propager ces milieux. 

4'. Principales solutions du premier problème . — Dans ces recher- 
ches sur la réflexion, Fresnel a admis : i" que le déplacement d'un 
atome de la surface réfringente, estimé parallèlement à cette surface, 
dans l'onde réfractée, se confond avec la résultante de ses déplace- 
ments estimés de la même manière dans l'onde incidente et dans l'onde 
réfléchie; 1" que la force vive des ondes réfléchie et réfractée est égale 
à celle de l'onde incidente. 

Ces principes doinient trois équations à la surface. Il en faut quatre 
dans le cas des cristaux. Mac-CuUagh et M. Newmann ont complété 
la solution en étendant le principe de continuité de Fresnel aux dépla- 
cements estimés suivant la normale à la sinface réfringente. 

De son côté, Cauchy a obtenu, par diverses méthodes dont la ri- 
gueur serait difficilement contestée, quatre équations de condition qui 
reproduisent celles de Fresnel par la suppression de certains termes 
très-petits, mais sont incompatibles avec la quatrième condition intro- 
duite par Mac-Cullagh et M. Newmann. 

5. Principales solutions du second problème. — Le second problème 
a été l'objet de nombreuses recherches des physiciens et des géomètres. 

Suivant Fresnel, la vibration est dans le plan de l'onde et est dirigée 
dans le plan déterminé parla normale à l'onde et le rayon lumineux. 



88 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

D'après Mac-CuUagh et M. Newmann, elle est située dans le plan de 
l'onde et est perpendiculaire au rayon. M. Lamé trouve le même ré- 
sultat dans ses Leçons sur l'Élasticité. 

D'après notre théorie, la vibration est dans le plan déterminé par 
la normale à l'onde et le rayon, comme le supposait Fresnel , et elle 
est perpendiculaire au rayon. 

6. Cela posé, lorsque l'on introduit la polarisation de Fresnel dans 
les équations à la surface de Cauchy, on obtient des formules qui re- 
présentent la marche générale des phénomènes, mais attribuent à cer- 
tains éléments directement mesurables, tels que les angles de polari- 
sation totale, des valeurs numériques notablement différentes des 
valeurs observées. 

Au contraire, en combinant la polarisation de Mac-Cullagh et de 
M. Newmann avec les équations à la surface admises par ces physi- 
ciens, on obtient des formules parfaitement concordantes avec les 
faits. 

Enân, en combinant les équations à la surface de Cauchy avec la 
polarisation que nous avons trouvée, on reproduit les formules exactes 
de Mac-Cullagh et de M. Newmann. 

7. Dans son Traité d'Optique physique, M. Billet avait déjà remar- 
qué qu'il n'est pas nécessaire d'apporter à la théorie de Fresnel les 
modifications profondes introduites par Mac-Cullagh et M. Newmann, 
pour ramener entre les limites des erreurs expérimentales les diffé- 
rences entre les résultats du calcul et ceux de l'observation. La modi- 
fication qui place la vibration perpendiculaire au rayon lui paraît seule 
importante. 

C'est cette modification qu'introduisent les hypothèses fondamen- 
tales de ce Mémoire. 

Il est à peine nécessaire de faire remarquer qu'elles laissent, confor- 
mément à la théorie de Fresnel, la vibration perpendiculaire au plan 
de polarisation dans les milieux isotropes. La théorie de Mac-Cullagh 
et de M. Newmann la place au contraire dans ce plan. 

8. En résumé, si on accepte comme rigoureuses les considérations 
sur lesquelles reposent les équations de condition données par Cauchy, 



PURES ET APPLIQUÉES. ,S() 

on est condiiil à admettre que la théorie o|)posée à celle de Fresncl a 
abordé le problème à l'aide de deux hypothèses physiquement fausses, 
qui, });u' suite d'une compensation, ont fourni un résultat définitif 
conforme à la réalité. 

Bien que donnant des formules moins exactes, les principes fonda- 
mentaux de Fresnel paraissent plus voisins de la vérité; et c'est parce 
que la théorie que nous exposons ici apporte à ces principes la modifi- 
cation nécessaire pour supprimer toute discordance avec les faits que 
nous croyons à la réalité physique du principe introduit. 

î). Terminons par ime dernière observation. Les équations aux- 
quelles nous sommes parvenus pour représenter les propriétés optiques 
des cristaux à deux axes, lorsque l'on néglige la dispersion, sont essen- 
tiellement distinctes de celles auxquelles satisfont les vibrations d'un 
système lioiiiogène d'atomes ou de molécules. Bien qu'elles ne renfer- 
ment que trois paramètres, il est impossible de les faires rentrer dans 
les équations des vibiations des systèmes de points matériels données par 
Cauchy, ou même dans les équations à 36 indéterminées de M. Lamé. 

Leur forme dérive essentiellement de la constitution pério(h(jue du 
milieu vibrant, c'est-à-dire d'un état statique qu'on ne peut expliquer 
simplement qu'en admettant qu'd est dû aux actions pt'rliu-batric(\s 
(l'un second milieu différent. Ce résultat est iniportant parce qu'il im- 
plique la nécessité de faire intervenir dans la production des phéno- 
mènes lumineux deux systèmes distincts qui ne peuvent être que la 
matière pondérable, et cet agent mystérieux et insaisissable, l'éther, 
que toutes les théories physiques s'accordent aujourd'luii à révéler à 
notre esprit comme l'élément le plus actif, le plus puissant de la force 
universelle. 

//nalj'se. 

10. Les généralités du Chapitre !"■ permettront d'établir rapide- 
ment les |)ropriélés des ondes planes. 

Conformément aux notations de ce Chapitre, ces propriétés seront 
déduites des intégrales simples correspondantes prises sous la forme 

^ __ ^ ^ c.x-i-;3rH->'2— 0-' 

P ~ Q "" R ■" ' 

Tnme XIII (a« série). — Mars it-68. I 2 



90 JOURNAL DE MATLIÉMATIQUES 

et les relations entre les constantes s'obtiendront, dans cliaqne cas, en 
écrivant P, Q, R au lieu de «, v', w dans cliaciiii des groupes du tableau 
général, et en y considérant a, /3, y, 7 comme des (|uautités, el non 
comme des symboles. 

Suivant une remarque faite précédemment (Cliap. I", n" 10), nous 
supposerons constanmient que le |)lan d'iuie onde évanescente est pa- 
rallèle au plan à partir duquel elle s'éteint. En désignant alors par /, /«, 
/i les cosinus des angles que la normale à l'onde fait avec les axes, on 
aiu'a 

a = X7, p = Ayh, y — /-«; 

et le rapport « — t sera réel ou imaginaire, suivant que l'onde ne 

sera pas ou sera évanescente. Dans le premier cas, il se réduira à la 
vitesse de propagation de l'onde. 

Cela posé, nous passons à l'étude des cas particuliers. 

Symétrie lerbinaire. 

1 1 . Les équations relatives à ce cas sont les équations (5) du tableau. 
En y écrivant P, Q, R au lieu de u, v, iv, il vient 



I 



P=y (A-P -y.O), 



où on suppose toujours A'- = a^ -\- |6* + y^, 5 = «P -h /5Q -h yR. 
Éliminant P, Q, R, on obtient l'équation caractéristique 

De plus, des équations (i), on déduit les rapports 
C\\ P _ Q _ R _ _ , 



PURES ET APl'LIQUÉES. 91 

12. Si l'on pose aciuellement dans les équations (2) el (3) 

a. = //, jS — km, y = hn^ w = -, 
elles se transforment comme il suit 

(5) _2__=.__Q_^_JL_ = _. 



-/] \-"-^) 



j' — // 



Telles sont les équations d'où résultent les lois de la propagation et de 
la polarisation du mouvement. 

L'équation (4) résolue par rapport à cr admet évidemment deux 
racines positives et une racine nulle. Aux deux premières correspon- 
dent deux ondes se propageant sans s'affaiblir dans la même direction, 
avec des vitesses différentes. 

Pour la racine u^ = o les équations se réduisent aux suivantes 

ia\ P Q R 

i III fi ' 

Ces équations correspondent à un mouvement simple longitudinal ; 
mais la condition or = o montre que ce mouvement ne peut se pro- 
pager. 

Les deux autres racines &j^ sont fournies par l'équation 

, , /' m- «' 

7 -. — f-^ ^-— — 7=0, 

^' ' w' — J frj' — g w — h 

qui coïncide rigoureusement avec l'équation aux vitesses des ondes 
planes trouvée par Fresnel. Mais le mode de polarisation qui résulte 
alors des formules (5) diffère notablement de celui qui se déduit de la 
théorie de l'illustre physicien. 

15. On voit d'abord que les quantités P, Q, R étant propor- 
tionnelles à des quantités réelles (Chap. 1, n° 7), la trajectoire ato- 

12.. 



92 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

inique se réduit à une ligne droite. La polarisation est donc recliligne. 

Pour la définir avec précision, il est utile de rappeler brièvement le 
calcul de la suij'ace des ondes. 

On sait que son équation s'obtient en cherchant l'enveloppe du plan 

('^) Ix -{- my + nz = w, 

les paramètres /, m, n, w étant liés par l'équation (7) et la relation 

(9) /- + in} + «= = !. 

D'après la théorie des enveloppes, on doit différentier successivement 
les équations (7), (8) et (9) par rapport aux deux paramètres laissés 
indépendants, on obtient ainsi les équations ci-dessous, où l'on a repré- 
senté, pour abréger, par 2F le premier membre de l'équation (7) : 



du dw 



(,o) 



/ 


dn 
^"-dl = 


0, 






dF 

~di 


dF dn 

'^' 'Tûi ~di 


dF 

dùi 


dtù 

lit ~ 


0, 


J 


dn 

H- Z 

dm 


do> 
dm 


-- 0, 




dn 

m+ n~ = 

dm 


-- 0, 






dF 

dm 


dF dn 
dn dm 




do> 
dm 


: 0, 



(") 



et l'équation de l'enveloppe s'obtient en éliminant les paramètres /, m, 
n, w et les dérivées partielles de « et w entre les équations (7), (8), '9), 
(ro)et (1 1). On simplifie l'élimination, en substituant aux équations (10) 
et (11) les suivantes 

X + >,/ 



(.2) 



Xn 



f^ 


dF 
dl 


= 


0, 


F 


dF 
dm 


= 


0, 


p- 


dF 

<tn 


= 


0, 


f^- 


dF 
do} 


= 


0. 



PURES ET APPLIQUÉES. 93 

Eli effet, réliminatioii de X et /jl entre les équations (12) coniluit au 
même résultat que l'élimination des dérivées partielles de n et 00 entre 
les équations (10) et (11). 

x\joulons que les équations (i a) déterminent les coordonnées x\ y, z 
du point de contact de l'enveloppe avec le plan tangent et, par suite, 
la direction du rayon lumineux correspondant à l'onde plane qui se 
propage dans la direction (/, /n, n). 



14. Ajoutant les trois premières équations (12) respectivement nud- 

l, n 

dF 



tipliées 1° par -7^1 — > — ; 2" par /, m, /?; 3° par x, j, z, et obseï 



,, , lit cit at „ 1 ■ » 

vant que 1 on a L -— + m h « -7- = 2F = o, u vient 

' tlt lini an 



dF dF r/^Py /dFy /dF\n 



dF dF dF rfdF\' IdF^ 

""HT 



w 4- X = o, 

., , o /' dF dF dF\ 

^^ + _^« + 2- + ^ (^^ _ +^- _ + Z -j = O. 

,,.,.,, . , , . IdFy /dFY /dF\' i dF 
Il est d ailleurs aise de voir que ^7 + -r- + -;- = 

'■ \dl I \""' I y'" J w doi 

dF 

observant de plus que pi — = i, et posant p- = x- + j' + z-, les 
trois relations ci-dessus deviennent 



(.3] 



dF dF dF I 

dl •■' dm (In m 

X := — W, 

/J. = — w((5* — OJ-). 



Portant les valeurs de X et [i. dans les équations (1 a) on a 



jT = /w + o) (p' — or) -77? 



'H. 

~dj 



dF 
(i4) { j^muy + «(p-- w');^' 

z =.- «w + w(p- - oj^) ^; 



94 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

ou bien 



:>5) 



p-— / W-— / p- 



• 5 



D-— /( 



j< joutant enfin ces dernières équations, respectivement multipliées par jr, 
;-, z, et ayant égard à la première des équations (i3), on obtient l'équa- 
tion do la surface des ondes 

V ' P'-y p'-^ ?'-i^ 

15. Revenant actuellement aux équations (5), on voit que les 
projections du déplacement atomique sont proportionnelles aux 
quantités 

fl gril lui 

~T 7' ~i ' ^ 7' 

m' / M g W // 

que nous désignerons par X, Y, Z. On a d'ailleurs identiquement 



là' m 



„ ./F 



(17) { Y = ;n = w'-' /«, 



f „ „,•■„ , d¥ 

formules qui permettent, en ayant égard aux valeurs (i3) de À et a, 
d'écrire les équations (i4) comme il suit 

^_p!/+Jix=o, 

(.8) {j-^m+'-Y=o, 

£„+iiz=o. 

Éliminant — et ^5 on a la relation 

w m' 

(19) X {jn — zin) -\-Y {zl — xn) -4- Z{xin — jl) = o, 



PURES ET APPLIQUÉES . gS 

qui moiilre (|iu' lu vibration, la normale à l'oncle et le rayon hunineux 
sont dans un nicnie plan. 

Ajoutant enfui les équations (i8) respectivement multipliées par a-, 
f, z on a immédiatement 

(20) .rX +J-Y -f- 2Z=:o, 

relation cpii montre que la vibration est perpendiculaire au rayon 
lumineux. 

Ces deux propriétés définissent d'une manière simple la polarisation 
d'une onde plane dans un milieu biréfringent, et constituent un théo- 
rème remarquable dont voici l'énoncé : 

Toute oiule plane propagée par un milieu biréfringent est polarisée 
rectilignement. La direction de la vibration est comprise dans le plan 
déterminé par la normale à ronde et le rajo/i lumineux correspondant. 
Elle est de plus perpendiculaire an raj on. 

Symélries ternaire, qiialernitire et iénaire. 

IG. En supposant h = g, on obtient les équations relatives aux 
mouvements simples propagés par les milieux à un axe. 

Dans ce cas, les deux racines de l'équation (/|) sont les suivantes : 



a I 



O' 



(22) ,^ = g/=+/(,„^_^„^). 

Le premier correspond au rayon ordinaire des physiciens, la seconde 
au rayon extraordinaire. Le mode de polarisation se déduit sans dif- 
ficulté des équations (5) qui donnent : 

1° Pour l'onde ordinaire 

(23) P = o, mQ + /<R = o; 

■2." Pour l'onde extraordinaire 

P OR 



{■>■^\ 



/(m' + n') —glm 



siri 



96 JOUKNAL DE MATHÉMATIQUES 

Ces formules montrent que la vibration ordinaire est comprise dans 
le plan de l'onde. Mais il n'en est pas de même pour l'onde extraordi- 
naire. 

On trouve sans difficulté que l'angle V compris entre la vibration 
extraordinaire et le plan de l'onde est déterminé par la formule 

(25) smV = ' " ^ , 

■^ vl/'sin'T + g-'cos'T 

en appelant - l'angle que la normale à l'onde fait avec l'axe principal 
de symétrie. 

L'observation indique que g diffère généralement fort peu de J. 
L'angle V est donc Irès-petii, mais il n'est pas nul comme le supposait 
Fresnel. 

Pour le spath, on trouve, en donnant aux coefficients^, g les valeurs 

que leur attribue l'expérience, que, pour r=ji l'inclinaison de la vi- 

bration extraordinaire sur l'onde est de 6" 1 2'. Pour l'azotate de soude, 
qui est très-biréfringent, sa valeur s'élève à 9*^38'. 

17. Il ne reste plus qu'à mentionner les phénomènes optiques des 
cristaux du système cubique. En ne conservant dans les équations 
que les termes du second ordre, ces phénomènes sont identiques à 
ceux qui se produisent dans le vide et dans les corps isotropes. La 
double réfraction disparaît, et la vitesse de propagation est seule mo- 
difiée par l'action de la matière pondérable sur l'éther. 



CHAPITRE V. 

SUR LES PROPRIÉTÉS DES ONDES PLANES DE l'ÉTHER RExNFERME 
DANS UN MILIEU HÉ.MIÉDRIQUE. 

1. Parmi les phénomènes lumineux qui offrent le plus d'intérêt, on 
doit citer ceux que présentent le quartz, le sulfate de strychnine et 
quelques cristaux du système cubique. 

Le.s cristaux de quartz et de sulfate de strychnine appartiennent, les 
premicis au système rhomboédrique, les seconds au système du prisme 



FURES ET APPLIQUÉES. 97 

droit à base carrée. Ils présentent donc un axe principal de symétrie, 
sénaire pour le quartz, quaternaire pour le sulfate de strychnine. 

Ces cristaux possèdent la propriété de transmettre, parallèlement à 
l'axe |irincipal, deux systèmes d'ondes polarisées circulairenient et se 
propageant avec des vitesses différentes. Les phénomènes constatés 
dans les ondes transmises dans une direction perpendiculaire à l'axe 
ne diffèrent pas sensiblement de ceux qui se produisent dans les cris- 
taux biréfringents homoédriques, tels que le spath. 

2. La double réfraction circulaire donne lieu au phénomène connu 
sous le nom de rotation du plan de polarisation. Ce phénomène, que 
le quartz et le sulfate de strychnine présentent dans une direction pa- 
rallèle a l'axe principal de symétrie, est produit dans toutes les direc- 
tions par certains cristaux du système cubique, le chlorate de soude 
par exemple. 

5. Les faits que nous venons de rappeler sont d'une haute impor- 
tance, et ont depuis longtemps attiré l'attention des physiciens et des 
géomètres. D'après les découvertes de M. Pasteur, ils sont tonjoin-s 
associés à une certaine dissymétrie de la forme cristalline. Dans ses 
Etudes cristallograpliiques, Bravais a précisé le genre de dissymétrie 
qui est l'origine de ces phénomènes, en énonçant ce fait remarquable 
que tous les cristaux connus jusqu'à ce jour comme doués du pouvoir 
rotatoire optique, appartiennent à la catégorie des cristaux hémisymé- 
triques [*]. • 

Nous verrons, en effet, que tous les faits constatés par l'expérience 
et les lois qui le régissent se déduisent des équations relatives aux cris- 
taux hémisjmétriques possédant un axe principal de symétrie. 

4. Les lois qui dérivent des équations propres aux cristaux dicho- 
syraétriques sont fort difféientes. 

La polarisation n'est jamais circulaire : elle est toujours rectiligne 
ou faiblement elliptique. Ce qui semble caractériser la dicfiosjmétrie, 
c'est l'extinction plus ou moins grande de certaines radiations lumi- 
neuses. 

[*] Journnl de l'Ecole Polytechnique, 34' caliier, p. 222. 

Tome XIII (2' série ). — Mabs 1868. ' >J 



98 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Les équations indiquent, par exemple, que les cristaux dichosf mé- 
triques du système ternaire ne peuvent transmettre que des ondes éva- 
nescentes parallèlement à l'axe principal de symétrie, et que des deux 
ondes propagées dans une direction perpendiculaire à l'axe, l'onde 
extraordinaire se propage sans s'affaiblir, et l'onde ordinaire est géné- 
ralement évanescente. 

Ces résultais de la théorie se constatent effectivement siu- la tourma- 
line, dont les cristaux appartiennent à Vhéiniaxie dichosyinétrique du 
système ternaire [*]. On sait, en effet, qu'une plaque de tourmaline 
taillée perpendiculairement à l'axe éteint plus complètement la Inmière 
qu'une plaque de même épaisseur taillée parallèlement à l'axe [**], et 
qu'une plaque à faces parallèles à l'axe, d'une assez faible épaisseiu', 
éteint généralement le rayon ordinaire, et laisse passer le rayon extra- 
ordinaire. 

5. Les équations relatives au sulfate de strychnine sont les équa- 
tions (12) du tableau. 

Celles du quartz sont en réalité les équations (9). En effet, bien que 
le quartz appartienne au système sénaire, ses cristaux sont hémiaxes, 
et la symétrie de sa molécule représentée par le symbole 

(A% 3L%oC, oP) 

est ternaire [***]. Mais les termes |)ar lesquels le système (9) diffère du 
système (12) sont évidemment négligeables quand les rayons transmis 
sont peu inclinés sur l'axe. Or, ces rayons seuls offrent des particula- 
rités importantes : on pourra par suite déduire les propriétés du quartz 
des équations (12). 

Enfin les systèmes (10) et (i5) du tableau correspondent à la tour- 
maline et à ceux des cristaux du système cubique (chlorate et bro- 
mate de soude, acétate d'urane, etc.) qui, d'après les expériences de 
M. Marbach, possèdent le pouvoir rotatoire. 



[*] Journal de l'École Polytechnique, 34" cahier, jj. 244- 

[**] Voir la Cristallographie de M. Des Cloizeaux. 

[**'J Journal de l'École Polytechnique, i^' caliiir, p. 1^0. 



PURES ET APPLIQUÉES. 99 

G. Nous ajouterons que le tableau coiiipreiul aussi (système n" Q) 
les équations qui régissent les phénomènes optiques des cristaux hémi- 
symétriques du système prismatique. 

Ces équations sont assez simples, et ne renferment qu'un assez petit 
nombre de paramètres indéterminés. 

Il sera intéressant de rechercher les lois qui s'en déduisent pour les 
comparer aux faits d'expérience auxquels donnent lieu certains cris- 
taux, tels que le formiate de strontiane, étudié par M. Violette, l'aspa- 
ragine, le glucosate de sel marin, etc., qui remplissent, suivant Bravais, 
les conditions de symétrie dont il s'agit. 

Nous essayerons de le faire dans un autre travail. En se limitant aux 
faits qui ont été signalés précédemment, et à ceux qui font 1 objet du 
Chapitre précédent, la théorie nous semble offrir Tin accord avec l'ob- 
servation assez satisfaisant pour que les principes qui lui servent de 
base paraissent dignes de l'attention des physiciens 

Les relations nouvelles qu'elle établit entre les phénomènes optiques 
des corps et leur forme cristalline nous paraissent particulièrement 
importantes, parce que leur vérification expérimentale doit être consi- 
dérée comme une confirmation, non-seulement de la théorie des 
ondes, mais encore des conceptions sur lesquelles repose, dans l'état 
actuel de la science, l'explication des phénomènes et des lois cristallo- 
graphiques. 

Jnaljse. 

7. Holoaxie hémisymétrique des systèmes quaternaire et sénaire. — 
Écrivant P, Q, R au lieu de u, i', iv dans les équations (12) du Cha- 
pitre III, et posant dans les mêmes équations 

oi = -, a=^ kl, /3 = km, 7 = ku, 
9 = /P + mQ ^- «R, 

on obtient le système suivant : 

/ bV =-/lf +/, k{m R - «Q), 

(i) ! £'Q = _^m9- A(g, «P-hg,/R), 

£'R = - à'« ? -H k{g, mV -+- go /Q). 

i3. 



loo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Par suite, P, Q, R, f sont respectivement proportionnels aux quan- 
tités 

fh'-^ + g,/.^-l[Jg,l^+gJ\{,n^-^n-)], 

g,ms'-kl,i [gg, s -+-Jg, s') - g, k'm [fg, r- + g/\ [nr + «-)], 

gn es'+ klin{gg,s+Jg, e') - g, k'n [Jg,l' -+- gf, {m' -h ?r)], 

- es" - glk"-Ps +J\ g, k'inr + n^) î'. 



Je pose 



,2\ 



B^ gJ- — g,im''-\-n-), 



et je néglige le produit de deux paramètres/,, g,, g. multiplié par 
une des différences c?, 6, s'; je trouve ainsi : i° les rapports 

.o^ P ^ Q _, R - "^ -, 

^ '' fl[s.'-'-^g,k'k) gm{îs' — g,A'A) — iln^ gn [ee'— g,PA) -h klni à —es"' 

2" l'équation caractéristique 

(4) £'^ 4- c? (/«= + ?/=)£' 4- A-^AB = o. 

8. Soit T l'angle que la normale à l'onde plane fait avec l'axe de 
symétrie, on aura 



l = cosT, y/m'^ + ri- = sinr, 
A = g- cos^T -hj', sin-T, B = g2 cos^'x — g, sin^'x, 

et l'équation (4), résolue par rapport à e', fournira les deux valeurs 



2£'= _ o"sin-T±V(?-sin*T-4/f'AB, 

le signe + correspondant à l'onde ordinaire et le signe — à l'onde 
extraordinaire. 

Dans ces valeurs on peut, avec une approximation suffisante, rem- 
placer k sous le radical par la valeur approchée yjga ou \'gsi, et 



PURES ET APPLIQUEES. loi 

l'on obtient ainsi 



(5) 2£'= - c?.in^T± v'(?'sin^T+ 4gj-AB. 

On voit aisément que, pour des rayons peu inclinés sur l'axe, les deux 
valeurs de w qui résultent de la formule (5) sont réelles : par suite, 
les deux ondes se propagent sans extinction. 

9. Par suite aussi, la valeur de A, correspondant à chacune des 
deux ondes, est imaginaire de la forme hi. Les rapports (3) peuvent 
donc s'écrire 

(6) ^ R , 



flii'^ — gJi'A) gm[tt'-^gJi'k)—lilnM gn{zs'-hg,h'A)-h/ilmM — ;s" 

Ces expressions peuvent être transformées à l'aide de l'équation (4). 
On tire, en effet, de cette équation 

e"- g,h\\^ - (m- -h fi-)[âB' + h' {g, + g^) A], 
EE'+g, /rA= P [c?s'+/i^(g,+ g,)Aj; 

par suite, en posant 

(7) l = o\'+h^g, + g,)\, 

il viendra 

(8) 



_ ? 



-fl[m' + n^)\ gmin — hlnM gnPl -^- /i/mM 

ou bien, en désignant par t l'angle que fait avec l'axe des x la nor- 
male à l'onde, et par w l'azimut de cette ligne compté à partir du 
plan xoj-, 

(9) " « 



-/sinrX gcoswcosT^ — AsinwA; ^sinw cost X -I- // coswii /' 

La polarisation qui résulte de ces formules est généralement ellip- 
tique. Pour étudier les lois de celte polarisation, nous négligerons le 
produit de deux des quantités /,, gi, ga» et même celui d'une de ces 



102 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

quantités par c? ou un paramètre de même ordre. En admettant cette 
approximation, on a les réductions suivantes. 

10. Onde extraordinniie. — Nous réduisons les valeurs (7) et (2) 
de ). Pt A aux suivantes : 

X = âi\ 

^^ 8{S2--^ g, £'), 

et y remplaçons, au même degré d'approximation, s, s' par leurs valeurs 
approchées 

£ = (?cos^T, £'= — c?sin^T, 
de sorte que 

A = gâ {g^cos-T — g, sin^'T) = gâB. 

Par suite, les formules (g) deviennent 

P _ Q R 



(10) 



— /sinre' g (coswcnsT e' — ^sinwB/) g- (sinwcosT + /(cosmA/) 



Tous les éléments de la trajectoire elliptique se déduisent comme on 
l'a observé (Chapitre I, n° 3) de la quantité P- + Q= + R% qui se 
réduit, dans le cas actuel, à la suivante : 

Me«'= £'=(/^sin='T + g-cos=T) — gVj2B% 

d'où l'on tire évidemment 

M = r-{f' sin-T -I- g» cos=t) - gVi^'BS 



0=0 
Ue plus, l'intensité du mouvement est donnée par la formule 

(12) I = e''(/=sin^T + g^cos^T) + g^frB'. 



On aura donc, pour la valeur p = 1/- — - du rapport du petit axe 
au grand 

('3) p = -=^É^=^, 

i'^/'^a'T -hg'cos'r 



PURES ET APPLIQUÉES. io3 

ou, approximativement, 

(i4) P = -- 

L'argument Q se réduisant à zéro, les projections du demi-petit axe 
sont représentées par les coefficients de / dans P, Q, R D'après les 
valeurs (lo), ces projections sont proportionnelles à 

o, sinu, — cosw, 

d'où l'on déduit immédiatement : 

Que le petit axe de l'ellipse est perpendiculaire à l'axe principal de 
symétrie et est compris dans le plan de l'onde, de sorte qu'il est per- 
pendiculaire au plan déterminé par la normale à l'onde plane et l'axe 
de symétrie. 

Pour achever de déterminer les éléments du mouvement elliptique, 
il suffit de calculer l'angle V que le plan delà trajectoire fait avec le 
plan de l'onde. On obtient cet angle en déduisant préalablement des 
formules (lo) les cosinus des angles que la normale an plan des deux 
axes de l'ellipse fait avec les angles des coordonnées. On trouve ainsi 

SHîV = - , 

2 \/ /- sin'r -r- g' COS^T 

Par suite, au degré d'approximation adopté, l'angle du plan de 
l'ellipse avec l'onde plane extraordinaire se confond avec celui que 
forme, dans les cristaux horaoédriques, la vibration rectiligne extra- 
ordinaire avec le plan de l'onde. 

11. Onde ordinaire. — Désignant par e', la racine de l'équation (4) 
qui correspond à l'onde ordinaire, et par s' celle qui se rapporte à 
l'onde extraordinaire, on a 

£'£', == - h'AB. 
Par suite, la valeur (7) de X relative à l'onde extraordinaire peut être 



io4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

mise sous la forme 

, _ — ô/i-AB + £'//-(gi + gO A 

Remplaçant au numérateur e' par sa valeur approchée — d^siii'i et 
B par sa valeur ga cos^t — g, sin^T, on obtient 

(.51 ). = _i^. 

Quant à la valeur de A, elle peut être réduite dans l'approximation 
adoptée à 

(i6) â = gg.(?. 

En tenant compte des valeurs (i5) et (16) de ). et A, les rapports (9) 
deviennent 

, ^ P Q R 

(17) ^ ^ = • 

^ '' — f/isimA g(/( cosw cosT A + e' sinw/) g[/ismucosrA — s'cosuj) 

La quantité P- -1- Q- 4- R" devient alors 

A=A-(/=sin-T + g=cos'T) -g=e'% 

de sorte que l'on a 

Dans ce cas, le rapport du petit axe au grand est donné par la 

formule 

I 

('9) P = 



h A \J f'' sin-T -f- g- cos't 
OU approximativement 

L'argument 6 étant égal à n, on aura e ' = — i. Donc d'après le 



PURES ET APPEIQIJÉES. io5 

théorème génér;il <hi Chapitre I les projections (hi deini-grancl axe sont 
les parties réelles des trois quantités que l'on ohtiei)! en multipliant 
par — / les quantités auxquelles les constantes P, Q, R sont propor- 
tionnelles rl'après les lelations (17). On en conclut que la direction du 
grand axe de la trajectoire elliptique ordinaire coïncide avec le petit 
axe de la trajectoire elliptique extraordinaire. 

12. Le sens du mouvement elliptique dans chacun des deux rayons 

dépend, comme on l'a vu (Chap. I, n° 8), du signe du coefficient de / 

Il Q /-! en ■ . 1 . j?/' sin M B , 

nans le rapport - • Ce coerhcient est égal a ^V-^ ; pour le rayon ex- 

1 I P '^ y siriT e' ' 

. j- • . ' g-sinw e' , I- 1-^1 11 

traorduiaue, et a — -p. — -. — — pour le rayon orcnnaue. D ailleuis, pour 
jh SUIT A ' ■' ' 

des valeurs de t voisines de zéro, le signe de B et celui de A sont égaux 

à celui de g^ cos-t. Donc, le mouvement elliptique s'effectue en sens 

inverse dans les ondes ordinaire et extraordinaire. 

13. En résumé, on voit que dans les cristaux hémisymétriques qui 
ont un axe principal : 

1° Deux ondes planes peuvent se propager dans la même direction 
avec des vitesses différentes données par la formule 

(21) «= = g — -^ - sj —^ ^ ^'^^^ 

le signe + appartenant à l'onde ordinaire, et le signe — à l'onde extra- 
ordinaire ; 

a" Ees deux ondes planes qui peuvent se propager dans une direc- 
tion inclinée sur l'axe principal sont polarisées elliptiquement. 

Le grand axe de la vibration ordinaire est perpendiculaire à la 
section principale. Le plan de la trajectoire se confond avec celui de 
l'onde. 

La direction du petit axe de la vibration extraordinaire se confond 
avec celle du grand axe de la vibration ordinaire. Le plan de la trajec- 
toire fait avec le plan de l'onde un angle très-petit déterminé par la 
formule 

I ^sin'-r 

(22 sinV = 



2 ^/'sin^T -hg^'cos^T 

Tome Mil (-j'séiie). — Mars iSGS. I /| 



io6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

3° Le rapport du petit axe au grand, dans les ondes ordinaire el 
extraordinaire, est donné par les formules 



■^ A (g-,cos'T -t-y, sin'T) 

'23) l , /'(gîCos'T — g-.sin'T) 

P — j ' 



\ it' =z — ^sin'r — v/^'sin^T 4- f^g.s'' { g. cos't -i-/, sin^r) (g-.cos'r — ^i sin^r). 

I^e rapport des axes diminue à mesure que la direction des ondes 
s'éloigne de l'axe principal. 

Pour les ondes dont la direction est peu inclinée sur l'axe, les deux 
valeurs de p satisfont sensiblement à la relation 

PP' = ' • 
Enfin, les deux ondes sont polarisées en sens contraires. 

li. En supposant t = o, les formules (23) doiuient i' -— ^gjcos^r, 
p = p' =z i . Donc les ondes propagées parallèlement à l'axe principal 
de symétrie sont polari.sées circulairemeitt. 

Il est remarquable que ce résultat soit indépendant de toute hypo- 
thèse sur la constitution de l'éther, et soit la conséquence nécessaire 
de la modification particulière de la forme cristalline que Bravais a dé- 
signée sous le nom d'hémisymélrie. 

Si on considère, en effet, les équations générales des vibrations de 
l'éther renfermé dans un cristal hémisymétrique doué d'un axe prin- 
cipal de symétrie, sous la forme que nous leur avons trouvée dans notre 
premier Mémoire, on voit qu'elles se réduisent aux suivantes pour les 
ondes perpendiculaires à l'axe 

Jn ^21 Gj désignant nécessairement des fonctions de a'\ Par suite, les 
propriétés des ondes planes se déduisent des relations obtenues en 



PURES ET APPLIQUÉES. 107 

écrivain P, Q, R au lieu de m, v, w clans les équalions ci-dessus. Or, si 
on ajoute ces relations respectivement multipliées par P, Q, R, on 
obtient la condition néces.saire et suffisante de la polarisation circu- 
lain> P- + Q= + R2 = o. 

15. M. Airy a démontré le premier que dans le quartz les rayons 
inclinés sur l'axe sont polarisés elliptiquement. Il a montré que les 
faits observés s'expliquent en admettant que les vibrations s'exécutent 
en sens inverse suivant deux ellipses dont les grands axes sont à angle 
droit, et qui s'allongent de plus en plus quand la direction des rayons 
s'éloigne de l'axe [*]. 

Les formules de la théorie confirment cette hypothèse, et donnent 
le rapport des axes dans chaque ellipse et la différence de marche des 
deux rayons. Elles concordent avec celles que Cauchy a données pour 
les rayons peu inclinés sur l'axe, et que M. ,Tamin a vérifiées par ses 
belles recherches expérimentales [**]. 

16. Héniioxip dichosjmétrique du système ternaire. — On déduit 
des équalions (10) du tableau (Chap. Ill), le système suivant 

j £P =- jl(f +/,A-(/«Q + «R), 

' £'Q = -g«y +/■ (^, "P+gJR)-//,/i(/»R + «Q). 

En négligeant les produits deux à deux des coefficients des termes 
du troisième ordre, on peut remplacer dans ces termes P, Q, R par les 
valeurs que prennent ces quantités, quand on ne prend que les termes 
du second ordre. 

En opérant ainsi, on obtient le résultat que voici : 

17. 1" Onde ordinaire. — Une première approximation donne 

P = o, ffl = o. 



[*] Transactions (le Cambridge, i832. 

[**] Comptes reiului- des séances de l'Académie des Sciences, t. XXX. 

14., 



io8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Introduisant ces valeurs clans les termes du troisième ordre, il vient 

(2fc)) ' ^ £'Q=..-g/7î© + g2A7Q + //,/f(/HQ-/iR), 

( £'R = - grif-h giklR — /i,k{inR + «Q). 

D'ailleurs, au même degré d'approximation, on déduit de l'équa- 
tion mO + «R = G, les relations 

Q R /«Q — «R _ w R -H «Q _ rtQ — //( K 



« — m 2.11111 — m^ + n' m'' + n' 

qui permettent d'écrire la deuxième et la troisième des équations (26), 
sons la forme suivante 



£'R ^ - g«9 +g-,/./R H- //,A'4^(«Q - '«R). 



En multipliant la première de ces nouvelles équations par n, la 
deuxième par m, et retranchant les résultats l'un de l'antre, on a l'é- 
quation caractéristique 



(■27) or = g-^g,kl^ /i,k—- 



ôinn' — m' 



m' -f- n' 



IS. ■!" Oncle extraordinaire. — Multiplions la première équalion 
(26) par £, et les deux autres par e'. Dans les résultats, sulistituons 
aux P, Q, R des termes du troisième ordre ainsi qu'à t, i' leurs valeurs 
approchées tirées des formules (21}, (22) et (a/i) du Chapitre IV. Né- 
gligeons enfin les produits de/,, g,, g^i ^'i P'T" '^ = g — /■ I' vient 

■,28) I " Q = - \S"'' + è'ê' ^/'« + gg^f^ j„t:^^ + gf'^l^ -In^-^r^r I ^ 



PURES ET APPLIQUÉES. tog 

et on en déduit l'équation caractéristique 

(29) «==/+ âr--{f, + g,)kl{m'-h n') -hgM'^fhl' - „,^_„: ■ 

19. Soil T l'angle de la normale à l'onde avec ox, et o) son azimut. 

/ = cosT, m = siuTCOSo;, /j = sinx sino), 
les équations (27) et (29) deviennent 

(30) '^)' = g + A (g^cosT — A,sinrcos3fo), 

W- =f -\- t?COS''^T 

+ A-COSt[g2COS-T — (/', -f-g,)sill'T-l- ^.siUTCOSTCOs'îoj]. 

Pour qu'une onde plane persistante se propage sans s'affaiblir, il 
faut que k soit de la forme ///et la valeur de 00 réelle. Or les équations 
(3o) et (3i) ne peuvent être satisfaites par de pareilles valeurs de k et w. 
Les ondes sont donc généralement évauescenfes. 

Mais si ou suppose cost = o, c'est-à-dire si le plan de l'onde est pa- 
rallèleà l'axe principal, le coefficient de As'atinide dans l'équation (3i). 
Dans la même hypothèse, il ne s'annule pas dans l'équation (3o). 

Donc une onde plane ordinaire parallèle à l'axe est généralement 
évanescente, et une onde plane extraordinaire j)eut se propager sans 
s'affiiiblir. 

Une onde plane ordinaire peut cesser d'être évanescente, d'après la 
formule (3o), quand on a cosr= o, cos3w = o, c'est-à-dire quand 
elle est parallèle à l'axe principal et perpendiculaire à un des trois 
plans de symétrie de l'assemblage. I! serait intéressant de rechercher 
expérimentalement les phénomènes que présente une tourmaline dans 
ces conditions. 

20. Holoaxie hémisjmétrique du système terqiiaternaire. [Équa- 
tions (i5) du tableau]. — Les propriétés des ondes planes résultent 
des équations 

1 ("' -/) P = - Jl ? +/< i'{" Q - '"^h 

(32) («'-/)Q = -/'«?+y.'^'(^R - nV), 

\ («2_/)R == _y„ç + /,A('//P - /Q). 



no JOURNAL DE MATHEMATIQUES 

En ajoiitanl ces équations multipliées par /, w, u, il vient 

o)-y = o 

d'où 0)- = o ou bien ip = o. Cette dernière condition est celle des 
ondes lumineuses. En l'introduisant dans (32), on a 

, (or-/) P =//,(// Q-mR), 

(33) (co=-/)Q=/.A(/R -,.P), 
f (or-/)R=yiA(/«P~ /Q). 

Des deux premières équations (3), on tire les relations 

(34) P _ Q _ R 



qui, en ayant égard h IP -h niQ -h nli\ = o donnent l'équation carac- 
téristique 

(35) (^^_yy+y_2A- = o 

qui pour une valeur de A de la forme hi fournit deux valeurs 
réelles de oy. Le milieu propage donc sans extrnction, avec des vitesses 
différentes, deux ondes planes dans la même direction. 

*21 . La polarisation se déduit immédiatement des équations (33) qui 
entrainent la relation P^ + Q^ -t- R^ = o. Elle est donc circulaire. 

D'ailleurs, en tenant compte de l'équation (35), les relations ^34) 
deviennent 

(36) T-^=-^ = ^- 

Le signe du coefficient de / dans le rapport —change donc quand 

on passe d'une des deux ondes à l'autre. Par suite, les deux ondes sont 
polarisées en sens contraires. 

En résumé, les cristaux holoaxes héniisyniélriques du système ter- 
quaternaire propagent dans toutes les directions deux ondes planes 
polarisées ciculairement en sens inverse et possédant des vitesses de 
propagation différentes. De là résulte le pouvoir rotatoire. 



PURES ET APPI,TQUÉES. , i , 

SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE 

DES 

ÉQUATIONS PRIMITIVES DE DEGRÉ /.^ 

{p ÉTANT PREMIER IMPAIR); 
Par m. Camille JORDAN, 

Ingénieur des Mines. 



tonne 



neaire 



Nous avons établi dans un précédent Mémoire (t. XII de ce journal, 
a"" série) que le groupe de toute équation primitive et soluble par 
radicaux de degré p- s'obtient en combinant aux sidjslilutions de la 

., ' "" groupe 41 (le substitutions de la forme li- 

j j -i- a. 

oc ax -\- b y 
j a'x -+- b'j 

Nous démontrerons ici que les groupes des équations cliercbées se 
ramènent tous à l'un des trois types suivants : 

Premier type. — Il contient i {p — i)-/>^ substitutions dérivées des 
suivantes : 



E = 



JC X 

J ï 



a 

a' 



Y =-- 



X m X 



et G = 



X J 



les constantes v. et a' prenant, dans les diverses substitut ions du 
groupe, tontes les valeurs de la i-uite o, i , . . . , p-\, et m, m' prenant 
chacune la suite des valeurs i ,..., /j — i . 

Deuxième tjpc. — Il contient ■2[p^' - 1)^=" substitutions dérivées 
des suivantes : 



E = 



X X + a. 



I X -^x + âe) 
I J âx + yj 



et (i 



X 



X 



r -r 



lia JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

e étant un résidu quadratique de /> choisi arbitrairement; y., a',. . va- 
riant cliacun de o à p — i, ainsi que y et â, en excluant seulement le 
système de valeurs 7 = 0, c? = o. 

Troisième tjpe. — Il contient 24 (/^ — i)^- substitutions, et change 
de forme suivant que p^ I ou =s 3 (mod. 4) 

1" Si psE I (mod. 4)> il est dérivé des substitutions suivantes : 



E = 



F = 



X 


X -t- 


y. 


r 


r + a! 


X 


ax 




r 


ay 


1 



, M, = 



M, = 



X jx 

r -il 

X jj 

y jx 



X 


X — jr 


J 


X + jr 


X 


X -^ y 


J 


x^y 



j étant une racine de la congruence ;^ ^ — i (mod.^j; œ, a' variant 
de o à /? — I , et a de I h p — i . 

2" Si /J =^ 3 (mod. 4)) il est dérivé des substitutions suivantes : 



E = 



F = 



P = 



X X -\- a 

J I ^- ^ 

X ax 

J «J 

X 



M. = 



Mn 



{l + Si) X 



y 



X -^ [st — i 



X Y 


t 


X SX -1- ty 


y tx - sy 




■> 



X SX + [t -\- \) y 
y {t-\)x-'Sy 



s eX. l étant deux entiers arbitrairement choisis parmi ceux qui satis- 
font à la coiigruenco j^ + t^ss; — 1 (mod.p); a, «', «variant comme 
précédemment. 

Réciproquement, les trois types de groupes ci-dessus appartiennent 
à des équations primitives solubles par radicaux ; ils sont en outre 
généraux et distincts, sauf les cas d'exception suivants : 

i" Si p = 3, le preujier et le deuxième type sont contenus dans le 
troisième, qui est seul général ; 

2° Si p —-5, le premier type est contenu dans le troisième. 



PURES ET APPLIQUÉES. ii3 

Galois avait annoncé que les éqnalions primitives et solubles par 
radicanx rentreraient dans nn type unique, sauf pour le neuvième et le 
vingt-cinquième degré, qui préscnleraient certains types exceptionnels. 
On voit par les énoncés qui précèdent qu'il faut prendre presque 
exactement le contre-pied de celte assertion. 

La méthode dont nous ferons usage pour établir ces propositions 
s'applique, avec quelques niodifications, aux équations priuiitives 
d'un degré quelconque. Nous réserverons cette généralisation pour un 
ouvrage spécial. Il nous suffit |)ré£entement de mettre eu évidence, 
par nn exemple simple, le fait de la pluralité des types généraux 
d'équations résolubles. 

I. 



I. Soient z^ehoijc -h ny [moâ. p), u ee;^ m'jc- -h n'j {mod. p) (]eux 
fonctions linéaires de x el (\c j (elles, que le déterminant 



m 

m' 



II 
n' 



ne se réduise pas à o (mod. p). A chaque système de valeurs de a-, j 
correspondra un système de valeurs de z, //, et réci|)roquement. Cela 
posé, au lieu de caractériser les diverses racines de l'équation proposée 
par les valeurs de x, j qui leur correspondent respectivement, on 
pourra les caractériser par les valeurs de z, u. Voyons ce que de- 
viennent, après ce changement d'indices, les substitutions du groupe 
de l'équation. 

OC oc —\- & 

, -, accroissant x et r respectivement 
y y + a' ^ P 

de Cf. et a', accroîtra z de ma. -t- ne/! et u de m'a -f- n' a! \ elle prendra 

z + ma + n u' «• ,, r -, . 

Î5I 1 on tait varier a et a , 



La substitution 



donc la forme 

u u + m' u + n' a' 

mo. + na' et m'a. -i- n' v' prendront successivement tous les systèmes 

X x-\- a.\ 



de valeurs possibles. Le faisceau formé par les substitutions 

conservera donc sa forme après le changement d'indices. 
Considérons maintenant une substitution S de la forme 



y .r 



\ X a X A- h ) 
I J' a'x H- b'y 

Tome Xlll (2'' sorie\ — Mars 1868. 



ii4 JOURNAI> DE MATHÉMATIQUES 

Elle remplace z par 

m [ax + bj) 4- n [a'x 4- b'j) 
et II par 

m' [ax + ir) -r- n'[a'x + i^'j'). 

D'ailleurs x et j- sont des fonctions linéaires de z, ;r, donc la substi- 
tution considérée remplace z et ii par des fonctions linéaires de ces 
quantités; mais ces fondions linéaires contiennent les indétermi- 
nées m, n, m', n', dont on peut profiter pour simplifier la nouvelle 
expression de S. 

Or il existe en général deux fonctions distinctes, que S multiplie 
chacune par un simple facteur constant. En effet, pour que z'=/Mar+«j 
jouisse (le cette propriété, il faudra que Ton ait 

m [ax -+- by) -h n [a'x -+■ b'j) ^ Az ^ A- [mx -h «>), 

k étant ce facteur constant; d'où les relations 

[ ma -+■ lia' ^ km, 
'^^ i mb -+- nb'~kn. 



qui détermineront le rapport — ) pourvu qu on prenne pour A une ra- 



cine de la congruence 



a — k a' 

b b' - k 



(mod. p) 



à la forme 



i" Si cette congruence a deux racines réelles, « et j3, il existera 
deux fonctions, z, u, que S multipliera respectivement par a et p; 
en les prenant pour indices à la place de z et de u, on aura ramené S 
z az 
u |3« 

2° Si ces racines sont imaginaires, soit / une racine d'une con- 
gruence irréductible du second degré choisie arbitrairement, celle-ci, 

par exemple. 

^^ -EC (mod.^), 



PURES ET APPLIQUÉES. ii5 

e étant un non-résidu quadratique de p pris à volonté; les deux ra- 
cines de l'équation en A' seront des entiers complexes conjugués, a-\- fii 



et (a ■+- 



p/)". 



|3/'', formés avec cette imaginaire; les valeurs 



correspondantes de — > déterminées par les relations (i), seront elles- 
mêmes des imaginaires conjuguées; les deux fonctions z et u seront 
donc respectivement égales à X -f- /Y et à X -t- /^Y, X et Y étant des 
fonctions linéaires réelles de j?, j; et S, rapporté à ces nouveaux in- 

z (a + /3/)z 
u (a + p//')» 

3° Si les racines de la congrueuce (i) sont égales, il n'existe qu'une 
seule fonction z que S multiplie par un facteur constant. Soit ii une 
autre fonction quelconque de x et j", S prendra la forme 



dices, sera de la forme 



z uz 
u |3z 



V" 



On a d'ailleurs y = a, sans quoi la congruence 

^ o (mod. p) 



ce- k 

/3 



7 



aurait ses racines inégales, et il y aurait contre l'hypothèse deux 
fonctions de z, u, ou, ce qui revient au même, de a\ j, que S multi- 
plierait par lui facteur constant. 

Nous obtenons donc ce premier résultat : 

Toute substitution linéaire S peut être ramenée par ufi choix d'in- 
dices convenable à l'une des tioisjormes canonupies suivantes : 



z 


az 




z 


{a-h [ii)z 




Z 


uz 


u 


Eu 


1 


u 


{c/. + ^iP)u 


t 


u 


fiz 



an 



2. Cela posé, les substitutions .Ç^ formant un groupe résoluble, on 
pourra y déterminer un faisceau F de substitutions échangeables entre 
elles, et auquel toutes les substitutions J.^ seront permutables [voir le 
Mémoire cité, Chap. l", théor. IV). S'il y a plusieurs manières de déter- 
miner un premier faisceau F satisfaisant aux deux conditions ci-dessus, 

i5.. 



ii6 JOURNAf. DE iMATHÉMATIQUES 

on peut admeltre qu'il ait été choisi de manière à contenir le plus 
grand nombre possible de substitutions. Il contiendra, dans ce cas, 
toutes les substitutions qui nudtiplient les deux indices x et j par ini 
niêiiie facteur constant. 

Soit en effet 2 une de ces substitutions : elle est évidemment échan- 
geable à toute substitution linéaire. Soient, d'autre part, Q, R,... les 
substitutions qui, étant adjointes successivement à F, reproduisent le 
groupe -C- Le groupe dérivé des substitutions I, F, Q, R,... est évi- 
demment résoluble et contient toutes les substitutions de 4^; mais, par 
hypothèse, il ne peut être plus général : donc il se confond avec <_. 
En outre, le faisceau (2, F) a ses substitutions échangeables entre elles; 
il est permutable à foutes les substitutions de J^; il jouit donc des pro- 
priétés qui caractérisent F, et serait plus général, contrairement à 
l'hypothèse faite, si F ne contenait pas 2. 

Il peut se faire : i" que F ne contienne d'autres substitutions que 
celles de la forme 2; 2° ou qu'il en contienne quelque autre, S. Ce 
dernier cas peut se subdiviser en trois autres, suivant la forme cano- 
nique à laquelle se réduit S. 



Z IXZ 
U ^11 



Soit T 



-, a étant ^ /3. 
une autre substitution quelconque de F: 



5. Premier cas. — S est réductible à la forme 

z nz -V- bu 
u b' z -\- a' u 
elle doit être échangeable à S; d'où les relations 

nuz -^ b ^u^ x{(iz + bu), 
b'az -4- n'^u^EE ^ {b' z -h- a'n), 

lesquelles doivent être identiques, quels que soient r. et u On aura 
en particulier b^a^c/.b, b'ry.^^b', d'où b^£o, b'^o. T se ré- 
duira donc à la forme 

.Soit U = 



u a u 
z inz -h nu 
u n' z -f m'u 
elle est permutable à F; donc U~'SU=:T ou SU = UT, Tétant une 



une substitution quelconque de <. : 

F-'SU = T ou SU=::UT, Tétant une 
substitution de la forme que nous venons de déterminer : égalité cpii 



PURES ET APPLIQUEES, 



«17 



donne les relations 



d'où 



[a — «) m 



muz + n/3« E£s rt (mz -h nu), 
n'az + m' ^u ese a'{n'z -+- m'u), 

= {a- /3) «--(«'- a)n' = (n'- /3)m'^o. 



Si [a — !z)<o, on aura m^o, et le déterminant mm' —un' ne 
pouvant s'annuler, on aura n/j'^o; donc a'— a^o et a' — /5^o, 
d'où m';^o. 

Si a — a^o, on aura (î — /^ < Oi d'où ?z^o, et par suite //i'^ o, 
d'où a' — |3 ;s£; o, a'— a^o, et enfin /z'^ o. 

Les substitutions de /^seront donc toutes de l'une des formes géné- 
rales 



z mz 
H m'u 



z nu 
u riz 



Réciproquement, l'ensemble des substitutions de ces deux formes 
constitue un groupe résoluble, car il s'obtient en combinant aux sub- 

lesquelles sont échangeables entre 



stitutions du faisceau 
elles, la substitution 



qui lui est permutable. 



u m u 
z u 
u z 

On a ainsi lui premier type d'équations solubles par radicaux, dont 
le groupe s'obtient en combinant ensemble les substitutions 



z mz + or. 
u m' H -+- x' 



et 



L'ordre de ce groupe est évidemmennt égal à 2 (p — 1)7^', « et a' pou- 
vant prendre toutes les valeurs o, i,.., p — i, et i}i, m' les valeurs 



P- 



aux seules substitutions 



Par l'extraction d'une racine carrée on poiura réduire ce groupe 

z mz + a I ^ , , . 

• Le groupe réduit n étant 

u m'u + a I ° ^ 

plus primitif, la résolution de l'équation pourra se ramener à la réso- 
lution successive de deux équations du degré p. 



ii8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

4. Deuxième cas. — b est reauctwle a la i orme 

Les deux quantités conjuguées c( + [ii, a + /iii'' étant supposées 
imaginaires, et par suite distinctes, on voit, comme au cas précédent, 
que les substitutions de J^ se réduisent toutes à l'une des deux formes 



z mz 
n m'u 



z nu 
u n' z 



Mais ici les indices z et u, exprimés en fonction des indices primitifs, 
contiennent l'imaginaire /. Les facteurs w, m', n, n', au lieu d'être des 
entiers réels, comme tout à l'heure, pourront contenir l'imaginaire ;'. 
Soit donc 

m = y -h ai, // = s 4- Ç/, 

ou aura nécessairement 

r?i' ES 7 4- c?/'' = inP, II' — e -}- ÇiP^^ hP. 

Car il est clair qu'une substitution réelle ne peut remplacer z |iar 
(y + ùi)z ou par (s -+■ Ç/) u sans remplacer en même temps l'indice 
conjugué u par la fonction conjuguée (y + èiP) u ou (s + ^iP) z. Les 
substitutions de ^ seront donc de l'une des formes suivantes : 



u 



mz 
mPir 



z nu 
u nPz 



m et n étant des entiers complexes y -l- c?/, z 4- Ç/. 

Réciproquement, le groupe formé par l'ensemble de ces substitutions 
est résoluble; car ses substitutions s'obtiennent évidemment en ajou- 
tant à celles do la première forme, qui sont échangeables entre elles, 

1 qui les permute les unes dans les autres. 
u z 

Le groupe S^, ainsi obtenu, a son ordre égal à a (/)^ — i). En effet, 

7 et ù peuvent prendre tous les systèmes de valeurs possibles (pourvu 

qu'ils ne soient pas nuls à la fois) sans annuler le déterminanl 



substitution 



7 + 



ai) 



âiP). 



PURES ET APPLIQUÉES. 119 

On peut donc les choisir de p- — i manières différentes; de même 

pour £ et Ç. 

On pent d'ailleurs très-aisément chasser les imaginaires de l'expres- 

:■ (7 + t?/) z 
sien de ses substitutions. En effet, la substitution ^^ , _^ ^.p. ^^ ' 

remplf.çant z=XHh/Y par {y + ai) {X ^ iY), et la fonction con- 
juguée u = X+ iPY par la fonction conjuguée (7 + c?/'') (X + /''Y), 
remplacera évidemment X et Y par la partie réelle et par la partie 
imaginaire de (7 + ai) (X + iY), soit respectivement par 7X + oVY 
et âX + yY. Cette substitution, rapportée aux indices indépen- 



dants X, Y, prendra donc la forme 



X 7X -+- oVY 
Y âX-\-yY 



De même la 



substitution 



u 



remplaçant X + /Y par X -+- /'' Y= X - /Y 

X X 
Y -Y 



et réciproquement, prendra la forme 

Combinant aux substitutions ci-dessus les suivantes : 



X X 
Y Y 



a' 



on obtiendra un groupe contenant 2 {p^ - \) p'' substitutions et carac 
térisant un second type d'équations soUibles par radicaux 

z az 
S. Troisième cas. - S est réductible à lajorme 

(/3 étant > o). 

az + bu 



u /5; 



au 



Soit T = 



b'z 



a u 



une substitution quelconque de F : elle 
sera échangeable à S; d'où les relations 

rz az + è (Pz + au) E^a{az-h bu) 

b'az -+- rt'(/3z+ «tt):^/3(rtz + bu) -r- x[b'z-ha'uj, 

d'où l'on déduit b=^ o. Les substitutions de F sont donc toutes de la 

forme suivante : 

z az j 

u b' z + a'u 



I20 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 



Soit uiaintenant U = 



une siibstiliition quel- 



z mz 4- nu 

u 11' z -t- ui'u 

conque de 4^, on aura SU =; UT, T étant une substitution de la foiiue 
que nous venons de déterminer, ce qui fournit les relations 



inaz + Il [[iz -+- au) i:===a [mz + ?iu), 
ii'az + m'{(iz -h au) ^i^ b'{inz -h tiu) -t- a'[n'z -f- m'u), 
d'où 

m [v. — a) -h ^nE=^o, n[a — fl)^o, etc., d'où enfin « = 

Les substitutions P^ sont donc toutes de la forme 



z mz 

u n'z -h m' u 



o. 



Mais ce groupe, combiné avec ks substitutions 



u ne 



z z -+- 
u u -+- a' I 

donnera pas un groupe primitif; car si l'on réimit dans lui même 
système les diverses racines qui correspondent à une même valeur de z, 
il est clair que chacune des substitutions considérées remplacera les 
racines d'un système par celles d'un même système. 
On doit donc rejeter l'Iiypothèse ci-dessus. 

6. Quatrième CAS. — Y est formé des seules substitutions 1. 

On sait qu'on peut déterminer dans i^un second faisceau G tel, 
i" que les substitutions .r^ lui soient permutables; 2" qu'il contienne F; 
.^^ que ses substitutions soient échangeables entre elles aux F près 
[voir le Mémoire déjà cité, Chap. P% théorème IV). 

Si ce faisceau G peut être choisi de plusieurs manières, nous ferons 
en sorte qu'il contienne le moindre nombre possible de substitutions. 

Dans cette hypothèse, soient S, une substitution quelconque de G, 
Sj, S3,... ses transformées par les diverses substitutions de 4^ ; le fais- 
ceau dérivé de (F, S,, S,,...) satisfait évidemment aux trois relations 
qui caractérisent G; il est contenu en outre dans G, et comme il ne 
j)(!Ut êlre moins général, il se confond avec lui. 

Parmi les substitutions Sa,.-, il en existe une au moins non échan- 



PURES ET APPLIQUÉES. i ->. i 

geable à S,, car s'il n'en est pas ainsi, soit <f le faisceau formé |)ar celles 
des substitutions de G qui jouissent aiusi que F et S, de la |)ropri('-té 
d'être échangeables à tontes les substitutions G, elles sont échangea- 
bles entre elles; d'ailleurs les substil niions i^lui sont permutables, car 
étant permutables à G, elles transforment chaque substitution de 9, telle 
que y,, en une substitution contenue dans G et échangeable aux substi- 
tutions transformées de celles de G, lesc[uelles ne sont autres que les G ; 
la transformée de y, fera donc elle-même partie de 9. 

Le faisceau 9 jouirait donc des mêmes propriétés que F, quoique 
plus général, contrairement à nos hypothèses. 

Supposons donc que S2 = T~'S,T ne soit pas échangeable à S,, la 
substitution Sy'T"' S, T = M, fera partie de G, mais sans se réduire à la 
forme F, car elle n'est pas échangeable à S,, et les F le sont. D'autre 
part, son déterminant se réduit à l'unité, car soient r/ et ù les iléter- 
minants respectifs de S, et de T, le déterminant de M, sera égal à 

Soient M2 = T-'M,T, M3 = U-'M,U,..., les transformées de M, par 
les substitutions s^, leur déterminant sera égal à 1 ; en outre, d'après 
ce que nous venons de démontrer, l'ime d'elles au moins, telle que Mo, 
ne sera pas échangeable à M,, et par suite ne fera pas partie de F. 

Il est donc prouvé que G contient deux snbstitulions M, et M^de 
déterminant i , lesquelles nejbnt pas partie de F, et ne sont pas échan- 
geables entre elles. 

7. Ou peut remplacer x et j par d'autres indices z et u, choisis de 
manière à ramener iM, à sa forme canonique. Ce changement d'indices 
n'altérera pas la forme des substitutions F, car chacune d'elles, multi- 
pliant X eX j par un même facteur constant, multipliera par le même 
facteur toute fonction linéaire de ces indices. 



M, ne peut se réduire à In Jorine 



z az 

n [jZ + uu 



ainsi, soit T 



une substitution quelconque de G; 



z az + hu 

u b' z -h n'u 

elle est échangeable, aux F près, à S; ou aura donc une relation telle 
que ST = TS/i ydésignant la substitution qui multiplie les indices 

Tome XIII {2' série). — Avril 1S68. > 6 



122 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

par un même facteur constanty. Cette égalité donne les relations 



aaz -4- h (|3z + au)^^^Jc/.{az -+- bu)..., 
ah ^zfc/.h, aa + h^J ^Jaa, 

les substitutions de G se réduisent donc toutes à la forme 



d'où 
d'où enfin 



z az 

u b'z -+- a' Il 



chaque substitution de 4^ étant permutable à G, transformera M, en 
une substitution de cette forme; et le groupe 4^ combiné aux sidjstitu- 

z z -h a ' 

u u -h u' 

sième cas). 



lions 



8. Soit donc M, 



\ ne donnera pas un groupe primitif (l'o/r le troi- 
« et /3 étant deux entiers différents, 



z az 

réels ou imaginaires conjugués. Le déterminant de M, étant égal à lu 

1 z az -\- bu . ^ . 

nilé, on aura (xB^eei. La substitution T = ,, , satistai 

' u b z -\- au 

sant à la relation M, T = TM,/^', on aura les conditions 



aaz-h b^u^^fa[az -{- bu), 
h'az + a'^u^f^{b'z-h a'u), 

aa-^Joca, bfiEE^fab, b'a--fh'fi, a'fi-^fa'(i. 



d'où 



Si l'on n'a pas à la fois « = rt' = o, il viendra /= 1 , puis b= b' = o. 
Si au contraire a ^ a' = o, bh' sera ^o, sans q\ioi le déterminant de 
T s'annulerait, et l'on aura 

P^/«, «EE^/P, d'où /^^., 



PURES ET APPLIQUÉES. i aS 

et comme j3 diffère de a, 

Siibstiliiaiit celte valeur dans la relalion a/3;EEEi, il vient 

«■ ^ — I («lod. p). 

Deux cas seront à distinguer ici suivant que/? sera de la forme 4« +i 
ou de la forme 4« + 3. 

9. ]" Supposons p de la forme 4« + i. La congruence 

a" ^ — I (mod. p) 

aura deux racines réelles ±y, et M, prendra la forme réelle 



M,= 






D'après ce qu'on vient de voir, parmi les substitutions de G, les unes 



lui seront échangeables et seront de la forme 



z az 
u a'u 



les autres la 



transformeront en M,ô(ôétant la substitution qui multiplie tous les 

z hlL 



indices par — j), et seront de la forme 



H b' z 



En particulier Mj 



sera de cette dernière forme; on peut d'ailleurs y supposer è = /; 
car soit b^^jin (mod. p); on pourrait prendre mu pour indice 
indépendant à la place de u, ce qui n'altérerait pas l'expression des F 
ni celle des M,. 

Soit donc b = j. Le déterminant de M^ étant égal à l'unité, on aura 



et enfin 



jb'^E^—i^f, d'où b' = j, 

Mo' 



z JU 

u jz 



Les substitutions de G sont toutes de la forme M^^' M'^o'/, /étant une 

i6.. 



124 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

des substitutions de F, et chacun des exposants p,, p^ étant égaux à 
zéro ou à i . 

Soit en effet T une quelconque de ces substitutions; nous venons 
(le voir qu'elle transforme M, en M, ou en M, 6; elle devra de même 
transformer Mj en Mj ou MjS. Supposons pour fixer les idées queT 
transforme M, et Ma en M, 5 et Mo 6, posons 

T=:M,M,T,, 

T, = (M, M2)-'T sera échangeable à la fois à M, et à Mo-, étant échan- 



geable à M|, elle se réduira à la forme 



z az 
u bu 



; pour qu'elle soit 



échangeable à Mj, il faudra en outre qu'on ait h =■ a; donc T, nuilli- 
plie les indices par un même fadeur constant, et par suite fait partie 
de F. 

Soit maintenant U l'une quelconque des substitutions r ; les trans- 
formées de M, et Mo par cette substitution appartiennent au faisceau G; 

soient respectivement M'^' M 2"/' et M\' M'^'y ces transformées, leurs 
déterminants doivent se réduire à l'unité; mais ils sont respectivement 
égaux aux déterminants dey etdey, donc chacune des deux subsfi- 
tutionsy,y" doit se réduire à 6 ou à 6^ = 1 . En outre, ces deux substi- 
tutions sont échangeables entre elles à $'''^'' '^'^'près. Mais elles le 
sont à 5 près, car on a 

M7'M7'M,Mo= e, 



d': 



OU 



do 



;U-' M, Uj-' . (U-' M o U)-' . U-' M, U . U-' Mo U 
= U-'M7'M7'M,MoU = U-'eu = 5, 



donc 



9\9"-i- p\p'-i^^ (moil. 2). 
Cela posé, U résultera de la combinaison de F, M,, M, avec la sub- 



z z — ]U 
u z -f- ju 



slitulion P = 

et la substitution Q := 



n 



, qui transforme M, et Mj en Mj et M, M,, 
qui les transforme en Mj et M,. 



u 
u 



PURES ET APPLIQUÉES. laS 

En effet 

P transforme M, en Mo, et M, en M, Mo, 

P^" » M, M.M^, Mj MoM,Mo=M,, 

Q » M, Mo, Mj M,, 

QP .. M, M, Mo, Mo Mo, 

QP' » M, M,, Mj M, Ma. 

On voit p;ir ce lableau que p', , p\, p'\ , p\ étant égaux à zéro ou à i , 
et satisfaisant à la relation p\ p".^ — p\ p'\ ^e^ i (niod. 2), de quelque 
manière que ces indices soient d'ailleurs choisis, l'une des substitu- 
tions I , P, P-, Q, QP, QP- transformera M, et Mo en M^'M^' et M^' M'^'. 
(Si par exemple on pose p\ = i et p\ — o, d'où p\ = i et p'^ = i, la 
substitution P- produira la transformation voulue : de même pour les 
autres systèmes de solutions. ) Soit V =: Q"" P^ cette substitution ; V~' U 
transformera M, et Mo en M,/' et Mo/". Soit/'= 6''\j" = 6'"', fz, et p.o 
étant égaux à o ou à 1; la substitution (M'I^'Mg') V~'U=y sera 
échangeable à M, et Mo, et par suite se réduira à la forme F; on aura 
donc 

u = vM'';'M^y. 

Donc toutes les substitutions du groupe cherché j^ appartiennent 
comme nous l'avons annoncé au groupe (F, M,, Mo, P, Q). Mais réci- 
proquement .([^contient toutes les substitutions de ce groupe, car 
nous allons prouver qu'il est résoluble. En effet, les F sont échan- 
geables entre eux, M, leur est échangeable, Mj est permutable 
au faisceau (F, M,), P l'est au faisceau (F, M,, Mo), enfin Q l'est à 
(F, M,, Ma, P), car elle l'est au faisceau partiel (F, M,, Mo), et 
d'autre part la substitution Q~' PQ, transformant M, et Mj eu 
M2M, = M,M2e et M,, est égale à P'M,/, /= (P^M,)-' Q-' PQ 
étant échangeable à la fois à M, et à Mj, et appartenant par suite au 
faisceau F; donc Q~' PQ appartient au faisceau (F, M,, Mo, P). 

L'expression générale des substitutions ^ est, comme on l'a vu, 



I 26 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 



Q P' M^'M„'J, X, /jr.,, /j-o étant égaux à o ou à i, et v à o, i ou 2, 
en6ny étant l'une des p — i substitutions de F. Deux substitutions 
correspondant à des valeurs différentes de X, v, [jl,, l'-2-i j sont d'ail- 
leurs évidemment distinctes. L'ordre de ^est donc égal à 24 (/^ — 1). 

z z -\- a 
Il H -H a' 

obtient le troisième et dernier type de groupes résolubles dont l'ordre 
sera 24 (p — O/*"- 



En combinant ce groupe avec les substitutions 



5 on 



10. 2° Supposons maintenant p de la forme l\n -+- 3. La con- 
gruence a- ^ — i (mod. /j) a deux racines imaginaires, a = y et 

\ z iz 
S^ —i^jP. M, prend la forme canonique » 2 et m étant 

' I J ' V I " j''n 

deux indices imaginaires conjugués. On voit, comme dans l'hypothèse 

z bu 
précédente, que M, est de la forme , , 

un z 

plaçant z par bu, remplacera u par la fonction conjuguée b^z; donc 
b'^f. En outre, son déterminant étant égal à i, on aura 

l,p+>=^—i [mod.p). 
Cette dernière congruence a ^ + 1 racines, respectivement égales à 



D'ailleurs M,, rem- 



p—i 



î/'-' 



(2/)-t-l)i 

T ^ , r ^ , . . . , T ^ 5 T étant une racine primitive de la con- 

gruence T^'""' ^ I (mod. p). Soil r := s -\- tj l'une de ces racines, 
choisie à volonté : on peut supposer /; = r; car admettons qu'il n'en 
soit pas ainsi, et soit 






/'=: T 



(in'-i-l) 



d'où 



f,^{p-t) («-«')_ 



Prenons pour indices indépendants, à la place de z et de u, les 
indices t"~"' z = z' et t'"~"'"'« = «', lesquels sont également conjugués. 



PURES ET APPLIQUÉES. 



12' 



Ce changement d'indices, qui n'altère pas la forme des substitu- 



tions F, M,, donnera à Ma la forme voulue 



ni 



If /■' 



On voit maintenant, comme dans l'hypothèse précédente : i° que 

les substitutions de G sont toutes de la forme M',' M^/" ; i° que si l'on 
peut déterminer deux substitutions P et Q qui transforment respecti- 
vement M,, Mj en Mo, M, Mj et en Mj, M,, jp^ sera formé des substi- 
tutions (F, M,, Mj, P, Q) en nombre 24 (/> — 1). 

Or les substitutions P et Q existent en effet, et s'obtiennent aisément 
par la méthode des coefficients indéterminés. Mais auparavant il con- 
vient de ramener à la forme réelle les substitutions M, et Mj. 

Soit 2 = X -H/Y, fi = X + y Y = X - /Y : M,, remplaçant X -i-yY 

X Y 
Y -X 

Quant à Mj, elle remplace X-t-yY par (y 4- //) (X — /Y). Rap- 

X jX + tY 
portée aux indices X, Y, elle prendra donc la forme 

s ei t étant deux entiers qui peuvent être choisis arbitrairement, 
pourvu qu'ils salifassent à la condition (j -4- /■/ )''"^' s^ — i (mod.p), 
laquelle peut s'écrire ainsi : 



par j (X —/Y), sera égale à 



[s + tj) [s -+■ tjP) = i'- -I- t^ =- — I 
On trouvera ensuite 

p^ IX _(,H-.OX+(.-^^)Y I . .. 



m 



od. 



X ^X + (/ + i)Y 
Y (<-i)X-.îY 



En combinant le groupe que nous venons de construire avec les 

... XX-t-« ... 

substitutions V V , ' on aura le troisième type de grou|)es 

résolubles sous la forme indiquée pour le cas où p est de la forme 
l\n ■+■ 3. 



128 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 



II. 

11. 11 est démontré par ce qui précède que tout groupe résoluble 
général et primitif de degré p- appartient à l'un des trois types 
énoncés. Il nous reste à prouver réciproquement : i° que les groupes 
résolubles fournis comme nous l'avons indiqué sont primitifs; 
2" que, sauf les exceptions signalées plus liant, ils sont généraux et 
distincts. 

Pour établir la première proposition, nous nous appuierons sur le 
lemme suivant : 



neaire 



E = 



Lemme. 

I "^ 

I J- b'x - 



- Soit L un groupe de substitutions de la Jorme li- 
ax -h by 



aj 



Si ses substitutions , jointes aux suii'antes 



) ?ie forment pas un groupe primitif, il existera une 

J r + «<' I 

fonction des indices que toute substitution de L multipliera par un 
facteur constant. 

Supposons, en effet, que le groupe (L, E) ne soit pas primitif, les 
racines que ce groupe permute se partagent en systèmes te!s, que cha- 
cune des substitutions (L, E) remplace les racines de chaque sys- 
tème par celles d'un même système. Soit 2 l'un de ces systèmes, 
p l'une des racines qu'il contient; les substitutions E permutent transi- 
tivement les racines : l'une d'elles au moins. S, remplacera donc p 
par une autre racine du même système, et par suite ne déplacera pas 
ce système. 

La substitution S ne déplacera aucun système; car, soit 2' un autre 
s\stème quelconque, parmi les substitutioris E il en existe une, S', qui 
remplace js par une racine p' du système 2', et qui, par suite, remplace 
les racines de 2 par celles de 2' ; S remplaçant les racines de 2 les unes 
par les autres, S'-'SS' remplacera les racines de 2' les unes par les 
autres; mais S' et S sont échangeables, donc S'"'SS'= S ne déplace 
pas le système 2'. 



Soit S = 



X 

r 



X -}- a„ 



Ses puissances 



X 

J 



X 

y 



mUa 

m a' 



ne 



dé- 



PURES ET APPLIQUEES. 129 

placent évidemment pas les systèmes, et toute autre substitution de E 

X X -t- a, 

J J -t- a', 
qu'on n'ait pas à la fois a,^7?iao et a 
«oa, — «ga, sera^o (mod./;); on pourra donc, cpiels que soient « 
et a', satisfaire à la fois aux deux congruences 



les déplace ; car soit T 



une substitution telle. 



/na'p : le déterminant 



TOKo 4- ««I SE a, 



ma,, 



na. 



Donc les substitutions de la forme S'"T" 



X 



man 



na., 



J J + ma^-h nx, 



reproduisent toutes celles du groupe E. 

Cela posé, s'il y avait un système que T ne déplaçât pas, T n'en dépla- 
cerait aucun d'après ce que nous venons de voir; les substitutions S'"T" 
ou E ne déplaceraient pas ces systèmes, ce qui est absurde, cai- elles 
permutent transitivement toutes les racines. 

On peut maintenant déterminer deux fotictions des racines 

X = ex -+- d)- et Y = d'x -{- c'y 

telles, que S accroisse X d'une unité sans altérer Y, et que T accroisse Y 
d'une unité sans altérer X. En effet il suffira pour cela que c, d, 
d'une part, et d' , c', d'autre part, satisfassent aux congruences sui- 
vantes : 



ca, 



da'p 
dû. 



d'à. 



(mod.^), 
^o d Cf. 



c a„ 



;o 
; I 



(mod./j), 



lesquelles comportent toujours un système de solutions, le déter- 
minant «0 a', — a'„ (Z, étant ^ o (mod. p). 

Prenons X, Y pour indices indépendants à la place de x, j-, les 

X rt, Xh-^'.Y 



substitutions de L prendront la forme 



substitution de cette forme transforme S 



Y b\^ + d, Y 
X X-t-i 

Y Y 



etT=:: 



• Or une 

X X 

Y Y-hi 



en s"' T ' et S 'X"'; d'autre part, les substitutions E remplaçant les 

Tome XIII (2" série). —Avril 1868. ^7 



i3o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

lettres de chaque système par celles d'un même système, et S ne dé- 
plaçant pas les systèmes, il est clair que ses transformées par les L ne 
les déplaceront pas; elles se réduiront donc à des puissances de S. 
Le coefficient h^ sera donc toujours nul, et chacune des substitutions 
de L multipliera Y par un facteur constant. 

12. Or il est aisé de voir que parmi les trois types de groupes X^ 
déterminés plus haut, il n'en existe aucun qui jouisse de la propriété 
signalée au lemme précédent. 

Car considérons le premier type, par exemple. Son premier fais- 

X ax 



ceau F est formé des substitutions 



et les seules fonctions 



n'est multipliée par un facteur constant dans la substitution 



des indices qu'elles multiplient par un facteur constant sont évidem- 
ment X et ses multiples, ou j et ses multiples; aucune de ces dernières 

X y 
y X 

Considérons maintenant le second type. Son premier faisceau con- 
tient une substitution qui ne peut être ramenée à la forme canonique 
que par l'introduction d'imaginaires; il n'existe donc aucune fonction 
réelle des indices que cette substitution multiplie par un facteur 
constant. 

Les mêmes raisonnements s'appliquent au troisième type. 

Il est donc prouvé que les trois types de groupes que nous avons 
obtenus sont primitifs; il reste à s'assurer s'ils sont généraux et 
distincts. 

13. Théoriime L — Tout groufje H du premier tjpe est général 
si /?> 5. 

En effet, si H n'était pas général, il serait contenu dans un autre 
groupe plus général, H,, lequel serait réductible au second ou au troi- 
sième type. Il ne peut se réduire au second type, car son ordre serait 
égal à 2 {p'^ — \) p' ', d'ailleurs il devrait être lui multiple de celui 
de H, lequel est égal à 2{p — i'fp^. Donc p'^ — i serait lui multiple 
de [p — iY ou p 4-1 un multiple de /j — i , ce qui n'a pas lieu si /)>■ 3. 

D'autre part. H, ne peut se ramener au troisième type. En effet, 



PURES ET APPLIQUÉES. i3t 

soit / une racine primitive du noinljrc p : H confieiU la substitu- 
.r Ix 



tion 



J- J 



) laquelle est d'ordre /j — i , et laisse immobiles p ra- 



de substitutions linéaires qui, combinées aux substitutions 



cines, à savoir celles pour lesquelles x — o. Or le groupe H, du 
troisième type, dans lequel H devrait être contenu, ne renferme aucune 
semblable substitution. En effet, soit 4^= (F, M,, Mj, P, Q) le groupe 

X OL- -I- a 
}■ j + cx 

reproduisent H, : l'une quelconque de ses substitutions, S, trans- 
forme, comme nous l'avons vu, M, et Mo en substitutions de la forme 

M'^j M[^ B'^ , M'^' M''^' ô'" , p\ , p'.,, /y/, p'\ , p'2, [J." étant égaux à o ou à 1 
et satisfaisant à la relation p'ip'o — piPa ^= ' ('"o*^- 2), enfin 6 étant 
la substitution qui multiplie les deux indices par — i , 11 est aisé de 
voir que, de quelque manière que p\, çj\, ij.'^ fj\, p'., , p," soient choisis, 
l'une des quatre premières puissances de S sera échangeable à M, et 
à Mo. Car si, par exemple, S transforme M, et M2 en M, 6 et M, M.^, 
S= les transformera en M, M. et en Mo 5 M, Mo = M, Mo Mj — M, 5, 
et S' les transformera en Mo Ô M, M., Ô = M, et en M,9 = M.. 
Donc, r étant un entier au plus égal à 4, S' sera échangeable à M, et 

a M2, et par suite se réduira a la tonne 

1 .y V I 

Cela posé, soit T la substitution d'ordre p — i et laissant p racines 
immobiles que H, devrait contenir; elle est évidemment le produit 
d'une substitution linéaire S par une substitution E, appartenant à l.i 
forme générale E. Soit donc T — SE, : on aura évidemment T' — S'^E^ , 
E2 étant encore une substitution de la forme E, Soit donc 



"TT 



jc ax 4- a 



cette substitution doit laisser d'ailleurs immobiles les p racines que T 
laissait immobiles; donc a se rétluit à i, et oc, u! à zéro, car s'il en 
était autrement, les congruences x^ax + a et j^ay-^-a! ne 
comportant tout au plus qu'un système de solutions, T'^ ne laisserait 
qu'une racine immobile. 

17.. 



iSa JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Donc T'' se réduit à i , et T est tout au plus d'ordre 4, nombre infé- 
rieur à p — 1 . 

14. Théorème II. — Les groupes du premier tjpe ne sont pas gé- 
îiéraux si p ^3 ou 5. 

oc oc I y 
En effet, si p= 3, la siibstitution est permutable au 

groupe proposé H, et peut lui être adjointe de manière à former un 
groupe plus général. 

Si ^ = 5, H est dérivé des substitutions 



E = 



X oc 



a 

, 1 


A = 


X 2X 


, B = 


X 2J 


«' 




J V 




f I 



et C 



X j 
j- X 



et l'on vérifie aisément que les substitutions 



E, A, D =:: 



X 

7 



X 



c, G 



X ^' -^ y 

J IJ — 'IX 



B, 



forment l'échelle d'un nouveau groupe résoluble, qui sera évidem- 
ment plus général que H. 

15. Théorème III. — Tout groupe H du deuxième type est général 
si p^ 3. 

Eu effet, s'il n'était pas général, il serait contenu dans un autre 
groupe plus général H,, lequel serait réductible au prennerou au troi- 
sième type. Il ne peut se réduire au premier type, car sou ordre 
2 [p — ïY p^ devrait être un multiple de celui de II, ^.{p- — i)p^, ce 
qui est absurde. D'autre part, il ne peut se réduire au troisième type, 
car nous venons de voir que T étant une substitution quelconque d'un 
groupe du troisième type, et r un entier au plus égal à 4, T' se réduit 

, , r I -^ ax -i- a 

a la lorme 

I J ay -+- x 

duit évidemment à la forme 



1 substitution dont la puissance p — i se ré- 

X T' H— Q 

5 et dont la puissance 



J J + P' 
{p — ]) p se réduit à l'unité. Si donc H était contenu dans un groupe 



ginaires z et «, contient la substitution 



? ou m est une racine 



PURES ET APPLIQUÉES. i33 

du troisième type, chacune de ces substitutions élevée à la puissance 
r[p — i)y9 se réduirait à l'unité (r désignant un des quatre nombres i, 
2, 3,4). 

Or, soit J^ le groupe des substitutions linéaires qui concourent avec 
les E à la formation de II : ce groupe, étant rapporté aux indices inia- 

Z lïlZ 

H m'' Il 

primitive de la congruence m'''"'^i (mod. p). L'ordre de cette sub- 
stitution est égal à p- — t , celles de ses puissances qui se réduisent à 
l'unité sont donc celles dont le degré est un multiple de p'^ — \ ; donc 
p- — I devrait diviser /■(/> — i) p, et conune il est premier à p, il divi- 
serait r{p — i) ; donc/» + i diviserait /', ce qui est absurde si/j > 3. 

16. ÏHÉoRiiME IV. — Le groupe du deuxième type n'est pas général 
si p := 3. 

En effet, ses substitutions dérivent des suivantes : 



r. z ■ 
u u 






/= 



z mz 
u nfu 



et 



G = 



m étant une racine primitive de la congruence 

m''"' ^ I (mod. p). 
Or on vérifie aisément que les substitutions 



E, /=, G/, U 



s mz + u 

Il z -+- nfu 



J 



z u 
u z 



forment l'échelle d'un groupe résoluble plus général que le pro|)osé. 
17. Théorème V. — Tout groupe H du troisième type est général. 

En effet, s'il était contenu dans un autre groupe H, réductible au 
premier ou au second type, les propriétés générales des substitutions 
de H( s'appliqueraient en particulier à celles de H. Or nous allons voir 
qu'il n'en est pas ainsi. 



i34 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Supposons H, apparleiiant au premier type. Ses substitutions sont 
toutes fie l'une des formes 



X ax -+- a 
r hf + a' 



ou 



jc ay -(- a 
j h.x H- a' 



et il est clair que le carré de l'une quelconque d'entre elles appar- 
tiendra à la première de ces deux formes. 

Soient donc S etT deux substitutions quelconques de H,, 



x ax -I- a 
y h y + a' 



et 






X a,.r -I- a, 

j b,j + a', 



leurs carrés : il est clair que la substitution s-^T-^S'T^ se réduit à I. 



forme 



et que son ordre sera égal à p, si l'on n'a pas 



X .r + p 

(3 = /3' = o, et qu'il se réduit à i dans le cas contraire. 

Si H, appartient au second type, ses substitutions jouiront de la 
même propriété, car en rapportant ce groupe aux indices imaginaires 

X X + a 



conjugués z et u^ les substitutions 

z 2 + y 



prendront la forme 



J J + a- 
y et Y étant des constantes imaginaires conjuguées, et les 



u u -1- -f 
substitutions de H, seront de l'une des deux formes 



z niz -f- Y 
u nfii -(- yP 



ou 



z nu ->r 7 

Il tfz H- Y 



Leurs carrés SS T',... seront tous de la première forme, et les substi- 



z z -t- 7 
u u 4- '/'' 



eu\ 



tulions telles que s-^T~-S-T- seront de la forme 
ordre sera donc égal à /j ou à i . 

Or Tl contient les deux substitutions P et PM,, qui étant prises pour 



PURES ET APPLIQUÉES. r^5 

S et ï, ne jouissent pas de la propriété ci-dessiis assignée. On a en 
effet 

P-- (PVÎ,)-' P- (PM,)' = P--.M7' P7'M7'P-'.P^ PM, PM, 
= P-'M7'P^P-'M7'P^P-'M,P.M, 

= (M, M,)-' (M, M,M,)-' M, M, 

=: M7' M7' M;* .M7' M7' Mj M, =r xM7' 5, 

substitution dont l'ordre est égal à 4- 



t36 journal de mathématiques 

extrait d'une lettre adressée a m. liouville; 

Par m. Anatole DE CALIGNY. 

«Versailles, 20 février 1S6S. 

» Vous avez bien vouJii insérer dans le cahier de janvier un ;irticle 
intitulé : Principes (l'une nouvelle turbine, etc. A Tépoque où j'écri- 
vais cet article je n'avais pas sous la main, mais depuis j'ai retrouvé 
des Lettres que RL le Général Poncelet m'avait fait l'honneur de 
m'écrire relativement à mes recherches sur les roues hydrauliques. 
Peut-être est-il convenable, surtout après ce que j'ai publié sur ce sujet 
dans le tome précédent de ce journal, d'en présenter ici quelques 
extraits textuels. Voici d'abord la copie du passage de sa Lettre du 
i4 décendjre i863, mentionné dans le Mémoire que je lappclle : 

« A l'égard de la question que vous voulez bien, Monsieur, me 
» poser concernant les lames oscillantes par ascension le long des 
» aubes courbes verticales d'une roue horizontale, je ne sache pas que 
» personne en ait encore fait la proposition formelle. •• 

» On sait que je m'occupe depuis longtemps de l'histoiie 'Je l'hy- 
draulique. M. Poncelet m'écrivit à ce sujet, le n juillet iHOa, une 
Lettre dont l'extrait suivant suffira pour rappeler l'importance qu'il 
attachait à mes reclierches : 

« J'ai l'honneur de vous retourner, selon vos désirs, la Noie que 
" vous m'avez adressée, et qui est relative aux turbines plus ou moins 
» analogues à celle que j'ai moi-incme imaginée en iSaS, et dont j'ai 
» donné la théorie dans mes Leçons de 1826 à l'École de Metz. Je ne 
>) vois absolument aucun inconvénient à ce que vous publiiez vos 
I) opinions et jugements à cet égard, et je demeure d'avis, coumie à 
» l'époque de nos dernières entrevues, que vous rédigiez sur l'en- 
" semble des remarques historiques que vous avez faites sur l'hydraii- 
■< liqiie en général un livre qui, je nen doute pus, sera fnvornbleiueut 
■• accueilli du public et de l' /Icadéniie, sans en excepter même les 

> derniers inventeurs plus ou moins autorises à prendre un aussi glo- 

> ri eux titre. » 



PURES ET APPLIQUÉES. 137 

MÉMOIRE 

SIR 

LE MOU\ EMENT VIBRATOIRE 

DUNE MEMBRANE DE FORME ELLIPTIQUE; 
Par m. É.M1LE MxVTHlEU f*| 



Imaginons une inembi-an» tendue également dans tons les sens, et 
dont le contour, fixé invariablement, est une ellipse. Notie but, dans 
ce Mémoire, est de déterminer par l'analyse toutes les circonstances 
de son mouvement vibratoire; nous y calculons la forme et la position 
des lignes nodales et le son correspondant. Mais ces mouvements sont 
assujettis à certaines lois générales qui peuvent être définies sans le 
secours de l'analyse. 

Lorsqu'on met la membrane elliptique en vibration, il se produit 
deux systèmes de lignes nodales qui sont, les unes des ellipses, les 
autres des liyperboles, et toutes ces courbes du second ordre ont les 
mêmes foyers que l'ellipse du contour. 

Tous ces nmuvements vibratoires peuvent être partagés en dt'ii\ 
genres. Dans l'un de ces genres, le grand axe reste fixe et forme une 
ligne nodale, et si l'on considère deux points svmétriques par rapport 
au grand axe, leurs mouvements sont égaux et de sens contraire. Dans 
l'autre genre, au contraire, les extrémités tlu grand axe situées entie 
les foyers et les sommets forment des ventres de vibration, tandis que 
la partie située entre les deux foyers offre un mininuun de vibration, 



[*| Ce Mémoire a été ex])osé au mois de janvier 1868 ilans un cours à la Sor- 
bonne. 

T.imc XIII (^2" série). — Avr.ii, 18G8. 1 8 



r38 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

de sorle que si l'on prend un point M sur la droite des foyers, et un 
point très-voisin sur une perpendiculaire en M,ranip!itude de la vibra- 
tion est moindre pour le premier que pour le second point; si l'on 
considère deux points quelconques de la membrane, symétriques par 
rapport au grand axe, leurs mouvements sont égaux et de même 
sens. 

Définissons li^ne hjperbolique les deux branches d'une hyperbole 
terminées au grand axe qui possèdent la même asymptote, de ma- 
nière qu'une hyperbole est comptée pour deux lignes hyperboliques; 
mais si l'un des axes de la membrane est immobile, il sera compté 
pour une seule ligne nodale hyperbolique. Alors les mouvements des 
deux geiu'es peuvent être groupés deux à deux d'un manière fort re- 
marquable. En effet, à un nombre a de lignes nodales elliptiques et à 
un nombre b de lignes nodales hyperboliques correspond un état 
vibratoire de chaque genre. Or, quoique ces états vibratoires diffèrent 
à la fois par les deux systèmes de lignes nodales et par le son l'ésul- 
tanl, ils se confondent cependant dans la membrane circulaire pour 
donner, comme ligues de nœuds, a cercles concentriques et b dia- 
mètres, qui les divisent en parties égales. On comprend, d'après cela, 
que si l'excentricité est très-petite, les sons de ces deux états vibratoires 
différeront très-peu. 

Il faut mettre à part le cas où il ne se produit pas de lignes nodales 
hyperboliques; car le mouvement ne peut alors être que du second 
genre, et il n'y a qu'un état vibratoire qui produise a ellipses nodales. 

Le mouvement vibratoire d'une membrane renfermée entre deux 
ellipses homofocales, dont tons les points sont parfaitement fixés, est 
aussi soumis à des lois fort simples. 

Les lignes nodales de celte mendjrane sont encore des ellipses et des 
portions de branches d'hyperbole qui ont les mêmes foyers que les 
deux ellipses des contours. Et il y a encore deux genres de mouve- 
ments vibratoires : dans l'un, les portions du grand axe renfermées 
entre les deux contours sont des noeuds; dans l'autre, des ventres de 
vibration. Mais lorsqu'on étudie les états vibratoires des deux genres 
qui doiHient pour noeuds n elli[)ses et b lignes hyperboliques, on 
trouve, si le nombre b est assez grand et si l'excentricité n'est pas très- 
grande, que le son est à très-peu i)rès le même, ainsi cpie la disposition 



PURES ET APPLIQUÉES. i3f) 

lies ellipses nodales. Or, les deux sons différant excessivement peu, on 
sait que dans l'expéiience on produira ensemble les deux états vibra- 
toires, et, dans le mouvement résultant, la disposition des b lignes 
nodales hyperboliques peut varier d'une infinité de manières. 

M. Bourget a donné la théorie de la membrane circulaire [Jnnales 
(le r Ecole Normale, t. TII) et a fait les expériences propres à la véri- 
fier; il a trouvé des sons un peu plus élevés que ne l'inditpie le calcul. 



1. Considérons une membrane plane, homogène, également tendue 
dans tous les sens, et dont le contour est fixé invariablement. Traçons 
dans le plan descelle membrane deux axes de coordonnées rectangu- 
laires quelconques, Ox et Oj", et menons mi axe des z perpendiculaire 
à ce plan. Si nous communiquons un mouvement vibratoire à cette 
membrane, un point de sa surface dont les coordonnées sont a", j et 
z = o éprouvera un déplacement normal \v régi par l'équalion 

OÙ m^ désigne le rapport de la tension à la densité de la membrane [' j. 
Et l'on a à intégrer cette équation, en s'imposant la condition que w soit 
nul sur le contour. 

Nous devons supposer dans ce Mémoire que ce contour est une 
ellipse. Mais nous allons d'abord le prendre circulaire et présenter 
très-succinctement la solution de ce cas particulier, qui nous sera en- 
suite quelquefois utile comme moyen de comparaison. 

Membrane circulaiie. 

2. Plaçons l'origine des coordonnées au centre du cercle et passons 
des coordonnées rectilignes x et j" aux coordonnées polaires r et a par 



[*] Théorie de l'EUislicité de M. Lamr, IX' Leçon 

i8.. 



i4o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

les formules 

x^rcosK, ^" = rsina, 

en prenant arbitrairement la direction de l'axe polaire. 
L'équation [a) devient 



n/'^ \ ar- r etr r- ila.- 



et si l'on pose ir t= ns\ni\int^ on a 



rf^a I (lu I r/'« 



i (lui , . ., 



Posons ?^ = PQ, en désignant par P une fonction de a el par Q une 
fonction de r, et nous aurons une écpiation qui peut s'écrire 

comme le premier membre ne dépend que de r et le second que de a, 
ils sont égaux à une même constante jr, et l'on a 

Nous avons pris pour la constante une quantité positive, afin d'ob- 
tenir pour P la fonction périodique 

P =: A cos7ia 4- Bsinwa, 

et, afin que P ne change pas quand on y remplacera a par « -t- 271, 
il faut que n soit un nombre entier. 

Si l'on intègre l'équation (2) par séries, on obtient les t\e}i\ soin- 



PURES ET APPLIQUÉES. 



i/,i 



tions particulières 



(3) 



(4) 



JQ = C." [, 



fÀr'i' 



ar. 



j Q'=C'/-"| I 



i(n 


+ 


>) 


-t- 


1 


2 (« 


-t- 


1)1/2 


+ 2) 


+ . . . 


I 


. 2. 


3 


(« 


+ 


ij l« 


-(- 


2j(« 


+ 3) 


a 


0' 




+ 






(^ 


r)> 






'(« 


— 


'; 


I 


2 l« 


— 


l) [n 


-2) 














(/r 


" 






+ . . . 


I 


.7. 


3 


(" 


— 


i) (« 


— 


?.)(« 


-3) 



dont la seconde se déduit de la première par le changement de n 
en ~7i. Si on fait leur somme, on obtient la solution générale; mais 
comme évidemment le mouvement vibratoire doit rester fini au centre 
du cercle, et que Q' devient infini pour r=o, on doit se bornera 
prendre pour Q la première solution particulière, que l'on portera dans 



(5) 



u = PQ, (v = li sin 2 )./«<. 



Enfin, pour que w soit une solution possible, il faut que Q soit nul 
le long du cercle de contour r = h, et > est déterminé par l'équation 



i\h) 



llh] 



') 



2) 



= o. 



Posons cette équation 

(6) ,- 



l[n+l) 1.2 (« + !)(« +-2) I.2.3(«+l)(«-|-2)(/Z-f-3) ' 

elle a une infinité de racines r,, t., t,,..., que nous supposerons 
rangées par ordre de grandeur croissante, et ). peut ol)tenir l'une quel- 
conque des valeurs 



).= 



L = ^, )„ = ;i,. 



Ainsi la formule (5) représente une infinité de mouvements vibra- 
toires possibles qui dépendent de n et de A; n est susceptible de toutes 
les valeurs entières, et à chaque valeur de n correspondent une infinité 
de valeurs de ),. 



i42 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

5. Considérons l'un de ces états vibratoires et voyons quelles sont 
les lignes nodales. Le mouvement vibratoire satisfait à l'équation 

(h) w ^= (A cos7ia 4- B sinwa) Q sina)./»/; 

n et Xsont connus, et la hauteur du son, ou le nombre des vibrations 

qui s'effectuent dans l'unité de temps, est N = — ■ Pour obtenir les 

li2;nes de nœuds, on fera îv = o, à quoi on peut satisfaire, quel que 
soit t, en posant 

(7) A cos«a + Bsin/îsr = o, 
ou en posant 

(8) Q.= o. 

De l'équation (7) on tire tang«a := — — ; donc si l'on désigne par «a, 

le plus petit des arcs dont la tangente est — —■> et par A- un nombre 
entier quelconque, tv est nul pour 

et par conséquent on a pour lignes nodales n diamètres qui divisent la 
circonférence du cercle en parties égales. 

Passant à l'équation (8), nous remarquons d'abord queQ est nul au 
centre de la membrane, à moins que n ne soit nul à cause du tacteur r", 
et ensuite il est nui pour différentes valeurs de /qui sont 

-I T, T3 

r = T-î -r- ) -r-> • • • ; 

/ / / 

ce sont les rayons des cercles nodaux qui ont même centre que la 
mendirane. 

Le nombre de ces valeurs de r pour lesquelles Q s'annule est infini; 
mais on doit rejeter toutes celles qui sont plus grandes que le rayon 
de la membrane. Quand dans la formule [b) on s'est donné la valeur 



PURES ET APPLIQUÉES. , 43 

de », >, est susceptible d'une infiuité de valeurs ^, -,...• supposons 
que celle que nous avons adoptée soit la s"'"'% 



'^'-Ji'' 



alors les cercles nodaux au nombre de j — i auront pour rayons 



— . . . !fr.' 



On voit, par ce qui précède, que, dans l'examen de ces mouvements 
vibratoires, il n'y a d'autres difficultés de calcul que la recherche des 
racines de l'équation [b) , dans laquelle varie le nombre entier ti. 
M. Bourget a donné, dans son Mémoire, une méthode pour calculer 
aisément les racines de cette équation, et il a donné les valeurs numé- 
riques de ces premières racines pour« = 0,1, 2,..., 7. 

Les mouvements vibratoires représentés par la formule [b) sont ap- 
pelés mouvements simples, et ce sont ceux que l'on constate par l'expé- 
rience. Enfin tout mouvement vibratoire que l'on peut imaginer est la 
superposition d'un nombre fini ou infini de ces mouvements simples. 

Passage des coordonnces rec fil ignés à des coordonnées de l'ellipse. 

i. Désignons par A le demi-grand axe de la membrane elliptique, 
et par c la demi-distance des foyers; prenons pour axes des x et des j 
les axes de symétrie de l'ellipse; puis adoptons un second système de 
coordonnées déterminé par les ellipses et les hyperboles qui ont les 
mêmes foyers que le contour de la membrane. 

L'une quelconque de ces ellipses est donnée par l'équation 

II) f--^ _ ■ 



= I 



dans laquelle p est > c, et si l'on pose 

9 = ^- r ' 9 = \r - ^" = c ' ,; , 



i44 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

(3 et p' sont le demi-grand axe et le demi-petit axe de celle ellipse, et [i 
ce que M. Lamé appelle le paramètre thennomé trique [Sur les Fonc- 
tions inverses des transcendantes , I" Leçon). 

L'nne quelconque des hyperboles homofocales a pour équation 

(2) '- r — ; = '» 

où V est < c, et si l'on pose 



V = c ces a, v' = yt'^ — v" = c sina : 

V el v' sont les demi-axes de cette hyperbole, et a son |)aramètre ther- 
mométrique. 

Ou passe des coordonnées a- et j aux coordonnées v et p ou a et ,3 
au moyen des formules 

l .r = — =: c ;^ cos.a, 

(j=^— = c— ^ sma, 

(pie l'on déduit des équations (i) et (2). Si l'on voulait avoir des for- 
nndes (pii pussent s'appliquer immédiatement au cercle, on ado[)tera!t 

(4) x = (5Cos«, j-=|5'sina. 

Soil M un point qui provient de l'intersection de l'ellipse [1, = j'î, et 
de l'hvperbole v = v,. Prolongeons l'ordonnée du point M jusqu'à sa 
rencontre en N avec le cercle décrit siu- le grand axe. On voit d'après 
les équations (4) que l'angle a est égal à l'angle que fait le rayon mené 
du centre au point N avec l'axe des .r, et comme cet angle a pour 

cosinus-, d est aussi celui que fait avec l'axe des x l'asymptote à la 

branche d'hyperbole qui contient le point M, et le rayon mené du cen- 
tre au |)oint N est celle asymptote. 

Il résulte encore des formules (4), qi'^ l'on obtiendra tous les points 
(lu plan en supposant p et p' positifs, et faisant xarierp'de o à oc , el 
a de o à itz. 



PURES ET APPLIQUÉES. i/|5 

Quand ou fait varier ainsi les coordonnées, l'étiualion /i = const. 

représente nne ellipse entière, mais a — const. ne représente i)his que 

Finie des quatre branches de l'hyperbole terminée à l'axe transverse, 

et l'hyperbole entière est donnée par les quatre équations 



u — n — a., a^n-ha,, o. — -in — a^, 



va 



qui sont celles des qnatre branches. Nous supposons dans ce qui 
suivre que /3 est positif; cependant non-seulement celte hypothèse n'est 
pas indispensable, mais nous aurons occasion de reconnaître dans la 
suite qu'il peut être utile de faire varier le signe de cette coordonnée. 
Il est bon aussi de considérer les positions limites de ces ellipses et 
de ces hyperboles; pour ,S = o, l'ellipse se réduit à la droite qui joint 
les foyers F et F'; l'équation a — o représente la ligne Fa; bornée en F 
et indéfinie dans le sens des x positifs, a = n représente la ligne F'x' 
indéfinie dans le sens des X négatifs; enfin a= ^ détermine l'axe entier 

des ? positifs, et a — — la partie négative de l'axe des j. 
5. Reprenons l'équation 

(5) 

qui par la substitution de 

îv = Msin2),/«< 
devient 

(6) 7Z7^ + 7^ = -^>"' 

et substituons à x et j les coordonnées a et [i. 
Pour simplifier, posons 






E(i3) = ^-^V— ' ^(r^) 

et 

H= = E='(/3)sin*a + 6M^)cos*a = E^(|3) - cos^a. 

Tome XIII (i' série). — Athil i8GS. '9 



i46 JOURNAT. DE MATHÉMATIQUES 

on ;i (IV Leçon des Coordonnées curvilignes de M. Eamé) 



d- Il d' a 



d.rj ^ \drl \ \dyr ' (/ ^ /' 



et en différentiant les équations (3), on trouve 

r/p _ c/a _ £(p)c0Sa f/a _ r/p _ — E (|i) sina 

dr ^ " Tï} ~' 7ÎÏ' ' ^ ~ dy "~ TTP ' 

d.rj \dyj c'H 



IQ!- 



et on a, au lieu de l'équation (6), 



(d'' Il d^u\ , ^ , 



I /d^ii d'il'' 

7m' \77^ 
Posons 

u =^- PQ, 



et regardons P comme fonction de la seule a et Q comme fonction de 
la seule /5, et nous aurons, au lieu de l'équation précédente, 

S Q + P "^jf, - - 4rc-[E^(,?) - cos-^al 
ou 

Comme le premier membre ne peut renfermer que a, et le second 
que p, ils sont égaux à une même constante N ; de sorte qu'on a, au 
lieu d'une équation aux différences partielles, deux é(]ualions diffé- 
rentielles du second ordre 

^-h(N -/,>.-c^-o,s^a)P=-o, 

fia' ^ ' 

La première de ces équations convient à la membrane circidaiic, si 
l'on y fait c = o, et nous savons que l'on doit alors prendre pour la 
constante N le carré d'un nond)re entier; il ne s'ensuit pas cpie la 



PURES ET APPLIQUEES. 147 

même chose ail lieu ici ; car on ne voit pas qu'elle ne dépende pas 
de }.c; maison esl assuré que si la constante dépend de celte c|uaiitité, 
elle se réduil du moins au carré d'un nombre entier pour c = o. 

Supposons que nous connaissions une des valeurs de N, et que nous 
ayons trouvé des valeurs de P etQ, qui satisfassent à ces deux équa- 
tions ; alors la formule 

tv = PQsinaXw/ 

représentera un n)ouvemenl vibratoire jjossible de la membrane, si on 
détermine >. par la condition que Q soit nul j)our la valeur de /3 rela- 
tive au contour. 

Snr la détermination de la constante N. 

6. Le premier objet que nous devions nous proposer est donc de 
déterminer la constante N. Or, pour que l'expression de iv puisse être 
admise, il faut que lorsqu'on y changera a. en « + 27:, ïv reste le 
même, puisque iv continuera à donner le déplacement i\u même point 
de la membrane; ainsi P est nécessairement une fonction périodique 
et dont la période est an, et cette condition doit déterminer la con- 
stante N. 

Rappelons des résultais obtenus par Sturm sur les équations diffé- 
rentielles linéaires du second ordre. Toute équation de ce genre peut 
être mise sdus la forme 



(0 



— — + Gj -^ o, 



i 
e- 



LelGétanl deux fonctions de x. Concevons que G renferme aussi un 
paramètre /^, et donnons-lui un accroissement c?/(; alors G prendra l;i 
valeur G -h c?G, et j se changera en la fonction j, qui satisfait à l'é 
quation 

(2) _i_±l„ 4_^G + c?Gjj, = o. 

IMultiplions les équations (ij et (2) par j, et j, et retranchons, nous 

'9- 



i48 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

obtenons 

Multiplions par dx, et intégrons entre les limites Xq et X, nous au- 
rons 

Cf' i (>■ È) <'- -.0' '-^ ('■ -) ''" - .C-'- ■ ^'^ * = " ^ 

appliquons l'intégration par parties aux deux premiers termes, el sup- 
posons ùh infiniment petit, l'accroissement cle_7' le sera aussi, et nous 
aurons, en remplaçant^', par j' + âj, 



(M 



HTJr-ry%)\~-Wjr-}-'%)l 



— / j-èGdx = o. 



„ 1 1 • . r ^-^ 1 • 

Sturm suppose alors que la quantité \. — :j- subisse pour x — r„, 

par l'accroissement de /?, une variation d'un signe donné; pour la re- 
cherche que nous nous proposons, imaginons en la place que j" soit 
nul ou maximum ou minimum poui- x = x^, et quelle que soit la va- 
leur du paramètre h. Donc poiu- .r = Xg, il faut faire ou ) = o, âj = o 

ou y- = o, et c?y- = o; dans les deux cas, le second crochet est nul, 

et il reste 



(3) ['•(s*/-^-*l)],=X>*^''-- 

le jiiemier membre est donc de même signe que l'accroissement cpie 
prend G par la variation du paramètre. 

Ou peut maintenant reconnaître si les racines en x de l'équation 
j-, = osont plus petites ou plus grandes que celles de l'équation j- = o. 
y est une fonction de x et de //, et si pour x = X on a 



ï 



= o. 



PURES ET APPLIQUÉES. 1/19 

dès qu'on donnera à h un accroisseinenl ^h, j ne sera plus nul, à 
moins que l'on ne donne aussi à x un accroissement r}x tel, que l'on 
ait 

-f- c?.r -t- -5- 07/ = o, 

ilv dit 



OU 

dY 



d.r 



et par conséquent la racine subit un accroissement égal à 

(4) oVr = 



'^^■ 



or- 



d_y_ 
d.T 

Supposons L positif; j étant nul pour x — X, il résidte de la f'( 
mule (3) que si âG est positif, y^ ây est aussi positif, et, par suite de- 
là formule (4), que àx est négatif; donc les racines de ; , = o sont 
plus petites que celles de j = o, et de même on voit que si c?G est 
négatif, les racines de j, = o sont plus grandes que celles de j = o. 

Si nous imaginons ensuite que l'on donne au paramètre//, non plus 
lui accroissement infiniment petit, mais un accroissement fini, et que 
h croisse de // à /?,, si en même temps G va en croissant tout du long 
de cet intervalle, ou va tout du long eu décroissant, les conclusions 
précédentes, relatives aux racines de j- = o et de ;■, = o, sont appli- 
cables, comme on le reconnaît en divisant l'intervalle de h à /?, eu 
parties infiniment petites. 

Ces considérations sont dues à Sturm [Jouriiai de M. Liouvil/e, 
,re spj^ie^ f i^ p. loG); mais nous allons montrer counnent elles 
peuvent servir à reconnaître si une fonction est périodique, et nous 
obtiendrons des résultats nouve.uix. 

7. Essayons d'abord de supposer que N est le carré d'un nombre 
entier g-, et, substituant la lettre// à le, P est doinié par l'équation 

(5) 'irj-^ië'- /i/rcwa)P = o. 



i5o JOURNAL DE MArUÉMATIQUES 

il est très-aisé de reconnaître que la soliilion générale d'une é(juatioii 
différentielle linéaire du second ordre, telle que les précédentes, peut 
ordinairement être partagée en deux solutions particulières, dont l'une 
soit nulle, et l'autre soit maximum ou minimiuii pour la valeur zéi'o 
donnée à la variable. Posons donc 

P = P,-t-P,, 

l'i éSaul une solution qui s'annule pour a = o et Pj une solution qui 
est maximum ou minimum pour cette valeur. 

Ce sont les deux fonctions P, et Pj que nous allons examiner. Dans 
le cas où h s'annule, elles satisfont à l'équation 

et P, se réduit à Asinga, Pj à Bcosga. 

P, s'annule |)our a = o, comme P'=Asinga; or le coefficient 
de P', dans l'équation [6). est toujoiu-s plus grand que celui de P dans 
l'équation (5); il résulte donc de ce que nous avons vu ci-dessus que 
les racines de P' = o sont plus petites que celles de P = o ; or les 
racines de P' = o sont de o à 27r, 

77 ?. 7T f 2 g- I ) TT 

O , -•, 5 • ■ • 5 

iT o fr 

• 

Donnons à h une valeur excessivement petite, et divisons, à partir 
de l'axe des or, une circonférence qui a son centre à l'origine eu 
7. g parties égales, puis menons aux points de division les rayons On, 
Oh, Oc,...; les racines de P' = o sont égales aux angles rtOi, rtOc,..., 
et les racines de P, = o sont plus grandes et représentées par les 
angles aOb', nOc\.... Mais lorsque après un tour sur la circonférence 
on revient au point a, P' s'annule de nouveau par la valeur cf.— in, 
landis que I',, qui est uid pour a = o, ne l'est pas pour «=271, 
mais pour une valeur un peu plus grande. P, ne reprend donc pas la 
même valeur quand on augmente l'arc c d'une circonférence. 

i'our démontrer que P^, tirée de l'êqualiou (5), n'a pas 2n pour 
|)ériodc, ap|)liquons la formule (3), en remplaçant .r par a, I> et (1 



PURES ET APPLIQUÉES. i5i 

par r et g- - 4/i-cos'-«, j par Po , x^ et X par o et sn, et nous 



aurons 



(S "'f'-^ "~ ^^ '^ ^7) ,,- + '' (2 ^' ^^^' + c?/r ) /" '"pi cos= a ./a = o, 

formule où l'on ne doit tenir compte de t^h'- que lorsque h est nui. 

Supposons que nous fassions varier;^ de la valeur zéro à la valeur 
infiniment petite cJ* A; Pj , pour // = o, se réduit à Bcosga, et il est 
alors maximum pour a = 2:: comme pour cf. — o; ainsi, en faisant h = o 

dans cette formule, — -^ s'annule, et l'on a 

P, ù '■—) = ', {âhy- r" P:: cosV^ rla ; 



IP 



le .second membre est essentiellement positif, donc c?^— n'est pas nul 

f/p, 
pour (jr = 27:, ou ■—■ n est pas nul pour c/. ~ in quand on fait h — c?//; 

donc enfin Pj , qui est maximum pour (Z = o, ne l'est pas pour &; = 27:, 
et la fonction n'est pas périodique. 
Si l'on prenait j;our la constante 

N = g=H-4/^S 

en désignant encore par g un nombre entier, l'équation qui donne P 
deviendrait 

■^ + (g-* + 4A^sin^a) P = o. 

En définissant les solutions particulières P, et P..> comme ci-de.ssus, 
on reconnaîtra que les racines de P, = o et de P, — o sont plus petites 
que celles de Asinga = o et de Bcosg« = o, et l'on démontrera 
aussi, comme tout à l'heure, que P, et P.j ne sont pas des fonctions 
périodiques. 

8. Enfin, prenons pour N l'expression 

N = g- -<- 2//% 



132 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

lions aurons l'équation 

-7-7 + (ii* — iiv cos2ai P = o, 

et nous allons démontrer que P est alors une fonction ijériodique si h 
est excessivement petit, c'est-à-dire si on peut négliger les puissances 
de //- supérieures à la première [*]. 

Si nous ne considérons que les solutions qui sont nulles, ou maxima 
ou minima pour a = o, et que nous avons désignées par P, et P.,, 
nous avons, d'après (3), l'équation 

(7) ^^P - P(?4^ = - 2(2//oV/ + c?/r) / P^cosaart'a. 

^ ' ' dx da. ^ ' J 

Au lieu de laisser h quelconque, prenons-le égal à zéro, et donnons- 
lui l'accroissement âh; puis appliquons la formule (7) en faisant « = -• 
Si c est P, que nous considérons, nous aurons 

„■> ■ o fOS2a C0S2 (/î -I- a -f- COS2 Cfi' — l)a 

P: cos2a = sin-fi^a cos2« = ^ -, -^, 

° 2 4 

et si g n'est pas égal a 1, on aura 



«/o 



? cos2« da. = o. 



Si nous considérons Po, nous avons 

r,., cos2a C0S2 (ff -f- l) a -I- C0S2 iV — lia 

Pj cos2a = cos"'gacos2a = 1 — -? — — ? 

et si g n'est pas égal à i , on a encore 



/ PjCOsaac/a = o; 



[*] Toutefois, si §"=!, il faut ))rendre N = 1 -f- A' ou ^ri-Jr'ih'', selon qu'il 
s'a{;it de P, ou de P, . 



PURES ET APPLIQUÉES. i5' 

donc l'équation (7) se réduit dans les deux casa 



(8) f^!^I^-P^^)^ = o = 



mais pour // = o, P, et Po deviennent sing^a et cosga, et l'une des 
deux fonctions est nulle et l'autre maximum pour a = -; or de cette 

formule on conclut que si P est nul |)our a = -) c?P l'est aussi, et que 

SI —- est nul poiM- a = -, -r- l est en même temps. Donc, pour luie 

a 7. ' 2 a-j. ' ' 

valeur très-petite de h et pour a = -■, P, est nul ou maximum 

comme singa, et Po est nul ou maximum comme cosga. 

Supposons maintenant que h ne soit plus excessivement petit, mais 
qu'il ait une valeur quelconque ; et, posant N = R + 2 A-, considérons 
l'équation 

(q) -— - + (R — 2/r cosaa) P = o, 

dans laquelle R dépend de A, et se réduit au carré g- d'un nombre 
entier pour A = o; par l'application de l'équation (3), on a 

^(?P-Po^J^ = r''p=(c?R- khèhco^ia)do,', 

alors imaginons que l'on sache déterminer la constante R de manière 
que l'intégrale 



^ V'[è\\- khèhQO%ia)dci 



soit nulle, quel que soit h : la propriété que nous venons d'obtenii- 
quand h est très-petit a lieu pour une valeur quelconque de /(, car on 

aura encore l'équation (8), et P sera nul ou maximum pour a = -, 

selon que singa et cosga, auquel il se réduit pour h — o, est nul ou 
maximum. , 

Tome XIII (2« série). - Mai 1868. aO 



i54 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Remarquons dès à présent que rien n'indique que, pour une même 
valeur de g, la constante R soit la même dans les fonctions P, et P^ ; 
elle est en effet différente, et la solution générale de l'équation (g) ne 
peut être périodique. Pour fixer les idées, choisissons la constante de 
manière que l'on ait 

Jo 

et je dis que la fonction P, reprendra les mêmes valeurs ou des valeurs 
égales et de signe contraire dans chaque quadrant, en sorte que « étant 

compris entre o et -» les quatre quantités 

P,(«), P,(7r-«), \\{n-^a), P,(27r-«) 

sont égales, an signe près, et que P, est périodique. 

Comme nous aurons occasion de le voir plus tard, si on pose v =^ cosa, 
la solution générale de l'équation différentielle qui donne P est la 
somme de deux solutions particulières qui se développent ainsi 

P' = A„ 4- A,P- + Aaf^'' -t- Aai^" -+-..., 
P" = Bt» + B, p' -f- B„ i'^ -f- B3 «'' -H . . . . 

La première est maximum et la seconde nulle pour f =: o, ou |)our 

V. =: -■ 
1 

Il résulte de là que P, est égal à P' ou à P", selon qu'il est nul ou 

maximum pour a = -", or, si l'on change f en — v ou a en tt — «, 

P' reste invariable et P" change de signe seulement; donc P, reste le 
même, an signe près, quand on remplace u. par n — y.. 

Pour passer au troisième quadrant, on remarque que la solution gé- 
nérale de P peut être partagée en deux solutions dont l'une est paire, 
et dont l'autre est impaire, suivant les puissances de v' = sina ; P,, qui 
t'st nul pour a = tt, est égal à la solution impaire en v\ et on en con- 
clut 

P, (7: + rj.) = - P, (tt - «), P, (tt + a) = ± P, (a). 



PURES ET APPLIQUÉES, i55 

Enfin, on peut obtenir de la même manière les valeurs de P, dans le 
quatrième quadrant. Donc la fonction P, reprend les mêmes valeurs 
au signe près dans chaque quadrant, et se comporte dans les change- 
ments de signe comme sing^a, et elle a 2n pour période. 

Si l'on détermine la constante R de manière que l'on ait 



X 



^\(-ji- — /i^cosaa) du — o, 



on arrive à des conclusions semblables pour P.j, qui se comporte dans 
le passage d'un quadrant au suivant comme cosga. Il n'est donc né- 
cessaire d'étudier les fonctions P, et Pj qu'entre les limites a ^ o et 



a = — 

2 



9, Si nous regardons d'abord h comme très-petit, la constante R se 
réduit à très-peu près à g^-, et l'équation différentielle à 

-j-: ~\- {g^ — 2h-cos2u) P = o. 

Si l'on donne à h l'accroissement ^h, toute lacine de 
P, =0 ou de Po = o 
subit une variation dont la valeur est 

<?a^ - c?P 



7Û' 



On a la formule générale 

[10) 



(la. lia 



^c?p_Pc?ll) -i{ihèh^è}r)\ Y>'cos2ada. 

Faisons a — o; supposons que P représente P, ou Pj, et que a. soit 
une racine deP = o, renfermée entre o et ^, l'équation précédente 

20.. 



i56 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

devient 

Tous les éléments de l'intégrale sont positifs; donc — c^P est négatif 

et la variation des racines positives, qnand on donne à h l'nccroisse- 
nient èh. 

Faisons rt = ^, et supposons que a soit niainlenanl une racine de 

P = o, renfermée entre -7 et -» on déduit de la même formule 

4 2 



le second membre est négatif; donc l'accroissement de la racine est 
encore positif. 

Supposons par exemple qu'il s'agisse de Po, et que g soit pair; alors 

la fonction P est maxinuun comme cosga pour a = o et a = -• Si Oh, 

Oc, Oc/,... font avec O.r des angles égaux aux racines de l'équation 
cosga = o, ces droites pourront repiésentci- des lignes nodales de la 
membrane circulaire, et les arcs bc\ cd,... sont égaux entre eux et 
doubles des arcs extrêmes ab et ej du quadrant af. 

Considérons une ellipse dont l'excentricité est très-petite, et menons 
les asymptotes des lignes nodales hyperboliques O^', Oc', O^',...; il 
résulte de ce que nous avons démotUré que les angles nOb', aOc\ 

aOd',... sont respectivement plus grands que aOb, nOc, Mais il 

y a plus : les angles b'Oc', c'Od',... sont > iOc, cOd,... dans la 
première moitié du quadrant et sont moindres dans la seconde moitié. 

Poiu' le prouver, désignons par a, et «^ deux racines consécutives 
de l'équation V., = o, et considérons la fonction 

n — Asing (« - a,), 

qui s'annule pour a =^ a,; P^ ne se réduit pas à fl pour h ^o; mais 
on peut iuiaginer une fonction P qui satisfasse à l'équation différen- 



PURES ET APPLIQUÉES. 167 

tielle du second ordre, et qui par la variation de // passe de II à P, en 
restant constamment nulle pour a = «,. Alors pour a = a,, on aiu'.i 

P = o, (?P = o, 
el en taisant a = «2 et « = a, dans l'équation (10), ou obtient 

('Il ^p] =~ 2{9.liâh + àh-) f' P- cos a ^r/a ; 

si a, et ao sont moindres que ^5 l'intégrale du second membre est po- 
sitive, et le premier membre est négatif; donc la variation de la ra- 
cine a, 

(?«.,-= -c?P:^, 

cl y. 

mais cette fois comptée à parlir de «,, est positive; donc l'inlervalle des 
deux racines x, et Ur, a augmenté; il est donc plus grand que — • On 

verrait qu'au contraire si î-:, et a^ sont compris entre j et -, l'intégrale 
est négative, el que l'intervalle entre deux racines diminue quand 
h croît, tout en gardant de très-petites valeurs. 

W. Mais ciuelle que soit la grandeur de h et quel que soit le sens 
dans lequel varie la constante R, quand on donne un accroissement 
infiniment petit à Ii, les racines subissent des modifications infiniment 

petites, et celles qui étaient comprises entre o et - y resteront constam- 
ment; car 0(7 et O/ sont des lignes oii Po est maximum el ne peul 
s'annuler, et que par conséquent ces racines en cbangeant de grandeur 
ne peuvent franchir. Ensuite cette propriété appartient dans tous les 
cas aux fondions P, et Pj, dont la première est nulle, et la seconde 
maximum pour a = o, tandis que l'une s'annide et l'autre est maximum 

pour a — -, suivant la parité de g. Ainsi, par exemple, si P. s'amude 
pour a = -) il est impossible que par l'accroisseiuent de // une racine 



i58 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

comprise entre o et - franchisse la limite -; car si pour une valeur de h 
une racine comprise entre o et - devenait égale à-i l'équation P, = o 
aurait une racine double pour a = -; donc P et^-r et par suite les 

' 3 (ly. ' 

dérivées de tous les ordres, s'annuleraient ensemble pour une même 
valeur de a; ce qui est impossible. 

Or pour A = o les fonctions P, et P, se réduisent à singa et cosga, 
et s'annulent g fois de o à t: ; donc quel que soit A, les équations P, = o 
et Po = o ont aussi g racines de o à n (en admettant parmi ces racines 
colle qui serait zéro, mais non celle qui serait égale à tt). 

Déi'eloppements des Jonctions P, et P^ suivant les puissances de h. 

lî. Pour développer suivant les puissances de h les solutions P, 
et P2 de l'équation 

h (R — 2/i-cos2a)P = o, 

da- 

qui ont 271 pour période, et dont la première est nulle, la seconde 
maximum pour a = o, nous poserons 

R = g^ + /3//* 4- 7^" + c?//^ +..., 

en désignant par g un nombre entier quelconque, et nous chercherons 
à déterminer les coefficients d'après la condition que P, et Po soient 
périodiques. 

Considérons d'abord Pj; posons dans l'équation différentielle 

P = Pj = cosga + A-p, R = g- -hBh*, 

et nous aurons 

— £ -1- (g^ — a/j^cosaa -+- B/i*) p — (acosaacosga - BA^'cosga) = o. 

Posons ensuite 

P=/' + ^i'|'" 



PURES ET APPLIQUÉES. .59 

et nous niirons 

(I) o — -—- + g'^p — icosiacus^u. 



C^) 



o = '-^ -+■ (g* — ■ih'^cosia -+- Bh) p, 
-I- (— 2 cos2a H- Bh^) [) -+- B cosga. 



Pour résoudre l'équation (I), nous remplacerons 2Cos2i<cosg« jiai 
CCS [g -h 2 ) « + cos [g — 1) a, etnous poserons 

p — a cos (g H- 2) « + i cosg-« -h ccosfg — i.) v.; 

on trouve immédiatement 



a = 



4 (§• + ') 4i^ — ')' 



poiH- b, il n'est pas déterminé, et en effet P. se réduit à cosga pour 
/; = 0; mais si l'on suppose que l'on ait obtenu son expression, et 
(ju'on la multiplie par i -4- Bh-, cette nouvelle expression peut encore 
représenter P,, et le coefficient b change par là d'une manière arbi- 
traire. 

Puisque nous pouvons donner à b la valeur que nous voulons, nous 
ferons 

b = o. 

Dans l'équation {h), posons 

p. =p^-\- h'' p,, B = p H- C/^^ 

et nous aurons les deux équations 

(H) ^ + g-o/^ — 2 COS2î(/J + /îcosga =: o, 



[c) 



■ '^ H- (g' - ilt'cos-iu H- rur ^ (]//<>) p, 

-I- (— 2 cosaor - fi/i- -r ("./?' > p, 
4- (jS -I- Gh-) p -i- Ccosgà. 



i6o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Pour résoudre l'équatiou (II), on doit remplacer 2 cos2ap par sa 
valeur 

rt cos(g' + 4) a + ^cos {g -+- 2) a 

+ (a + c)co'igx + bcos (g- — 2)a + ccos{g — f\) a, 

puis substituer pour p, 

p, = dcos (g H- 4) a H- ecos(g + a) a 

+ /cosga + h cos {g — 2) a -h Acos {g — 4) «j 

et on trouve, en égalant à zéro les coefficients des cosinus des arcs dif- 
férents, 

b [g -+- 2.) 




h est laissé arbitraire dans ces formules; si l'on y suppose 6 = 0, on a 

d = -r — ; r- : , fi = O, k = O, k = 



S = ! 

Le coefficient y^ reste encore indéterminé, et en effet, si l'on imagine 
obtenue l'expression de Pj et qu'on la multiplie par 1 + B/r -h Ch\ 
on changera non-seulement le coefficient b d'une manière arbitraire, 
mais aussi le coefficienty ; ce qu'il y a de plus simple est donc de faire 
/=o. 

Dans l'équation (c), posons 

p2=/?2 -I- A-pa, C — 7+D^% 
et nous aurons 

rf'n 

(111) -~ + g^ p., — 2 cos 2 a/), + jS/J + 7 cosga = o, 

Q^^_^/ 2_ 2A^cosa« + /5/?* + C/?^)p3 

(^) + (- ■2COS2a + /3A* + C/i'')/^o 

\ + (/3 + CA')p, + C/J + Dcosga. 



PURES ET APPLIQUEES. iGi 

Hemplarous clans l'équation (III) 2COS2a/j, par 

(T'eus (g + 6)(Z4- ecos(g+ 4)a + ('^+/) <-'"s(i,' + 2)« + (c -f- lijcosga. 
-+- (A + J )cos{g — 2) a + hcos (g — 4)a -+- Acos(g — G)», 

et I îisons 

p., = / cos (g -I- G) « + m cos (g + 4 ) <5; + ■'' cos (g- + 2) a 

+ rocosga •-(- </C()s(g— 2) a + rcos (g — 4)2< + .? cos (g — 6) a; 

MOUS aurons 

, — f/ — r h / 

/= ; TT' IIL ^= 7V-. T' ''=771 . ' .y = 



!?.(§'+ 3) 8 (g- -(-?,) 8(,ç— ?. ) 12 ;; — 3) 

Telles sont les expressions de /, m, «,..., quelles que soient les va- 
leurs données à b etf] et si on les suppose nulles, on obtient 

, — I I 

— (§■^ + 4^ + 7' ê^ — 4^ "*" 7 

w est indéterminé, comme h et /, et nous le ferons nul aussi. 

Maintenant que l'on voit quel genre de simplification amène l'hypo- 
thèse de la nullité des constantes arbitraires, et que l'on reconnaît 
qu'elle amène 1 évanouissement des termes de rang jjair dans /). /',, 
P2, etc., faisons immédiatement ces réductions dans les cnlculs sui- 
vants. Posons dans l'équation (<•/) 

Ps = /'s + f'' P4 . D = 0^ + FJi\ 
nous obtiendrons les deux écpiations 

(IV) —j^ + g-p.j — 2COS1C<pç, -h /3/J, + c^cosgcc = o, 

o =r '—^ + (g- — :>./r cos 2 « -h f-Ji* -+- Ch^] p, 

-+- (— 2CUS 2« -+- f-i/r ■+- Ch'')p3 + (j'5 -+- C/r) p., 
+ Ch^p, -t- (c? + V.Ii' ) p + Ecosga 

Tome XIII (2» sciie). — Mai 1SC8. 2r 



i62 JOURNAL DE MAT[IÉ\iATIQlJES 

Heinpiarons dans l'écjiiatioi) (IV) ainsa/^., pat' 

/cos(g + 8) a -T- (Z + 7/) cos(g- + 4 j 5r + ((/ + n) cosga 
+ (ç + ^) cos (g- — 4) « + .ç cos (g' — 8 ) «, 

et posons 

/jj = R, cos (g + 8) a + Rocos (g -J- 4) a -H R3 c()sg(z 
-I- R, cos (g — 4) <x -i- R5COS (g — 8) a; 



lions anrons 



«'-,H(^+4)' «^--^T^Tn' ^^--BTjzTiy' '^^-, 6(^^:4)' 

â = q -h n, 
on, en fffectnant les caicnls, 

^'' ^ 2".3(^ + ij(ff + 2)U" + 3)(g-T4)' ^-' "^ 2".3(g-l)(g-2)(^-3)(g-4)' 
R =: g' + 7g'+ aog + 3o _ g^— 7g'+20g — 20 



â 



5g- -i- 7 



32(s'-l)=(g''-2')' 



ajoutons à ces valeurs R, = o. 
Si nous posons encore 

P4 = P: + h'Y*,, E == £ 4- B/r, 

Pi nous sera donné par l'équation 

-~ + g^/'i — 2COS2a/>3 H- /S/yo + c?/; + scosga = o, 

et nous aurons 

p^ = S, cos (g -i- 10) a + So cos (g -1 6) a f- S3 cos (g »- 2) « 
+ Si cos (g — 2 ) a + S5 cos (g — 6) a ^ Se cos (g - 2 ) a, 



PURES ET APPLIQUÉES. i63 

en prenant 

- R, „ ■_ -R,- R,+ p/ c _ - Rv -^ P^ -^ -^^^ 

R,_pr/-^r _ R, + R,- p.. _ «^ 

^^^ 4(^-.r^' ^^-'- 4 .3 (,--37' *^-4.5(."-5)' 

£ = O, 
OU 



^ _ - I • c ^ ' , 

'^' - 2". 3.4.5(^+1) (^+2) (^^-3)(^+4)(^^-^' ' 2".3.4.5(^-i)(^-2){g— 3)(^-4)(^-5, 
_ _(g' + iig^4-49g'+'o'g + 78) c ^ g'— Il g^ + 49g' -101 g + 78 ^ 

_ f ^' _,_ , g6 + i8g'-h 24g* + 63g' + 81 g' + ?.o6g + 464) 



83 = 

s,= 



2'". 3 (g +l)MgH-2)Mg + 3)(g-I)»(g-2,l 

g — 7g° + i8g^ - 24g' + 63g' — 81 g' + 206g — 464 



2'».3(.g-l)Hg-2)'(g-3)(g+Ip(g+2l 

Pour terminer ce calcul, remarquons que le coefficient y; de //'- dans 
la constante a pour valeur 

vî = 83 -i- 84 , 

el, en remplaçant 83 et S^ par leurs expressions, 

ggs -+- 225" — 2o3g- — I 16 



" 2^(g^'-l)^tS^-2'/(g'-3' 



Ainsi, en uietlant dans R les valeurs des preuuers termes, ou ohlie 



ni 



(« 



^- 



//' 



5g' 



' ' 1 9g''+22g'— 2o3g'- 116 ^,2 



O " 2(g' — l) ' 32(g'— I)'(g' — 4i 

9g°4-22g*— 2o3g'— 116 

"^ 64(g'-i)'(r-4)Mg'-9) 

VI II est temps de remarquer que l'on ne peut contuuier ainsi le 
développement de P2 et de la constante R sans se préoccuper de la 
valeur du nombre entier g; car le coefficient âeh" contient en dénomi- 
nateur le facteur g — 1 , le coefficient de //' le facteur g — 2, le Cûcffi- 
cient de h'^ le facteur g — 3, et ainsi de suite; de sorte que, quel que 

21 .. 



i6/, JOURNAL DE iMATFlÉMATiQUES 

soit le nombre entier pris pour g-, on finira par troiivei' un terme infini. 
On doit même arrêter le développement de R avant la rencontre d'nn 
terme infini; car, pour qn'nn terme de la constante puisse être 
accepté, il faut que le teiine de même ordre de Po puisse lui-même 
l'être. 

Pour plus de clarté, considérons un cas particulier, celui de^ = 4 p-T" 
exemple. Les coefficients de h' et de /«'^ dans R conservent une valeur 
finie et doivent cependant être rejetés. Pour le reconnaître, repienons 
le calcid de p^, qui demande à être modifié, car la valeur de Rj qui v 
figure devient infinie. 

L'expression de icos^ ap^ devient 

/ cos 1 2 a -t- i / -t- ?i) coiScf -+- {(j -\- n -\- s) cos4 u + q + s, 

et les termes en cosg^a et cos (g — 8)a se réunissent en un seul, en cos4a- 
Nous substituerons dans l'équation (IV) 

^3 ^ R, cos I 2a + Ro cos 8 a + R3 cosZja -H R , , 

pour déterminer les coefficients; mais dans le résultat de la substi- 
tution, le coefficient de cos4« devant être nul, on obtient 

â = q A- n -\- s ; 

la valeur de t? doit donc être augmentée de la quantité .v; on a 



87 
'I ^ Il ^= , ,' -. 1 s = 



I 



3'. 5' ~ 2». 3= 



et pa»' suite 



2».3\5^ 



0.1 voit clairement comment on coutuiuerait ce développement. 

Si g est>4> Iss trois premiers termes de R sont ceux que Ion 
trouve dans l'expression (/); si g est > 6, on doit encore prendre dans 
le développement (/) le terme en /i'', et ainsi de suite. 

Nous allons considérer le développement de P., et les premiers 
termes de R quand g est inférieiu" à f\. 



PURES ET APPLIQUÉES. i65 

Si g est égal à zéro, le développeiueiit que nous avons trouvé iionr P^ 
est a|i|)licable, et c'est même le seul cas où l'on puisse l'appliquer aussi 
loin que Vun vent. 

Si g = 2, on obtient, par mi calcul spécial, 

P. = c- S2î< + //- ( cos/ja + 7 ) + -^ cos6a 

V 12 4 / 384 

— //" ( „', cosSy. -i- —Yt ^"^''> "■'■ -^ ) 

\23o4o 1J024 '92/ 

-+ /;' ( 777- C(is \OX H ;, , cns()a ) 

\2?, llbi|0 2211040 / 

-f- //"^ ( cos ï 2 y. — — ^ — cos 8 y. 

\ 309657600 ' ' ■ iGSHSHoo 

2io5q , i363 \ 

-( ,- ,. ', COs/| u H -;t7 + . . . ; 

7qb2b2_io 221104/ 

^ ' '12 i3o24 79026240 

Si if = 4 , on ^ 

W — co'./(a -h /r ( cos (Je. + — cos2 5< ) + // ( -U cos8i< H —\ 

\ 20 12 / \ qbo r CiX I 



/ — I i3 ,, 11 



'''" u <■/ cosioa ~, cosfJa -1 n- 

\ 00040 9booo [7200 

/'* ( — 5 cos I aa + -^T—f-, cos 80: 



cos 2 y. 



io32ig2o ' 6048000 92160 

''''"( nsï — TF? — ^^^ ' 'i '■' -I -, — cos ! o a 

1037943000 ■ 1002192000 



cos6a -f- ,. .r^ — cos2a | t 



24'9200ono ' 62P08000 

(B) R = ,6 -f- f A* + -P_ /,« ^f^L_ A-'^ + . . . . 

^ ' 00 004000 21772800000 

Les développements (A) et (B) ne contiennent (pie ilcs puissances 
paires de h*, et nous démontrerons plus loin que R jouit de cette pro- 
priété toutes les fois cpie g est pair. 



i66 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Pour g^= \., on a les formules suivantes : 

h' / I I 

P, = cosa — - cos3a + //' — cos5a — -^ cos3a 
s \ > 92 64 

— h^ ( — -. cosnc/. r- cos5(z H — -T ces 3 a 

-5 — H- c<isqa — ~, — ^ cosTîf 

+ 545^^°*^'" ' 36«64 



cos !3 a + ^,.'^'.., ces 3 a I — 



R = .+/.= -iA--^/.«-^/.'+3^/.--^ 



'oiu' g = 3, on a 



P., = cos3î( -+- h- [ — — T cos5^ H cosa ) 

\ I b 12 / 

-f- /^' f :r~c — cos 1 1 a H — ,, 1^^ ^ ces 7 î< 

\2".3-.5.7 2'\3'.5 ' 

cos o a ces « -+-...; 

2" 2" / ' 

R = 9 + 4. A' + ^ /i" + -^ /i" ^- -A^ /i'" -f- . . . . 

^ it) 64 fc>i44o 1DJ04 

15. Proposons-nous maintenant de développer P,, et comme pour 
une même valeur de g la constante R a une valeur différente dans P, 
et P^, représentons-la maintenant par R'. Ainsi nous avons l'équation 
différcnli<'lle 

{m) --— ^ H- (R' — 2 A- cos2a) P, = o, 

dtt.' ^ 

<'t il laiit trouver la solution qui s'aïuiule pour « = o et choisir 
R' = g-=^/3/(' 'ryh''-'^-ùh* h eh'" hnh'- -+- ... 



PURES ET APPLIQUÉES. 1G7 

lie inaiiieie qu'elle soit périodique. Posons 

P, = s\ngc< + /rp -+- II" lU + h'^i>2 + /'"Pi H- . . . , 

et nous aurons exactement les mêmes calculs que pour P.j , axci le 
seul changement des cosinus en sinus; ainsi nous aurons 

jj = rtsin (g + 2) a -h c siii (^ — 2) a, 
Pi =r/sin [g -+- /^)a + A sin (g - 4) a, 
p^= l sin (g -4- 6) a + » sin (g + 2) a 1 (/ sin (g — 2) « 
-1- s sin (g — 6) a, 

et a, c, r/, Â ont les mêmes valeius que dans l'expression île P^ ; on a 
donc encore pour la constante 



o 7.{g^-i) 32(s'-^-./(^'-4) 

9g' + 22g' — 2o3.fr^— 11 6 , 

et ce développement doit être arrêté au même terme que dans K ; 
ensuite, quoique les premiers termes de R et de R' soient les mêmes, 
ces deux constantes ne sont pas égales, et les deux séries se séparent 
dès le terme à partir duquel on est obligé de remplacer g par sa valeur 
particulière. 

14. Quand on a obtenu la valeur de Po pour une valeur impaire 
de g, il est aisé d'en déduire celle de P, pour la même valeur deg^. 
En effet, si Pj est donné par l'équation 

[il] ^ + [R(g%Â*)- 2/?-=cos2aJ P = 0, 

en changeant }î^ en — li^ et a en - — a, on aura une fonction pério- 
dique qui satisfera à l'équation 

[p) l^ + [R(g = , _ ^»)^2Pcos.y.]P = o, 



i68 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

de même forme que (m), et si g est impair, les cosinus de Pj so changent 
en sinus; on a donc l'expression de P^, et de plus on voit qu'on 
obtient la constante R', qui convient à F,, eu changean! dans K 
fi^ en —Ir. 

D'après cela, poin- g = i on a 

P. = sina — 4- sin 3« -i- A' sin 5a + -^ siu 3a 

— //' ( pr siiiTa H ^ sin 5a H — ^^ sin 3a 

\92iD ' I loa locsb 

-+- ^'^ \-o — s- sin na -+- -, — ?- sin 7 a 
\']i']'ih(i • 49'52 

1 . ,. II o \ 

: Sin Da — „,.„^ . suioa -h . . .; 



24576 36864 

l^'='-^'^-^^''-6Î^'"-7i6^''-3(^^''"^--- 
Et pour è' = 3 "Il ^ 

P, = sin 3 a + /^M ^ sin 5 a H- -j^ sina j 

/ I l '^ 

-+ //' - — ^— p — sin I I a H . ,'. - sni 7 a 

\2".3'.5.7 2=.3-.D ' 

-I- 4t sin 5a -t- — sina ) + . . . ; 

R' = 9 + 4 /^^ - -^ /^« + -^ h^ + -^ /^<" + . . . . 
•^ ib 64 6i;|4'^ i(3Jo4 

Si g est pair cl que Pj suit donné par l'équation («), en cllallg^■ant 

h^ en — //- et a en - — a dans P.^, on aura une fonction P qui satisfera 

2 

à l'équation {p)\ mais les cosinus restent des cosinus dans ce change- 
ment; donc la nouvelle expression appartient encore à Po, et on 

en conclut 

\\{g\-h-)=^\\{g\h'^). 



PURES ET APPLIQUÉES. 169 

Le même raisonnement est applicable à P, ; par conséquent, si g est 
pair, P) ne change pas quand on remplace « par - — a et Ir pur — //-, 
et R' ne renferme que des puissances quatrièmes de h. 
Par un calcul spécial, on irouve, pour g = 2, 

T2 ' 384 



; , si II 8 « H — -—7 sinAa I 

23040 I i024 / 



— 777- sm lOK '--r- snioa 

221 1040 220g 140 

^^"' \-i — 7f:\ ''" 12a + ,, 'V sinSa 
\ 309057000 33177600 

28q . , 

7902(1240 ^ 

12 13824 79026240 



Pour g = 4, on a 

-i — 7^ smo(z 



P, = sin4« -+- /r ( sin6aH sin2!z 



12 



g6o 



i3 . ,. I . 

sin loa H — -. sniocif — — - — suiaa 



^8o64o' ' 96000 4320 

+ h^ i — 5 sin r 2a -t- -^^-rr, siiiS^t 

\ 10321920 6040000 



+ ^^'° (~ôr TFc — sin l4« 5 sin IO(Z 

\ 1007943600 1032192000 

2q3 . ,. 307 

-\ 7 == SHlOa H y~i SU) 2« 

2419200000 124416000 

R'= ,6 + f /.■• - 4L2_/,s ^_ 45o^^,.^ 

3(1 064000 1 360800000 

Sur les fonctions Q qui doh'ent être associées à P, et ¥., . 
15. On passe de l'équalion 

(i) — - -h (R — 2//- cos2a) P = o 

Tc.nic XIII (2' série). — Mai ifiCS. 22 



170 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

à celle qui donne Q 

{2] 5^-[R-./.= E(2,S)]Q = o, 

en changeant a en fii et P en Q, et R a la même valeur dans l'une et 
l'autre; donc si dans les valeurs de P, et Pj on change a en jS/, on 
aura des solutions de l'équation (2). Or il est aisé de comprendre que 
si la membrane se plie dans un mouvement vibratoire le long des 
droites FA et F' A', comprises entre les foyers et les sommets du grand 
axe, et qui ont pour équations a = o et a = tt, elle doit aussi se plier 
tout le long de la droite FF' menée entre les foyers et qui est donnée 
par /3 = o. Donc 

P, = singa + h- [a sin [g -h 2) a. -h b sin {g — 2) a.\ -h ■ . ■ , 

qui s'annule pour a ^ o et a = tt, doit effectivement s'associer à la 
fonction 

Q.^AJ— ^ + ''-[^ 5 + ^ i J + -I' 

qui se déduit de P, en changeant a en ^i, el qui s'annule pour |3 = o. 
De même 

Pi = cosg-a H- h'- [acos{g -h 1) a + b cosfg- — 2) a] + ... , 
qui est maximum ou minimum pour a = o, doit s'associer avec 

Q, = A !E(|5g) + /r[aE(^^;::^/3) + />E(^~l/3)] !+..., 

qui est maximum ou minimum pour j^ = o. 

Toutefois les expressions de P, et P^ pourront être convergentes, 
sans que celles de Q, et Q, le soient, pour toutes les valeurs que peut 
prendre /3 dans l'intérieur de la membrane; mais, pour le moment, 
nous voulons plutôt faire remarquer les caractères des fonctions Q, 
et Q2 que de donner un moyen de les calculer. 



PURES ET APPLIQUÉES. 



Sur les lignes nodales. 



m 



16. Nons pouvons déjà foire quelques réflexions sur la nature des 
lignes nodales d'une membrane elliptique. Nous avons vu que dans lui 
mouvement vibratoire simple le déplacement d'un point de la mem- 
brane est donné par la formule 

Ti' = PQsinaX/w?, 

où P et Q satisfont aux deux équations (i) et (a) du numéro précé- 
dent, et où X est déterminé par la fixité du contour. Et P étant une 
fonction de a à période 2 tt, on ne peut prendre pour elle que P, et P.,, 
de sorte que Q, et Q. étant les valeurs correspondantes de Q, on a 
deux genres de solutions donnés par les formules 

TV = P, Q, sinaX, mt, 
"' = P2Q2 sinaXo mt, 

et les lignes nodales ont pour équations, dans le premier o^eme. 

P. = o, Q, =0, 
et, dans le second genre, 

P, = 0, Q, = o, 

Dans le premier genre, le grand axe est une ligne nodale; dans le 
second genre, il est en maximum ou en minunum de vibration. 

Les équations Q, = o et Q, = o donnent des ellipses qui ont les 
mêmes foyers que le contour de la membrane. Les équations P, = o 
et P, = o déterminent les asymptoles des lignes nodales hyperboliques 
qui ont encore les mêmes foyers; et le nombre entier g qui entre dans 
P, et Pj indique combien de fois ces fonctions s'annulent de o à tt, 
c'est-à-dire le nombre des lignes nodales hyperboliques, en désignant 
par ligne nodnle hjpeiboliqnc les deux branches d'une hyperbole ter- 
minées au grand axe qui ont la même asymptote. Dans cette manière 
de voir, une hyperbole est comptée pour deux de ces lignes; mais si le 



22. , 



172 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

grand axe ou le pelit axe sont sans mouvemenf, ils ne sont comptés 
que pour une seule ligne hyperbolique. 

Si g est nul, le mouvement ne peut être que du second genre, et il 
n'existe aucune ligne hyperbolique. 

Si g^=i, ou n'a de ligue nodale hyperbolique que le grand axe 
dans le premier genre et que le petit axe dans le second genre. 

Si g = 3, dans le premier genre on a pour ces lignes le petit et le 
grand axe, et tians le .second genre une hyperbole. 

Si g = 3, 0!i a pour ces lignes noilales une hyperbole et soit le grand 
axe, soit le petit axe, suivant que le mouvement est du premier ou du 
second geiu-e. Et ainsi de suite. 

Quand les séries trouvées pour P, et Pj seront très-convergentes, 
comme on connaît exactement le nombre des racines comprises de 

o à -5 nos formules seront très-commodes, et il sera aisé de séparer 

ces racines par des subslitutions et de les calculer avec l'approximation 
voulue par l'expérience. 

Mais si //, qui est proportionnel à l'exceulricilé de la membrane et 
à la hauteur du son, est assez grand, ces séries ne sont plus conver- 
gentes ou le sont trop peu pour être d'un usage commode; on ne peut 
même plus se servir des développements de R et R' suivant les puis- 
sances de II et l'on est obligé de recourir à d'autres méthodes. 

Développements des Jonctions P, et P, snivant les puissances de sina 

et de cosa. 

17. Si nous posons 

V = ces a 

et que nous prenions v pour variable, l'équation 

(■•) g + [R(«%//-^)-2;rcos2a]P = o 

se transforme en la suivante : 



PURES ET APl'LlQUÉfùS. 17^ 

et si nous j)reiioiis 



SIM a 



pour variable, elle se chîîiige en celte autre : 

ib) gril - ^--) - §^'+[R{g\ /r) - ^h' + ^/ri>--]V = o. 

Supposons d'abord g pair : la constante R (g', /'"), comme nous 
avons vu, ne dépend que des puissances |)aires de h^ ; donc on passe 
de l'équation (rt) à l'équation (A) en changeant c en c' et Ji^ en — A", 
et l'on en conclut cette propriété remarquable que, lorsque g- est pair. 
P, et Po sont des fonctions de c qui restent invariables lorsqu'on y 
cliange c en v' et h en — h^. 

Supposons g impair : si P, est solution de l'équation (1), nous savons 
que la valeur de P, correspondant à la même valeiu' de g est solution 
de la même équation dans laquelle on remplace R(g', /r ) par 
R(g-, — h-); alors P, satisfait aussi aux deux équations (a) et (/;), 
et Pj aux deux suivantes : 

('0 S^(' - <'") - ^-'+[R(S% -/r) - 2/r + /,/r.-]P = o. 

On passe de [a) à [d] on de (c) à [h] en changeant v en v' et li- 
en — h-; donc, par les mêmes changements, on passe tle l'expres- 
sion de P, à celle de P,, ou inversement de celle de Po à celle de P,. 
Considérons l'équation [a] et posons, pour simplifier l'écriture, 

R(g% /r)-h 2/1- = m. 

La solution générale de cette équation est la somme de deux solutions 
particulières, l'une Hj paii-e en t^ et l'autre H, impaire. Pour la fonc- 
tion Ilj, posons 

(c) n,=X-„H-/,,c--HA-,v'' + Â-,v'»-H...-i-/4,_.,i''-'----i-A,i'^^-hA-,^,(.-^-^^'-+- ... 



174 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

et nous déterminerons, en substituant dans (a), les coefficients 

I _ m k„ , m {m — 4 ) + ^^'' / 

^"« ^ T' ""^ = ^734 »' 

, — m {m — 4 ) ( "* — 1 6 ) — 56 /i' /« + 1 28 /i^ , 

''' ~ 2.3.4.5.6 '''»'•■■• 

En égalant à zéro le coefficient de v"^' dans le résultat de la substi- 
tution, on obtient la formule 

, , / _ (4^' — w)x-, + 4^''^-.-. 

qui montre comment chaque terme se déduit des deux précédents. 
Pour la fonction n,, posons 



(/) 



r[, = a,v -t aoV^ -h n^v^ + a,, v'' + ... 



et nous aurons pour les coefficients des premiers termes 

m — I [m — i) (m — g) -\- ■2^/1'' 

"-^ irr^" ^' = ' 2.3.4.5 "" 

— (m — 1) (m — q) {m — 25) -f- (170 — 26»i) 4/'' 

^* - \. 3. 4. 5. 6. 7 ' ""■ 

et chaque terme se déduit des deux précédents par la relation 

_ [(2.y — i)=— m] <!,■+- ^Ii'a,_, 



(3) a. 



2J-(2i + I 



.Supposons la constante R choisie de manière que P, satisfasse à l'é- 
quation [a); P, est nul ou maximum pour a = -> et se comporte en 

cette propriété comme singa, auquel il se réduit, à un facteur constant 
près, pour A := o; par conséquent il est nul si g est pair, et il est maxi- 
mum si g est impair. Or, pour i' = o ou « = -)!!, est nul et IIo est 

maximum; donc si g est pair P, est égal à 17,, et si g est impair P, est 
égal à Uj, à un facteur constant près. Imaginons, au contraire, R choisi 



PURES ET APPLIQUÉES. 175 

de manière que P, satisfasse à l'équation [a], et nous voyons de même 

que P.> est nul ou maximum pour a= -, selon que g est impair ou 

pair; et on en conclut que P.> est égal, à un facteur près, à II, si g est 
impair, et à H, si g est pair. 

18. Venons à l'équation [b], et posons 

R — -ih- ^ m' ; 

la solution générale de cette équation est encore la somme de deux so- 
lutions particulières, dont l'une est paire et l'autre impaire en v'. Si R 
est choisi de manière que P^ soit solution de cette équation, alors P,, 
qui est maximum pour v' = o, se confond avec la solution particulière 
qui jouit de cette propriété, et on a 

(e') p, = a; + k\ v'^ -f- a; v"-^...-^ x-',_, v'-'-- -f- a; <.•'-' + a;^, v""'^- + . . . , 

expression où Xr'y, A',, A'.,,... se déduisent de Ao, A,, A^,..., par le chan- 
gement de li' en — h'^ . Ainsi on a 

,, _ m'k\ _m'(m'-^]-8lr- ., 

''i-~t:t' '''- ,.2 3.4 o'--' 

et la loi qui lie entre eux les coefficients de trois termes consécutifs est 

^^^ ^•+' (2i-t-i)(2.s--t- 2) 

Si, au contraire, R est choisi de manière que P, soit solution de l'é- 
quation (i), P,, devant s'annuler pour i'' == o, se confond avec la solu- 
tion impaire en v' de (6), et on a 

[J'') p, = a>'+rt>"H-a>" -4-... + rt;_,t'""-'-f- <»-'-*-' -f-al_,i''"+' + .... 

rt',, à^,a\,... étant des quantités qui se déduisent de n,, a.^, a^,... [)ar 
le changement de h^ en — Ir ; ainsi on a d'abord 

, m' — I , , (m' — (w' — q) — i^/i' , 

('2— O^^i' "3— 2.3.4.5 ^ty--, 



i-jÔ JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

et ensuite la formule générale 

.ç, , [(a.f — ^i}' — "i']"'s — 4^'"s-i 

*- ^ I "'*' ~ 2S{1S +l) 

Ici il est bien ituportant de remarquer que si l'on remplace R par un 
nombre quelconque, la fonction (e') ou la fonction (/') n'est égale à 
aucune des deux fondions (e) et {/) ; car la fonction ( /'), par exem- 
ple, qui est nulle pour f' = o ou a = o, n'est ni nulle ni maximum 
pour a — -■, et ne saurait, par conséquent, se confondre avec l'une ni 
l'antre des deux fonctions (e) et (/). C'est seulement si R est déter- 
miné de manière que l'équation (r) ait une solution de période 2-, 

77 

que, cette solution devant être nulle ou maximum pour a = o et a = -» 
l'une des deux expressions (e')et(/'), qui lui est égale, est ulentiqne, 
à un facteur prés, à l'une des deux expressions (e) et (/). 

Par exemple, supposons g pair, et, par suite, Po égal au produit de Tï^ 
par une constante A, si R a été pris convenablement. Par la considé- 
ration des valeurs de ces fonctions pour a = li5", 3o°, Go", on obtient 
les formides 



4"^" T6"^---; " " 2^4 

A {/.■, + A, 1+^2^ +. ..) = A-'„ + ^^ + ^ +••■, 

dont chacune peut déterminer le facteur A. 

Nous avons admis jusqu'à présent que R était connu; mais s'il ne 
l'est pas, en éliminant A entre deux de ces formules, on obtiendra une 
équation dont les deux membres seront les produits de deux séries, qui 
ne renfermera d'inconnue que R et pourra servir à la déterminer. 

11 est extrèiiiement aisé de reconnaître que les séries (e), (/), (e'), 
(/') sont convergentes, tant que v on v' est < i . Soit plus générale- 
ment la série 

/,„ -+-/.-, X -f- A, .r- -+-...+ A„ .X" + A,,^, .r"-^' + . . . , 



PURES ET APPLIQUÉES. 177 

dans hiqiielle x est < i, et dont trois coefficients consécutifs sont liés 
par la relation 

(7) J<s+i = ^s ^s -+- f^s^'s-i ; 

en outre la limite de A„ quand s grandit indéfiniment, est moindre 
que l'unité ou lui est au plus égale, et la limite de n, est zéro ; alors la 
série est convergente. 

En effet, la limite du rapport -j^ est égale à la limite t de A, quand s 

grandit indéfiniment; donc la limite du rapport d'un terme au précé- 
dent dans la série est tx, nombre < i, et elle est convergente. Or les 
relations (2), (3), (4), (5), satisfaisant aux mêmes conditions que la re- 
lation (7), les séries sont convergentes tant que t' et p'sont < i, c'est- 
à-dire quel que soit a. 

An contraire, si v et v' étaient > 1, ces séries seraient diver- 
gentes. 

Cependant pour avoir des séries bien convergentes, on préférera les 
formules (e') et (/') quand a sera compris entre o et 45 degrés, et les 
formules [e] et (/) quand a sera compris entre 45 et 90 degrés. 

19. On voit facilement que, à partir d'un terme suffisamment éloi- 
gné, tous les termes suivants ont le même signe dans les quatre séries 
(^)> (/)' (^')' (/')' '"^^^ "°"^ allons de plus étudier le nombre des 
variations de ces deux dernières. Si nous supposons d'abord A = o, R 
et m' se réduisent à g^, et les deux séries (e') et {J') à 

P. = î k - *-^' "'■ - '-^^«5^' "' -•] ^ 

ce sont à des facteurs près les valeurs de cosga et de sing «. 
Si nous faisons successivement 

g = i, 2, 3,..., 

Tome XIII ( 2' série). — Mai i8(iS. ^'^ 



17-3 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

If facteur entre crochets de P3 devient 



3.i5 
cosa =: I * 



. 2 



' ' . ~ î / s « 



.2.3.4 I .2 3.4 -S. 6 



COS25: =: 1 — 2i>-, 

3' ,, 3''fy-2M 3M3'-2')^4'-3') 

cosSa^i--;-^.' + ,.,3.4 >' + ,.2.3.4.5.6 ^ 

4' ,2 4''4'— 2M 

cos4« = ' - 77; '' + 1.2.3 4 ' 



La série qui donne cosa possède une seule variation et une seule ra- 
cine positive en v', v' = sin -; cosaa ne possède aussi qu'une variation 

et qu'une racine positive v' = sin ^; cos3a a deux variations et deux 

lacines positives, v' = sin ^ et sin - ; cos 4 « a deux variations et deux ra- 

cines positives v' — sin ^ et sin -^- Et en général la série qui donne 

cosga au moyen de v' possède autant de variations que l'équation 
cosgi^ = o a de racines positives en v^ . 

On reconnaît pareillement que la série qui exprime singa a un nom- 
bre de variations égal au nombre de ses racines en c'. 

Ainsi quand h est nul, P, et P, exprimés par v' possèdent le même 
nombre de variations que de racines positives, et nous allons démon- 
lier que cette propriété subsiste pour une valeur quelconque de h. 

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de P,; nous avons entre les 
coefficients de trois termes consécutifs de 

P^ = A'n + A', t'"- -+- A'2 v'" + . . . 
la relation 



AL. = 



lj(2.V- 



et imaginons que l'on fasse croître la quantité h. Il résulte de cette for- 
mule que poiu- aucune valeur de h (zéro excepté), deux coefficients 
consécutifs ne peuvent s'annuler. En effet, si A', et A',., , étaient nuls, A^i 



PUKES ET APPLIQUÉES. 179 

le serait aussi, puis pour la même raison l^',_„ et ainsi de suite, de sorte 
que tous les termes de la série s'annuleraient. 

En second lieu, si le coefficient d'un des termes s'annule pour une 
certaine valeur de //, les coefficients des deux termes qui l'entourent 
sont de signe contraire, comme on le voit par la même formule. 

Il résulte de la que, tandis que h grandit, IK ne peut acquérir ni 
perdre aucune variation, et qu'il en possède par conséquent le même 
nombre que pour h = o. Mais, comme nous l'avons démontré (n" 10), 
P2 s'annule toujours le même nombre de fois de ry. ^ o k oc = -■> quel 
que soit h ; donc enfin l'équation 

P„(t'') = o 

a précisément autant de racines réelles, positives et <; 1 , qu'elle a de 
variations. 

20. Cette propriété permet de séparer les racines de celte équation. 
Considérons d'abord une équation algébrique 

J{.r) = o, 

qui a autant de racines positives que de variations; formons la suite 
des dérivées (]ej{x) 

(A) f{x), J'{x), /"(.r),..., 

qui pour x = o présente les mêmes signes que la suite des coefficients 
de /(o-) ; il est aisé de prouver que, tandis que l'on fait croître .r, il est 
impossible que cette série gagne jamais de variations; mais que lors- 
quef{jc) s'annule, il se perd une variation du premier au deuxième 
terme. Donc si l'équation^ ( jr) =0 a autant de variations que de ra- 
cines positives, comme la série (A) pour x =: o a ce nombre de varia- 
tions, que lorsque x grandit, elle en perd luie à chaque fois quej{x) 
s'annule, et qu'elle n'en peut gagner, elle ne peut en |)erdre que lors- 
que X passe par une racine de l'équationy ( x) = o, et en comptant le 
nombre des variations de la suite (A) pour .r = a et .r = /;, et faisant 
la différence, on a précisément le nombre des racines comprises entre 
a et b. 

33,. 



i8o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Tous ces niisonnements sont applicables à l'équation Pj [v') = o, 
formée d'une série d'un nombre infini de termes, et on aura à exa- 
miner la suite infinie 

(B) P=(0, 7^' ^^' 1^' ••; 

les deux premiers s obtiendront par les séries 

P, = A-; -t- A', v'- + A', v" -^..., 
— i = A\ 2t/ + A'., 4i/3 + . . . ; 

puis ou calculera les dérivées suivantes au moyen de l'équation 

et de celles que l'on en déduit par la différentiation. 

Le nombre infini des termes de la suite (B) n'offi-e pas d'embarras ; 
car on sait combien l'équation P2(i'') = o a de racines entre o et i ; 

elle en a autant nue cosira = o entre o et - : c est - ou 1 suivant 

' " 2 2 2 

que g est pair ou impair; Po (»'') possédera autant de variations; on 
calculera donc seulement un nombre n de termes de la série qui 
donne P2, suffisant pour y compter toutes ces variations, et il résulte 
des premiers principes de l'algèbre que la série (B) n'aura pas de va- 
riations au delà de ses n premiers termes quand on donnera à i'' une 
valeur positive. 

2 1 . Tout ce que nous venons de dire de Pj peut être répété pour P, . 
Nous pouvons maintenant nous faire une idée plus précise de la con- 
stante R. Cette quantité, poin- h = o, se réduit au carré d'un nombre 
entier : elle est par conséquent positive quand// est très petit; mais 
nous allons démontrer que la constante R relative à V^ est non- 
seulement positive, mais aussi plus grande que ih-, quel que soit //. 

Nous venons d'ex;iminer les changements dans le nombre des va- 
riations de la suite (B) quand on fait varier f' de o à i ; mais comm^e 



PURES ET APPLIQUÉES. i8i 

P, et Po sont l'une une fonction impaire en v' et l'aulie une lonction 
paire, il en résulte que la série (B) jouit de la même propriété entre 
— I et o qu'entre o et i , et par conséquent si l'on fait croître v' de — i 
à -f-i, il se perd une variation seulement à chaque fois que t»' passe 
par une racine de P^i^') = o- Pareille chose a lieu pour P, (p'). 
P2 est donné par l'équation 

(«) '^ (I - -") = S^^'+ (2^^ - 4/r^'- - R) P.; 

taisons-y f = o, nous avons alors —y = o, et par conséquent P., et —j-p^ 

sont de signe contraire; car s'ils étaient de même signe, faisons croître 
f' depuis une quantité très-petite négative jusqu'à une quantité très- 

c/P 

petite positive, — ^i en s'annulant, passera d'un signe contraire à celui 

de P2 à un signe pareil, et la série perdrait deux variations, tandis 
qu'elle n'en doit point perdre. Donc le coefficient de P, est négatif, 
et l'on a 

2/^- — R < o, 
ou R >■ 2 A-. 

Désignons, comme nous l'avons déjà fait, par R' la constante R 
quand elle appartient à la fonction P,, et nous allons démontrer 
qu'elle est >— iJv- toutes les fois que le nombre entier g est >.i. En 

dV 

effet, —~ s'annule nécessairement pour une valeur de v' comprise 

^1 p 
de o à I, et, pour cette valeur, P, et —^ sont de signe contraire, et 

puisque P, satisfait à l'équation («), lorsqu'on y remplace R par R', 
on a 

2.//- — /|/?^''2 -R'<o 

ou 

R'> 2A'(l — 21'»), 

et à plus forte raison R' est >— ilî^. 

Il est bon de remarquer que l'équation [n] cesse d'être applicable à 
la limite v'=i i, par cette raison que v\ étant le sinus d'un angle déter- 
miné, ne peut prendre d^s valeurs plus grandes que runité. Et en 



i82 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 



eïfet, jKHir p'=: i, P ou y- est nul. Supposons que ce soit P, il ré- 
sulte (le cette i 
d'après l'égalité 



, , , . dp . , . i/P 

suite (le cette équation que — serait nul, et par suite aussi ~i 



dP dP 

-T~ = -T-7 cosa; 



ce qui est impossible. 



Des équations dijférentielles qui déterminent la Jonction Q. 
22 Nous savons que Q est donné par l'équation 

^ _[R _,/,.£(. /3)1 = 0, 

et si l'on pose 

p^C , p =C 



et qu'on prenne p et p' pour variables, on obtient les deux équations 

(0 ^ (r - '^') + ^ p + (4^>^ - R - 2^^) Q = o, 
(2) P(r + c^) + ^p'+(4X=p--R + 2A^)Q = o. 

Lorsqu'on fait c^o dans ces équations, elles se réduisent à une 
seule, relative à la membrane circulaire; les deux demi-axes p et p' 
d'une quelconque des ellipses homofocaies à la membrane se chan- 
geant en le rayon /' d'un cercle, on a 

^3) î?''^+f '•+(4Xv--g^)Q = o, 

équation trouvée au n" 2. Nous avons vu que sa solution générale est 
l;i somme de deux solutions particulières, dont l'une devient infinie 
pour /• = o. Il faut s'expliquer comment la solution du cercle [Kuit se 
déduire de celle de l'ellipse. 

Pour rela, supposons d'abord X nul dans les équations (i), (2) et ('^); 



PURES ET APPLIQUEES. i83 

elles deviennent, en remarquant que R se réduit à g- pour l'hypo- 
thèse X = o, qui donne h = o, 






{-') 'Jap"-^'')-^'§p'-s'Q-°^ 



L'intégrale générale de (3') est 

Q = Ar""+ Br-=, 

et devient infinie pour r = o, c'est-à-dire au centre du cercle. Mais les 
intégrales des deux équations (i') et (2') sont 

Q = A (p + vV' - c')-^ + 7 7^=^^TF' 

= A (p'-HvV" + <-")' -t- 7 ,^, „ - 

et l'on voit que la seconde partie de leur expression n'est pas uilinic 
pour û = c ou p' = o, excepté dans le cas où c est nul. 

Ainsi la solution générale des équations (i) et (2), quand on y fait 
>. = o, renferme deux constantes arbitraires et ne devient pas infinie 
pour js' = o. 

Nous avons vu que le déplacement d'iui point de la membrane est 
représenté par 

w = Au sin iXmt, u = PQ, 

et pour une même valeur de g^, P peut s'annuler ou être maxuïiiun 
pour « = o, et a deux expressions, P, et P2, qui correspondent à deux 
valeurs différentes de la constante R, qui deviennent seulement iden- 
tiques pour ^ = o; de là, pour u, deux expressions, 

« = P,Q,. M:=P,Q,, 



i84 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

dans lesquelles Q, est une valeur de Q qui s'annule pour |3 = o, et Q^ 
une valeur qui devient maximum pour cette valeur de |3. Voyons à 
quoi se réduisent Q, et Q, quand on y fait ), = o. 
Exprimons que 



Q = A (p'+ v>" + C'Y + B (p'+ v>" + C'Y 

R 

est nul pour p' = o, et nous aurons — = — c*» ; donc 



Q. 






et si nous expnmons que j^ est nul pour p = o, nous avons — = c'" ; 
donc 



q. = a[(p'+v?^-T7^)^"+^ 



Enfin, si l'on fait c = o, les deux valeurs de Q, et Q^ pour une même 
valeur de l'entier g sont identiques. 

Ces explications étaient utiles pour faire comprendre comment la 
théorie de la membrane circulaire est renfermée en celle de la mem- 
brane elliptique; car il est évident que ce que nous venons de trouver 
lorsque 1 est nul, est vrai pour une valeur quelconque de X. 

25. Revenons aux équations (j) et (2). Si nous posons 
nous aurons, au lieu de l'équation (i), 

ï? ("^ - + S + (^^'^"^ - ^ - ^^^) Q = °' 

et cette équation se déduit de celle qui donne P au moyen de v par le 
seul changement de P en Q et de f en u. Or nous avons vu que P2 est 
donné par la série 

P., = /x„ 4- A , v' -+- A... u' -h.... 



PURES ET APPLIQUÉES. i85 

et P, par cette autre 

P, = fi,i' -h a., i»' + r73 i'^ + . . . , 

^,, A,, A-2,..., a^, a.,,... ayant les valeurs calculées aun"17; donc 
les valeurs correspondantes de Q sorit 

Q, = /;„ + A-,^ + A',£; + ..., 

Toutefois ces séries ne peuvent être employées; car elles ne sont 
jamais convergentes si p est > c ; ce qui a toujours lieu dans notre 
problème. 

Mais posons 

nous aurons au lieu de l'équation (2) 

S (""+■) + S"'+ (^^'■'"" -^-^ ^fr)Q = o, 

qui se déduit de l'équation qui donne P au moyen de i>' (n" 17), en 
changeant v' en u' \/ — 1 . Donc Q, etQ, seront donnés par les formides 






Nous savons que les séries qui donnent P, et Pj au moyen de i'' sont 
convergentes tant que v' est <; i ; les précédentes s'en déduisent par 

le changement de v' en — y*— » ; i' résulte donc du théorème du cercle 

de convergence que ces séries sont convergentes, tant que f/ est <:^ c. 
Ces séries seront très-commodes, si ion considère une membrane très- 
excentrique en sorte que p' soit beaucoup plus petit que c. 

Tome XIII (i" série). — Jiin i8C8. 24 



186 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Lorsque p' sera > c, on pourra ordinaiiement obtenir Q avec assez 
d'approximation de la manière suivante. Posons 



z = 



et en prenant z puuv variable, nous aurons 



Or, si p' = \jp- — c- est > c, on aura 

-=— <^17 — I2y/2 ou -C^OjOSoSG 

Donc si dans l'équation différentielle précédente, on réduit le fac- 
teur de 4X^£- à l'unité, celle qui en résultera fera connaître Q en gé- 
néral avec une certaine approximation. Or l'équation prend alors la 
forme que l'on a trouvée pour le cercle 

"-^-i- z^ + (4X-z.--R)Q=:o, 

et en posant R = fr, on aura pour valeur approchée l'expression ° 

o - cz" r 1 - ''^'' + (^^)' 

M^ ^...], 

1 .2.3(« H-i) (« -1- 2) (« -I- 3) J' 

où « toutefois n'est plus un entier comme dans le cas du cercle, mais 
dépend de h. Au reste nous donnerons plus loin un autre moyen de 
dévelo|)per Q. 

Développements de i^, et (^2- 
24. Les fonctions Q etQ, satisfont à l'équalion 



PURES ET APPLIQUÉES. iSy 

posons 

et formons les dérivées 

Si l'on fait p = o, toutes les dérivées d'ordre impair s'annulent, et 
désignant les autres par Aj, A,,..., posons 

puis développons Q d'après la formule 

et formons les dérivées au moyen des formules 



Occupons-nous d'abord de Q, ; comme il est nul pour fi = o, toutes 
les dérivées d'ordre pair de Q s'anmdent, et les dérivées d'ordre im- 
pair ont pour valeurs, en désignant la première par B : 

'^).=«' r^x^"'^- (9). ="<'*' -'*•'• ■ 

'^'Q\ _ I> / A3 , 2 3 +4.5 ^ ^ ^ 2.3.4.5 



''"Q^ _ n Ta 4 , 2.3 + 4 5 + 6.7 A 2 A _i- 2-3.4-5 + 4 5.6 7 
_j^_ H (^A„ + ^-^ A,A, + ^-^j^ A„ A, 

g.3x6.7 ., ?.3.4.5.(; 7 , 
■^ I axi-a^"*" 1.2.3 4 5J,''' 

24.. 



i88 JOURNAL DE MATHEMATIQUES 

Indiquons maintenant la forme générale de l'expression de la dérivée 

-TTT— ^ ; d abord si on y trouve un terme qui renferme — ; — ; 

on facteur, c'est qu'on a 

(A+ 2) 4- (/+ 2)-h. .+ [t -^ i) — in. 

Reste à déterminer le coefficient de — / ''" ' — ; ce coefficient est com- 

nk.nl. . . 

posé (le différentes parties réunies par le signe de l'addition, et on ob- 
tient l'une quelconque d'entre elles de la manière suivante. 
Ecrivons les nombres consécutifs 

(A) 2, 3, 4, 5,..., 2/« — I, 

puis supposons que l'on mette dans une parenthèse A' consécutifs de 
ces nombres, puis dans une deuxième parenthèse / autres nombres con- 
sécutifs pris parmi les nombres (A); mettons ensuite dans une troi- 
sième parenthèse m autres nombres consécutifs, et ainsi de siiite. Ima- 
ginons de plnscpie ces parenthèses soient sé|jarées au moins par deux 
des nombres (A), et toujours par nu nombre pair de nombres ( A'); en- 
fin faisons encore cette restriction, que si la première parenthèse à la 
gauche ne commence pas par le facteur 2, il se trouve avant elle un 
nombre pair de nombres (A). On aura l'une quelconque des parties 
du coefficient cherché, en multipliant entre eux les produits des nom- 
bres renfermés dans chaque parenthèse. 

Passons au développement de Qo. La dérivée première de Q, est nulle 
|)Our /5 = o, et on reconnaît qu'il en est de même de toutes les dérivées 
d'ordre impair, et en représentant par D la valeur de Qj pour |3 = o, 
on a pour les dérivées d'ordre pair 



(9)^ = D(A; + ^ii?^A„A. 



^'Q\ _ r^/ Aa , '■a-4- 3.4-<-5.6 1 2.3.4 + 3.4.5.6 , 

— j^ - D [k, + — A„ A, + ^-^^-3^^ A„A, 

. .x5(; ^ ....3.4 5.n 

1.2x1.2 - 1.2.3.4-5 h ° 



PURES ET APPLIQUÉES. i^9 

Indiquons la forme générale de la dérivée (^); Pour que Ton y 



rencontre le terme 

,, A„A(,Ar 
INl 



nn.Ub.Ylc. . 

a, h, c,... étant égaux ou inégaux, il faut qu'on ait 

,1 ne reste plus qu'à donner la valeur du coefficient M. A cet effet, écr.- 

vous les nombres 

(B) I, 2, 3, 4, -M 2«-2; 

ce coefficient sera composé de plusieurs parties différentes entre elles, 
dont l'une quelconque s'obtiendra de la manière suivante. Mettons 
dans une parenthèse a consécutifs des nombres (B), puis dans une 
deuxième parenthèse b autres nombres consécutifs, et ainsi de suite. 
Imaginons de plus que ces parenthèses soient séparées au moins par 
deux nombres, et toujours par un nombre pair des nombres (B); enfin 
ajoutons cette restriction, que si la première parenthèse ne commence 
pas par le nombre i, il se trouve avant elle un nombre pair de nom- 
bres (B). On aura la partie cherchée du coefficient M, en multipliant 
entre eux les produits des nombres renfermés dans chaque parenthèse. 

25. Nous pouvons développer P, et P, de la même manière que les 

fonctions Q, et Qj. 

Les séries obtenues pour Q, et Q, peuvent s'écrire en posant 

M = R— 2/i-, 



Q. = B [fi 



. (M' - io4/rM - i6o/r) 777X4X6^ 



S' 
'•4 



+ (M^ - 5G/.M - 32//»j ..,.3^4.5.(5 +-} 



'9'^ JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Eli chiuigeant j3 en ai, on a 

P, = 



>, = B'[«-M-|^ + (M^_2/,A^) 



.2.3.4.5 

- (M' - io4//'M - 160/;-) h...l 

'1.2. ..7 J 

P, = D'fr - M -i^ + (M= - 8h^-) — ^ 
L 1-2 ^ '12.3.4 

- (M= + 56//M - 32/.») — ^+...1. 

' I .2. . .h J 

La valeur de R on de M doit être choisie de manière que P, et P, 
aient 2Ti pour période ; donc les valeurs de ces deux expressions doi- 
vent rester invariables, quand on y remplace a par a -H 27: ; un moyen 
très-simple de déterminer M, c'est de remarquer que P, doit s'annuler 
pour X = n comme pour a = o, et que Pj doit rester le même pour ces 
deux vnleurs de x; on a ainsi l'une des deux équations 



{a) 



[h) 






1.2.3 ^ '^" ' 1.2.3.4.5 



( - (IVP- io4/^=M - iGo/i=) 



( -(M'- 56/iM - 32/?') 



1.2, . . 7 



— o. 



.2.3.4 



I . 2. . .6 



7 +... = !. 



Supposons par exemple qu'il s'agisse d'un mouvement vibratoire du 
premier genre donné par la formule 

"' = P, Q, sinaXm^ 

Soit p = g l'équalion du contour qui est fixe, M et h seront tournis 
par {a) et l'équation 

l + (M'- 104/rM - iGo//-) — i-... = o. 

' 1 . 2 ... 7 



PURES ET APPLIQUÉES. 19, 

Si on a suilout en vue la comparaison de la théorie avec l'expérience, 
on pourra procéder comme il suit. Après avoir produit expérimenta- 
lement un état vibratoire de la membrane, on notera la hauteur du son, 

et, par suite, la valeur de X = -- Alors l'équation [a] ne renfermera 

plus que l'inconnue M, et il restera à vérifier que M et // = le satis- 
font à [c). 

Les expressions précédentes de V^ et Qj permettent de reconnaître 
que les parties du grand axe situées entre les foyers et les sommets voi- 
sins produisent des vibrations d'amplitude maximum et la partie située 
entre les foyers des vibrations d'amplitude minimum. En effet, la va- 
leur de M qui y entre est positive; car nous avons démontre (n" 21) que 
R est > 2//^. Prenons donc sur le grand axe entre le foyer et le son)- 
niet voisin un point ti pour lequel a est nul ; considérons un point n' 
très-voisin sur l'ellipse homofocale qui passe par n; |S est le même pour 
ces deux points et a est nul pour n, très-petit pour n'; donc le dépla- 
cement vibratoire est plus grand pour n que pour n'. 

Prenons un point m sur la ligne FF' qui joint les foyers, et aussi nn 
point m' très-voisin sur l'hyperbole homofocale qui passe par m; a est 
le même pour m et m\ ft est nul pour lu, très-petit pour m'- donc la 
grandeur de la vibration est plus petite en m qu'en m'. 

On a de nouvelles expressions de P, et P, en changeant dans les va- 
leurs précédentes de P, ou P^, suivant la parité deg(n° 14) «en - — a, 
h^ en — h^ (par suite M en R -f- 2^'), et on en conclut aisément que 
le petit axe de h membrane est immobile ou en maximum de vibration. 

Membrane annulaire. 
26. Dans les deux équations 

P — C , 



faisons 



^-[R-2/rE(2l3)]Q=:o, 



' 2.a 



192 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

et nous aurons les deux antres équations 

p — n {c- -h (/e-'), 



en posant 






et les deux dernières ont cet avantage sur les premières qu'elles s ap- 
pliquent immédiatement au cercle en y faisant ç = o. 

Supposons que Q soit nul sur l'ellipse p = <.l,, déterminons a de 
manière que s soit nul sur cette ellipse, il faudra poser 





a + 

2 


C' 


clo j 




a 


2 


f- 



d'où 



Imaginons une membrane en forme d'anneau dont les deux bords 
fixes sont des ellipses liomofocales; si nous désignons par p = a, le 
contour intérieur, la fonction Q se développe ainsi : 



lU I „ I . 2 \ di- In l .I.Z \ di 



et il reste à déterminer les expressions de ces dérivées. Quoique nous 
ayons ici des dérivées d'ordre pair et d'autres d'ordre impair, ori peut 
les former ideuticpiement comme les dérivées de Q, par rapport 
à j3 poiu' ^ ^ o. Cependant contentons-nous d'écrire les premiers 
coefficients de cette série sous la forme la plus commode au calcul 
nnniérif|ue : 

s(^«). = -4/-(.-,), 



PURES ET APPLIQUÉES. 19^ 

1 /.-AQ^ 



B \ ./.« y., ^ '^Z' ('-•?")- VM' - 7) (^K + 8), 

-/'(i + 7)(3R' + 52R+8o) + R% 
I Af/»Q^ 



B \ rfc'» ;„ 



-24/Hi-7)(R' + 8R+8), 

5(S)„=/'(' + '/)'-4-/"('-^'?)tî^(' + ''/)' + 86-36fy + 86<r] 
+/^ [GR'-=([ + f/)=+ 32R(i5 + 47 +15^=) 

+ iG (20! 4- loy + 201 cy^)] 
-4/'(i+7)(R^+34R^4- 160R + 112) +R'', 

' ^'''"Q\=4o/«(i-ç)(i + v)' 

-/'(' - 9)(i + r/)^ri2oR + 3200 + G4o('y^yi 
+/'(' - '/')(i2oR=-f- 384oR+ 1G704) 
-/-{i -r/)(4oR^ + G4oR=+ 1984R+1024), 

-/°(' + 7)['oR'('-^^)' + 4oR(53- 227+ 53(/^) 

+ 3691 2 — 292 i6fy -H. 369121^-] 
+/'[ioR^(i + (7;l-+ R=(i48o + 4oo9+i48o7-) 
+ R (2689G + 14409 + 2G89Gf/-) 

+ 82624 + 8967 + 826247-] 
-/'(i+fy)(5R'+28oR'+2656R'^ + 5824R+23o4) + R\ 

Suivant que la constante R est relative à une fonction P, ou P.>, on a 
pour leinoLivemeut vibratoire de la membrane annulaire 

w = P, Q sin 2Xiiit 

ou 

IV = P2Q sin iXmt, 

Tojiie XIU (î"^ série V— Juin 1868. 23 



194 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

eu donnant à Q la valeur que nous venons tle calculer; puis on achève 
de délerminer le mouvement en calculant la quantité 1 d'après la 
condition que Q soit nul sur le contour extérieur p = A. 

27. Ainsi on a deux genres de solutions : dans l'une, les portions 
du grand axe situées entre les deux contours fixes sont des nœuds, et 
dans l'autre, sont des ventres de vibration, et les lignes uodales sont 
encore des ellipses et des portions d'hyperboles hoinofocales. 

Lorsqu'il s'agit d'une membrane pleine, on a deux solutions dis- 
tinctes 

(V = P, Q, sin2Xmi, (v = V. , Q.sm -il int, 

et Q, et Q, ont deux formes distinctes, comme P, et P.>. Au contraire, 
lorsque la membrane est annulaire, les deux fonctions Q qui s'associent 
à P, et Po ne diffèrent plus que par la constante R qui y entre. Il suit 
de là que si le nombre entier g, qui désigne le nombre des lignes nodales 
hyperboliques, est assez grand, et surtout si en même temps l'excen- 
tricité est assez petite, la constante R ddférera très-peu pour une 
même valeur de g: dans les deux fonctions P, et P.,, et les deux fonc- 
tions Q qui leur sont associées seront à très-peu près identiques. Les 
deux états vibratoires correspondants rendront donc à très-peu près le 
même son, et, d'après un fait d'expérience, ils se superposeront, et 
l'état résultant sera représenté par la formule 

H'= (AP, + BPo) Qs\n2lint; 

alors les lignes uodales hyperboliques seront doiuiées par l'équation 

AP, + BP, = o 

cl seront encore an nombre de g. Mais précédemment une même 
l)vperbole fournissait des portions de ces quatre branches; maintenant 
inie hyperbole ne fournit plus que deux portions de branches qui ont 
une même asymptote; car la fonction AP, -+- BP^ n'est pas symétrique 
par rapport aux axes de l'ellipse, mais si on y change a en n -\- a, 
elle reste la même ou change de signe suivant que g est pair ou 
unpair. 



PURES ET APPLIQUÉES. igf) 

On voit qu'alors le son et les lignes nodales elliptiques restant inva- 
riables, la position des lignes hyperboliques qui dépend du rapjjoi t 
arbitraire — peut varier quoique leur nombre g ne change pas. 

Il est évident que les formules précédentes s'appliquent à l'anneau 
circulaire en y faisant 7 = 0, R = g^^, et elles conviennent aussi à la 
membrane elliptique pleine pour le mouvement du premier genre 

w = P, Q, sin2Xm?, 

puisqu'il suffit de supposer que le contour fixe intérieur se réduit à 
la droite des foyers, qui est la limite des plus petites ellipses homo- 

focales. Il faut donc faire JL r= c, « = -> (^ = i, et £ se réduit à /3. 



Des lig?ies nodales elliptiques . 
28. Considérons les valeurs de Q, et de Q2 données par l'équation 

dont l'une est nulle et l'autre minimum pour |3 =; o. 

Supposons que l'on fasse croître X et par suite h = Xc, puisque c 
est fixe : Q, et Qo varient, mais en conservant leur caractère à la 
limite /3 = o. R est une fonction de A, et commençons par faire cette 
hypothèse que 

— — 4Ai est <o; 

alors, à mesure que X croîtra, le coefficient de Q dans (i) prendra des 
valeurs de plus en plus grandes; car de l'inégalité précédente on con- 
clut que la dérivée de ce coefficient par rapport à /?, 

^ ' iiii 

est ]> o. Donc les racines de l'équation en /3 

Q(/3,X) = o 

vont en diminuant de grandeur lorsque X croît. 

a5.. 



jç)G JOURNAL DE RIATHÉMATIQUES 

Désignons par j3 = B le paramètre de l'ellipse de contour, sur la- 
fUielle Q est nul, l'équation 

Q(B, X)==o 

détermine le nombre /. Soient /.,, )..,, X3,... ces racines par ordre de 
grandeur croissante : X,- étant la /""""racine, Qd'i, /, ; est l'une des va- 
leurs de Q de notre recherche, et l'équation 

Q (P, X,) = o 

donnera, par ses racines en fi, les |)aramètres des lignes nodales ellip- 
tiques. Or nous allons prouver que cette équation a / — i racines, 
/3|, /5o,..., /3,_| intérieures à B, et que par conséfpient les ellipses de 
nœud sont en nombre égal à i — i , 
Considérons l'équation en (S, 



(a) 

et rej)résentons la courbe 



Q 



1^' 



J = Q(/3, >-), 



(S étant pris pour abscisse et j- pour l'ordonnée, qui est nulle on maxi- 
mum pour |3 = o. Soit i le nombre des racines comprises eritre o et B, 
et qui sont déterminées j)ar les points p,, /Sj ?••> pc Faisons croître X, 




les points /3,, p^,... se rapprocheront de l'origine, les sinuosités delà 
courbe iront en diminuant d'amplitude, et pour une valeur X,+, la 
courbe passera par le point B. Alors on a mie valeur de X == X,>, qui 



PURES ET API EIQUÉES. i97 

satisfait à ri'quation en ). 
(é) Q(B, ).) = o; 

et s, l'on donne un nouveau p.-iit accroissemeui à X, l'équation (^0 
aura u..e nouvelle racine à la gauche de B, et aura par cousequ.MU 
( -t- I racines entre o et B. 

Continuons à faire croître X, les pouUs fi,, /5„.. se rapprochent en- 
core de zéro, et, pour une valeur >. = X,.., la courbe passera de nou- 
veau par le point B; ou aura donc encore une nouvelle valeur de /. 
).,^2. qui satisfait à [b), et l'équation 

Q (,3, >.,+, 4- £) = o, 

où 3 e.l positif et très-petit, a / 4- 2 racuies entre o et B; l'é.piatioi, 

Q (^ h..) = o 

elle-même eu aura ; + 2, en comptant B. Or X,^, et X,.,, sont évi- 
demment deux racines consécutives de l'équation {b) en X; on en 
conclut que si X,^, et X,,, sont deux racines consécutives de (6), l'équa- 
tion en fi 

Q(P, X,-,0 = " 

a une racine de plus que 

Q (,S, X,,,) = o 

entre les limites o et B. Ceci posé, on reconnaît aisément que 
Q (|3, X,) = o n'a pas de racines entre o et B; donc Q (/3, Xo) = o eu 
a une, Q (,3, X^) = o en a deux, etc., et eu général Q (,S, X,) = o eu 

a / — 1 . 

Le nombre des lignes nodales hyper!)<'liq"es restant le même, on 
voit que, à mesure que le son s'élève, le nombre des lignes nodales 
elliptiques augmente. Tout ce qui précède est fon.lé sur l'existence de 
l'inégalité 



4rt < o. 



{<-') Ih 



iÇ)S JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Ail II" 8, nous avons trouvé l'équation 



dP 

dy. 



^P _ Pr}'^ = r}// r'p^ ('i^ - 4/2COSao'\ Ha; 



pour a = o, les deux membres sont nuls; mais si on suppose a exces- 
siveinent petit, —rj- — lificos2CK ne changera pas de signe entre o et 
cetle valeur de a; donc le premier membre aura le même signe que 

Si cetle quantité peut être positive, l'expression 

«'R ; / ','3 , — 2,5\ 

le sera aussi pour des valeurs excessivement petites de /3; donc en pre- 
nant B suffisamment petit, et, par suite, la membrane très-excentri- 
que, le nombre des lignes nodales elliptiques diminuerait quand, le 
nombre des lignes nodales hyperboliques restant le même, la hauteur 
des sons augmenterait. Comme ce résultat ne paraît pas admissible, il 
semble que l'inégalité (c) doit toujours avoir lieu; toutefois ce qui 
précède ne peut en être regardé comme une démonstration rigoureuse. 

Mouvement, vibratoire le plus général de la membrane ellipticjue. 

29. Nous ne nous sommes occupé jusqu'à présent que de mouve- 
ments vibratoires simples, qui sont ceux que l'on produirait le plus 
aisément dans l'expérience. Nous allons maintenant supposer que l'on 
donne à tous les points d'une membrane des vitesses initiales quelcon- 
ques, et déterminer l'état vibratoire qui en résultera. 

Mais auparavant faisons certaines réflexions sur les signes des coor- 
lionnées que nous employons. Comme nous l'avons dit au n° 4, où 
nous avons posé 

( X = cE(|3)cosa, 



j = cC(,'5)sina, 



(a) 

lorsque l'on emploie les coordonnées a et (i, on peut supposer que /? 



PURES ET APPLIQUÉES. 19(1 

est essentiellement positif, et que a n'est susceptible de varier que de 
zf'M'o à 2 7T, ou de — n à + -, et malgré ces restrictions on peut repré- 
senter par ces coordonnées un point quelconque tlu plan. 

Mais il résulte des formules (a), que si l'on donne une vaiciu- néga- 
tive à]3 au lieu de la donner à a, le point {jc,j) reste le même, et par 
conséquent aussi que les coordonnées (— a, — p) représentent le même 
point que les coordonnées (a, f-j). Donc une formule qui donne le mou- 
vement vibratoire de la membrane doit rester invariable lorsqu'on y 
remplace a et /3 par — a et — p : c'est ce que l'on vériHe en effet sur 
les deux solutions simples que nous avons trouvées 

(\' = P,Qi sin a imt, w — Pj Q2sin2X/7i<, 

puisque P, et Q, sont des fonctions impaires de a et de p, et que Po et 
Qo sont des fonctions paires, et nous amions pu associer les fonctions 
Qi et Q., aux fonctions P, et P,, d'après cette condition (n° 15). 

Il faut toutefois remarquer que ces considérations ne seraient pas 
applicables à la membrane annulaire. En effet, la droite menée entre 
les foyers, et qui a pour équation fi = o n'est plus située sur la surface 
de la membrane, et si nous avons exprimé que Q est nul poiu' /5 = ,5, 
contour intérieur et pris f-i, positif, nous ne pouvons donner à fi que 
les valeurs positives renfermées entre celles qui conviennent aux deux 
contours. 

Revenant au mouvement vibratoire de la membrane pleine, suppo- 
sons que la vitesse initiale donnée à chaque point de la membrane soit 
exprimée par la formule 



(î). = *(».f=>. 



dans laquelle <P («, jS) est une fonction qui s'annide sui' le contour de 
la membrane /S = ê, et qui, d'après ce que nous avons vu, reste inva- 
riable quand ou y remplace a et /5 par — a et — /3. On en conclut 
facilement que <I>(k, /5) est la somme de deux fonctions F, (a, jS), 
F2(a, jS), qui, ordonnées par rapport aux puissances croissantes de « 
et [i, sont : l'une de la forme 



200 JOURNAL DE MATHEMATIQUES 

paire en a et /3 ; et l'autre de la forme 

F, = A'<i + B'a^,'5 -^ Cocfi' -h D'c('(i + E'«'f/+ F'afr+G'c/Jfi -h..., 

impaire en a el impaire en |3, mais paire par rapport à leur ensemble. 
Après donc avoir posé 

regardons le mouvement vibratoire résultant comme la somiue d'une 
infinité de mouvements vibratoires simples, dont nous allons nous pro- 
poser de déterminer l'amplitude. Chaque mouvement simple du pre- 
mier ou du second genre donné par les formules 

IV = rtP, Qi sin2>./?2/, w = /)PoQ2sin2 Init 

dépend d'abord d'un nombre entier g, et, ce nombre g^ une fois dési- 
gné, ce mouvement peut varier d'une infinité de manières par le nom- 
bre >., qui est susceptible des valeurs croissantes X,, Xj,..., X,,...,et 
nous les affecterons d'un second indice qui rappelle le nombre g, et 
nous remplacerons les deux formules précédentes par les deux sui- 
vantes : 

w = aV, [g, Xf) Q, (g, Xf) sinaXf mt, 

IV = bP, (g, If) Q, (g, Xf ) sin aXf /n^ 

Considérant ensuite un état vibratoire composé d'une infinité d'états 
simples, on aura 

"■ =2 ^.", \ P' fe' ^^ ) ^' C"' ^■) ^i" 2>-f '"^ 
et on en tire pour la vitesse initiale 



PURES ET APPLIQUÉES 201 

expression qui doit être identifiée à <^ (a, /3); mais nous déconi|)oserons 
cette égalité en les deux suivantes 

(0 F. [oc, fi) = '2ni'^ Xf «„,;,P (^', Xf) Q (g, Xf), 

(2) F,(«,,S) = sm^Xf ^,,/.Pfe,>.f)Q(g,>-f). . 

Considérons maintenant les quatre équations 



j^_[R(^, >,C)-2A=6-E(./3)]Q=0, 

[h] < 

(^-[R(g',>/c)-2X-c^E(a/3^.]Q' = o; 

1 rf^ ^ ['^(o' ^'^) - 2X'c-cos2a]P =0, 
[c] '. 

[~+[R(g\):c) - 2>.'-c^cosa«]P' = o. 

En retranchant les deux équations {h) multipliées par Q' et Q, on ;t 
o = Q' '^ - Q ^ 4- [2 (r - >-) c^E(2|3) - (R - R')] QQ'; 
intégrons de /3 = o à /3 = ê, paramètre du contour, et nous aurons 

+ 2^X--X'^)c= rE(2p)QQ'r//3- (R - R') f QQ'r//3. 

Le premier terme est nul parce que Q et Q' t.onI nuls poiu* p = g; 
ensuite, si Q et Q' ont le caractère de Q,, ils sont nuls poin- J5 = o, et 
s'ils ont tous deux le caractère de Qo, leurs dérivées sont nulles pour 
P = o; donc le second terme est aussi nul. On trouve île même 

o=fP'^-P-'lM +2{).= -/'^)tM PP'cos2ar/a 

- (R-R'j f^VVcly., 

Tome XIII {i' sériel. — JiiN ibG8. 26 



202 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

dont la première partie est nulle, parce queP et P' sont des fonctions 
périodiques. Ainsi on a les deux égalités 

1 (R^ R')J'qQW|3 = 2 ().^-)/=)c^^'qQ'E (2/3)^/3, 

{d) l ° , 

2 (X- - X'-)c= r"''pP'cos2«f^a = (R - R') r PP'r/a. 

Multiplions ces égalités membre à membre, et, divisant par 

2(R- R')(X^- r)f% 
nous obtenons 

(e) f r"'[E(2/3) ~ cos2a]PP'QQ'r//3r/« = o. 

Cette égalité n'est plus démontrée si X = X' ou si R = R'; elle est ce- 
pendant encore exacte, car, si X= X', on déduira des équations {dj 

rQQ'dfi = o, r"?V'dx = o; 

donc les deux parties de l'uitégrale (e) sont nulles Si R' = R, on voit 
encore que les deux égalités [d) entraînent (e). 
Multiplions les deux membres de l'égalité fi) par 

P. (g, Xf) Q, (§•, Xf) [E(2/3) ^ cos2a]./a./^, 

et intégrons, par rapport à a, de o à 2n, et, par rapport à p, de 
o à ê : tous les termes dis|)arailront dans le second membre d'après {e), 
excepté celui qui a pour coefficient «„ ;_ qui se trouve déterminé. On a 
de même h^ j au moyen de {2). 

Ou a un calcul analogue pour la membrane annulaire fixée entre 
fieux ellipses liouiofocales; il serait superflu d'y insister, et même 
nous n'avons fait le calcul précédent que parce qu'il exigeait des con- 
sidérations relatives aux signes de a et /3 utiles à remarquer. 

Poiu- revenir à ces signes, imaginons encore que l'on ait à chercher 



PURES ET APPLIQUÉES. 2o3 

le mouvement d'une membrane elliptique dont on supprime les deux 
portions coupées par une hyperbole homofocnle, et supposons tout le 
contour fixé. On aura de nouveau un mouvoinent vil)ratoire simple 
représenté par la formule 

w = PQ sin 2X mt; 

mais P n'est plus une fonction périodicpu- de a. On ne doit faire 
varier « qu'entre les limites a, et n — a, relatives à l'hyperbole du 
contour, et l'on fera varier /5 entre les deux limites — S et -+-§ rela- 
tives aux deux arcs d'ellipse de la périphérie de la membrane. 



06.. 



2o4 JOURNAL DE JIATHÉMATIQUES 

THÉORÈME 

Sur le tautochronisme des épicycloïdes quand on a égard 

au frottement ; 

Par m. HATON DE LA GOUPILLIÈRE. 



On connaît depuis Huyghens [De Horologio oscillatorio, P. Il, 
prop. 20) le tautochronisme rigoureux de la cycloïde pour un point 
pesant. Newton étendit cette proposition [Principes, liv. H, prop. 26) 
au cas où l'on joindrait à la pesantem- la résistance d'un milieu en rai- 
son de la vitesse. Plus tard Necker inonlra(/)/e/72o//e.J des Savants étran- 
gers, 1763, t. IV, p. 96) que la même propriété subsiste lorsqu'on a 
égard au frottement. Le tautochronisme a lieu alors par rapport au 
point où la tangente est inclinée sous l'angle de frottement. Ajou- 
tons enfin que les trois forces peuvent être réunies ensemble sans 
troubler l'isochronisme. Le P. Jullien a montré de plus [Problèmes de 
Mécanique, t. I, p. SgS) que cette combinaison constituait la solution 
la plus étendue renfermée dans la formule générale de Lagrange pour 
le tautochronisme [*J lorsqu'on envisage ensemble la pesanteur, le 
frottement et une résistance qui dépende de la vitesse d'une manière 
indéterminée. 

D'un autre côté, Newton avait déjà reconnu [Principes, liv. I, 
j)rop. 52) que l'épicycloide possède elle-même la propriété du tauto- 
chronisme lorsque le mobile est sollicité par le centre du cercle fixe 
en raison de la distance. Mais, à ma connaissance, le parallèle en est 



[*J Cette f(jrmnlc dont je parlerai i)liis loin a été présentée par son auteur comme 
renfermant tous les cas possibles de tautocliroiiisme ; c'était à tort, et M. Bertrand a 
montré [Journal de MathcnKitiquc: pures cl (ipplir/uécs, 1847, t. XII, p. 121) qu'elle 
est loin d'être aussi générale; mais elle n'en conserve pas moins un grand intérêt. 



PURES ET APPLIQUÉES. 2o5 

resté là. J'ai cherché à le compléter, et je suis arrivé au théorème sui- 
vant : 

L'éjncycloïde est encore taiitochrone ponr des jorces centrales attrac- 
tives ou répulsives proportionnelles à la distance, lorsqu'on a é^ard au 
frottement. Le point d'isochronisme est alors celui dont le rayon vec- 
teur Jait avec la normale fnngle de frottement. Ce tautochronisme 
n'est pas troublé quand on introduit, en outre, une résistance propor- 
tionnelle à la vitesse. 

Pour le démontrer, formons l'expression de la force tangentielle eu 
représentant par kr l'action attractive ou répulsive suivant le signe 
de A, f le coefficient de frottement et (p{v) la résistance que nous lais- 
serons indéterminée jusqu'à nouvel ordre : 

S =^ krcosp. — (p[v) —f{ — f- krsjnfj. 

fj. désignant l'angle du rayon vectein- avec la courbe. Or on trouve, en 
prenant l'arc pour variable indépendante, 



su 
et 



cosp. = 


dr 

ds' 


-v/' 


dr' 

-d7'' 


. V' 


dr' 
~d? 


dr = 
'~d? 


d^r 



L'expression de la force tangentielle devient par là 

La fornuile générale de Ij^igrauge (Mémoires de Berlin, i 7G5) donne, 



2o6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

pour la force tangentielle capable de tautochronisme, 

2, S = V^ 



l ch 

I étant une fonction arbitraire de 5 et ({> une expression quelconque 

formée avec -• Pour avoir la solution la plus générale renfermée dans 

celte formule pour les hypothèses précédentes, il suffit de disposer de 
ces deux arbitraires et de la fonction r qui définit la courbe inconnue 
de manière à identifier les deux expressions. Je suivrai pour cela une 
marche analogue à celle qui a été employée par M. Bertrand et depuis 
par le P. Jullien. 

L'expression (i) satisfait visiblement au caractère 

= o. 



dv ^ ds 

Imposons donc cette condition à la formule (2) : il vient ainsi 

J^t,..(..)^6'-r(0+6f{'-) = o, 



Cette équation a pour intégrale avec quatre constantes arbitraires A, B, 
C, D : 



Dés lors la relation (2) prend la forme plus explicite 

(3) s = A?-B.+ ^'(5-^)-f-D.log^-. 

Nous pouvons maintenant identifier les expressions (i) et (3). En pre- 
mier lieu, le terme Dt^logS nous présente f au premier degré avec un 
coefficient qui contient *, ce qui n'existe pas dans la formule (i) et nous 
oblige à faire D = o. La fonction (3) se trouve par là réduite à ses trois 
premiers termes, l'un indépendant de v, le second de j, le troisième 
les renfermant tous les deux. En envisageant dans l'expression (1) les 



PURES ET APPLIQUÉES. 207 

Irois [)arties correspondantes, nous aurons pour les fonctions de v seul : 

pouv les termes qui ne renferment que s : 



a?=*'-(s-V''-ï:> 



et enfin, pour la })artie qui les contient tous les deux, v'- disparaissant 
de lui-même : 

,ir- <l-r 



? \A 



^-S)=/ 



du- 



r/,ç» 



V ds' 



La première équation montre que la seule résistance admissible est 
proportionnelle à la vitesse. La seconde fournit la valeur de ç, et, 
en la reportant dans la troisième, nous obtenons l'équation diffé- 
rentielle de la trajectoire : 



C dr' 



d^r 



f- 

■^ ds 



k ds- ' ds'' 



I dr' 

Sl'~dF' 



dr' d-r\ 

I — / 

ds' ds' 



te qu'on peut écrire de la manière suivante : 



-J 



dr' 



d-r 
dF 



V- 



dr^ 

17' 



c \ f dr' d'r 



/ 



ds 



KS-/\/-£) 



ou encore 



et enfin 



■ . / dr' I dr' 

(ï-')-(-S-''£)(-/^)-o. 



o. 



dr' d'r _ /! 

Ts''^ ' dF ~' I --/-' ■ 



3o8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Cette forme que l'on pourrait facilement intégrer entre r eti^, et même 
ensuite en coordonnées polaires entre ret 6, va nous suffire pour con- 
clure sans qu'il soit nécessaire de développer l'intégration. 

On voit, en effet, que le coefficient de résistance B a complètement 
disparu, et que l'existence ou la suppression du frottement n'influen- 
cent que 1.) valeur de la constante qui seule renferme le coefficienty. 
Or, C est arbitraire, ce qui montre que la tautochrone des forces cen- 
trales proportionnelles à la distance est la même avec ou sans flotte- 
ment, comme avec ou sans résistance proportionnelle à la vitesse. 

Cette courbe a d'ailleurs été déjà déterminée pour le cas où l'on n'a 
ni frottement ni résistance par M. Puiseux [Journal de Mathématiques 
pures et appliquées, 1844? t- IX» p- 4i5), qui a obtenu les résultats 
suivants : si la force est répulsive, la tautochrone est toujours une épi- 
cycloïde extérieure; si elle est attractive, la courbe peut, suivant les 
valeurs respectives du coefficient d'attraction et du temps d'isochro- 
nisme, être une épicycloïde inlérietn e ou une certaine spirale qui a la 
|)ropriété d'être semblable à la développée de sa développée. 

Il reste à connaître l'extrémité commune des arcs isochrones. Remar- 
quons pour cela qu'elle ne saurait se trouver que dans une position 
d'équilibre, puisqu'une oscillation infiniment petite doit exiger un 
temps fini pour se produire dans ses environs. Ce sera donc, dans le 
cas actuel, au point où la Jorce, c'est-à-dire le rajon vecteur, Jait 
avec la normale V angle de frottement. 

On peut se demander si le tautochronisme subsistera encore jiour 
le mouvement en sens contraire, lorsqu'on imprimera au mobile à 
partir de ce ]5oint diverses impulsions initiales. Cette réciprocité, 
évidente dans le cas des liaisons théoriques , doit être constatée 
à part dans les questions de frottement. Il suffirait d'ailleurs pour cela 
de changer dans le calcul les signes de/ et de B. Or celui-ci a dis- 
paru, et l'autre ne figure qu'au carré dans la dernière équation. Les 
conclusions resteront donc les mêmes, et l'on voit que l'isochronisme 
a encore lieu pour le mouvement inverse. 



PURES ET APPLIQUÉES. 209 

MÉMOIRE 

SUR LES 

ONDES DANS I.ES MIFJEUX ISOTROPES DÉFORMÉS; 
Par m. BOUSSEVESQ 



Je me propose d'exposer ici les idées contenues en germe dans un 
article présenté à l'Académie des Sciences le 22 juillet 1867, et qui est 
inséré au compte rendu de la séance de ce jour [*J. Je considère un 
corps piimitiveiuent isotrope, mais qui a cessé de l'élre par suite de 
pressions ou de tractions inégales exercées sur lui dans les divers sens. 
J'obtiens les formules de ses forces élastiques, en m'appuyant seule- 
ment sur l'hypothèse, admise par tout le monde, que ces forces peu- 
vent être exprimées en fonction linéaire des dérivées partielles des 
déplacements. Dans le cas où le milieu, après sa déformation, n'est 
soumis à aucune action extérieure, les formules auxquelles j'arrive 
sont semblables à celles que M. de Saint -Venant a doiniées comme 
conséquence d'une distribution dite ellipsoïdale des élasticités autour 
de chaque point, et qu'il a reconnu, dans l'hypothèse de l'égalité de 
certains coefficients, regardée par lui comme conforme à la réalité, 
être communes aux milieux isotropes inégalement coujprimés [**]. Il 
est arrivé à ce dernier résultat, en admettant que l'action réciproque 
de deux molécules est simplement fonction de leur distance. 

Le corps étant supposé homogène, je cherche ensuite les équations 

[*] Cnini)tcs rendus (les séances (le l'Académie des Sciences, t. LXV, p. 167. 
[**] Mémoire sur la dislrilnition des élasticités aiiloiir de chaque point d'un cor|)s 
solide ou d'un milieu de conte.\ture 'luelconque, particulièrement lorsqu'il est amorphe 
sans être isoliope, au Journal de Malhéninticjues pures et appliquées, ?.'' série, t. VIII, 
i863; voii aux n"' 13 et 10 de ce Mémoire. 

Tome XIII (-i" sc-rie). — Juin iSfiS. ^7 



2ro JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

fie ses mouvements et les propriétés des ondes planes qui s'y propagent. 
Ces ondes sont quasi transversales ou quasi longitudinales, c'est-à-dire 
que les vibrations s'y font presque |)arallèlenient on presque perpen- 
dicnlaiienient aux plans des ondes. Toutefois, pour certaines relations 
peu probables entre les coefficients, les ondes sont rigoureusement 
transversales, ou rigoin-eusement longitudinales. 

Le milieu peut propager dans chaque direction deux systèmes 
d'ondes quasi transversales, ayant deux vitesses inégales de jn-opaga- 
tion, et correspondant à des vibrations polarisées à angle droit. Dans 
un cas particulier, la surface des ondes est celle de Fresnel, avec des 
vibrations dirigées, comme le suppose Fresnel dans sa théorie de la 
double réfraction, suivant la projection un rayon sur le plan tangent : 
c'est le cas étudié par M. Briot [*], qui l'obtient en supposant que 
deux molécules d'élher se repoussent en raison inverse de la sixième 
puissance delà dislance. Dans un antre cas, celui où la |)ression exté- 
rieure exercée sui' le milieu est ludle ou est la même dans tous les 
sens, la surface de l'onde est encore celle de Fresnel, mais les vibra- 
tions se font perpendiculairement à la projection du rayon sur le plan 
tangent. Ces lois seraient celles de la double réfraction, d'après 
MM. Mac-Cnllagh et Newmann. Canchy, en i83o, et M. de Saint- 
Venant, dans son travail récent cité plus haut, y sont arrivés également. 

J'étudie ensuite les vibrations quasi longitudinales, et je démontre 
que, dans le cas où le milieu n'est soumis qu'à une action extérieure 
constante, et j)eut propager dans tous les sens des ondes rigoureuse- 
ment transversales et des ondes rigoureusement longitudinales, ces 
derinèresont une vitesse constante quelle que soit leur direction. Une 
telle propriété semble ne j)ouvoir appartenir qu'aux milieux physi- 
(piement isotropes. Ce résultat s'ajouterait donc aux considérations 
développées |)ar M. de Saint-Venant, aux n"* 17, 18, 19, du même 
Mémoire, pour prouver que les vibrations ne sont rigoureusement pa- 
rallèles ou pei'pendiculanes aux ondes que dans les milieux isotropes. 

f*'] Essais sur In Théorie mntliciuatiquc itc Ut liiinicrc, liv. If, i'lia|). III et IV. 



PURES ET APPLIQUÉES. 211 



§ 1. — Foires élastiques. 

Supposons (jirmi corps isotrope, homogène ou liétérogéiie, soit 
soumis à des actions mécaniques, telles que des pressions ou des tr;ic- 
lions, cnpaljjes de le déformer très-pou. Ses molécules prer.dron! im 
nouvel équilibre, et il ne sera généralement plus isotrope dans son 
nouvel état. Si même il n'est pas parfaitement élastique, les positions 
d'équilibre des molécules changeront lentemeni, sans que les actions 
extérieures auxquelles il est soiunis varieni, et le corps passera |)ar une 
série d'états distincts, jusqu'à ce qu'il en rencontre un plus stable, 
approprié aux nouvelles conditions dans lesquelles il se trouve. A plus 
forte raison les positions d'équilibre des molécules et la constitution 
du corps changeront-elles conlinuellenient, si, comme nous le sup- 
poserons dans ce |)aragraphe, Its actions déformatrices varient d'un 
instant à l'auire el d'ailleurs ne cessent jamais d'élre appliquées. Ces 
positions seront à chaque instant celles dans lesquelles les molécules 
resteraient en repos, si on les y disposait sans vitesse initiale, et si la 
conslilulion du corps el les actions extériein-es qu'il suj)porte conti- 
nuaient à être ce qu'elles sont au moment considéré. On peut admettre 
comme évident qu'à chaque instant les molécules les occuperont à très- 
peu près, excepté pendant les moments très-courts et tout exceptionnels 
où les actions déformatrices varieraient brusquement. 

Nous savons qu'il existera en chaque point, à un instant quelconque, 
trois élémenls plans rectangulaires, sur lesquels les actions exercées se- 
ront normales[*]. Si nous considérons une portion très petitedu corps, 
ces éléments plans auront à très-peu près même direction, et les forces 
qui les sollicitent même grandeur, dans toute son étendue. Celles-ci se 
composent en général de deux parties : l'une K, commune aux trois élé- 
ments plans, et qui existait antérieurement aux modifications |)roduites; 
la deuxième correspondante à ces modifications, et que nous désigne- 
rons, pour les mêmes éléments plans, respectivement par A, B, C.Nous 
admettrons que, dans la portion considérée du corps, les élémenls 



*J L*Mii, Leçons sur l'Elasticité, § 22. 

27. 



212 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

plans iioniialement pressés ou tirés par les actions déformatrices gar 
dent la même direction à tous les instants consécutifs, et que ces forces 
A, B, C varient avec !e temps de manière à conserver entre elles les 

R P 

mêmes rapports— > — • Si nous désignons par a, b, c trois nombres 

constants, proportionnels à A, B, C, et du même ordre de petitesse 
que les dilatations linéaires éprouvées par le corps pendant sa défor- 

\ R C 
mation, les rapports '—■, -j-, —seront égaux entre eux, et à une même 

fonction F du temjis t. La fonction F [l) peut d'ailleurs être quelcon- 
que : elle se réduit à une constante, si les actions déformatrices restent 
les mêmes toujours; elle sera ruille ou constante à partir d'une cer- 
taine valeur de /, si A, B, C deviennent elles-mêmes nulles ou constantes 
au bout d'un certain temps. Quoi c|u'il en soit, cette fonction étant 
supposée connue, la constitution du corps, à chaque instant, ne dépen- 
dra |)lus que de <«, i, c. En effet, concevons plusieurs corps exacte- 
ment pareils au proposé, soiuuis à des actions mécaniques analogues, 
et pour lesquels les rapports — = — :=— soient la même fonction du 

temps, sans que «, h, c s'y trouvent les mêmes. Il est évident que 
leurs constitutions, au même momt-nt, ne peuvent différer qu'à raison 
des valeurs différentes de rt, 6, c; puisque, si rt, i, c y étaient respec- 
tivement égales, les actions déformatrices A, B, C auraient aussi été les 
mêmes à chaque instant dans les deux corps, et ne pourraient qu'y 
avoir produit les mêmes effets. 

Concevons qu'à lui moment donné les molécules éprouvent, par rap- 
port à leurs positions actuelles d'équilibre, des déplacements très-pe- 
tits, compris dans les limites d'élasticité tlu corps; les forces élastiques 
tiéveloppées par ces déplacements seront fonctions de a, £>, c : nous 
nous proposons de chercher leur ex[)ression, en négligeant les termes 
du second ordre de petitesse par rapport à n, b, c. 

Adoptons un système de plans coordonnés des yz, des zx et des jcj, 
parallèles aux positions d'équilibre des éléments sur lescpiels s'exercent 
les actions K-i-A, K-f-B, K-i-C; nous appellerons les axes ainsi 
obtenus cux-es d^ élasticité. Soient x, j, z les coordonnées actuelles 
d'équilibre d'une molécule M, appartenant à la petite portion consi- 
dérée du corps; u, v, iv les déplacemenis suivant les axes de la même 



PURES ET APPLIQUÉES. ui3 

molécule, par rapport à la position d'équilibre. Appelons avec M. Lamé 
[Leçons sur l'Elasticité, § 8), Nj, N.,, Nj, T,, 1%, T3 les forces élas- 
tiques principales, c'est-à-dire les composantes, suivant les axes, des 
actions exercées sur l'unité superficielle des trois éléments plans 
passant par M, et actuellement parallèles aux plans coordonnés. On 
sait que ces forces dépendent des dérivées partielles de u, c, Ti' pai' 
rapport à Jc^y, z, et que, pour des valeurs assez petites des dérivées, 
elles en sont fonctions linéaires. 

Cela posé, je dis que la constitution du corps, primitiveinent iso- 
trope, est restée symétrique par rapport aux plans coordonnés, c'est- 
à-dire que si, gardant deux quelconques des axes, on change le sens 
du troisième, par exemple le sens de celui des x par la transformation 
àe jc en — x et de u en — u, les foi mules des forces élastiques prin- 
cipales seront les mêmes dans le nouveau système d'axes que dans le 
premier. En effet, les actions normales A, B, C, causes uniques de la 
déformation du corps et de l'altération de son isoiropie, s'exercent éga- 
lement sur les deux faces de tout élément parallèle aux plans coor- 
donnés, et les circonstances sont les mêmes par rapport aux deux sys- 
tèmes considérés d'axes. Or, si l'on cliange le sens de celui des a-, la 
nouvelle force principale N, sera celle qui est exercée sur le même élé- 
ment parallèle aux j-c, mais du côté des a- d'abord négatifs; elle sera 
égale à la force de même nom dans le premier système. On verra pa- 
reillement que les forces N2, N3, T, restent les mêmes, et que T, et T3 
doivent être ciiangées en — Tj, — T3. Donc les transformations simul- 
tanées de JC en — x et de u en — u doivent laisser invariables N, , No, 
N3, T,, et faire changer de signe T, et Tj. De même les transforma- 
tions sinudtanées de _/ en — ^ et de v en — v doivent laisser invaria- 
bles No, Nj, N,, To et changer de signe T3, T,. Enfin les changemenls 
de z en — z et de iven — n^, ne changent pas N3, N,, N2, T,, et trans- 
foriiient T,, T^ en — T,, — T,. Il suit de là que l'expression de N, se 

, 1 • . T^ , • ■ 1 • du dv f/ci' 

réduit a iv + A, suivi de trois termes eu --, -—■, — -, et nue celle de 1 , 

d.r dy dz ' ' 

. 1 , dv dw 

contient seulement les deux termes en — et -r-- 

dz dy 

Le coefficient de chacun de ces termes comprend deux parties. Ea 
première est identique à la valeur du coefficient dans le milieu iso- 



2i4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

trope primitif. La deuxième, correspondante à la petite altération 
éprouvée, est peu considérable par rapport à la preu)iére; elle est une 
fonction des petites quantités n, è, c, et s'annule avec celles-ci. Comme 
nous n'avons pas de raison spéciale j)our supposer les dérivées par- 
tielles de cette fonction nulles ou infinies quand « = o, è = o, c = o, 
nous la développerons par la série de Maclaurin, et, vu la petitesse de «, 
A, c, nous pourrons nous arrêter aux termes du premier degré. Ainsi 
la deuxième partie du coefficient sera une fonction linéaire de a, h, c. 
D'ailleurs, le milieu primitif étant isotrope, N, et T, garderont les 
mêmes expressions, si les deux axes des y et des s échangent leurs 
noms, c est-à-ilire si, x, u et a ne changeant pas, on permute à la fois j- 
et z, v et iv, b et c. Occupons-nous d'abord de N,. La permutation 

d'il • • di* 1 . ciw 

iquee change le terme qui contient -— en celui qui contient — , 

' , 'ly ' dz 

et réciproquement. Donc: i°la partie de ces termes indépendante de rt, 
h. c, a un même coefficient /; 2° le coefficient de c -^ est le même 

que celui iXt b -j- : nous le désignerons par /'; 3" le coefficient de b — 

T dz D I ' ^i^. 

' 1 ' 1 • 1 dw , , 

est égal a celui de c — ? et nous pouvons le représenter, quel qu il soit, 

ijar /' + n; 4° t'ufin les coefiicients de rt-;-et de n -p- sont ésaux, et 

ar ilz ~ 

nous les tiésignerons par /' + /". L'ensemble des termes en ^ et — sera 

'^ ' dj dz 

ainsi cx|)rimé par 

r 7 ;/ j \ 1// n [ di' dw \ /, dv cAi' 

[l+lKa + b + c) + la][^- + _ ) ^n[b-+c- 
On verra de même que, dans le terme en —-■, b et c ont un coeffi- 

* (l.r 

cient égal, de manière qu'en désignant par /?2,, s, s' trois nouveaux 
coefficients, on peut éciire ce ternie 

[l -\- l' [a + b -\- c) 4- l"n -\- nu -\- ■iiii^ -\- ■2S {a -h b -\- c) -\- 2j'rt] '-^■ 

Pareillement, daiisT,, la pernuitation indiquée change le terme (pii 

dv 1 di\' _^ , . , 

contient — en celui qui contient -j-- Donc : 1 la partie de ces termes 



PURES ET APPLIQUÉES. 2i5 

imlépendanfe de a, h, c a un même coefficient m; 2" les coefficients 
de ^ -y- et de c — sont égaux : nous les désignerons par m' ; 3° ceux de 

C — et de h -— le sont encore, et peuvent être représentes par m -+- p; 

itz dy ' 1 1 ( ' 

t r* Il I it \ d' ^ dii' 

4" entin nous appellerons ni 4- ni ceux de a -y- et de « — • 

Représentons, afin d'abréger, jiar S la somme île trois termes ana- 
logues, dont le |)remier sera écrit immédiatement a|irès ce signe; par 

1 I »-> du , lit' diV ^ <iii , ... 

exemple a -h o -\- c par a«, .a - — \- n -, — h c -r- iiar sa -—■, et la dila- 

' ' dx dj dz ^ dx 



\\\ 



du dv div c^ du . , /^ ■-»> . 

tation - — I- -, — I — — par o -r- ou simplement par S. U après ce q 

d.r dr dz ' rt.r ' ' ' ' 

précède, N, et T, auront la forme 

I N, = R + A + (/ + /'Sa + i'a) + //Sa ^J 

I / £1 I \du 

(1) ' + 2 (/?2, + i'Srt + .y rtj— , 

f T. = {m + m'S« + m" a) ( J ^- J) + p (^c J + * ^) • 

On déduira évidemment de ces deux fornuiles N, et Tj, N3 et T3, en 
effectuant respectivement une ou deux permutations circulaires sur jr, 
j, z; II, i', îv; A, R, C; a, /;, c. 

Si les deux quantités n, b, et, par suite, les actions déformatrices 
A, R sont égales, il est aisé de voir, par les formules générales déduites 
de la considération du tétraèdre de Cauchy [*], que les actions exer- 
cées, dans l'étal d'équilibre cki corps, sur tout élément plan parallèle 
aux z, seront égales à K. -i- A, et que, par conséquent, le milieu sera 



[*] Ces formules sont (voir Leçons de !\I. Lamé, § 9) 

. X = N, rosa -f- Tjcosp + TjC0S7, 
Y 1= Tjcosa -h N,cosp -t- T, cosy, 
Z = Tj cosa + T, cos fi 4- N, cosy ; 

a, 8, 7 l'epréscnlent les angles que fait avec les axes des coordonnées la nui uiale à un 
élément plan quelconque passanr parla molécule M; X, Y, Z désignent les conipo- 



2i6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

resté isotrope autour de l'axe des z. Donc, dans le cas a — b, on peut 
faire tourner d'un angle très-petit t, autour de l'axe des z, le système 
des deux autres axes, sans changer l'expression des forces élastiques 
principales en fonction des déplacements. Appelons j:',j>', z' les coor- 
données d'équilibre de M dans le nouveau sysîème d'axes infiniment 
voisin du premier, it' , v' , w' les déplacements de M dans le même sys- 
tème. Mous aurons les formules de transformation 



d 


d 


d 


d 


d 


d 


d 


d 


dl- ~ 


~ dj-' 


' ^z' 


^ ~ 


- dy' + 


'd.r'' 


TTz " 


- rf?' 



l U z=z U — 1 1' , V ^ V ^ 1.U , w ■= \v . 

D'autre part, appelons N', , N'^, TS'g, T, , T'j, T', les forces principales 
relatives aux nouveaux axes. Les formules de la Note précédente, ou 
plus directement celles qu'établit M. Lamé au § 18 de ses Leçons, 
donneront 



(3) 



N; = N,-4-2tT3, N; = N,-2.T3, N'3=N3; 

T'. = T, -.T,, T;=T, +vT,, T3 = T3-.(N, -N,). 

Si nous substituons dans ces formules, à N,, No, N3, T,, T^, T;,, leurs 
expressions (1) en ' ' ' ; puis, à ces dérivées, leurs valeurs en 

"'*'>'"<! ' fournies par (2), les termes qui contiendront i devront s'an- 
d[-^ ,J i^ j 
nuier quelles que soient ces dernières dérivées ainsi cpie a et c, pui.sque 

les forces élastiques doivent avoir la même expression dans le nouveau 

système que dans le premier. On obtiendra ainsi les trois relations 

(4) iiit = /«, s = m' -H m" , s' ^ p — 2in" . 



santés, suivant les moines a.\es, de la force elasli(iue rappoïke à l'unité de surface, 
(|ui est exercée sur cet élément plan du côté où l'on a mené la nor maie. 

Dans l'élat d'équilibre du milieu considéré, on a N, := 1S;=^ K H- A, T, =:T2:^Tjr= o. 
Pour tout élément plan ])aralléle à la.xe des z, cosy est nul, et, par suite, il vient 

X = (K-f- A)cosa, Y = (K.-h A)cosp, Z — o. 

La force élasti(]ue est bien nuruiale, puisque ses composantes X , Y, Z sont propor- 
tionnelles à cos«, ces fi, o; d<' plus sa valeur est K H- A. 



PURES ET APPLIQUÉES. 217 

Telles sont les conditions, non pas pour que le milieu soit isotrope 
autour de l'axe des 2, mais pour qne cette isotropie partielle résulte 
de l'égalité des deux quantités a, h. Elles doivent donc être vérifiées 
dans les formules (1). 

Enfin, nous savons qu'un déplacement d'ensemble quelconque 
donné à im corps ne fait pas varier la force exercée sur tout élé- 
ment plan lié au corps. Or tout mouvement d'ensemble infiniment 
petit se compose d'une translation, qui laisse invariables les dérivées 

-7-, :-■ et de trois rotations inhnunent petiles autoin- des trois axes 

coordonnés. Il faut donc qu'une simple rotation du milieu autour de 
chacun des trois axes laisse invariable la force exercée sur un élément 
plan quelconque. Par exemple, une petite rotation 00 autour de l'axe 
des 2, laquelle correspond à /< = — w^, v = wjt, w = o, devra laisser 
égale à K -+- A et normale, l'action exercée sur l'élément primitive- 
ment perpendiculaire à l'axe des jc. Celte rotation donne, d'après les 
formules ( 1), 

</ bis) i N, ==R + A, N,= K+B, N3 = R + C, 



T, = Ta = o, T3 =p(fl — 16) w. 

La normale h l'élément qui était primitivement perpendiculaire à 
l'axe des x, fait actuellement, avec les trois axes fixes des x, j, z, des 
angles qui ont pour cosinus 1 , cj, o. Les composantes, suivant les mêmes 
axes, de la force élastique exercée sur cet élément, seront, d'après les 
formules (4 his), et d'après celles de la note précédente, 

K.-f-A, y9(/î — A) w + w(R -I- B), o. 

Pour qu'elle soit restée normale et vaille R + A, il faudra que ces trois 
composantes soient respectivement égales à 

R -i- A, ( R -(- A) w, o. 

L'égalité des secondes donne 

A — B — /;(a — b), 

Tome X.111 ( 2« série).— Juillet iHCS. 28 



2i8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

A B , . 

et, comme— r-. —, il vient 
a b 

(5) A = pn\ on aura de même H =: ph^ V, = pc . 

Avec ces valeurs de A, R, C, ime simple l'otation du milieu ne fait 
naîlie aucune force élastif)ue .sur les trois éléments superficiels primi- 
tivement perpendicidaires aux axes, ni par suite sur auciu) élémeiit 
pian. 

Les formules définitives des forces élastiques sont donc 

I N, = R ^ ;)n + (/^ /'S.7 + /"'/) 5 H-nSr?'^" 



(61 



dx 

-+- 2 [//( -\- in'Sn -r- m" (h -\- c — a) -h pn] —-■> 



dy I ' \ dz dy 

d'où se déduisent N, et To, Nj et T3. 

Les coefficients p, /', /", m, in\ m" .seront généralement fonctions 
de /, puisque nous supposons les actions déformatrices A, B, C toujotirs 
agissantes et variables d'un instant à l'autre. Le cas le plus intéressant 
à considérer est celui où ces actions deviennent constantes au bout 
d'iui certain temps, et ne cessent pas ensuite de l'être; dans ce cas, le 
milieu ne tardera pas à acquérir lUie constitution permanente, et 
p, /', /", n. m', /«"garderont désormais les mêmes valeurs. Si en particu- 
lier les actions défoirnatrices sont stqjprimées après avoir agi quelque 
temps, on aiua, dans l'état moléculaire permanent qui suivra cette 
suppression, A = H = C ^ o ou ^ = o , mais les autres coefficients ci- 
dessus garderont des valeurs finies; ils ne seraient nuls que si le corps 
se trouvait revenu à sa constilulion primitive. 

Notre analyse laisse indéterminés tous les coefficients qui entrent 
dans les fornuiies (6) ; mais des considéralions d'une antre espèce ren- 
dent extrêmement probable, entre trois de ces coefficients, la relation 

(7) l"^-=n-p [•]. 



[*j En effet, si l'on s'appuie sur le principe, universellement admis, qu'il est impos- 
iliie de créer de toiilcs pièces du travail, on peut réduire li's expressions des forces 



PURES ET APPLIQUÉES. 219 

§ II. — E(jiiations -les inonvp.nicnts. — Ondes iilnnes. 

Si le cor|)s étail el reste homogène, les axes d'élasticité, les coefficients 
et les quanlités a, b, c seront les mêmes dans toute son étendue. Alors 
la première éc|iiafion des petits monvemenis, en appelant à la densité. 



sera 



. <P_u f/N, rfT, dT, 

IF ^ d7 '^ Hy ^ Ih 



élastiques, dans tout milieu uiéraniquement symétri(|ue par rapport aux trois plans 
coordonnes, et quand il y a trois actions normales K -h A, K 4- B, K + C, anté- 
rieures aux déplacements, à la tornje 



{"■) 



N, 


= K + A-|- (a+K + Ai ^-(-(f'—K- 

d.r 


-A) 


dv 
dy 


— K- 


diV 

-^'-d-z 


n. 


= K + B+ (b-1-K. + B) — -f-(d'-K- 


- Bl 


dz 


— K- 


d.r 


N3 


= K + C + (c + K + Cl ~ + ( e' — K. - 

dz 


-C) 


du 
dx 


- K.- 


-< 
dy 


T, 


= (d + K-i-C)~ +(d-(-K + R)^, 
dz dy 










T, 


= (e-l-K+A)^ + (e-hK-t-Cj^, 
dx dz 




- 






T3 


dy dx 











[Voir Mémoire dcjà cite de M. de Saint-Venant, formules i o, au n" o. ) 

Il est aisé d'identifier ces formules (a) avec les nôtres (6), à la condition nécessaire 

et suffisante que la relation (7) soit vérifiée. Comme on a déjà k = pii, B =plj, C = pv, 

il suffira de faire 

tl = — K + m -f- w'So -t- m" 11, d' = I^ + / H- (/' + «) g„ _ „a , 
e = — K- + '" + '«'Sa -h m" h, t-' =K -h l-h{l' -h n)Sfi — nt, 
f = — K. + /// + m'Ha -+- m"c; f = R -t- / -h (/' -t- //) S« — »c; 

a = — K H- / -h /'S« H- 2 [m -I- w'Srt -I- /«"( i'' -I- f — « j -4- «n I, 
b = — K -H / -H /'S« H- 2 [m -)- m' Srt -+- /« [c -^- a — b \ + nh\, 
c = — '^ -t- / + /'Sn -H 2 [») -H rii'Sd -+- m" (« -t- 6 — r) + ne]. 

Ces fornuiles vérifient identiquement les conditions, dites de distribution ellipsoï- 

28. 



(Pl 



2 20 JOURNAL DE MATHEMATIQUES 

Portons dans cette équation les valeurs (6) des forces élastiques, et dési- 

cf ri'' d' 

gnons, avec M. Lamé, par Aj l'expression symbolique j~i + T^ + Tl' 
L'équation ci-dessus devient 

-f- [m -+- {m' -h m") Sa — m" a] Aj u 

du 
dSa — 

d'u , dUt d^u\ , „. dx 



On en déduira aisément les deux autres équations du mouvement. 
Afin de simplifier, désignons les quotients par è (ie 

l -\- m -{- [l -Jr m' + m") Srt, I" -h p — m", ni '- ( m' -+- m" ] Sa, 
— in", i> — m", u — m" , 



date des élasliciiés, données par M. de Saint-Venant dans le même Mémoire [n° 13, 
(ortiiules (56 et 57)], et qui sont 

Dans un premier mode. 



7) 



2d4-d' = 1 2e-(-e'= » 2f-t-f' = 

222 

Dans un second mode , 

2d -t- d' = \/bc, 2e + e':=v^ca, 2f+f'=v'ab- 



Les deux modes reviennent au même dans le cas actuel ; car les trois coefficients 
a, b, c étant presque égaux entre eux, la première ligne des relations (7) est, sauf 
erreur négligeable , identique à la seconde. 

M. de Saint-Venant (n° 16 du même Mémoire), en s'appuyant sur la loi des ac- 
tions moléculaires fonctions des disUinces, obtient les expressions des forces éiasticpies 
dans un milieu primitivement isotrope qui a subi une petite altci-ation permanente 
par suite de compressions inégales exercées sur lui dans trois sens rectangulaires. Nos 
formules ^6J deviennent identicpios aux siennes, si la relation ( 7) est vérifiée, et si l'on 
fait en outre dans les équations (p), quels que soient a, h, c, 

d = d', e = e', f — C; 
ce qui revient à 



PURES ET APPLIQUÉES. 221 

respectivement par X, X', |u., p, a, v. Les équations du mouvement de- 



viendront 



d'u dB l d^u ,d^u d^uX 



du 

dSa — 

dx 



d'v 
'^'dzF 



(9,\ ( d^'v dO , / d^" i d'v 

^ ^]i^=(''^^''^d^+^^^^^^'^'-^T^^^ify^ 

rf'fv d9 , l d''w , dhv d'w\ 



dx 


du 

dna — 

dx 


dy 


du 

dSa — 
dx 



\ df 



dz 



Observons que tous les coefficients X, X', [j-, p, ff, v peuvent être 
indépendants d'après notre analyse; toutefois, quand les pressions 
A, B, €sont nulles, on a p = o, et par suite (T = p. 

Si la relation très-probable (7) est vérifiée, X' et v sont égaux, car 

, n — m" 
ils valent tous les deux — ^ 

Nous raisonnerons désormais dans l'hypotlièse que les actions dé- 
formatrices A, B, C deviennent constantes hu bout d'un certain temps, 
et nous supposerons ét'blie la nouvelle constitution permanente dans 
laquelle les coefficients X, X', p., p, <y, v ne varient plus. 

Étudions les ondes planes projjagées par le corps dans une direction 
quelconque. Soient m, «, p les cosinus des angles de cette direction 
avec les axes; I l'amplitude des vibrations et t leur durée; m', n\ p' 
les cosinus des angles qui fixent le sens de ces vibrations supposées 
rectilignes; enfin w la vitesse de propagation de l'onde. 

Les valeurs de m, v, w seront ici 

277 / %mx 
U = l//i cos ( t 

T \ w 

27r / »mx\ 
V = I« COS { t )i 

T \ w / 

, 277 / Smx \ 
W= 1 /) COS — it- — j • 

Elles pourront représenter des mouvements réels de milieu, pourvu 
qu'elles satisfassent aux équations (8). Portons donc dans celles-ci 



2 22 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

ces valeurs de u, p, w. De plus, continuons à exprimer par S la 
somme de trois termes analooues. Nous oliiieiulrons entre /«, ii. p, 
m', n', p'^ w les relations 

j m[[l ■+-!' a)Sinin' -i- vSnnim'] -h /n'(;j. -^ /srt — w^ -4- aSain^) = o, 
\n [(X -T-X'ft) S/«m'-i-vSa//i/J/'] h- «' [ij.-hph — w- -i- cSci'/i^) = o, 

(q) ' /' [ ( ^- "*"" ^■' ^ ) SmA«'~i- vSrt/rtw'l -H/j' (fJL-i- pc — w- -+- aSfl/'i") = o, 

1 

I auxquelles il faut joindre 

Ajoutons les trois premières, multipliées respectivement par m, ri, p. 
La sonuue donne 

(roi [X -1- ,u, — oj- + (<7 -H X') Srt /n*]Smm'-(- (p -h v) Sflmm'= o. 

Comme a, /?, f sont très-petits, cette équation exprime : ou bien 
que S mm' e.st Irès-petit de l'ordre de a, b, c: ou bien que X ^ /Ji — or' 
l'est. 

Soit d'abord Smm' très- petit. L'expression Siniii' représente le 
cosinus de l'angle que fait la vibration avec la normale an plan de 
l'onde. Donc la vibration se fait presque dans le plan de l'onde : elle 
est quasi transversale. Les trois équations (9) montrent que w- diffère 
(le f/. d'une quantité du même ordre de petitesse que a, A, c. 

Les vibrations seraient rigoureusement transversales si Siiim' était 
nul; cela arrive, d'après (10), lorsque 

^ii) (p -4- v) S«wm' — o. 

Soit actuelleruent / -i-p.— 00- très-petit, c'est-à-dire w^ peu différent 
de X 4- fJL. Les équations (9) donnent alors sensiblement 

m' n' y' c ' -L. 
m n p 

La vibration se fait à peu près normalemenl an |)lan de l'onde : elle 
est quasi longitudinale. 

Elle serait rigoureusement longitudinale, si l'on pouvait vérifier les 
équations (9) en posant /«' = m, n' = n, p'= p- Portons-y ces valeurs, 



PURES ET APPLIQUÉES. ii?» 

et nous (roiiverons pour conrlilions nécessaires et suffisantes 

(12) (p-^ X')a = (/5 + X')^'=. (p 4 X')c. 

Dans le cas où la relation (7) est vérifiée et où, par suite, v — X', on 
ne peut pas avoir p + v = o sans avoir en même temps p -f X' = o, et 
réciproquement. Dcjnc, dans ce cas, le milieu propage à la lois d<s 
ondes rigoureus'^nient transversales et des ondes rigoureusement lon- 
gitudinales, ou \neu il propage à la fois des ondes quasi transversales 
et des ondes quasi longitudinales. 

Lorsqu'on admet le principe des actions moléculaires simples fonc- 
tions des distances, les relitions (t?) de la note précédente donnent 
p + X'ou p-+- V égal à 3« divisé par la densité. Les ondes ne peuvent être 
généralement longitudinales ou transversales que pour «= — m" =^ o, 
c est à-dire [formules (|3)] que si le milieu est isotrope. 

§ IIL f^ibrntioiis quasi transversales : e'cjuadon aux vitesses. 

Dans l'étude des vibrations fjuasi transversales, Siiim' est de l'ordre 
de a, b, c, et l'on peut négliger les termes en aSmin', bSmin', cSiriin'. 
Alors les trois premières équations (9) reviennent à l'égalité continue 

I i3) = = —^ — = Ao;nAn -+- vr>amin\ 



s' — y 

dans lacpielle, afin d'abréger, nous posons 

ii4) /JL-t-pfl = «, /a, + pi = |3, fx -4- pt' = y, oj'' — (7S«7n^ = i". 

Pour que la quatrième S.'m'- = 1 soit satisfaite, il sulfira que 

m I 

m = -— 



(, 1 5 ) ( ■^■- P 



V^«r 


m'' 

s' — «)■ 
I 


v/^ 


m' 

S-— a)» 

I 


./s- 


m' 



2 24 JOURNAL DE MATHEMATIQUES 

Alors les trois preinieres le seront si 

I 



\/' 



= XSm/n' -+- vSamnï. 



1^^- 



Portons dans cette dernière les valeurs (i5), et nous aurons l'équation 
qui donne la vilesse de propagation des ondes planes 

IS- 1- vS = I. 

s' — a s' — a 

Elle peut être simplifiée. En effet, niultiplions-ki par le produit 
(s^ — a) (j- — /3) [s^ — y), qui est du troisième ordre de petitesse; elle 
deviendra 

Sm' {s^ — /3) {s- — y) = quantité du troisième ordre eu a, b. c. 

Pour que le premier membre devienne égal à zéro, au lieu d être du 
troisième ordre de petitesse, il suffit de faire varier 5^ ou cj^ d'une 
quantité du second ordre. Donc, sauf erreur négligeable sur la vitesse, 
l'équation ci-dessus revient à 

(16) Srn^s'- ^lis" -y} = o ou S_— _ = o. 

Une variation du second ordre dans s^ fait varier m', n', p' de quan- 
tités du premier ordre seulement, comme le montrent les formules (i5). 
On peut donc adopter les équations (i5) et (16) pour déterminer la 
vitesse des ondes planes et la direction îles vibrations. La petite alté- 
ration ainsi subie par m\ n', p' a eu pour effet de rendre les vibra- 
tions rigoureusement transversales; car on a, d'après (i5) et \i6), 

S, a. m' I 

niin = o — = = o. 



y/s (73^ 



La vraie valeur de S mm', sauf erreur du second ordre, serait donnée 

par (10) et (i5) : elle est 

Smm' - — ^— r — 7>amm' — — o -:r 



s- — a I 



a)' 



PURES ET APPLIQUÉES. 
Ce résultai peut être simplifié. En effet, de la relation évidente 

^ ni^s' — fi~ pa) 

O ; = ! , 

S- — a 

on tire 

' s' — a I s' — a. 

OU snnpienieiit, d';ipres (16). 

On aiua donc 

(17) Smm'='~^^ 



'' ^S "" 



(S^'— OL)-' 



L'équation (16) est du second degré en s^; elle donne deux valeurs 
généralement distinctes pour 5^ et, p.u' suite, pour 00 et m', n', p'. 
Ainsi, le corps peut généralement propager dans toutes les directions 
deux ondes planes quasi transversales, ayant ciiiiCune sa vitesse spé- 
ciale et unedirectKjn déterminée pour ses vibrations. 

§ IV. — Ellipsoïde d'élasticité, direction des vibrations. 

Des équations (i5) et (16) on déduit 

S. '"' 



S (s- — a) ni- ^ ^^ = o, ou bien j^=Sa'?/^ 



Prenons, à partir de l'origine, dans la direction de la vibration, une 
droite égale à -, et soient .r,, ) ,, z, les coordonnées de son extré- 
mité. On aura ni=^jc,s, n'=}\s. /;'= z, i^, et le lieu des points 
(x\, y,, z,) sera l'ellipsoïde 

(18) Sua'l — \. 

Dans le cas de (7 = et, par suite, de 5 = w, la vitesse de propa- 
gation d'une onde plane est égale à l'inverse du demi diamètre de 
l'ellipsoïde, dirigé suivant la vibration correspondante. Dans ce cas 

Tome Xlll {i' série). — .Ilillet iSG8. 29 



226 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

particulier, l'ellipsoïde est dit d'élasticité : nous lui conserverons le 
même nom, quel que soit g. 

Si l'on mène par l'origine, parallèlement :iux ondes, lui plan cpii 
roupera l'ellipsoïde d'élMSticité, les deux vibrai ions seront dirigées sen- 
siblement suivant les deux axes de l'ellipse d'intersection. En effet, 
en prt'nant pour /«', n\ p' les valeurs (i5), la vibration se fait dans le 
plan de l'onde. D'autre part, l'ellipse d'intersection de l'ellipsoïde 
d'élasticité par ini plan mené à l'origine parallèlement aux ondes est 
représentée par les deux équations 

(i8^/*) SaJf" = I et S/w.r = o; 

sa tangente au point [x, /, z) aura les cosiinis des angles qu'elle fait 
avec les axes proportionnels à 

n-^z — P^Ti po(.x — myz, mfiy — riax 

Au point de l'ellipse où aboutit le demi-diamètre parallèle à la vibra- 
tion, ces cosinus seront proportionnels à 

nyp' — p^n', pa.ni' — niyp\ in^/i' — nocm'. 

La condition nécessaire et suffisante pour que le demi-diamétre soit 
un axe, c'est que la t;uigente lui soit perpendicuhiire, ou cpie 

Sm' [nyp' — p^n') ■= o. 

Portons dans cette relation les valeurs (i5), et elle devient l'identité 

S(^-7) = o 

Les deux vibrations correspondantes à des ondes |)lHnes de même di 
rection sont donc |)olarisees à angle droit. Celle qiu est du'igée suivant 
le grand axe de l'ellipse (i8 bis) correspond à la plus petite valeur de .s'-', 
ou a la plus petite vitesse de propagation des ondes; celle qui est dirigée 
suivant le petit axe de l'ellipse correspond à la plus grande vitesse de 
propagation. 

§ V. — Surface de l'onde. 

Supposons qu'un mouvemeni périodicjiic soit prodiul en un point 
intérieur d'un milieu indéfini et loni autour dans ini Irés-pelit espace. 



PURES ET APPLIQUÉES. 227 

Prenons ce point pour origine des coordoiiiiées. Il est clair que toutes 
les autres molécules seront agitées de proche en proche et exécuteront 
des vibrations de même période que celles de l'origine. Les lieux géo- 
métriques des points où elles se trouveront siinidtanément à une même 
phase de la vibnition, par exemple au commencement, seront des 
surfaces grandissantes, dites suijaces des ondes. 

A une distance finie de l'origine, considérons un volume très-petit 
de matière, qui contienne néanmoins un nombre immense de champs 
de vibration, chose possible si nous supposons extrêmement petites la 
longueur d'onde et l'amplitude des mouvements. Dans cette portion 
de matière, les vibrations ont partout sensiblement la même largeur 
et la même direction. D'ailleurs les ondes sont Irès-rapprochées et for- 
mées à fort peu près d'éléments plans parallèles. Donc elles y obéissent 
sensiblement aux lois des ondes planes. 

Cela posé, considérons à un instant donné une onde encore voisine 
du centre de l'ébranlement, et les ondes successives qui entourent 
celle-là et qui occupaient sa place 1, i, 3, . . . éléments de tenij^sc?/ 
avant l'instant considéré. Menons a chacune un plan tangent paral- 
lèle à une direction fixe. Les points de contact fie ces plans tangents 
sur les diverses ondes infiniment voisines seront infiniment voisins à 
cause de la contimiité. Par suite, d'après la remarque précédente, la 
distance de deux d'entre eux sera sensiblement égale à uidt, iù dési- 
gnant la vitesse de propagation des ondes planes parallèles à ces plans 
tangents. Si donc on mène le plan tangent à l'onde qui est partie 
depuis un temps t du centre de l'ébranlement, ce plan sera distant de 

l'origine de la quantité / wr//, qui égale w«: dans un milieu homogène. 

Par consécpient, le milieu étant supposé homogène, une onde quel- 
conque est l'enveloppe de toutes les ondes planes parties de l'origine 
en même temps qu'elle et dans tons les sens. En grandissant avec ^, 
elle reste semblable à elle-même, et ses dimensions croissent propor- 
tionnellement au temps. 

On appelle rayon toute droite qui |iart du centre de rébranh'ment. 
Il est clair que tous les plans tangents aux ondes menés par les divers 
points d'un rayon sont parallèles. De plus, les molécules situées sur 

29 . 



228 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

un même rayon exécutent leurs vibrations suivant des droites paral- 
lèles données par les lois des ondes planes. 

Il suffît de calculer l'onde partie de l'origine depuis un temps < = i . 
Prenons le pôle d'un plan tangent à cette onde par rapport à la 
sphère .r ■ -hj'^ + z^ = i . Ce pôle sera sur la normale menée de l'ori- 
gine au plan tangent, et à une distance de l'origine égale à l'inverse 

de la normale ou à -• I^e lieu de ces pôles, c'est-à-dire la polaire ré- 
ciproque de l'onde, sera donc une surface ayant pour rayon, à partir 
de l'origine, dans la direction (;?2, «, p), la valeur correspondante de -• 

Ainsi, la surface de l'onde est la poKiire réciproque, par rap|)ort a la 
sphère x° + j-^ + z^ = i, de la surface que l'on obtient en portant, à 
partir de l'origine, dans une direction quelconque, une ligne égale à 
l'inverse de la vitesse de l'onde plane perpendiculaire à cette direction. 
Cette suifacea été considérée par Cauchy, drins ses Mémoires sur la 
lumière. I^e théorème que je viens d'énoncer paraît avoir été donné 
pour la première fois par M. Haugton. Nous pourrions nous en servir 
pour trouver l'équation de l'onde; mais nous obtiendrons celle-ci 
bien plus simplement au degré d'approximation cherché. 

§ VI. — Equations de l'onde et de ses plans tangents. 

Prenons l'équation aux vitesses sous la forme (i6) 

s = quantité tinie. 

L'onde qui est partie de l'origine depuis l'unité île temps est l'enve- 
loppe du plan Sm.c = w, dirigé successivement dans Ions les sens. 
Comme w varie peu, elle ne différera pas l)eaucoup d'une sphère. La 
perpendicidaire abaissée de l'origine sur le plan tangent, perpendicu- 
laire dont la direction est déterminée par les cosinus m, «, p, ne fera 
qu'un angle très-petit de l'ordre de a, b, c avec le rayon mené au 
point de contact. Par suite, ce rayon, r^ \S.t'^., ne différera de w que 
d'une quantité très-petite du second ordre. Bailleurs /«-, n'^, p^ valent 

^2 ^2 21- 7''^ ^'' Z^ 

a lres-|)cu près — ? ^, — ou '—■> ^-> — • Portant ces valeurs dans 

' ' r' r' r' fi [x pi 



PURES ET APPLIQUÉES. 229 

l'équation aux vitesses, on trouvera celle de l'oncle 

S — -, '- — : =: quantité finie. 

Posons 

(■9) x- = (,-^).-, y= = (,-_'^)y, .'■=(,- = 

et observons que, sans changer les rapports de j:', j\ z' à y/Sx'*, 
on peut faire varier Sa:'- de quantités négligeables dn second ordre; 
nous pourrons écrire 

(ao) 

Si l'on fait (7 = o, ou bien x' = x, j'=}-^ z' = z, l'onde est celle 
de Fresnel. 

Dans le cas général, pour construire l'onde, on pourra d'abord 
construire celle de Fresnel (20), puis allonger chaque rayon de la 
quantité =Si7x'^. En effet, un ravon quelconque est 



VS-^' = v/sx"" f . + -] = vSx'== -+- -^-^ Sax'% 

sauf erreur du second ordre. Ainsi, l'onde de Fresnel étant construite, 
lin rayon quelconque ySx* de l'onde générale est égal à un rayon 
très-voisin \j^x'- de celle de Fresnel, augmenté de la quantité 
— Srtx'^. Or le rayon de l'onde générale, dont la direction coïncide 

avec ce rayon de l'onde de Fresnel, ne diffère que d'une quantité du 
second ordre des rayons voisins. Donc on obtiendra bien l'onde géné- 
rale en allongeant de la quantité uidiquée chaque rayon de celle de 
Fresnel. 

Inéquation (20) peut être présentée sous d'autres formes qui nous 
seront utiles. L'identité 

_ ^ lS.r'- — a).r '^ _ „ x" l_ ^ gj'' 



23o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

combinée avec (20), donne 

(21) S^^^-^- = o, ou bien S«:r'- (So-'^- /3) (Sx'- - 7) = o. 

En développant (Sjt'* — /3) (Sx'^ — yl et innltiplianf le premier 
membre par Sax'-, nous obtiendrons 

S\x'-' [{Socjc'-'f - f «/3 + ay) Saa-'= + a/3 «7)]} = o 



ou 



Sx'M.Sax'^ - 7a)(SaJc'^- a^) = o. 



De là résulte luie troisième forme de l'équation (20). en divisant par 

Cherchons actuellement l'équalion du plan tangent à l'onde. Soient 
jc, y, z les coordonnées du [)onit de contact; .^c^^J^, j,. les coor- 
doiHiées courantes. Si nous posons 



/(.r,j,z) = S^ 
l'équation de ce plan sera 



il.r rl.T 



Or 



d OU i\ résulte, après quelques réductions, pour l'équation cherchée. 

Le premier mc'iubrc montre a quelles quantités sont pi'()|)ortionuels 
les cosinus m, «, p des angles que fait avec les axes la uormale au plan 



PURES ET APPLIQUÉES. 23 1 

taHgent. En extrayant la racine carrée de la son;nie des carrés de ces 
fHiaiitités, |)uis divisant par cette racine, on trouve 



m = 



>'i){ "~^ 



r = 



x' r aa a ^ ,^ l i ~| 

L *(sx'^-=<jj 

s/Sx'-' \ 2p 2p^ Sr" — 7 ^ -r'^ 



et, pour l'équation du plan tangent, 

Sinx, = sjSx' , 
comme cela devait être. 

§ VII. — Direction des vibrations. 

La direct ion des vibrations est donnée par les cosinus in\ n', p' , 
respectivement proportioiniels (i3)à 



et par suite, trés-sensiblement, à 

(24) 



La vibration, en un point \X, y, z), est dirigée comme au point 
correspondant tres-voisin (x', y , z') de l'onde de Fresnel. 

Supposons que l'on mène le plan tangent à l'onde en [oc, r, z) et 
le rayon qui aboutit à ce point; ensuite, qu'on projette le rayon sur 
le pian tangent. Cherchons l'angle que tait cette projection avec la 
vibration. 

Pour trouver la projection du rayon sur le plan tangent, menons 
d'abord de l'origine une normale à ce plan. Soient ai,j',, z, les coor- 



232 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

données du pied de la normale. Nous aurons 



r, = m V Sx^ = .x' 



r fffl (7 ^ ,2 I I ~l 



La projection du rayon sur le plan tangent, comptée à partir du pied 
de la normale, aura elle-même, poiu^ projection sur l'axe des x, 



(25) X — jr, = 






On aiu'a de même _^ — 7', et z — Zf. 

Dans le cas ff := o, (|ui est celui de l'onde de Fresnel, les quantités 
X — x^, y— r,, z — Zf sont proportionnelles (24) à m\ n\ p' . La 
vibration se fait suivant la projection du rayon sur le plan tangent. 

Le carié de cette projection est dans le cas général, en négligeant 
les termes du troisième ordre de petitesse, 

+ ^rSx'*Sa^a:''^- ('s>x'ax'Y\. 
D'ailleurs, on a identiquement 

^x'^Sa^x'^ - {Sx'ax-)-^^[b - c)^f'-z'^; 
d'où 

(26) L'= U - (■-7) + gsf^-cry-z-. 

Nous pouvons actuellement évaluer le cosinus de 1 angle de la vibra- 
tion avec la projection du rayon sur le plan tangent. Désignons par V 
cet angle, et nous trouverons 



.r x ■ 



cos V ■= == s „ „ 



'\/S(s.^-,_„) 



PURES ET APPLIQUÉES. 233 

ou bien, sauf erreur du premier ordre, 



cosV 



■y 8 ' 



Substituons à L sa valeur (26) et cherchons tang- V. Nous aurons 

Extrayons la racine carrée, et rappelons que, l'angle V étant inférieur 
à deux droits, sa tangente a le signe de son cosinus, ou de ' — -• 

En adoptant le signe + ou le signe —, suivant que - est positif ou 
négatif, nons aurons 



tangV=— ^^y/-I-f-^S(^'-c)V^z-S- 



(S.r"— a)' 
P 

Donnons au radical une autre forme, qui le montre essentiellement 
réel. Pour cela, dans l'identité 

faisons 

,_ x' _ y' j _ z' 

/'=x-x,, g'=jr—r,, h'^z-z,, 
et substituons kx — x,, J— J., z — z, leurs valeurs (aS). Nous tire- 



rons 



I 






[b -c) j' 



Sx" — p) (Sx"— y 
Tome XIII {2" série). - Juillet 1868. -^O 



234 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Par conséquent, 



(„, ,.„,v= 4^,.j[,.^,„-.o-?^-i.~'.]^^_^-^,;'. 



I 

P 



Dans le cas où a, h, c sont inégaux, le radical ne peut s'annuler 

généralement. Alors tangV ne s'annule que poiu- - ^ o. C'est le cas 

de la double réfraction d'après Fresnel : la vibration se fait suivant 
la projection du rayon sur le plan tangent à l'onde. 

De même, tangV ne devient infini que pour i = o ou g ^ p. 

Ainsi, dans le cas de c; = p seulement, la vibration se fait perpendi- 
culairement à la projection du rayon sur le plan tangent. 



§ VIII. — Double refraction suivant Fresnel et suivant 
MM. Mac-Cullogh et Newmann. 

Examinons les deux cas |)articuliers où ff = o et où a^ p. 

Si (7 = o, nous avons vu que l'onde est celle de Fresnel (20), et de 
plus que la vibration se fait suivant la projection du rayon sur le plan 
tangent à l'onde, ce qui constitue le deuxième point de sa théorie de 
la double réfraction. 

Le cas 7 = 0, sans que p soit nul, n'est possible que lorsque le corps 
est soumis à des actions A, B, C inégales dans les divers sens. En effet, 
si le corps ne siqipor lait que l,'i pression normale et constante ~ R, 
les deux coefficients c et p seraient égaux (§ II), et a ne pourrait être 
nul sans que p le fût, ce qui détruirait la double réfraction. Ce cas 
tient donc (essentiellement à la présence de tractions ou de compres- 
sions inégales dans les divers sens, exercées sur le milieu au moment 
même du phénomène. M. Briot l'obtient, dans ses Essais sur la Théo- 
rie mathématique de la lumière (n°* 45 et i5), en su|)posaut que les 
molécules d'éther se repoussent en raison inverse de la sixième puis- 
sance de la distance. 

Soit maintenant c ^= p, ce qui arrive quand le corps ne supporte en 



PURES ET APPLIQUÉES. '/65 

(ont sens que la pression constante — K. Prenons l'onde sous la forme 
(22), et substituons à a.',j', z' leurs valeurs (19). Nous obtiendrons 

= quantité finie, r par exemple, 



»x'-{- t -Sa.T'~[n-i-p{b-hc)] 



et, dans le cas a =^ p, 

(28) S 



S.,-_[^ + p(é+c)] 



On voit que l'onde est alors identique à ce que devient celle de 
Fresnel, quand on remplace dans celle-ci a par b + c, b par c -h a, 
c par a -h b. 

Si les axes sont tellement disposés qu'on ait pa'^pb^pc, celui 
des x, celui des^ et celui des z sont appelés respectivement axes de 
plus grande, de moyenne et de plus petite élasticité. L'axe de plus 
grande élasticité, dans le cas de a = p, a, par rapport à la surface de 
l'onde, le même rôle que celui de plus petite élasticité pour a ^ o, et 
réciproquement. En effet, si 

pay- pb~:> pc, 
on aura 

p {b -\- c) <i p {c ^ a) <, p [a + b). 

Quant à la direction des vibrations, nous avons vu qu'elle est per- 
pendiculaire à la projection du rayon sur le plan tangent. Ce serait le 
cas de la double réfraction, d'après les idées de MM. Mac-Cnllagh et 
Newmann. 

Les deux hypothèses «7 = 0, c = p sont les seides pour lesquelles la 
vibration soit parallèle ou perpendiculaire à la projection du rayon 
sur le plan tangent (formule 27). Ce sont aussi les seules qui donnent 
à l'onde la forme de celle de Fresnel. En effet celle-ci, dans le cas où 
a :=■ b, a luie nappe sphérique, comme on le reconnaît facilement. Or, 
dans le même cas, l'onde générale n'a une sphère pour nappe que si 
>7 = o ou a = p . 

3o.. 



236 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

§ IX. — Propriétés diverses de tonde générale. 

Je ne pousserai pas plus loin, dans ce Mémoire, l'étude de l'onde 
générale (19 et 20); mais je vais en indiquer quelques propriétés inté- 
ressantes. 

Elle se compose de deux nappes, l'une intérieure, l'autre extérieure, 
qui ont quatre points communs. Les coordonnées de ceux-ci ne peu- 
vent être évaluées que sauf erreur du premier ordre de petitesse, 
quand on néglige les termes du second degré en a, b, c. Les droites 
qui joignent ces points deux à deux en passant par le centre sont ap- 
pelées axes optiques : si l'on a pa^ pb ^ pc, elles font avec ceux 
des X, des j" et des z des angles ayant respectivement, avec erreur du 
premier ordre, les cosinus 



(-9) 



I i/ _ ; o, — t/ _ pour la seconde. 



De plus U, U' désignant les angles d'un rayon /■ de l'onde avec les 
axes optiques, l'équation polaire de la surface est, sauf des termes du 
second ordre, 

1 r- = ij. -i- ry b -h - {a -+- c) 
(3o); ^^_ ' 

/ H — ^ — - (« — c) cosU cosU' ± - [a -- c)sinUsinU'. 

Aux extrémités des axes optiques, les deux nappes se raccordent en 
ombilic, de manière à y avoir une infinité de tangentes, communes à 
toutes deux, et dont le lieu géométrique est un cône circulaire très- 
évasé. Si l'on mène par l'ombilic un plan perpendiculaire à l'axe du 
cône, les génératrices sont inclinées sur ce plan d'un angle 



(3.) ^ = J_ y^(«_ b){b-c). 

J^'axe du cône est lui-même dans le plan des axes optiques, et fait avec 



PURES ET APPLIQUÉES. 237 

l'axe optique correspondant, du côté de l'axe des x, un angle égal 



2(7 



Enfin un certain plan, mené à une très-petite distance de l'ombilic, 
perpendicul;iiremenl à l'axe du cône, est tangent à la nappe extérieure 
sur tout un cercle dont le centre est sur cet axe et dont le rayon est 
vu du centre de l'onde sous l'angle (|/. 

L'étude de la direction des vibrations, tout près des axes optiques, 
nécessite des considérations délicates. Il est nécessaire d'y tenir compte, 
dans les équations (8) du mouvement, des termes du second degré en 
fl, />, c, qui influent notablement sur la valeur de Sm/?/. Dans lui tra- 
vail plus étendu que celui-ci, je démontre que, lorsque le cosinus Siiiin' 
est du second ordre de petitesse très-près des axes o|jtiques, la direc- 
tion des vibrations est donnée par la loi suivante : 

Si l'on décrit sur l'onde, de l'ejctrémité d'un axe optique comme 
centre, des circonférences de petits rayons, les molécules situées sur 
chacune d'elles vibrent vers un même point de la circonférence, celles 
de la nappe extérieure vers le point le plus voisin de F axe des x, 
celles de la nappe intérieure vers le point le plus voisin de l'axe des j. 

Quand Smm' est du premier ordre en a, b, c, aux mêmes endroits de 
l'onde, la même loi se vérifie à une distance fiiue, quoique assez petite, 
des axes optiques, mais non plus à une dislance de ces axes de l'ordre 
de a, b, c. 

§ X. — Ondes quasi longitudinales. 

Étudions actuellement les ondes planes quasi longitudinales. L'ex- 
pression X + p. — oj- y est de l'ordre de a, b, c, et /«', «', // diffèrent 
peu de m, //,/). Nous pouvons donc, sauf erreur du second ordre, 
substituer dans l'équation (10), m, n, p à m', n',p'. Le carré de la vi- 
tesse de propagation sera 

(32) w^ = >. -h p. -I- (c + X' 4- p + v)S«m-. 

Pour que cette vitesse soit constante, il suffit que (7 -f- X'-i- v -^- p = o. 
Si le milieu pouvait propager dans tous les sens des ondes rigoureu- 
sement transversales et des ondes rigoureusement longitudinales, on 
aurait les relations (u et i 2) p + v = o, p + X' = o, et par consé- 



a3S JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

rjiieiit G -+-1' -\- V -i- p = a — p : \n vitesse serait constante pourvu que 
7 = p, c'est-à-dire pourvu que la pression extérieure exercée sur le 
corps fût la même dans Ions les sens. Il est tout à fait improbable 
qu'une pareille coustance de la vitesse o) puisse exister ailleurs que 
dans un corps isotrope : donc, si le milieu est biréfringent, il ne doit 
pas pouvoir ])ro|îager dans tous les sens des vibrations rigoureusement 
transversales ou rigoureusement longitudinales. 

Prenons, à partir de l'origine et suivant la vibration, comme au 

§ IV pour les ondes quasi transversales, une longueur égale à -• Les 

extrémités de ces lignes donneront l'ellipsoïde 

(33) S[X ^-^ -I- ((7 + X'-h V 4- p)rt]jr^ = I : 

on pourrait l'appeler ellipsoïde fVélasticité des vibrations longitudi- 
nales. 

Les considérations du § V étant entièrement applicables aux vibra- 
tions quasi longitudinales, on aura pour l'onde courbe la polaire réci- 
proque de cet ellipsoïde par rapport à la sphère x- -t- 7" + z^ = i . 
C'est l'ellipsoïde inverse 

fi 

Enfui les relations (g) combinées avec (3?.) donnent aisément, pour 
déterminer la direction des vibrations, sauf erreur du second ordre, 



m' — m y -+- p 

m ~ ). 
n' — n X' + p 



a — Sa/7i^), 



(35) 'l_z^ =:^^(/, _s 



anr), 



Ji =!l±1^c-Sc 



§ XL — Généralisation. 



Les formules fondamentales (6) ont été établies dans l'hypothèse 
que les actions déformatrices A, B, C gardent constamment les mêmes 



PURES ET APPLIQUEES. aSg 

rapports — > — depuis le commencement de la déformation. Or il se 

peut que ces actions restent en effet, pendant un certain temps, pro- 
portionnelles aux trois nombres constants et très-petits «, b,c; mais, 
puis, qu'elles le soient, et pendant un autre temps quelconque, à trois 
autres a', h', c'; ensuite à trois autres a", b", c"; etc. Dans ce cas, tous 
les raisonnements du § f s'appliquent, ainsi que les résultats, à cela près 
que les coefficients d'élasticité contiendront, non plus seulement des 
termes en a, b, c, mais encore d'autres pareils en a', //, c', en a", b'\ 
c", etc. Les formules (i) auront leurs termes en /'Srt, /"rz, tia, nb,..., 
remplacés par des sommes de termes pareils, lesquels contiendront a, 
a', a",..., ou è, b\ //',..., ou c, c\ c", — Nous désignerons ces sommes 

par ^ /'Srt, ^ /"rt, 2 na, ^ nb, — Les relations (4) seront toujours 

vérifiées, et les formules (G) seront encore vraies, sauf à y remplacer, 
comme il vient d'être dit, par une somme, chacun des termes en a, h, c. 

Toutefois, à cause des équations (5), ^ pa, ^ pb, ^pc se réduiront 

à un seul terme, qui représente la valeur actuelle de A, de B ou de C, et 
p sera nul pour tous leurs autres termes. Les formules (a) de la note qui 
termine le § I donneront toujours, entre chaque coefficient l" et les 
coefficients correspondants n et p, la relation très-probable (■7). Les 
formules (j3) seront encore les mêmes, sauf toujours la substitution à 
chaque terme en a, /?, c d'iuie somme de termes pareils. Elles ne ces- 
seront pas de vérifier identiquement les conditions (y) de distribulion 
ellipsoïdale des élasticités. Il y aura toutefois cette différence, que les 
équations (jS), privées des termes en a', b', c', a", b", c",... donnent 
la relation 

, , d — e e — f 

(0 



d' _ e' e' - f ' 

et par conséquent ne laissent pas entièrement indépendants les six 
coefficients d, e, f, d', e', f, tandis que ces mêmes formules (/5), avec 
leurs nouveaux termes en a', b', c', n'\ b'\ c",...^ ne supposent plus 
la condition (s), et donnent, dans toute sa généralilé, la distribulion 
ellipsoïdale des élasticités. 

Enfin les rapports des actions déformatrices A, B, C peuvent arbi- 



24o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

trairement changer d'un instant à l'autre, bien que ces actions restent 
toujours appliquées aux mêmes éléments plans rectangulaires. Ce cas 
n'est qu'une extension du précédent, puisqu'il revient à supposer très- 
grand le nombre des quantités n, a', a",..., b, b' , b",..., c, c', c", 

Les forces élastiques seront toujours données par les formules (6), 
dans lesquelles chaque terme en a, b, c sera remplacé par une somme 
de termes pareils. 

Ainsi les expressions des forces élastiques, dans un milieu isotrope 
inégalement comprimé suivant trois directions rectangulaires, sont 
identiques, pourvu qu'on admette la relation (7), à celles que donne 
la distribution ellipsoïdale des élasticités prise dans toute sa géné- 
ralité. Lorsqu'en particidier les actions déformatrices gardent entre 
elles les mêmes rapports durant tout le temps de la déformation, ces 
formides ne sont plus aussi générales, car leurs coefficients vérifient 
la relation (s). 

Les équations des petits mouvements seront toujours (8), sauf à 

mettre le signe de sommation V devant tous les termes en a, b, c. On 

aura encore t = p si les actions A, B, C sont actuellement nulles, et 
V = X' si la relation (7) est vérifiée. Les formules (9), (10), (i i) et (12) 
seront toujours vraies, à la même condition. En posant 



.Ç = 


= 


or- 


•S 


aS 


am-. 


l^ 


( 


I- 


1 


aa \ 


JC^ 


= x' 


'2 


v 


f 


) 






les relations (i5), (16), (18), (20), (21), (2-2), (24) restent les mêmes; 
(23), (25) et (28) sont vraies aussi, pourvu qu'on mette le signe de 

sommation V devant les termes en q et en p. Mais la formule (26) et 

celle qui donne tangV ne sont plus vraies généralement, car leur dé- 
monstration suppose que 

2"" S*"^ 2"" 

^p" 2]p* ^Ip" 



PURES ET APPLIQUÉES. i^i 

Toutefois, il c^t clair que ces formules serout exactes, avec leurs con- 
séquences, clans les deux cas particuliers a = o, a =z p^ examinés au 
§"Vin. Enfin les équations (3a), (33 , (34) et (35), relatives aux vibrations 

quasi longitudinales, subsisteront, avec le signe V devant leurs termes 

en o, /;, c. Donc tous les résultats concernant la propagation des ondes 
annoncés dans l'introduction de ce Mémoire subsistent, alors même 
que les actions déformatrices A, B, C ne gardent pas les mêmes rap- 
ports durant tout le temps de la déformation. 



l'oiii.i Xlll ( î' sir'tù), — JcM.i/tT i8fiR. 



3i 



242 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

FORMULES DE L'ÉLASTICITÉ DES CORPS AMORPHES 

QUE DES COMPRESSIONS PERMANENTES ET INÉGALES 
ONT RENDUS HÉTÉROTROPES; 

Pak m. de saint -venant. 



Dans un Mômoire publié en i863[*], j'ai étudié les lois de la distri- 
bution, autour de chaque point d'un solide ou d'un milieu quelconque, 
de ses élasticités directes, en appelant ainsi les coefficients qui, multi- 
pliés par les proportions de petites dilatations produites dans les sens 
de diverses droites, donnent les composantes, dans les mêmes sens, 
des tensions ou forces élastiques qui en résultent sur l'unité superfi- 
cielle de petites faces qui leur sont perpendiculaires. J'ai considéré 
particulièrement les corps où ces élasticités se distribuent eUipsoïda- 
lemenl, c'est-à-dire où l'on a un ellipsoïde pour la surface dont les 
rayons vecteurs, menés dans leurs sens respectifs, mesurent les inverses, 
soit des racines carrées, soit des racines quatrièmes de ces mêmes élas- 
ticités. 

El j'ai montré que ce double mode de distribution ellipsoïdale, qui 
se réduit à un seul quand les élasticités en divers sens ont des gran- 
deurs peu inégales, devait avoir lieu généralement dans les solides non 
isotropes mais amorphes ou à cristallisation confuse, tels que les mé- 
taux, etc., dont on peut regarder l'isotropie primitive comme ayant 
été altérée par un rapprochement permanent et inégal de leurs molé- 
cules en divers sens. 



[*] Foir lotne VIII, 2*^ série, p. 257-43o: « Mémoire sur la distributinn des élasti- 
cités autour lie cliaquc point d'un solide ou d'un milieu de conterture queleonque, par- 
ticulièrement lorsqu'il est amorphe sans être isotrope. » 



PURES ET APPLIQUÉES. 243 

J'ai fait ressortir l'importance pratique des formules des pressions 
ou tensions relatives à ce mode, non-seulement pour les recherches 
des physiciens sur la lumière [*], mais aussi pour les calculs des ingé- 
nieurs sur la résistance des solides, car on n'emploie pas de corps 
régulièrement cristallisés dans les constructions et les machines, et tous 
les matériaux qu'on y met en œuvre sont dans le cas d'amorphisme 
dont nous venons déparier; en sorte que quand l'expérience dénote 
l'impossibilité d'y appliquer les fornuiles connues d'isotropie à un seul 
coefficient [voj-ez plus loin), il convient de traiter avec les formules nou- 
velles et très-simples d'hétérotropie les questions qui leur sont relatives. 

Mais c'est par un calcul (V actions s' exerçant entre molécules très- 
proches et fonctions de leurs petites distances mutuelles que j'ai, au 
Mémoire de i 863 cité, montré l'identité des formules de pressions dans 
les corps ])rimifivement isotropes et déformes avec celles de distri- 
bution ellipsoïdale. Or un certain nombre desavants rejettent, depuis 
quelque temps, cette manière de procéder des inventeurs de la Méca- 
nique des corps élastiques, bien qu'elle ne soit que l'application rigou- 
reuse d'une grande loi physique qui est toujours tacilement invoquée, 
même quand on cherche à en éluder l'emploi [**]. Ils partent unique- 



[*] Les recherches récentes sur la théorie de la lumière sont basées comme l'on 
sait, pour les uns, sur la supposition que l'élher, dans l'intérieur des corps transparents 
biréfringents, est un milieu resté homogène, mais dont l'isotropie primitive se trouve 
partout altérée comme par des compressions inégales dans trois sens; et, pour les autres, 
sur la supposition que l'isotropie, ou l'inégalité d'élasticité en divers sens autour de 
chaque point, subsiste partout dans de petites étendues, mais que la densité de l'éther 
varie d'une manière périodique en raison de l'action, quelle qu'elle soit, <pii est exercée 
sur lui par les groupes, aussi périodiquement disposés, des molécules du corps cris- 
tallin où il est contenu. Tout en laissant à l'avenir la décision du choix enire ces deux 
hypothèses, la première semble digne d'attention et d'étude <]uand on considère que le 
verre comprime, où les molécules ne forment que des groupes non périodiques, produit 
la double réfraction comme les corps régulièrement cristallisés, et que, quelle que soit 
la variété des formes et des contextures de ceux-ci, les principaux phénomènes optiques 
semblent ne les ranger qu'en deux classes : cristaux à un axe, cristaux à deux axes. 

[**] ^ "/'z la fin du n° 2 du Mémoire cité, et aussi l'Appendice V de ma nouvelle 
édition annotée (i864) des Leçons de Navicr à l'École des l'onts et Chaussées. 

3i.. 



244 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

ment, pour établir les formules des pressions on forces élastiques clans 
des corps quelconques, de la supposition que leurs six composantes 
{stress)sonl fonctions linéaires des six petites déformations élémentaires 
éprouvées[strain), ou, si l'on veut, des neuf dérivées partielles des dépla- 
cements des points par rapport à leurs coordonnées. M. le professeur 
Boussinesq, docteur es sciences, vient donc de renrlre à la théorie de 
l'élasticité un service réel en donnant, des nouvelles formules, une dé- 
îjionstration simple [* j, se basant uniquement sur une supposition ana- 
logue et très-naturelle, à savoir que leurs coefficients sont eux-mêmes 
fonctions linéaires de trois quantités très-petites, relatives aux trois direc- 
tions principales et orliiogonales des compressions permanentes éprou- 
vées. De cette manière, les formules en question seront, sans aucun 
doute, adoptées par tous les savants, quelle que soit leur opinion sur la 
loi des actions moléculaires; loi qui justifie au reste, quand on l'admet, 
les deux hypothèses de linéarité n'insï mises en œuvre simultanément. 

Je crois utile, eu consét|uence, de reproduire ici sous une autre 
forme cette démonstration nouvelle, en la rédui.sant pour le ras d'un 
corps solide ayant pris un état d'équilibre stable après la cessation 
supposée de l'action des forces quelconques qui ont altéré d'une ma- 
nière permanente son isotropie native; en sorte que je ferai nulles 
(sauf à les rétablir ensuite) les pressions antérieures aux déplacements 
relatifs Tiouveauœ de ses points, déplacements qui seront supposés rester 
désormais dans les limites de la conservation de sou élasticité, ou 
au-dessous de ce qui produirait de nouvelles altérations de contexture. 

On sait que toute déformation d'un corps peut être réduite, en 
chacun de ses points, à trois compressions ou dilatations dites /?/7>?t'i- 
pales, ayant lieu dans des directions perpendiculaire» entre elles [**]. 



[*] Sur les oncles tlans les milieu j: isotropes déformés, au Journal île Mathéma- 
lit/ues pures et applii/uécs (article prcccilanl celui-ci). 

[** ] Ce lliéorènie est <lù à Caucliy. Il l'a obtenu [Exercices de Matliématiques, 1826) 
au moyen tie tléveloppcinenls de Taylor à trois variables, etc. Mais on peut l'établir très- 
simplement, comme j'ai fait par exemple au Bulletin de la Société philomatliiijuc ( 26 no- 
vembre i8()4) ou au numéro du 7 décembre du journal l'Jiistiiut, p. 38g, en consi- 
dérant d'une manière purement élémentaire ce que devient, par la déformation 
éprouvée, un élément spheriquc de rayon très-petit. En effet, comme cette déforma- 



PURES ET APPLIQUÉES. -^^S 

Un corps primitivement isotrope, déformé d'une manière permanente, 
sera donc, en un point quelconque, d'une contexture symétrique par 
rapport à trois plans orthogonaux se coupant en ce point. Prenons 
leiu's intersections mutuelles poiu' axes des x, des j\ des 2. Si nous 
appelons, comme il a été fait au Mémoire de iSô'^î et à plusieurs 
autres, 



(1) c\, 5^, i, et 



e/z > f*J^' 



les trois petites dilatations éprouvées, depuis le nouvel étal stable du 
corps, par trois petites lignes matérielles qui étaient dirigées suivant 
les X, les j^, les z avant les déplacements nouveaux ou élastiques, et 
les trois cosinus des angles très-peu aigus qu'elles font maintenant 
entre elles, cosinus qui mesurent les glissements relatifs de lignes ma- 
térielles très-proches et parallèles deux à rleux aux mêmes axes, il 
résulte de la symétrie de contexture par rapport aux plans j-s, zx, xy 
qu'on aina des expressions de la forme suivante pour les six compo- 
santes /:>j,. , f>yy^..., pj.y ^iQ^ tcusions ou pressions créées à travers 



tion ilu corps est supposée s'opérer avec continuité d'une partie à l'autre, elle change 
les lignes droites matérielles en lignes courbes aussi continues, et qui, par conséquent, 
dans l'étendue de chaque élément très-petit, peuvent être considérées comme des lignes 
droites. 

Or, en admettant cela seulement, on a pour conséquences : 1" que les petites lignes 
primitivement parallèles très-proches sont restées parallèles, car autrement celles qui 
les coupent perpendiculairement deviendraient coiirhi-s d'une courbure sensible; 
1° que ces petites parallèles très-voisines se dilatent ou se contractent toutes également 
et chacune uniformément d'un bout à l'autre, car autrement leurs transversales obliques 
se courberaient sensiblement. 

On pouvait, au reste, regarder «/?Wo/-( comme conséquences de la continuité cette 
conservation du parallélisme et cette uniformité des dilatations. 

Toutes les cordes d'une même petite sphère, parallèles entre elles, s'allongent donc 
dans des proportions égales, et autant d'un coté que de l'autre du plan diamétral, resté 
plan, qui les coupe, et sur lequel elles prennent toutes la même inclinaison. Il en 
résulte <|ue la petite sphère se change en un ellipsoïde. Les trois axes principaux et 
orthogonaux de cette surface donnent les dilatations ou contractions principales dont 
l'existence était à démontrer, et qui suffisent ainsi pour constituer toutes les défor- 
mations possibles de chaque élément. 



246 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

l'unité superficielle de trois petites faces normales aux .r, y, z, la pre- 
mière sous-lettre désignant la face par sa normale, et, la seconde, le 
sens de décomposition : 

l ^^x = a ^x -H f ' ^V -t- e".\ p^^ = d g_^j , 

(a) p^^ = f"3^ 4- b 3^ + d\\ et /J„=eg^-^, 

( /?., = e'?^. 4- d"3^ 4- c ?. />^,^ = f g,^; 

car si l'on donnait à ces expressions un plus grand nombre de termes, 
si, par exemple, on ajoutait à une composante normale ^^.^ des termes 
affectés des glissements g, et, à une composante tangentielle /^j.^, des 
termes affectés des dilatations 3, ces expressions ne seraient plus com- 
posées de même en fonction de 3^, iy,..., gj^yt comme la symétrie 
l'exige, quand on changerait l'un des axes en son prolongement de 
l'autre côté de l'origine. 

Nous désignons par les mêmes lettres, en ne les distinguant que par 
des accents, les coefficients qui doivent être regardés comme égaux 
d'après ce que nous verrons tout à l'heure. 

Or si 



représentent les proportions très-petites des compressions permanentes 
que le corps primitivement isotrope a éprouvées dans les sens x, j, z, 
chacun des coefficients a, b,..., f" aura en £, e', s", d'après l'hypothèse 
dont nous avons parlé, et qui est facile à justifier par la loi des actions 
fonctions continues des distances molécidaires, luie expression linéaire, 
c'est-à-dire de la forme 

a -t- /£ -+- nn' -\~ ne". 

De plus, la première formule (2) p^r = a3^ + f'i>^ -+- e";); doit rester 
la même lorsque les deux axes des j- et des z échangent leurs noms, 
c'est-à-dire lorsque, x, ij. et e ne changeant pas, on permute à la fois 
y et z, iiy. et D^, c et e". En conséquence, f et e" doivent avoir la 
même partie indépendante de s, s', s" et la même partie affectée de £; 
le coefficient de e' dans f doit être être le même que le coefficient de e" 
dans e" et réciproquement. Enfin les coefficients de e', e" doivent être 



PURES ET APPLIQUÉES. 247 

égaux dans a, et ils doivent l'être aussi dans d, qui affecte g^-^ dans py^. 
On peut donc, 

(3) u, ^, c?', Z, m, n, p, 7, r, s 

étant des constantes, poser la première et la quatrième des six lignes 
des formules suivantes (4) pour les coefficients de celles (2). Les quatre 
autres lignes s'en déduisent en faisant permuter circulairement et 
corrélativement x, j et z; i>^, J^ et ^^•, e, s' et s" : 

' li = -A -h U -{- nn' -h me" , ('=:§' ^ n s -hpe'-h qe", e"=zS'-h n € -^- // s' + pi", 
,f"=zS'-hpe-h ne'+ q e", b = et + ms H- /s'H-me", <1' = S' -i- q s-[- ne' -hps", 
je' i=(î'-f-/>£+ 9£'4 n s", d"=i3'-i-q e-hpe'-h n e", c = -jl + mt +mt' + 1 1" , 

Az=S -ir re -\-se.' + si" , 
« = (î -I- J£ -i- ri -h si" , 
{ z^3 -\- SI -\- si' -\- ri" . 



(4) 



Mais si la compression permanente a été la même dans deux des 
sens, ceux des j' et des z par exemple, c'est-à-dire si 



£ = £ 



elle a été nécessairement la même, d'après le théorème de Cauchy 
relatif aux déformations, cité et démontré tout à l'heure, dans tous les 
autres sens perpendiculaires aux x, c'est-à-dire que le petit élément 
sphérique s'est changé en un ellipsoïde de révolution, et que la con- 
texture, après la déformation effectuée, doit être symétrique autour de 
l'axe des x. Il en résulte, comme nous avons eu l'occasion de le mon- 
trer ailleurs [*], et comme on peut s'en assurer facilement de diverses 
manières, dont la plus simple résulte de la considération d'iuie rota- 
tion infiniment petite employée après Green par MM. Kirchhoff, etc., 
ainsi que par M. Boussinesq, qu'on doit avoir non-seulement 

b = c, e = f, e' = f", e"= f, d' = d", 



[* ] Mémoire sur la torsion ; Notes sur Navier; et vingt-deuxième des Leçons ( n" 272 ) 
de Mécanique analytique publiées en 1867 par M. Moigno. 



248 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

conditions remplies ici d'elles-mêmes quand £'= s", mais encore 

(5) b=2d + d'. 

Mettant dans ceite dernière égalité les valeurs (4) de b, d et d' et fai- 
sant £':= s", elle devient 

a -f- //i£ 4- (/ -+- m) s'= 2â -{- 2rB -h liSi' -+- â' -i- f/s + [n + p)t'. 

Comme on doit l'avoir, quelles que soient les grandeurs absolues des 
quantités £, i' , il eu résulte 

a = iù -\-â\ 

m = 2 ;■ -f- q, 

l -^ m = l\s -\- n -^ p. 

Ces trois relations ou équations de condition expriment, non pas 
que le corps est de contexture symétrique autour des jf, mais que 
cette symétrie doit résulter de l'égalité de e' à s". On les trouverait 
évidemment les mêmes en exprimant que la symétrie autour des 7-, 
des z, résulte respectivement de E"=e, de £=:£'; en sorte qu'elles 
doivent exister nécessairement entre les dix constantes (3). 

Or, en substituant les valeurs de a, m, l qu'elles donnent dans 
celles (4) fies trois coefficients a, b, c, et en ajoutant celles-ci deux à 
deux, l'on trouve, entre eux et les neuf autres coefficients, les trois 
relations suivantes, qui sont indé[)endantes, comme on voit, des gran- 
deurs de £, c', e", ainsi que des constantes ô, c?', n, p, q, r, s : 

I h -\- c = l\i\ -\- d' -i- d" , 

( 7 ) j c -f- a = 4 e + e' -t- e", 

! a + b= 4f+f'+ f". 

On a les trois mêmes relations (7), à cela prés de termes négligeables, 
si a, b,..., f", au lieu d'être linéaires en £, t', e", sont supposés des fonc- 
tions quelconques de ces quantités, développables suivant leurs puis- 



PURES ET APPLIQUÉES. 249 

sances entières et les produits de celles-ci [*]. On trouve en effet, en 
opérant de même que tout à l'heure, c'est-à-dire en y faisant à la fois 

£'= e", b = 2d + d', 
puis tirant a, m, /,,.., pour les substituer dans b et c, que 

b + c — 4 d — d' — d" 
se réduit à une expression ayant partout comme facteur 



Or nous regardons les petites contractions s, s', s" comme assez peu 
inégales pour que leurs différences soient d'ordre supérieur en peti- 
tesse, en sorte qu'on peut ne pas tenir compte de ce qui est affecté des 
carrés de ces différences. 

Les relations (7) ont ainsi lieu au delà même de l'hypothèse de 
linéarité. Ce sont donc bien celles qui doivent exister entre les neuf 
coefficients des formules telles que [1) des six composantes de pres- 
sion dans l'intérieur d'un corps qui n'en supportait aucune antérieu- 
rement aux déformations élastiques ;?, g, lorsque son hétérotropie est 
résultée de petites compresions permanentes inégales dans les sens 
des.r, des j, des z, c'est-à-dire lorsque ce corps non-isotrope n'est pas 
cristallisé régulièrement, mais possède une conlexture amorphe ou à 



['] C'est-à-dire si l'on a des développements 

a =^ + U+m[-J + t") + l,i'-\- w, (£'= H- £"') + /; ''«" + n,\ e (s' 4- t") 

-t- /, e' -i- «», (£'^-+- e"=) h- m, E (ô'=-(- £"') + m", e^c' + s") -t- /', ss'e" + /;' e's" (i' + s" ) 
-f- /3 e< -L m,(€" -+- s"' )+m\e {e" + t"') -H m", e= (s'^ + c"') + rn"le' (.' + e") 

+ l'.zH'e" -+- IU'^e"^ + n""'£" ('' + «") + n"^'^" {^" + '"') -^ /. e* + • • ■ , 
d =,5 H- rc -t- 5 (e' H- e") -t- /■, i' + s, (E"-t- i"=) -i- r\ e' ;"+ s\ e{,'+ z") -h r,£^ + . . . , 
d' =5'+ <?£ + /?£' + /-'£"+- 7, £= -t- «I e" + />. s'" -t-'y'.s' s" +">" = +/^^'' -*-'/'=' -+-••■' 
(J"z= ce qui résulte de la permutation réciproque de e', =" dans d', 
1) c =: ce qui résulte des permutations circulaires de £, s , £ dans a, 

f ,, » dans d, 

gi p ;_ , » dans d', 

r/ çn „ I) dans d . 

Tome XIII (2" série). — Juillet i868. ■^^ 



aSo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

cristallisation confuse comme les métaux, les pierres et même les 
bois, etc. 

Tout le monde admet aujourd'hui qu'on doit avoir, en générai, 
entre les mêmes coefficients, les trois égalités 

(8) d'=d", e'=e", f'=f". 

C'est en effet la condition pour que les six composantes de pression 
Pjcxi Pr, ■>■•■, p.vy soieut les dérivées partielles, |)ar rapport aux six 
déformations élémentaires c\, ?,,..., g^^., d'une même fouclion du 
second degré représentant le potentiel moléculaire ou le travail de 
déformation élastique de l'unité de volume de l'élément parallélipipède 
dont les trois côtés adjacents ont été allongés dans les petites propor- 
tions ^j., .^, , ;>j., et ont été inclinés l'un sur l'autre des petites quantités 
angulaires g^.^, g^^,, g^.,., travail qu'il peut restituer par détente en re- 
venant à sa forme primitive. Cette condition est nécessaire pour qu'il 
n'eu puisse jamais restituer davantage [*], ou pour que, conformé- 
ment au principe des forces vives, il y ait impossibilité de créer du 
travail de foutes pièces ou sans consommation de moteur. Il suffit, 
pour cette triple égalité (8), qu'on ait, dans les expressions {l^] des 
coefficients a, b,..., f", 

(9) " = P- 

Les relations {7) se réduisent en conséquence à 

2d- d': ^-^^ 



2 

c -4- a 



(10) 



ae H- t 

■2 

2f+f'=iltii; 

2 

d'où 
a =r ae + e' -i- af -+- f — 2d — d', 
b = 2 f -I- f ' -I- 2 d -h d' — 2e — e', 
c == ad -t- d' -i- 2 e + e' — 2f — f. 



*] royez 1<.' n" '2 du Mémoire cité de l8G3, ou le Compt': rendu des xèanres dt 



PURES ET APPLIQUÉES. aSi 

Ce sont celles (56) de mon Mémoire de r863, exprimant la condition 
du premier mode particulier de distribution des élasticités directes, 
consistant en ce que si l'on porte sur leurs directions diverses, à partir 
d'un même point, des longueurs proportionnelles aux inverses de leurs 
racines carrées, l'ensemble des extrémités forme un ellipsoïde. 

Quand a, b, c diffèrent peu entre eux, ces relations reviennent au 
même, à cela près des carrés supposés négligeables de leurs différences, 
que celles 

i2d + d' = v/bc, 2eH-e'=\/ca, af -l- f = \/ahi 

d'où 

_ (2eH-e')(2f-)-f') , (2f-^f')(2d+d') (2d-l-d')'2e + e') 

a — j ~ 5 D =z ) c = -z — ^, î 
ad -)- d' 2e -f e' 2f + f 

qui portent le n° (5^) au même Mémoire, et d'après lesquelles on a lui 
ellipsoïde pour les surfaces dont les rayons vecteurs sont les inverses 
des racines quatrièmes au lieu des racines carrées des élasticités. 

Enfin, d'après la loi physique des actions et réactions entre points 
matériels, suivant les directions de leurs ligues de jonction, et avec des 
intensités dépendant de leurs distances, loi prise aujourd'hui comme 
base de la Mécanique conformément à l'ensemble des faits, et sans la- 
quelle même rien n'autoriserait à poser pour les forces élastiques des 
formules telles que (2), on doit avoir [*], outre les égalités (8), ces 
trois autres égalités 

(la) d = d', e = e', f = P. 

Bien que celles-ci, admises par les premiers auteurs de la théorie de 
l'élasticité, soient mises en doute par des aufein-s plus récents, toute 
formule où l on attribuerait numériquement à d', e', f des valeurs 



l'Académie des Sciences, i6 décembre 1861, t. LUI, p. iloy, ou la viiiyl- 
deu.xiùme (n" 270) des Leçons de Mécanuiue analytique , publiées en 1867 par 
M. l'abbé Moigno. 

[*] ^'«y^^ 's note [***] du n" 2 du Méiudire cite de i8(")3, ou le n" 283 de la viiiyl- 
deuxièine Leçon citée. 

.32 . 



25-2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

différentes de celles qui seraient adoptées pour d, e, f se trouverait en 
contradiction avec la grande loi qu'on vient d'énoncer, et ne pourrait, 
suivant tout au moins les plus immenses probabilités, qu'induire en 
erreur ou mener à des interprétations illusoires de ce que les expé- 
riences peuvent fournir sur les solides. Introduisons donc ces éga- 
lités (12) dans nos relations (10) ou (11), nous aurons définitivement : 



;i3) 



1° Avec les relations (10) 

/^x.. = 3 (e -I- f - d ) J^. -H f?, + e\, p,, := dg,.„ 

/;,_, = f c\, + 3 ( f + d - e 3, + d ^„ et p,^ = eg^^, 

Pzz = e^\. + d 3^ .+ 3 (d -f- e - f ) i)^, p„ = fg^^. ; 

2'^ Avec les relations (11) 

P^.v = 3 ^ 3^ .+ fiy -h eD^, py, = dg^^, 

Py, = f3^ + 3 j c\ + d3,, et p,^ = egj^, 

de 
/;^, = e3^. + d 3^ + 3 -jT 3^, p^y = tg.,,.. 

Telles sont les formules à adopter pour les pressions, tensions ou forces 
élastiques dans les corps amorphes non-isotropes comme sont les ma- 
tériaux de construction. 

On peut choisir à volonté, selon qu'on le trouve plus commode, la 
forme (i3) ou la forme (i4), car elles reviennent au même, à cela près 
de carrés négligeables, quand les différences deux à deux entre les 
élasticités directes a, b, c en trois sens, ou bien entre les élasticités 
tangentielles d, e, f, sont très-petites par rapport à ces élasticités elles- 
mêmes, ce qui a lieu pour les métaux même laminés, les pierres, le 
verre. Mais, sous la deuxième forme (i4)i elles paraissent, d'après 
quelques expériences (trop peu nonibreiises il est vrai jusqu'ici), pou- 
voir s'étendre à des différences considérables d'élasticité dans le sens 
longitudinal et dans les sens transversaux des pièces, et être ainsi sus- 
ceptibles de s'appliquer aux bois (Mémoire de i8G3, n°29). 

Il est entendu que si les déplacements absolus des points sont petits, 
OM mettra dans ces formules, comme à l'ordinaire, en représentant 



PURES ET APPLIQUÉES. aSi 

par M, v, w leurs projections suivant les a', j, z 

I du dv dw dv dw ^ _, ^ ^ _!_ ^ 

i ;te' ^' "57' rfz "*" ^' ^ àz' dy dx"" 

. ' 5 ) j à la place de 

^\. '\. ^<-' g;-' g" 



( 



i.i> 



Et si l'on veut les rendre applicables à l'éther lumineux de l'inté- 
rieur des corps transparents, où il convient, pour plus de généralité, 
de supposer la possibilité de pressions très-considérables, antérieures 
aux déplacements élastiques m, p, h', il faudra, conformément aux for- 
mules (lo) du Mémoire de i863 (dues à Cauchy et auxquelles Poisson 
a finalement acquiescé), en appelant 



,,0 „0 „0 



PL\ 


1 


du dv dw\ 
Tt" Ify" lil)' 






p^\ 


f 
I — 


du dv di\'\ 
dr^ ~d^-~ Ihj' 


et 


n dn- ,, du 

PL-^+PITz' 


pt. 


(- 


du dv da'\ 
djc dy dz j 




p du p dv 
PïT d^^ P'^ dx^ 



ces pressions primitives, qui ne peuvent, vu la symétrie, être que nor- 
males aux plans jz, zx, xj-, il faudra, dis-je, ajouter respectivement 
aux six formules (i3) ou ( i4) 



(iG) 



ce qui donnera les formules générales embrassées de suite par l'ana- 
lyse de M. Boussinesq. 

Mais, pour les solides, les formules (i3) ou (i4) suffisent sans ces 
additions, ou en ajoutant tout au plus/?^^, p%, p^^ aux trois de gauche 
s'il se rencontrait quelque cas où il fallût tenir compte de pressions an- 
térieures, d'une intensité comparable à celles des pressions mises en 
action par les déplacements m, v, w. 

Quand on fait 

d = e = f , 

on obtient, par (i3) comme par (i4), les formules d'isotropie à un seul 



a54 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

coefficient trouvées de 1821 à 1827 par Navier, Cauchy, Poisson, Uamé 
et Clapeyron. On y a substitué, depuis, ces formules connuesd'isoiropie 
à deux coefficients qui sont en contradiction avec la loi moléculaire, et 
propres à égarer comme on vient de dire; formules introduites 1° en 
Angleterre par l'expédient au moyen duquel Green chercha à concilier 
la théorie de l'élasticité avec l'hypothèse (de Fresne\) deV exacte trans- 
versalité des vibrations lumineuses jusque dans l'intérieur des cristaux, 
hypothèse qui n'a plus aujourd'hui de partisans; 2° en France par les 
tentatives d'interpréter diverses expériences de Wertheim, etc., en sup- 
posant isotropes le laiton et le verresur lesquels elles ont été faites, tandis 
que tout portait à penser, avec M. Regnault, qu'ils ne l'étaient pas exac- 
tement. Nos formules (i3) ou (i4) à trois coefficients, qui supposent 
un léger degré d'hélérotropie toujours infiniment probable, se prêtent 
certainement bien mieux à interpréter les faits quelconques, que les for- 
mides à deujc- coefficients dont nous signalons la fausseté et le danger, 
et auxquelles il y a lieu d'espérer qu'on renoncera bientôt pour toutes 
les applications; bien que je ne me refuse toujours pas à en faire usage 
analytiquement , ainsi que des formules plus générales de Green à 
six paramètres de trop, pour montrer que certains résultats généraux 
ont lieu avec les unes comme avec les antres, et doivent être adoptés 
quelle que soit l'opinion qu'on persiste à se faire sur le point contesté. 



PURES ET APPLIQUÉES. 255 

EXPOSITION, D'APRÈS LES PRINCIPES DE JACOBI, 

De la méthode suivie par M. Delaunay dans sa Théorie 
du Mouvement de la Lune autour de la Terre; 

EXTENSION DE LA MÉTHODE; 

Par ri. F. TISSERAND. 



INTRODUCTION. 

La Mécanique céleste a en vue deux problèmes principaux, la déter- 
mination des n)ouvements des centres de gravité des corps célestes, 
et celle des mouvements des mêmes corps autour de leurs centres 
de gravité. Ces deux problèmes sont d'une égale importance au 
point de vue de l'Astronomie; car les observations des planètes se 
font de la surface de la Terre, et sont relatives à des axes liés au 
mouvement de la Terre sur elle-même; on ne peut donc connaître les 
positions absolues, et, par suite, déterminer exactement les mouve- 
ments des planètes que si l'on a déterminé avec précision le mouve- 
ment de la Terre autour de son centre de gravité. 

C'est pour résoudre le premier problème que fut imaginée la mé- 
thode de la variation des constantes arbitraires, méthode que Poisson 
appliqua heureusement ensuite au second problème. 

Or, il arrive que la méthode de la variation des constantes arbi- 
traires, si importante dans la Mécanique céleste, peut être présentée 
avec une extrême simplicité et une grande élégance, quand on part 
de la théorie d'Hamillon, perfectionnée par Jacobi. C'est donc à cette 
dernière théorie qu'il semble convenable de rattacher l'exposition des 
principes de la Mécanique céleste. 

Le premier des deux problèmes principaux dont je viens de parler 



256 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

présente un cas d'une grande importance : celui de la détermination 
du mouvement des satellites autour de leurs planètes, et en particu- 
lier du mouvement de la Lune autour de la Terre. Ce dernier pro- 
blème offre de grandes difficultés, résultant de la grandeur de la 
fonction perturbatrice, et du peu de convergence des approximations 
successives. Dans ces dernières années, M. Delaunay a fait connaître 
une nouvelle méthode d'intégration, qui présente de grands avan- 
tages sur celles employées jusqu'ici, et qui doit donner lieu aux 
Tables théoriques les plus précises du Mouvement de la Lune. 

C'est cette méthode d'intégration elle-même que je vais exposer 
d'après la méthode de Jacobi ; on verra qu'on peut le faire très-simple- 
ment. 

Je montrerai en outre comment la méthode de M. Delaunay peut 
être généralisée, et appliquée à la détermination d'une partie impor- 
tante des perturbations réciproques de deux planètes, particulièrement 
de Jupiter et de Saturne. 

Tel est le but de ce travail. 



PREMIERE PARTIE. 

§ L — Principes fondamentaux. 

Je commence par rappeler les principes sur lesquels j'aurai à m'ap- 
puyer. 

Théorème L — Les équations d'un problème de dynamique dans 
lequel les liaisons sont indépendantes du temps, et où il existe une 
fonction des forces, peuvetit être ramenées à la forme suivante, dite 
forme canonique : 

dpi (in ilf/t f/fi 

v'^ rf7 dqi^ dt dpi' 

û désigne dans ces équations la différence entre la demi-force vive T 
et la fonction des forces U, de telle sorte que 

iî = T - U. 



PURES ET APPLIQUÉES. 257 

Les variables q sont les variables principales réduites au plus |)etit 

nombre possible; la force vive 2T étant exprimée en fonction de ces 

variables 7, et de leurs dérivées q, = ^', nous posons 

en 

et nous introduisons les variables p, au lieu des dérivées 7', , en sorte 
que la force vive et la fonction O se trouvent exprimées par les va- 
riables p et 7. Quant à l'indice /, il doit recevoir les valeurs i, 2,..., n, 
si n est le nondire des variables q. 

Le deuxième théorème que nous allons rappeler se rapporte à l'in- 
tégration des équations (i), ou même d'équations plus générales. 

Théokème II. — Soit proposé cr intégrer les in équations 
fa) '-^ = — i^ fy- _ ^ 

^ ^ dt ilq' dt dp' 

clans lesquelles f désigne une jonction du temps et des variables p et q, 

Il suffit de trouver une intégrale complète de r équation aux dérivées 
partielles 

^'S ,,[, dS dS dS\ 

c'est-à-dire une solution contenant n constantes arbitraires a,, a,,..., 
a„, distinctes de celle qu'on peut toujours ajouter à S; mojennant 
quoi les intégrales des équations (2) seront 

j ^ _ ^S _ dS 

^M /^j,. •., p,, désignant n nouvelles constantes arbitraires. 

Ces équations (3) donneront, comme on voit, les 2/i variables p et q 
en fonction du temps et des m constantes arbitraires a, a 

/3„...,/3„. ■ ■' ■"' 

Tome XIII (-j» série).- AoiT 18G8. 33 



2 58 JOURNAL DE MATHKMATIQUES 

f-es tliéorèmcs suivants se rapportent à la variation dos constantes 
arliitraires. 

Supposons que dans les écpiations (2) on reuiplace la fotiction J 
par y — Y, V étant une fonction i\n temps et des variables p et r/, ce 
cpii, dans les problèmes de dynamique, reviendra à ajouter à la fonc- 
tion des forces U une fonction V i\i\e Jonction perturbatrice. On 
pourra supposer que les variables p et q restent les mêmes fonctions 
(lu temps et des quantités u, [i, qui sont déterminées par les équa- 
tions (3) ; mais alors les arbitraires « et /3 seront des variables dont !e 
théorème suivant fera connaître les dérivées. 

Théorème III. — Soient a,, a^,..., a,,, |3,, ^2,..., fi„ les arbitraires 
introduites par l'intégration ries équations (i) ; pour intégrer les équa- 
tions quon déduit des équations (r) en remplaçant f par J — V, on 
prendia pour nouvelles variables les arbitraires a et jS, et leurs déri- 
i'ées seront données par les in <'ijuiitions 

dc^ _ rty_ <l^., _ _ <n_ 

^^' lie ~~ rtp,' 7/<" ~~ dci' 

dans lesquelles V est exprimée en jonction du temps et des noui'elles 
variables a et ^. 

On voit donc que, quand on suit la métliode d'intégration de 
Jacobi, la théorie de la variation des arbitraires est d'inie simplicité 
remarquable; les équations ont encore \a forme canonique; aussi 
donnc-t-on aux arbitraires a el /3 le nom tVarbitraires canoniques. 

Il existe une infinité de systèmes d'arbitraires canoniques; lors- 
qu'un tel système est connu, on peut en obtenir une infinilé d'autres 
au moyen du théorème suivant dû à Jacobi. 

TniioRiÎME IV — Soient a, [i> un sjstème d'arfiitraires C(inoni<ptes, 
et ^ une fonction arbitraire des arbitraires a et de n nouvelles va- 
riables «' ; /ef 2« équations 

(■-') ;7^-^^'' 77, -i^' 

ilétermineiout un nouveau système c/.',fj' qui sera également cano/iique. 



PURES ET APPLIQUÉES. 239 

§ 11. — Des équations d'où dépend le mouvement de la Lune autnui 
de la Terre. — Mouvement elliptique. 

Soient ox, oj, oz trois axes rectangulaires passant par le centre rie 
la Terre, x,j, z les coordonnées du centre de la Lune, a', y', z' celles 
dn centre du Soleil, m, m', M les masses de la Lune, du .Soleil et de 
la Terre, R ia fonction 

(6) R == m' \~ ' _ ■^■'^' +■>->' + ^n 

L\/(x' — x)'-i-(r'-,r)'-f-(z'-3)' r" y 

les équations du mouvement de la Lune seront 

ij. y désigne la somme M -t- ?n. 

Si l'on supprime les seconds membres, on a les équations du mou- 
vement elliptique 



/s- 




(«) 



Nous allons nous occuper d'abord de l'intégration de ces équations, 
en suivant la méthode de Jacobi. 

Nous prendrons des coordonnées polaires /, ,^ et 9, le rayon vec- 
teur, la longitude et la latitude géocentriques du centre de la Lune; 
on aura donc, pour lier les deux systèmes de coordonnées, les équa- 
tions 

a- = rcosycosif, j = rcosy siinj/, 2 = /-sinç». 

On suppose que le plan des jcj est le plan de I ecliptique, et que ox 
est la ligne des équinoxes. 

33.. 



26o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

On trouve aisément que la demi-force vive exprimée avec les nou- 
velles variables est 

les variables p seront donc respectivement, d'après le théorème I 
du § I, 

dr o do „ ., ^il 

— ) r -r'> I cos-ffl -— > 

dt dt ' dt 

et on voit que l'équation aux dérivées partielles d'où dépend le pro- 
blème sera, d'après le même paragraphe. 

Il s'agit de trouver une solution de cette équation renfermant trois 
constantes arbitraires C, G et H. 

Or, l'équation (7) ne contenant explicitement ni le temps t, ni la 
longitude <]^, on peut poser 

S = — C^ -4- H<j; + S,, 

S, étant une simple fonction de /• et 153, et la question sera ramenée à 
la recherche d'une solution de l'équation 

I r/rfs,y i/f^V H' 1 _ F 

1-\_\dr ) r- \ dtf j r'cos'yj r 

contenant une seule arbitraire nouvelle; or on peut séparer l'équa- 
tion précédente en deux autres, en posant 





2 H^ 

( _l 

COS'<p 


= 


G' 


1 


dr) 


lu. 

= -!- -1- 2 
/■ 


c 


— 


G 



G étant une constante; et l'on satisfait à ces équations en posant 



PURES ET APPLIQUÉES, 
on ;i, en conséquence, 

(8) 8= - et + H| ^f^G^ - -i;- ^y + /y^i^ + ,C -I 



201 



r//-. 



Telle est la solution complète de l'équation (7) que nous voulions 
obtenir; elle contient les trois constantes arbitraires C, G, H. 

Les intégrales du problème seront d'après le § I, en désignant par 
c, g, //trois nouvelles arbitraires, 



dS dS , r/S 



ou bien 



/ + c 




dr 



(9) 



g = f' 




G 






h = <\i — 



H r — '^^^—^ 



ll-^'.C-^ 



Il importe de recbercher la signification géométrique de nos six 
constantes C, G, H, c, g, h. 



11 est clair qu'en égalant à zéro le radical v/ — 



+ 2C rî on aui 



■a 



les rayons vecteurs maxima et minima de l'orbite. Soient ces deux 
rayons fl (i — e) et rt (i 4- e) : ce seront les deux racines de l'équation 

2C/' + 2p.7' — G^ = o; 



^ = «^(,-.^); 



on aura donc 

d'où, en désignant par p le demi-paramètre, 
C = 



la 



G — v'ftrt (i — e^ 



\'P-P 



262 



JOUKNAL DE MATHÉMATIQUES 



De inénie, en égalant à zéio le radical V/G^ --) on aura l.i plus 

grande valeur de la latitude © : c'est évidemment l'inclinaison / de 
1 orbite. On a donc 



H =:: G cos/ ou H 



V [J.p cos I 



Avant de chercher la signification géométrique des trois autres con- 
stantes, il convient de fixer les limites inférieures des intégrales qui 
entrent dans l'expression (8) de S. Nous ferons commencer l'intégrale 
lelative à 9 à partir de y = o, et celle relative à /• à partir du périgée, 
c'est-à-dire à partir de / == rz (i — e). 

Comme l'élément différentiel t/— -t-aC dr s'annule pour 

... . T' 1 1 ' • ' ^'S (/S , , 

cette limite intérieure, les dérivées -— et , - ne seront lias changées, 

bien que la limite inférieure soit une fonction de C et G; nous aurons 
donc pour les intégrales 



t -h c = 



/ v/- 



dr 



(9 ^'■y) 



\g^G 



r — '-1 — -G r — -= 
/^^+-H r — ;t=p 

/ cos'çi/G' 

. ' o y cos' 



dr 



zr.+:,C-'-^ 



Si dans la première de ces formules on fait la limite supérieure r 
égale à a (i — e), on a 

c = — T, 

T désignant lu temps du passage au périgée. 

Si dans la troisième on fait =0, ce qui répond au nœud, on a 

Donc h et.l la longitude dn n(«ud. 



PURES ET APPLIQUÉES. 2(0 

Enfin si, clans la seconde des mêmes formules, on sn|)pose que les 
limites snpérieures répondent an périgée, an nnia, en désignant sa 
latitude par (p,, 



g=--G 



/?' d,f _ rV' roS(p^/(p 



Si l'on lait sin'p = sini sin/^, y^ sera, comme on le voit aisément, 
l'argument de la latitude, ei l'on aura 

Donc g- est l'argument de la latitude du périgée. 

Soit donc xj le plan fixe, NFI l'orhite de la Lune, N le nœud 
ascendant de l'otbite, Il son périgée; on aura les valeurs des six 
coiislantes p u' les formides suivantes : 

G = — £^, G =r sip-p, H ^ si{J.p cosi; 
c = - r, g = N n, h r.= .tN. 

§ IIL — Equations du mouvement tioublà. 

Si dans les équations (a) du paragraphe précédent on rétablit les 
seconds membres, on a les équations (a) du mouvement troublé. La 
fonction R, qui dépendait de x,^, z, x\ y', z', va devenir une fonc- 
tion connue de x', j', z', c'est-à-diro du temps t et des constantes 
G, G, H, c, g, h; car jc-, j, z dépendent de /•, J^ et 9, et ces dernières 
quantités sont, par les équations (9 bis), des fonctions connues du 
temps et des six constantes. 

Gessix arbitraires seront alors de nouvelles variables, et la lliéorie 
de Jacobi nous apprend que les dérivées de ces variables seront données 
par les équations 



» 



dC dR 


de _ 


f/R 


dt "~ de ' 


In ~ 


rfC' 


r/G dK 


''S _ 


d?x 


dl ^ dg ' 


de ~ 


dQ' 


d\\ dK 


dit 


dK 


dt ~~ dli ' 


Tt ~ 


</H' 



264 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Avant d'aller plus loin, faisons une ap)3lication de ces formules, en 
supposant que la fonction perturbatrice R soit une fonction du rayon 
vecteur r seulement, F(/-). La première des équations {g bis) montre 
que /• ne dépend que du temps t et des constantes c, C et G; il en 
est donc de même aussi de R, et par suite on a 

f/R dK clR 

les équations (lo) donneront donc 

G = const., H = const,, h = coust. 

Donc une telle fonction perliu'batrice laisse invariables la longitude 
du nœud, l'inclinaison de l'orbite, ce qui était évident, mais en outre le 
paramètre de l'orbite. Le grand axe el l'excentricité varient de façon que 
\/n[\ — e^) reste constant (au moins dans la première approximation). 

Cette application [jrésente un certain intérêt historique. Quand on 
commença à appliquer l'analyse à la recherche des inégalités de la 
Lune, le mouvement du périgée calculé fut notablement différent du 
mouvement observé; cela conduisit Clairaut à supposer que l'attrac- 
tion de la Terre sur la Lune se composait de deux parties : l'une, de 
beaucoup la plus forte, inversement proportionnelle au carré de la 
distance; l'autre, beaucoup plus faible, inversement proportionnelle 
au cube de la distance. La fonction perturbatrice était donc de la 

forme — ; elle rentre dans le cas que l'on vient d'examiner. On voit 

que l'addition de ce terme avait pour effet de modifier le grand axe, 
l'excentricité, le périgée et la longitude moyenne de la Lune; mais elle 
laissait le paramètre de l'orbite invariable. 

Revenons à la question qui nous occupe. 

Les équatirns (lo) présentent lui grave inconvénient. On sait que, 
dans le mouvement elliptique, les coordonnées x, j., z sont des fonc- 
tions périodiques de n{t-{-c), «étant le moyen mouvement de l.i Lune; 
un forme f[uelconqiic de la fonction ]ierturbatrice sera donc de la forme 

A cos[/,'/j {t + c) + yJ, 



PURES ET APPLIQUÉES. 265 

k étant un nombre entier, q une constante et A une fonction de 
C, G, H. Quant à la quantité n, elle est donnée par l'équation 

?rn' = y., d'où ?i = y ?.' 
Or, on a 



'' = ^- 



don 



c 



"=v/^- 



n est donc une fonction de C, et on voit que quand on voudra appli- 
quer les formules (lo), en formant la dérivée partielle — ? le temps sor- 
tira des signes sin et cos, ce qui empêcherait les formules de s'appli- 
quer indéfiniment et s'opposerait à la construction des Tables. 

On évitera cet inconvénient en prenant au lieu de c la variable / 
définie par l'équation 

on voit que / est l'anomalie moyenne. On aura, en désignant par \-7f) 
la dérivée partielle prise sans faire varier C dans n [i + c), 



par suite, 



On a du reste, d'après la formule (b), 

dl de , , dn dC 

— = n -\- H — -h [t -h c) -7-; -7-) 
dt dt *■ ' dC dt 

, dC dK dK 

ou, en remplaçant— par — ? ou — n, 

dl de , .d\k dn 

— = n + n— -^ nit + c) —- -—; 

dl de ' ' d/ dC 

Tome XIII {i' série). — Aoii i8fiS. 34' 



dK 

dC ~ 


\dC) 


f/R , , dn 


de 

Ht ^ ' 


ldK\ 

~ \7c} 


<-/R , , dn 



266 JOURNAL DE MATHEMATIQUES 

ou bien, en remettant pour -7- la valeur trouvée précédemment, il 



vient 



7t = "'- "[jc) 



dans cette expression de y le temps ne sortira plus des signes sin ou 
COS. Les deux équations 



dC _ (/R de _ r/R 

dt lie ' dt dC 

se trouvent donc remplacées p;i!' les deux suivantes 

, , dC ^/R dt IdKX 

^ ' dt dl dt \dCJ 

Nos six éléments sont donc actuellement 

G, G, H, /, g, h. 

Mais les deux équations (i i) n'ont plus la forme canonique; nous les 
y ramènerons en posant 

dC 



11 



r/L, 



L étant une nouvelle variable. On peut écrire cette équation 
f/L = \l}x — -=, d'où L = s^.a, 

et les deux équations (i i) deviennent 

, ,. , ^/L dK dl ilK 
h 1 Ois) -- = -—, — — ?i —: 

^ ' dt dl dt dh 

la dérivée partielle — r- doit être prise sans faire varier 1> uu a sous les 
' «L ' 

signes sin et cos; mais c'est une chose déjà eiilcnduc, puis(]ue partout 

on a remplacé n {t -+■ c) par /. 



PURES ET APPLIQUÉES. 267 

Si Ton pose enfin 

K = R' 4- C, 
on aura 

r/R' _ f/R ^C _ r/R 

on aura, en outre, 

rffi' _ </R 

et les deux équations (i 1 his) deviendront 

d\. _ d^ dl _ dK' 

~dî ~ 'Hf TFt ~ ~ TFl' 

En résumé, les formules (10) peuvent être remplacées par les sui- 
vantes : 

I dL _ f/R d( _ ,IK 

l rfT ~ 1/7 ' 7t ~ ~ dï/ 

, ^ ] dG dÇi de dK 

^ dt dg di <lG 

I r/H _ r/R dh _ r/R 

\ itc dh ' dt f/H " 



la fonction R est égale à l'ancienne diminuée de C, ou bien augmentée 
de — ■• Toute la question consiste aciuellement dans l'intégration des 
équations (12). 



§ IV. — Forme du développement f/e R. — Aperçu snmmaiie 
de In méthode de M. Delainiay. 

Le développement ordinaire de la foiiclion pertm-halrice, celui qui 
est donné dans la Mécnnicpie céleste, se compose de termes lels que 

A ces 5, 
où 5 est de la (orme 

// ■+- i'I' -^ jz5 +/c!' + kd + k'6', 

'-, i'^.hj\ k, li' étant des nombres entiers, / la longitude moyenne de 

34.. 



268 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

la Lune, /' celle du Soleil; sr et 9 sont les longitudes du périgée et du 
nœud de l'orbite de la Lune, sr' et 5' les quantités analogues pour l'oi- 
hite apparente du Soleil autour de la Terre. 
Dans !a théorie actuelle, on devra remplacer 

/ par h + g -\- l, 7S par // -+- g, 5 [lar /; ; 

un considérera, du reste, les éléments du Soleil comme des constantes, 
de telle sorte que si n' désigne le moyen mouvement du Soleil, 5 sera 

de la forme 

9 = il -h i' g -+- i"h -t- i" n't -f- y, 

q étant une constante. 

A, dans la théorie ordinaire, est une fonction de n, e et /; ou fera ici 



y = sui -1 (1 ou SUli r= 2'y\ 1 — y, cos/ = I — -l'f- 

On gardera les éléments a, e et y dans A, afin de pouvoir juger plus 
facilement de l'ordre du terme considéré; mais on devra se rappeler 
que ces éléments sont liés à L, G, H par les relations suivantes 



L 

a = — 1 



\/'-D' V = \/^-iJr- 



Aletlons sous les yeux, poiu- plus de clarté, la partie constante de la 
fonction perturbatrice et un de ses termes périodiques : 

" , "' / ' 3 o 3 , 3 ,., 3 . 

•>. « ri ' \J\ ->. ' 8 8 2 ' 



q j •> q ,■> /■> , q - ,o , M "' \ 



, (r î'i 3 _ i5 „ i5 ,, 3 , 
m —(j — -'f — -77-e- s- f ■ + 7 V 



4 ' 4 t)4 it> 10 « V 

X COS ( 9.1 -^ -2 g + 2 A — il' -h q). 

On a poussé le calcul jusqu'aux termes du ([uatrième ordre, en re- 
gardant -7 comme une quantité du second ordre; la constante fj a pour 



PURES ET APPLIQUÉES. 269 

valeur 

q = 2^'' -+- 2//. 

Om ne voit pas tigurer clans les coefficients la quantité'/ relative au 
Soleil, ce qui tient à ce qu'on a pris pour plan fixe des xj le plan de 
l'écliptiquedont on néglige les variations. 

Donnons en peu tie mots le principe de la méthode de M. Delaunay. 

On réduit la fonction perturbatrice à son terme constant et à un (!♦• 
ses termes périodiques; il arrive que les équations (12) peuvent s'in- 
tégrer rigourensement, ce qui supprime les appioximalions succes- 
sives relativement aux termes considérés. On peut se demander alors 
s'il ne serait pas possible de tirer parti de cette circonstance, et de ra- 
mener le problème à un autre du même genre, dans lequel la fonction 
perturbatrice contiendrait un terme de moins. 

Ayant effectué les intégrations du cas précédent, on regarde les ar- 
bitraires de celte intégration conune de nouvelles variables, et il arrive 
que ces nouvelles variables dépendent d'équations de même forme 
que les précédentes; seulement, la fonction perturbatrice ne contient 
plus le terme périodique qu'on avait considéré. On conçoit donc la 
possibilité d'enlever de la fonction perturbatrice les termes les plus 
importants, après quoi on calculera l'effet des autres termes par la 
méthode ordinaire. 

Considérons donc spécialement un terme périodique de la fonction 
perturbatrice, et sa partie non périodique, et posons 

R = — 15 — Acos(/Y-f- /'g- + i"h -t- i'" n' t -+■ .7) -+- R, : 

nous allons négliger R, et intégrer les équations (12) dans cette hypo- 
thèse. 

§ V. — fntégraiion des équations (12) en négligeant R,. 

On a donc 

R r= - R — XcosO, 

en posant, potn- abréger, 

— ,1 -h i'g + i"h + i"'n't + 7 ; 
R et A sont des fonctions connues de 1-, O, H. 



270 JOLRNAJ. DE MATHÉMATIQUES 

D'a|jrés le théorème II du § I, l'intégralioii des équalions (12) dé- 
[)eiid de la recherche d'une solution complète de l'équation aux dé- 
rivées partielles 

c'est-à-dire d'une solution avec trois constantes arbitraires. 

Pour nous débarrasser du temps, désignons par C une constante 
arbitraire, par S, une simple fonction de L, G, H, et posons 

lA) .S=(:^ - -«'/E— ^L + S,. 

L'équation (i3) deviendra 

, '■'" , r ,, . / . dS, . dS, .„ <-/S 



ou, en faisant 



B, = B+ -«'L, 



,..,., . dS, ., dS, .„ dS. c — B, 

^,ib,s) ,_+,_+, _ = arccos-^-:, 

le second membre de cette équation est une fonction de E, G, H et de 
la constante C, et nous avons à trouver une solution de celte équation 
avec deux constantes aibilraircs. 

A la |)lacedes varia])les (i et H, introduisons les nouvelles variables 
(G) et (H) définies par les équations 

(i5) G=.^E + (G), H^Çe + (H). 

S, deviendra une fbnclion de E, (G), (H), ainsi que le second membre 
de l'équation (i3 bis); on voit immédiatement que le iiremier membre 

de cette écpialion scia ' (-77-)' l^s |)arenthèses devant éviter de con- 
fondre la dérivée de S,, prise par rapport à E dans l'hypothèse actuelle, 



PURES ET APPLIQUEES. 271 

avec l'ancienne Hérivée —r^; l'équation (i3 bis) sera donc 

(i/i) M -rr = a''C ces 



flh I A 



elle ne contient pas les dérivées paitielles de S, relatives aux varial)les 
(G) et (H); on aura donc 



S, == I arc cos -^. — '- - — \- luie fonction arbitraire de (()) et (H); 
J ^ ' 

nous ferons, en désignant par (g) et (h) deux nouvelles constantes 
arbitraires, 

S, = Jarccos "^ ^ + (g) (G) + {h) (H). 

L'intégrale qui figure dans l'expression précédente de S, est une 
fonction de L, (G), (H) et de la constante G. Désignons-la par 

K[L,(G),(H),C1, 
de telle sorte que 

R[L,(G),(H),Cj=Jarccos^'-^; 
on aura alors, en se reportant à l'équation (i4), 

S = G/ - y n'/ L - ^ L -+- K [L, (G), (H), G] + (g) (G' + {/r, (H),' 

ou bien, en revenant aux anciennes variables (G) et (H), par les for- 
mules (i5), 

;'" o r ;■' /" 

l s = G< - y '/^ L - j L + K L, G — - L, H - - L, G 

! +(&)(r^-7M-^^^')(fi-Çi>)- 

Telle est la solution complète de l'équation (iSjque nous clier- 
cliions : elle contient les trois constantes ai-bitraires G, (g) et [h). 
D'après le théorème II du § 1, les intégrales des équations (12) 



372 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

seront données par les formules suivantes : 

I dS dS . dS 

l — = — C, -rr- = coust., — — - =^ const., 

\ dC ' d{g) d{h) 

) ./S _ , dS _ ^ — / 

' dL~ ' dCr— &' dtt ~ ' 

c désignant une nouvelle constante. 

La deuxième et la troisième de ces formules montrent que (G) et (H) 
sont des constantes. Nous continuerons à les désigner par les mêmes 
lettres ; la première donne, en ayant égard à la valeur (16) de S, , 

, , dK 

-(^ + ^) = 77c^ 
la dernière et l'avant-dernière donnent 

On suppose dans ces formules la fonction R exprimée à l'aide de L et 
des trois constantes (G), (H), C. 

Enfin la quatrième des équations (17) revient, comme on s'en assure 
aisément, à 

il + l' g -h i h -h i' n t -\- cj = 6 = i — • 

Les intégrâtes des équations (12) seront donc 

G = -L4-(G), H = -L+(H), 



dC » ~ '^O'' ' rf(G) ~ ^ ' ' d{H)' 

11' 



= il -^ i'g + i"/i + ï"n't + (j =i 



elles contiennent les six constantes arbitraires C, (G), (H), f, (g), (/?); 
il faut se rapjieler que la fonction R est définie par la formule 



-/ 



R = / arc cos 



C — B, r/L 



PURES ET APPLIQUÉES. ■>.-]?, 

et il esl [\ peine nécessaire d'ajouter que, dans réléiiifnt différentiel, 
G et II doivent être remplacés pai- leurs valeurs liiées des deux 
premières formules (i8). 

fies formules (s 8) déterminent donc nos six variables L, G, H, /, 
g, h en fonction du temps et des six constantes G, (G), (H), c, (g), 
[h); la troisième formule donne L, après quoi la première et la se- 
conde donnent G et H; la quatrième et la cinquième donnent g et h; 
enfin la dernière donne /. 

§ VI. — P'arinlion des arbiti aires introduiles pairiiifégratioii 

précédente. 

Revenons aux équations (12) et rétablissons-v R,. Posons donc 

R = — R — Acos5 4-R,. 

Les expressions de L, G, H, /, g, h seront encore celles qui sont 
données par les formules (18); seulement les arbitraires seront de nou- 
velles variables. Comme nous avons intégré en suivant la niéthode de 
Jacobi, nous pourrons, en appliquant le théorème III du § I, former 
très-aisément les équations d'où dépendent les dérivées des nouvelles 
variables. 

Remarquons, à cet effet, que les quantités désignées par a dans le 
théorème cité sont ici 

C, (g), [h); 

les quantités désignées par /3 sont 

-'-, (G), (Hy; 

enfin, la fonction V doit être remplacée par — R,. Nous aurons donc 
ces équations 



(19; 



/ dÇ. _ dR, 


de dR, 


dl ~ de ' 


dl ~ dC ' 


1 d(Q) _ dR, 


<l[ii] dR, 


\ 'it ~"'^(^)' 


dt f/(G) 


1 f/(H) _ dR, 


d h) dR, 


\ dl ^ d[h)' 


dt rf(H) 


Tunu: XIII (2' schie). — AoiT iSfiS. 





35 



274 JOURNAL DE MATHÉxMATlQLES 

La fonction R,, qui dépendait primitivement de L, G, H, /, g, /i, est 
supposée maintenant exprimée en fonction du temps t, et des six 
constantes C, (G), (H), c, (g), [h) d'après les formules (i8). 

On voit donc que les nouvelles variables dépendent d'équations (19) 
toutes pareilles aux équations (i2j; seulement R y est remplacé 
par R,. On a enlevé de la fonction perturbatrice la partie — R — AcosS. 

Avant d'aller plus loin, il convient d'examiner sous quelle forme 
se présentera la fonction R,, comme nous l'avons fait à l'égard de R 
au § IV, et pour cela il faut commencer par examiner les expressions 
de I^, G, H, /, g, // fournies p.ir les équations (18). 

Reprenons la formule 

qui devient, en remplaçant K par sa valeur, 



•/. 



(IL 
i 



A»— (C — B,)^ 



(20J / + C 

d'où 

(21) l'^^vÂ^^lCrr-BÔ^. 

Comme on a L =• \/xrt, et que n varie entre certaines limites, il en 
est de même de L : cette quantité oscille entre deux limites, et chaque 
fois qu'elle atteint une de ces limites, on a ^ = o. Soient donc Al' et -11" 
les deux limites de L : la |)remière limite sera donnée par l'équa- 
tion C — R, = -f- A, et la seconde par l'équation C — B, = — A. 

Convenons que la limite inférieure de l'intégrale R soit j^; cette 
limite sera une certaine fonction de C, (G), (H), et il n'y aura pas à 
craindre que cela change les dérivées partielles 

r/K <IK 'IK 



dC d{Q] d{n) 

car l'élément différentiel de R s'annule pour <^. 

Cela posé, la fornude (5.0) moii're que poiu- L = .>^ on a 

t -^ c = O', 



PURES i:t appliquées. '^75 

en outre, si l'on pose 






''" (IL 



'A'-(C-B,)= 
on nura, pour L = .•^", 

Quand L a alleinl la valeur ^", il revient vers/^'; dL est négative, 
le signe du radical \ A^ — (C — B,j'- change : pour E = J^', on aura 

t + C = —-; 

pour L = J^', on aura 

/ + c = -7- ■ 



Donc E est une fonction périodique de t + c, et la période est ^1 

ou bien E est une fonction périodique de ^a[t-\-c), et la période 
est 2-. On sait qu'une pareille fonction est développable en une série 
de sinus et cosinus des multiples de l'angle 5o[t + c). Du reste, on 
voit aisément qu'à des valeurs de E, équidislantes de 4^", répondent 
des valeurs de t -{- c de la forme 



a et -^ + a, 



ou bien des valeurs de 5„ (^ -f- c) de la forme 

n — [i et 7T -+- /3 . 

Lors donc que ()a[t + c) prend deux semblables valeurs, L doit 
rester le même, ce qui exige que L ne contienne que des cosinus; 
ainsi, son expression est de la forme 

E = Lo + L, cos5o(< + c) + LiCOi'?.Bo{t -i-c) +.... 

35.. 



276 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Los df-iix premières forumles (18) montrent que l'on aura 

G = Go -I- G, cosôo (< -t- c) 4- Go cos25„ [t -h c) -^ . 
H = H„ -1- H, cos6„ it -+- c) ■+■ H.. cos25o(< + c) -{-. 

avec les relations 

Go=yL„+(G), G, = yL,, G, = yL,; 
H„ = -L„+(H), II, = -L., H, = Çl,. 



On a ainsi les développements de L, G, II, dans lesquels 5„, L, 
L,,..., ex[)riment des fonctions de C, (G), (H). 
De même, on a 

ou bien, en remplaçant r/L par sa valeur tirée de la formule (2!), 

Or l'élément diiférentiel est une simple fonction de L, par conséquent 
développabie en série de cosinus des multiples de l'angle Oo[t -h c); 
en intégrant, on en tirera 

g = (g) + Sof^ + c) + ^>, sin5„(^ + 6') +i', sin25„(< + c) +.... 

On n'a pas de constante à ajouter, car, pour L = ^', on a < 4- c = o 
et g- = (g), d'après la manière dont on a fixé la limite inférieure de 
l'nlégrale K. 

On aura de même 

k = {h) -i- ha{t -^ c) -h h, sin5o(i + c) -+- lusmiOoit + c) +.... 

Quant à la variable &, l'équation 

fl C-B, 

Q = arc cos — : — 



PURES ET APPLIQUÉES. 277 

donne 

d^ _ . /V/B, C — B. ^/A\ _ 

Tir ~ ' iTZr "^ A <n.) ' 

on aura donc de même 

5 = a(< + f) + 5, sin^o (< + t-) + Ô, sin aô» (^ + c) +..., 

a, Ô,, 9,,..., désignant de certaines fonctions de C, (G), (H). 
Or pour L = 4^', on a 

C — B, = H- A, cos5 = + I , ? -f- c = o ; 

et pour L = J^', 

G — B, = — A, cos5 = — I, t-hc — j- 

L'angle Q, de sa nature, augmentant sans cesse, ou voit que pour 
i + c := o, on a 

e:=o, 

et pour / 4- c = -7-5 

5 = 7T, 

ce qui sufïit pour uioutror que dans la l'ormule précédente a est égai 
à 6*0, et qu'il n'y a pas de constante à ajouter à 6. 

Si l'on reporte les valeurs précédentes dans l'équation 

// + i'g + i"h -h i"'n't -+■ (j =0, 
on aura pour / une expression telle que 

l—i^l) + lg[t-hc) + /, sin9„(/ +c)+ /osin 2^0 (' + t') +•••,■ 
avec les relations 

/(/) -+■ i' (g) + i"[h) — i" n'c -^ q — o, 
l'L + i'go -+- i"ho + '""«' = 5o> 



278 JOURNAL DE MATHÉiVIATIQUES 

On peut comprendre les résultats qui précèdent dans le tableau 



suivant 



(22) 



L = Lo + I., cos5o(/ + c) + ..., 

G = Go -l-G, cos9o(< + c) -+-..., 

H = H„ + H,cos5o(ï + c) -h..., 

/ = (/j + /„ i^t-i- c) -h l, sin5o(^ + c) +..., 

ë = (g) ^ &o (^ + c) -h ^, sw9o (f + c) + ..., 

h ~{^h) -h ho{t-h c)-h h,s\nôo{t-h c) -h..., 

S =6o{t -j-c) + 0,sind„{t -h c) -{-..., 

Go=--Lo+(G), G, = — L|,..., 

H„=ÇLo + (Hj, h, = Çl,,..., 
'" (0 + *■' (g) + i" [h) - i'n'c + 9 = 0, 



ih 



60 



,-";^„ +/•■■«' = 9„, 



les coefficients 60,..., goi--, /'o, •■■? 4v> G„,..., Ho,..., Lu,... sont des 
fonctions des arbitraires G, (G) et (H). 

§ VIL — Nouveau changement d arbitraires. 

On aura à substituer les valeurs précédentes de L, G, H, Z, g, h dans 
la fonction R,. Les cosinus tels que cos {il -h i' g' -\- i"k -^ i"'n't -^ (j) 
seront développés en série par la formule de Taylor, et on voit ainsi 
que l'un quelconque des termes de R, sera de la forme 

Acos !/[(/) + IJt + c)] + i'[{g) + goC + c)] 

-h i"\{h) -h ho{t -h c)]-h i"'n'{t -h c] -h (f\. 



Mais, quand on voudra appliquer les formules (19), comme Z^, ^'0, 



PURES ET APPLIQUÉES. 279 

ho sont des fonctions de C, (G), (H), on voit qne les dérivées partielles 



rfR, rfR, f/R, 



dC d[Q)' r/(H) 

feront sortir le temps des signes sin et cos, ce qui est un grave incon- 
vénient. Nous l'éviterons en substituant aux arbitraires C, (G), H), 
6% (g), (//) de nouvelles quantités convenablement choisies. Nous 
choisirons ces arbitraires de façon que le temps ne sorte plus des 
signes sin et cos, et que les équations aient encore la forme ca)io- 
nique. Avant d'aller plus loin, faisons subir aux équations (19) une 
légère transformation, en remplaçant la quantité c par la variable r, 
telle que l'on ait 

on aura 

r/R, 

'-TTC- 



on a, du leste, 



les équations (19) seront donc 



■1- 


de 

Ht 


— 


dz 

~dc 


) OU 


bien 


dz 
~dt 


't 




c 




W, on 

dr 

~dt ~ 

r/R, 
de 


aura 

dC 
r/R' 


j 



(23) 



r/R' 

- TTc' 

f/R' 

~~ djG'j' 
dK' 

dt ~ d[h)' dt ~ ~ 'dlW)' 



dC 


dK' 


dz 


dl 


- dz ' 


Tt 


d{G) 


rfR' 


'i(g) 


dt 


~ 'i^gY 


dt 


d{E) 


dw 


di/i) 



('ela posé, afin de découvrir les nouvelles arbitraires, nous revien- 
drons aux expressions (22) de Q, /, g, //, pour établir entre les coeffi- 
cients Q„, /„, go, hg des relations qui nous seront de la plus grande 



28o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

utilité. Reprenons l'intégrale 

Acos5 4-B| = C ou Acos9 + Bh — -«'I- = C, 
on enfin 

C = -Rh- -»'E. 

Celte équation doit devenir une identité, si l'on y remplace L, G,... par 
leurs valeurs (aa), et cela quelles que soient les quantités C, (G), (H), 
T, (g), (h)', ou peut donc différentier la précédente équation par rap- 
port à CCS quantités; servons-nous de la caractéristique â, pour indi- 
quer cette différentiation, et nous aurons 

(?C = — o'>R + -«'c?L, 
ou, couune R est une fonction de E, G, H, /, g, h, 



I \ tlL r/l I 



Or, si Ton remplace les dérivées partielles —ri —rri-- • i^ar leurs vaieuis 
' ' a\j fil ^ 

tirées des formules (12), 

</R _ (Il rfR _ (IL 

7L~ ~ ^t' 1i ~ ~dt'' 
il viendra 

• dl ., r/L 



/ \ dt lit I 



ou. en remplaçant G et II par leurs valeurs fiS^i, 

.,, 51. i . dl .,d^ ■,/ '/^' •»■ ( 



PURES ET APPLIQUÉES. 281 

ou enfin, en introduisant 0, 

Or les expressions de L et 6, 

L= Lo + UiCOs5oT + L2COS25„T + ..., 

^ = ^0-+ Ô,sin5„T+ ÔoSin2Ô„T +..., 
montrent que l'équation (24) sera de la forme 

K + /5, cosÔ„ T + /3jcos25o T -H. . . + y, sin5„ r 

+ 72sin2eor + ... + T(c?,sin5„T + cJ^sinaS,, r +...) = o; 

cette équation devant avoir lieu quel que soit r, on en tire évidemment 

a = o, fi,=o,.... 

C'est la première de ces relations qui nous sera utile. Formons dont 
la partie non périodique et indépendante de r dans l'équation (24); 
le terme 

dt 

ou 

[0„ + $o(5, COs5oT+ 25,, COS25oT +...)] 

X (c?Uo + c?L,cos$„T + o'L,cosa$„T-...) 
donne, comme on le voit immédiatement, 

ô, (îL, -f- 29,^1.3+ 3S3(ÎL3-f-.,.\ 



5o (c?Uo 



de même le terme — — âB donne 

Ç / L,^&, + 2L,o'9, + 3L3( 



'0 



ds 



■■)• 



Quant au terme ^ c?(G], il doit être réduit à g„c?(G), et de même 

Toma XIII (j' série;. — Août iS68. 36 



282 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

■^ â [G], a /îq â (H); léqiuition a = n est donc 

1 L„ + - { L, s, -4- 2L, 9, + . . . ) I 
o^C=Ô„(?[ , J +o„o\G) + //„(?( H), 

ou, en taisant 

L, -h - (L|6, + 2Lj9.. H-. . .) 
(25) A = -. , 



(26) âC = 0„âA-i-goâ{G)-hfi„â{U). 

Or, A est nue fonction de C, (G), (H), et inversement, C peut être 
regardé comme une fonction de A, (G), (H); l'équation (26) montre 
qu'on a, dans cette hypothèse, 

5„, go^^ ^'« sont donc les dérivées partielles d'une même fonction, re^ 
lativenient aux quantités A, (G), (H). 

Cherchons à exprimer /„ de la même manière. 
I/équation qui lie /„, ô^, §„ et h„ est 

on aura donc, en tenant compte des relations (27), 

(^8j //„ + . "^71" dW)-' ^TlH)' 

Or, il est facile de f.iire en sorte que le second membre de cette for- 
mule soit aussi une dérivée partielle de C; il suffit de remplacer A, (G), 
(H) par les quantités A', G', H' définies comme il suit 

(29; A = iA', (G)=:G'-yA', (H 1=11'-^ A'; 



PURES ET APPLIQUÉES. 283 

C va devenir um- fonction de A', G' et H', et on ama évidemment 

fie __ I ciC _ /^ fiC _ ^' J^, 
(IC __ dC dC_ _ (IC 

TIcP " JTg'^ 'iii' ~ >i{H)' 

Donc, l'expression (28) de /„, H les expressions (27) de g„ et 5„ vont 
devenir 

1 /" + T" =Z^' 

(3o) 







dC 


s'o 


— 


dG' 


K 




dC 


= 


r/H' 



voila les relations auxquelles nous voulions arriver. 

Nous allons maintenant pouvoir appliquer le théorème IV du § I; 
nous avions le système d'éléments canoniques 

C, (G), (H;, T, (g), (/O, 

nou. Noidons en déduire un nouveau système également cauoniciue, 
d'après le théorème cité. Trois de ces nouveaux éléments seront A', 
G', H', et nous prendrons, pour la fonction ^\l, 



(■^^ 



,^c.-[i^(g) + Ç(/0 + f]A' + (.^)C' + (/0"'- 



Dans cette formule C doit être supposé remplacé par sa salent en 
fonction de A', G', H' ; les éléments « sont 

t, (g), {h}, 

les éléments a' sont 

A', G', fl'; 

on trouve aisément 

,H — '^'' d{g) I ''{'') ' 

36.. 



284 JOURNAL DE MATHExMATlQUES 

ou, en ayant égard à la définition de A', G', H', 

ce sont bien les équations 



fi lil -fi ^- & 



rfa, 

du théorème cité. 

Pour avoir les éléments |3', il suffira de former les dérivées 

d^ d^ d-]> 
rfF ' dG'' dH" 

on trouve, en ayant égard aux formules (3o), 

-r^ = ~-r-, i^) A) — -=t/oH HT r g) — . ft — 4? 



d.\ 



'^7 = (g) + goT, 



Si l'on a égard à la valeur de (/), on pourra écrire 

;S = (') + '•' + 7»''- 

Désignons ces nouveaux éléments par X, x, n, de façon que 

). = il) +/„T -+- '-n'I, 

V) = {h) + /^,T. 
Le système A', G', H', )., x, vj sera canonique, c'est-à-dire qu'on 



aura 



^UR 


ES ET 


APPJ.IQUEES. 


dA' 
dt 


dR! 

= .A ' 


d\ dK' 

dt ~ dA" 


dG' 

dt 


</R' 


dy. rfR' 
dt ~ dG'' 


rfH' 
dt 


dR' 


dr, dK' 

dt ~ dW 



On voit que les éléments x et ri sont les parties non périodiques des 
expressions (22) de g^ et /?; X est la partie non périodique /' de / 

augmentée de— n't; posons donc 

X = X' -h A- n't, 
nous aurons 

dW _ dl ï" , _ /'" , r/R' 

dt ~" dt i T dA' ' 

On ramènera cette équation à la forme canonique, en faisant 

R" = R' + l! n'A', 

et Ton aura ainsi les équations canoniques 



(3^: 



Les relations qui lient les deux systèmes d'éléments sont les sui- 
vantes 



dA' 


dK" 


d\' 


</R" 


dt 


- dV ' 


~dt ~ 


T/v" 


dG' 


dK" 


dy. _ 


dK" 


dt 


- dy. ' 


'dt ~ 


dG' 


dW 


dK" 


dn 


dK" 


dt 


- ./.' 


dt ~" 


dH' 



A' = /A = Lo+ ^(L,e, -f- 2h,d., 4-...). 
G' = (G) + Ç A', 
H' = (H) + -A', 



286 
ou bien 



JOURNÂl. DE MATHÉMATIQUES 

A' = I .„ + - ( E, 6 , -h -^ Lj 5, -f- . . . ) 1 
G' = G„ + i{G,5, +,Xx, 5, +...), 



l).'=(/) + /„(^ 



(:«) 



(^! 



&o(' 



■n = [h) -f- //„(/ + 

lin a, du reste, 
R"z= R' -^'- n'K' 

R" = R, 






B, - C + -7i'A', 

■ II' I : III 

C + — (L,ô, + 2L.,5o +...)+ -n'Eo. 



Ecs arbitraires A', G', H', X', z, y; sont donc encore canoniques loiit 
comme les précédentes, G, (G), iH), c, (§r) , (^05 seulement elles ne 
présentent plus l'inconvénient dont on avait parlé, car un terme quel- 
conque de la fonction perturbatrice sera de la forme 



A cos(7>,' 



i'v. + i" Ti + ï" Il t + (i\ 



puisque sous les signes cosinus on rédidt les élémenls /, g, h à leuis 
|)arties non périodiques. On voit que, en formant les dérivées par- 
tielles de ce terme, le temps ne pourra pas sortir des signes siiuis et 
l'osiiuis. 

On voit de plus que le terme périodique — A cos6 a bien disparu 
de la fonction perturbatrice; cette fonction a maintenant jiour valeur 



K" = 1{, — G H r /i'(L,6, -t- -A.Jj., +. 



/z'E„, 



G devant v être remplacé par sa valeur, fonction de A', Ci' et H'; mais 
si le terme périodique — AcosSa dis|)aru, la constante 15 de la lonc- 
tion j)erlurbatrice a été modifiée. 



PURES ET APPLIQUÉES. 287 

Remnnjue. — Les nouvelles variables A', G', H', X', /, yj se rédui- 
sent aux anciennes L, G, H, /, g, h, quand on suppose nul le coeffi- 
cient A du terme périodique considéré. 

Si, en effet, on se reporte aux équations (12), ou \erra que «lans 
celte hypothèse 

r/L (IG <IW 

-7- = O, — - = O, — — = o, 

(It ' lit ' rit ' 

tl'où 

L = L„. L, ^ o, Lo := o,... 

et de même pour G et H; mais l'expression (33) de A' montre qu'on 
a aussi 

A' = L„. 

Donc les variables A', G', H' se réduisent bien aux anciennes. 
Les mêmes équations (12) doiuieut 



dl dK dB 

— = — = — - = const. 

dt dL dL 



d'où 



()n a donc 



ilh 






/o= ^5 /, = O, /. = O,..., 

ce qui montre que la valeur précédente de / est aussi celle à laquelle 
se rédiut X. 

(Jn démontrerait la même chose pour g et //. 

Nous pouvons tirer de là la règle pratique suivante : on a les expres- 
sions de L, G,..., 

L = Lo -I- L, cos5„ (^ -i- t'j -f-..., 



ou bien, ;i cause de la relation 

60 [i -h c) — /À' + i'-/. + i"r, -f- i"'n t ■+- 7, 



288 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

les relations qui lient les nouvelles variables aux anciennes seront 

L = L„ + L, cos(?X' + l'y. + «"-/j -+- i"'n't H- q) 

-+- Lj COS2 (A' + i'x. -h /"y; + i"'n't -+- q) + ..., 
G = Go + G, cos(A'+ i'x. + i"-ri -+- i"'n't -}- q) -h..., 
H 

/ 



H„ 


4- H 


, cos(f>.' 


+ i'y + i"rt + i'n'l + q) 


),' 


+ /, 


sin (/X' 


+ i'y. + i"-ri + i"'n't + q) 


y. 


^g^ 


sin (/).' 


+ l'y + i"o H- /'"«'f + 7) 


n 


+ /'. 


sin (/X' 


4- ?"'>{ + /"•/) + i''n't + f/) 



Les coefficients Lo, L,,.. ., G„, G,,. ..,Ho, H,,..., Z,,..., g,, .., //,,..., de ces 
tnrnuiles, qui étaient d'abord des fonctions de G, (G), (H) sont mainte- 
nant des fonctions de A', G' et H'. On remplacera L, G, H, /, g, h par 
leurs valeurs dans les coordonnées de la Lune, qui deviendront ainsi 
des fonctions connues des nouvelles variables. Ces nouvelles variables 
dépendront d'équations pareilles aux premières, à cela près que la 
fonction perturbatrice aura été débarrassée d'un de ses termes pério- 
diques : on pourra la débarrasser d'un nouveau terme, et continuer 
ainsi jusqu'à ce qu'on ait enlevé les parties les plus importantes. 

Il est inutile d'introduire de nouvelles lettres pour désigner les 
tioiivelles variables; on peut dire que, dans les coordonnées de la 
Lune, on remplacera : 

L par Lo + L, cos(// + i'g 4- i"h -t- i'" n' t -f- 7) +.. , 

de même pour G et H; 

/ par / -f- /, sin ( // 4- /'g -+- i"h -t- i"'n't + q) -h..., 

de même pour g et h. 

Les coefficients de ces fornuiles sont des fonctions coiuuies de 
C, (G), (H); ils sont donnés en fonction de A', G' et H' ou L, G, H 
par les fornudes suivantes 

L = Lo -f- ^ (L, ^, -H 2 Lj 5, 4- . . . ), 

G = Go-H^(G,Ô,'+2G,5„+...), 

H = Ho + ^(H,5, +2H,ô, +...). 



PURES ET APPLIQUÉES. 289 

Les Lq, L,... deviendront donc des fondions connues de L, G, H ; 
on aura alors les tiiômes équations 



<IL _ (IK >ll _ dK 

'dî ~ Tt'' TFi ~ ^ TTL'' 



seulement par R, il faudra entendre 

R — — «'L H «'A', 

ou bien 

R — -7i'(L — I.„) -I- - -«'(L,e, + 2L,Ôo -^-...\ 

R étant la valeur primitive. 

Remarque I. — La méthode suivie suppose le coefficient /de /dans 
l'argument 6 différent de zéro; si ce coefficient était nul, /" étant dif- 
férent de zéro, on ferait jouer à G le rôle de L. La méthode ne se 
trouverait eu défaut que dans le cas où i, i', i" seraient nuls tous les 
trois; on peut alors intégrer aisément les équations (12) ; je ne m'arrê- 
terai pas à ce cas. 

Remarque 11. — Quand on a fait disparaître nw terme de la 
fonction perturbatrice, en remplaçant dans les autres L, G, H par leurs 
développements en séries, on introduit en général dans la fonction 
perturbalrice des termes qui ne s'y trouvaient pas; mais ces termes 
sont d'un ordre supérieur au terme considéré. Il peut même arriver 
qu'un terme qu'on avait fait disparaître reparaisse au bout d'un 
certain nombre d'opérations; mais alors ce terme sera nécessairement 
d'iui ordre plus élevé. 

Quand on aura ainsi fait disparaître les ternies les plus imporlanis 
(le la fonction perturbatrice, on pourra, pour les autres, procéder 
comme dans la théorie des planètes et supprimer les ap[trnximations 
successives. 



Tome XIII (3"= série). — Août iSCS. 37 



200 JOURNAL DE iMATHÉMATIQUES 

DEUXIÈME PARTIE. 

§ I. ^ Formules relatives aux actions mutuelles de deux planètes. 

' Le mouvement de la Lune autour de la Terre est un cas particulier 
du problème des Trois Corps; à cause de la petitesse de la masse 
de la Lune relativement à celle du Soleil, la Terre se meut à très-peu 
près comme si elle existait seule avec le Soleil; son mouvement est à 
très- peu près elliptique. Aussi M. Delaunay, dans sa théorie, a-t-il pu 
supposer invariables les éléments de l'orbite apparente du Soleil au- 
toui' de la Terre, en se réservant d'ailleurs de tenir compte ultérieu- 
rement, et par la méthode ordinaire, des perturbations de ce mouve- 
ment dues à l'action de la Lune. 

Nous allons considérer actuellement le mouvement de deux pla- 
nètes autour du Soleil, de Jupiter et de Saturne, par exemple : les per- 
turbations de ces deux planètes seront tout à fait comparables, et le 
problème se présentera sous lui aspect tout différent. Nous montre- 
rons cependant que la méthode de M. Delaunay peut être étendue à 
(;e cas, et qu'elle peut servir à la détermination des perturbations 
réciproques des deux planètes, ou plutôt de la partie la plus impor- 
tante de ces perturbations. On verra que les formules ressemblent 
tout à fait à celles de la première l'artie et qu'elles sont même pins 
symétriques. 

Considérant donc deux planètes, et conservant les notations de la 
pren)ière Partie, nous aurons les douze équations 



(>) 



Les fonctions pertiubatrices R et R' ont les valeurs suivantes : 



rfL dK 

dt ~ dl ' 


dl dK 
Tt ~ " dL ' 


dL' 
dt 


dK' 


dl' , dK' 
dt = " dL' 


^G f/R 

dt ~ dg ' 


dg dK 

dt " dÇ, ■ 


dQ' 
dl 


dK' 


dg' dK' _ 
dt ~ r/G" 


</H dK 

dt ~ dh' 


dh dK 
dt dVi 


dW 

dt 


dK' 

= dh'' 


d/i' dK' 
dt ~ dH' 



„ , , . xx'-hrr'-i-zz' 

n = m'{- 5^ 



^'= '-{{- '-'"''''"'' )■ 



PURES ET APPLIQUÉES. 291 

Nous réduirons ces deux fondions à leurs premières parties : 



I ,^, I 



(2) 11=///'-, W^iii-, 

et nous intégrerons dans cette hypothèse les équations (i), considérées 
comme simultanées. 

I>es équations (2) donnent 

m 

ce qui permet dMntroduire partout la fonction R; en faisant ce petit 
changement, nous nous arrangerons de telle sorte, que toutes les 
équations (1) soient canoniques. Il nous suffira de poser 



(3) 



on trouvera facilement les relations suivantes : 



A 


= 


m ni' 

A 

ou 


bier 


m 

1 


M -+- m 
■20 


-+■ 


m' 


M 


1C1' 


m' 


^ 


= 


niR 


-+- 


III y. 

in 


-+- m' 


v' 

■xa' 


1 









dA r/R 

di ='"dr 


dA /dK \ dA ,dR' 


dA , fdK' 


— //' 


dSl dVi 
dg àg 


dA dR 
dG="'dO- 


dA ,dR' 
dg (fg 


dA , dW 




dA dK 

dh=''\lk' 


dA f/R 
dH-"'dH- 


dSl ,rfR' 
.///='«.///'' 


dA , dR! 
dH' = '" dW- 





Il sera facile dès lors de trouver ce que deviennent les équations (i); 
mais ii convient de remplacer L, G, H, L', G', TT' respect) vemcnl par 

L G H L' G' H' 

-7 5 —71 — ;5 ce qui revient a poser 



/// //; m m m 



i L = m\/(j.a, V = m' \ji}.'a' 



(4) l G = m\Jij.a\l\ — e", G' = m' \/iJ.'a' \' i — e'- ; 



11 = m \Jiia V r — c' cos/, H' = ///' s,'\i'n' y/i — e'- cos/'. 



.^7.. 



, dL 


dA. 


dl 


dt 


- dr 


~dt 


dG 

de = 


dA 


ds 
dt 


f/H 


f/A 


dh 


dt 


~ dh ' 


Tt 



dA 


r/L' 


diU 


dl' 


dSi 












dh' 


dt 


~~ dl' ' 


dt 


~ dV 


dà\ 


dG' 


f/oll 


'Ig' 


d^ 












dG' 


de 


~ dg- ' 


dt 


~~ dG' 


d.A 


dir 


dA 


dh' 


dA 


du ' 


dt 


= dh' ' 


de 


~ dVi' 



292 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

On verra alors les équations (1) se réduire à la forme canonique 



(5) 



C est à ces équations que nous voulons étendre la méthode suivie 
par M. Delaunay dans le cas de la Lune. 

Nous montrerons qu'on peut intégrer rigoureusement les douze 
équations (5), en réduisant la fonction perturbatrice A à sa partie 
constante et à un seul terme périodique, et nous apprendrons ensuite 
à former les équations d'où deviont dépendre les arbitraires de l'inlé- 
gration précédente; elles seront aussi simples que les équations (5). 

«^11. — Intégration des équations (5) dans le cas indiqué. 

<Jn voit facilement qu'un terme quelconque du développement 
de ;il sera de la forme 

Acos (a/ -+- /5g- -f- 7/2 -4- a7'+ /5'g'-t- 7'//), 

c/.. fi, 7, a', /3', 7' étant des nombres entiers, et A une fonction de 
L, G. H, L', G', H'. 

Considérons à part un de ces termes périodiques et la partie con- 
stante et posons 

'■«.= - B - A cos(«/+ f^g -t- yfi -h a'I'-h fi' g' -h y' h'] ■+- A,, 

ou en faisant, pour abréger, 5 = «/ + fig -+- 7// -1- a' l' + p'g' -^ V ^''' 

(6) a = — B — Acos5 + il,; 

A, désigne l'eusendiie îles autres termes périodiques dé la fonction A. 
Nous négligerons d'abord A,, et, prenant simplement 

(7) .A = — B — A cos5, 
nous iiilégreroils rigoureusement les équations (5). 



PURES ET APPLIQUÉES. 293 

Suivons encore la méthode de Jacobi; il s'agira de trouver utie 
intégrale complète de l'équation 

(8) __B-Acos^«-+,6-+7- + «-^-, + ri;^4-V;jH7J-o, 

c'est-à-dire une solution renfermant six constantes arbitraires. 

Comme l'équation (8) ne contient pas le temps explicitement, nous 
ferons 

S = C/ 4- S,, 

S, étant indépendant du lemps. 

Il suffira alors de trouver une solution de l'équalion 

l & = arc cos 

(8 bis) , "^ 

avec cinq constantes arbitraires. 
Posons 

i; = -L + fL'), 

(9) { G = -Jl + (G), G'=i^L + (G'), 

H = ^L + (in, ir=^L + {H'), 

(G), (H), (L'), (C'), (H') désignant de nouvelles variables : 9, deviendra 
une fonction de ces nouvelles variables et de L, et si l'on désigne 

par i-jr) '^ dérivée partielle de S, prise dans cette hypothèse, on 

aura, au lieu de l'équation (8 bis), l'équation 

c C — B /dS,\ 

5 = arccos^- = c.(^— j; 
d'où l'on tire 

C — B </L 



s,=r 



are cos 



294 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Ou peut ajouter une fonction arbitraire des variables (G),..., (H'); 

nous prendrons 



=.r 



arccnsV^-+(ê)(G) + (//)(H) + (/')(L') + (^')(G') + ('^')(H'), 



en désignant par (g), [h), (/'), (g'), {h') des constantes arbitraires. 

arc cos— — est une fonction de L, de (G),..., (H') 

et de C : mettons cela en évidence en posant 

(to) Jarccos^ '^ =M^> (G), (H), (U), (G'), (H'), C], 

et, si nous revenons aux anciennes variables, nous aurons 

1 S = C^-i- K fu, G - h., H - ^L, i;- - L, G'- ^' L, H- ^' L, C^ 

l y a a. a a a / 

(II) +(g)(G-^L)+(A)(H-2L) 

( +(/')(L'-j'L)+(g')(G'-i'L)+(^')(H'-jL). 



Telle est la solution complète que nous cherchions pour l'équa- 
tion (8). Elle est fonction des six variables L, G, H, L', G', H', du 
temps t et des six constantes arbitraires C, (g), [h), (/'), (g'), (^')- 

Les intégrales des équations (5) seront des lors 



rfS 



dS 



fis 



(la) 



r!C - ^' 


d{g) 


= const., 


^^^j-cons... 


ris 

^^^,^ = const., 


rfS 

d{g') 


= const . , 


rfS 

^,^^^,^ = const., 


ris . 
dh - '' 


rfS 




dS , 
dM = ''^ 


dG 


^8^ 


dS ., 


dS 




dS j, 
dW ~ " ' 


dG' 


= 8'' 



c désignant une nouvelle constante arbitraire. 

dS 1 ' 

Les équations — — = const...... nous apprennent <pie les quantités 



PURES ET APPLIQUÉES. 295 

{G)> (H), (E')) (G'), (H') sont des conslantes; nous continuerons à 
les désigner par les mêmes lettres. 

Cinq des intégrales (12) coïncideront avec les équations (9); quant 
aux autres, elles deviennent 



-{t + c)^ 



7/c" 



^ = (é,') + 



cl (G) 



^^ = (^)-.W 



(9^/.){/'=(/') + ;;^, g'= (s') + .77^' // 



f^') 



dK 



I &r / -!- pg- + 7A + a'/' + /5'g' + y// = arc cos ^ ~ ^ - 

Ces équations (9) et (9*") donnent nos douze variables L, G, H, 
L', G', H' /, g, h, /', g', A' en fonction du temps t, et des douze arbi- 
traires C, (G), (H), (L'), (G'), (H'), c, (g), (h), (Z'), {g'), {h'). 



§ III- — f^ariation des arbitraires introduites par Vintégration 

précédente . 

Revenant aux équations (5), nous rétablissons A,, en faisant 

iK = — Yi ~ AcosÔ + .a,. 

Comme nous avons intégré par la méthode de Jacobi, nos arbitraires 
dépendront encore d'équations canoniques, savoir : 



(1-3) 



Ht ~ lu" 



dt 



dA, 



d(g) 
dih, 



dt 

^ d{L' 



d[h) 
) dJi, 



dt d[t') 

d{Q') _ dA, 
dt ~ d[g') 

d_(ti') _ _d3i^ 
d{¥) 



dt 



de 
dt 



dt 

d{h) 
dt 

djn 
dt 

'Hs') 

dt 

'Ml 

dt 



dA, 
~dc' 

dA, 
dA, 
dA, 
dA, 



296 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Revenons aux intégrales (9) et (9 bis), pour en examiner la forme. 
On verra, comme dans la première Partie, que L est une fonction 

périodique paire de 6o{t -t- c), On étant défini par la relation 



6. Jr 



■•■'" I f/L 



^ v'A'— (C-li.P * ' 

ou j^ et ^ sont les deux limites de L ; on eu conclura donc les dévelop- 
pements suivants 

U = L„ -1- L, COSÔo(^ + c) + LoCOSîÔn (^ + c) -H..., 

avec cinq formules analogues pour G, H, L', G', H'; de même, 

/ = (/)+ /„(i -H c) + /,sinÔo{< +c) +..., 
avec des formules analogues pour g, h, /', g', h'; et enfin 

e = $„(/ + c) + 5,sin5o(f + c) +.... 

On aura du reste entre les coefficients Go,G,,..., H,,, H,,-- Jes rela- 
tions suivantes, conséquences des formules (9), 

Go = h.o + (G), G. = ^U...., 

et de même pour les Ho,.., H'„ ; on aura aussi les deux relations sui- 
vantes 

i'^) ) a/„ + ftg„ + 7//,, + a'/'o + fi's. + V'/'n =e„. 

Si l'on suusiitue ces valeurs de L,..., H', /,..., //, /',..., // dans la fonc- 
tion A,, on voit qu'un terme quelconque de celte fonction sera de la 
forme 

A cos) «[(/) + /„(/ + c)] -t-...+ 7' [[h') + h'^{t -+- c)] I, 

A étant une fonction des quantités C, (G), (H), (L'), (G'), (H'). 

Ou voit que, si l'on veut appliquer les formules (i3), en formant les 



PURES ET APPLIQUÉES. 297 

dérivées partielles 



rfa, f/A, ri A, 



le temps sorlira «les signes sin et cos, car les quantités /o,.-> ^'0 sont 
des fondions de C,..., (H'); c'est là un inconvénient. On l'évitera 
comme dans la première Partie. 

§ IV. — Changement d'arbitraires. 

Avant d'effectuer ce changement, revenons aux équations (i3) : si 
l'on y pose 

t + c = z et a, — C =^ a,, 

on verra, comme dans la première Partie, que le système d'éléments 

C, (G), , (L'), (C), (H'), 

^> [s)^ [h), (/'), {g'), in 

est canonique relativement à la fonction ^j. 

Cela posé, pour nous mettre sur la voie des nouvelles variables, sui- 
vons encore la même marche que dans la première Partie; l'équation 

C = -f-B + Acos5 ou C=~A 

nous donnera de même que dans la première Partie 

et on en conclura de même 

Si donc on pose 



e! (jiie l'on considère C comme une fonction de A, (G),..., (H'j, on 

Tome XIII (2'' série). — Septeubue 1868. 38 



aç-iS JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

aura ces formules 

^°— dl'' ^" "~ TTlG) ' ■ ■ ■ ' "■~</(H'j' 

Veut-oii rétablir /„ au lieu de Q^i pour la symétrie? La deuxième des 
formules (i4) donnera 

. _ \ dC p rfC y' rfC 



° a rfA a rf(G) "■' a d{W) 

Si donc on pose 

.A, . , L, 6, -\- aLifl, -i-. . . 
A = — ou A, ^ Lo H 5 



(H'] = (H',)-Z:a. ou (H'J = H;+5>iJll|Lli 



G deviendra une fonction de A,, (G,),..., (H'J, et on aura ces relations 
très-simples 

I r;\ 1 dC dC ,, dC 

Dès lors, pour appliquer le théorème de Jacobi relatif au passage 
d'un système d'éléments canoniques à un autre pareil système, il suf- 
fira de prendre pour la fonction ij> 

(,7) | = CT-f(/)A. + (g)(G.) + (/0(H.) + ...+ (/.',)(H',), 

C étant sui)posé remplacé dans cette formide par sa valeur en fonc- 
tion de A,, (G,),.-» (H'i); par (/) on doit entendre la valeur 

--(ê)--('O -•■■--(/'') 

« " a ^ ' a. ' 

tirée de la première formide (i4) 

Les éléments du premier système canonique qui entrent dans (j> sont 
donc 

t, (g), (A),..., (/i',); 



PURES ET APPLIQUÉES. 299 

ie premier groupe (rélémenls du nouveau système canonique sera 

A, (G,\ (H.),..., (H',). 

On vérifie immédiatemeni les relations 

le second groupe X, k, yj, /', )t', /j' du second système d'éléments sera 
donné par les formules suivantes 



en faisant usage des relations (16), il vient 

IX =-- (/) +/„7 OU À =. (/) +/„(^-f-C^), 

/,g>, '''■=-(§■) -^è'o' OU y.= (g) + g„{t-^c\ 

I 

I r/ — {h') -^ h'„r ou ïî' = [h') -+- li'^ {t + c). 

Pai' ou l'on voit que les nouveaux éléments X,..., y)' sont les parties 
non périodiques des valeurs de /, g, ..., //'. 

Uors donc que l'on aura dévelop|)é en séries les intégrales données 
par les formules (9 bis), on y lira immédiatement les valeurs de ).,..., >?'. 

F.es équations (1 5) et (18) lient donc les deux systèmes 

C, (G),..., (H'j, r, (g),..., (//) d'une part, 
A, (G,),. -, (HJi ^1 Jt,..., ri' d'autre part. 

On aura alors les équations suivantes, lesquelles ont la forme cano- 
nique 

rfA, diK, d). d;h, 

dl d\ ' dt //A,' 

d[G,) diK, dy. dA, 



(iÇ)) / f/t dy. dt d{G,', 
î • • 

dlR',) dA. dn' dA, 



\ dl dn' dt rf t H', ) ' 

38. 



3oo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

et comme un terme quelconque de la fonction JI2 sera de la forme 

A cos (aX + jSx + jn --h a'X' + /3'x' -h y'/j'), 

où A est une simple fonction de A,, (G, ),..., (H',), et «,..., 7' sont des 
nombres entiers, on voit que le temps ne sortira plus des signes sin 
et cos. 

La fonction A^, qui entre dans les équations précédentes, est 



tA. 2 =^ A j Cj . 



Comme C est une fonction de A,, (G,),..., (H'J, le terme périodique 

considéré — AcosÔ a complètement disparu. 

De ce qui précède, on conclut la règle pratique suivante : 
Dans les coordonnées des deux planètes, on remplacera 

L par L,i -1- L, cos («X + /3x + ••• -H 7'/*') +..., 

H' par L'o + L', cos ( aX -h ^k +...-+- 7'-/î' ) -4- . . . ; 

les coefficients de ces formules sont des fonctions connues de C, (G),...; 
ils sont liés à L, G,. . par les équations 

L =Lo + ^(L, Ô, + 2L0Ô0 +...), 



lors donc qu'on aura développé en séries les intégrales données par 
les fornndes (g bis), on pourra exprimer tous les coefficients L, L,,... 
au moyen des formules L, G — 

Ces nouvelles variables dépendront des mêmes équations 

dL _ rfA, 'Il — _ £^ 

Tt ~ lïï"' dt ~ ~ "rfïT' 



dV _ d^ dt' _ _ rfJl, 

IT ~ dV ' Ht ~ ~ HU'' 



PURES ET APPLIQUÉES. 3or 

où 1^2 = Jl| — C. La nouvelle fonction iA.., ne contient plus le terme 
périodique considéré; on pourra répéter la même opération et faire 
disparaître autant de termes que l'on voudra. 

§ V. — Des cas où la méthode précé/iente serait einphjée 
avantageusement. 

Cette méthode, assez longue d,\iis la pratique, ne serait d'aucune 
utilité dans la théorie des perturbations de Mercure, de Vénus, de la 
Terre et de Mars; les inégalités de ces planètes sont très-petites; il y a 
rarement lieu de faire plus d'une approximation, et la méthode ordi- 
naire suffit amplement. 

Mais pour les planètes plus éloignées du Soleil, et principalement 
pour Jupiter et Saturne, les inégalités sont très-fortes; pour Saturne, 
par exemple, les inégalités de la longitude provenant de l'action de 
Jupiter peuvent dépasser i degré. 

La grandeur de ces inégalités tient d'une part à la grandeur des masses 
de Jupiter et de Saturne, et d'autre part à une cause particulière décou- 
verte par Laplace. Il arrive que cinq fois le moyen mouvement n de 
Saturne est à très-peu près égal à deux fois le moyen mouvement de 
Jupiter, de telle sorte que la différence on' ~ in est une très-petite 
fraction de 7^ ou de n' . Si donc on considère dans la fonction pertur- 
batrice un terme dont l'argument soit 5/' — 2I ~\- q, q étant une fonc- 
tion des longitudes des nœuds et des périhélies, 

A cos (5/' — 2/ -i- (/), 

bien que le coefficient A de ce terme soit au moins du troisième ordie 
relativement aux excentricités et aux inclinaisons, ce terme pourra 
néanmoins produire des inégalités très-sensibles dans les éléments ; car 
il introduira dans l'un quelconque des éléments l'inégalité 

BcosfS/' — il -h q) 



5 «' — 2 n 

et cette expression pourra avoir une valeur sensible à cause du petit 
diviseur 5n' — in. 

Mais c'est surtout dans les expressions des longitudes moyennes de 



3o2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Jupiter et de Snturne que les inégalités précédentes se feront sentir; 
car pour obtenir les perturbations des longitudes moyennes, on doit 
intégrer deux fois le terme Acos(5/' — 2/+ q)dt, ce qui introduit 
en diviseur la très-petite quantité (5«'— nn)-. 

La réinnon des inégalités précédentes constitue la grande inégalité 
de Jupiter et de Saturne ; pour Saturne elle atteint environ 45 minutes 
quant à la longitude. 

On comprend qu'une inégalité aussi considérable doive être très- 
difficile à déterminer; il faut tenir compte de la seconde approxi- 
mation avec le plus grand soin; elle introduit dans la longitude de 
Saturne une inégalité qui peut s'élever à plus d'une demi-minute d'an- 
gle. On peut voir dans la Mécanique céleste combien cette partie de la 
théorie de Jupiter et de Saturne présente de difficultés. 

C'est donc, à proprement parler, à la détermination précise de la 
grande inégalité de Jiqjiter et de Saturne qu'il conviendrait d'appliquer 
la méthode exposée dans la seconde Partie de cette Thèse. Il est vrai 
que, d;ins celte méthode, ou néglige, dans les fonctions perturbatrices R 
et R', les parties 

m' ^- et m -^ 

Mais ces parties n'interviennent que pour une faible part (iaus la 
grande inégalité ; car si elles fournissent des termes tels que 

A cos(5/'- 2/ + 7), 

le coefficient A sera au moins du cinquième ordre relativement aux 
excentricités et aux inclinaisons, tandis que les termes analogues 

1 T. r., ■ m' m 

fournis par les premières parties de R et R', savoir y et j ne sont que 

du troisième ordre. On déterminera donc par la méthode ordinaire 

linfluence des portions m' ^^ et m —^ dans la 

grande inégalité. 

C'est ensuite qu'on pourra appliquer la méthode actuelle pour faire 

disparaître, de la partie commune, ^^ des deux fonctions perturbatrices, 



PURES ET APPLIQUÉES. 3o3 

tous les termes dont les argumenls sont de la forme 

a ( 5/' - 2 /) -4- jSûT 4- 76 -h P'zrr' + yô', 

a, /3, y, /5', •/ désignant des nombres entiers, c'est-à-dire tous les termes 
c|ni interviennent «Jans la grande inégalité. 

Cela pei-metlra de faire deux, trois,... aulant d'approximations 
que l'on vondra. 

Quand on aura fait ainsi disparaître les termes cités, on pourra cal- 
culer l'effet des autres par la méthode ordinaire. 



3o4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 






SUR 



LES VIBRATIONS INTÉRIEURES DES MOLECULES; 
Par m. Charles BRIOT. 



1. Lorsqu'un métal, infroduit dans une flamme, est volatilisé et 
porté à une très-haute température, il devient lumineux, et produit im 
spectre composé d'un certain nombre de raies brillantes séparées par 
des intervalles obscurs; les rayons lumineux émis par un même métal 
correspondent à des nombres de vibrations déterminés. Ces rayons 
étant indépendants de la densité de la vapeur, et par conséquent des 
actions des molécules les unes sur les autres, il semble qu'on doive 
les attribuer, non aux mouvements des molécules elles-mêmes, mais 
aux vibrations des atomes qui les composent, vibrations qui dépen- 
dent de la constitution de la molécule. On regardera ainsi cliaque mo- 
lécule comme un petit instrument capable de rendre un certain 
nombre de sons déterminés. 

2. Nous pouvons nous borner à considérer une molécule isolée, 
formée de n atomes. D'après les lois générales de la Mécanique, on 
sait que les actions mutuelles des atomes qui la composent n'ont pas 
d'influence sur le mouvement de son centre de gravité, ni sur la somme 
des aires décrites par les projections sur un plan fixe des rayons menés 
du centre de gravité aux divers atomes. Nous supposerons que la mo- 
lécule soit primitivement au repos, dans un état d'équilibre stable, et 
nous étudierons les vibrations infiniment petites telles que chaque 
atome oscille autour de sa position d'équilibre. 

Soit m,m,'F(r,/) l'action mutuelle de deux atomes m, et /«,'. Po- 



PURES ET APPLIQUÉES. 3o^ 

F (r) 

sons — ^ = /(/■); les trois équations d'équilibre pour l'atome m, sont 

( ' ) j 2 '"<•'/ ( 'V,,-') [jr -' Ji) = o, 

i' prenant les valeurs i, 2, 3,..., n, excepté /. 

Supposons maintenant les atomes dérangés très-peu de leurs posi- 
tions d'équilibre. Si l'on appelle jc^ + ^j, ji-\- -/j,-, z,- + Ç,- les coordon- 
nées de l'aiome jw,; r, ,/ + p,_,'la distance des deux atomes w, et m,- pen- 
dant le mouvement, et si l'on néglige les quantités petites du second 
ordre, on aura 

et les mouvements vibratoires des n atomes qui composent la molé- 
cule seront représentés par un système de 3/2 équations de la forme 

( ^) j ^' = i; "^■' [/ ('V.-') i-^i' - r^i) -^ f'{r,,) ( J, - J,) ..,,'], 

! ^=2 '"''[/('■'.'') (Ç<'-^'.)+/'('',v)(V - s,-)/5<v]- 
5. En prenant pour origine le centre de gravité, on a 

(3) 2 '"'• ?'■ = O' 2 '"'■"'''■ - °' 2 '"' ?' = o 

D'autre part, la loi des aires donne les relations 

d'où 

^'ni^Xi^i- ZiTii)^ kt -\- A',.... 

Dans le cas que nous étudions, les inconnues £,, 73,, Ç, étant com- 
posées de termes périodiques de la forme <7,cos(ii; + a,), les six con- 

Tome XIII (2' série). — Septembre 18C8. Sg 



3o6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

slantes A, A',. . . sont nulles. On a ainsi les trois relations 

( '^"'iiji^i— zrm) =o,' 
(4) 'i 2 '"'•(-■'• ^' ~ ^^'Çi) = 0' 

Les six équations (3) et (4) remplaceront sis des 3« équations (2). 

Pour intégrer les équations linéaires et homogènes (a), on posera eu 
général 

Ei = rt,cos [Si -+- a), ri, = è,cos [si -h a), Ç,- = c,cos [st -+- a); 

en égalant le déterminant à zéro, on aura une équation S = o du de- 
gré 3n — 6 en s'-. Chaque valeur réelle et positive de s"^ donnera une 

vibration dont la période est T ^ La valeur de a reste arbitraire, 

ainsi que celle de l'un des 3/i coefficients a,, /;,, c,. On en conclut 
fjuuiie molécule jorinée de n atomes rend en général 3 [n — 2) vibra- 
tions distinctes et rectilignes. 

IL 

4. Appliquons cette méthode à quelques cas simples. Considérons 
d'abord une molécule formée de trois atomes disposés en triangle. Dans 
l'état d'écjuilibre, chacjue atome étant en équilibre sous l'influence de 
deux forces faisant entre elles tni certain angle, il est nécessaire que 
chacune de ces forces soit nulle. On a donc 

F(r,.,) = F(r,,3)=F(/',,3)=.o, 

ce qui exige que/, ^ =: r.,^ = r, 3. Ainsi, dans l'état d'équilibre, le trian- 
gle est équilatéral. Si l'on prend le plan de ce triangle pour plan des 

xj, on a 

,, , ./=(;, rf^ç, d'<,, 
2, = 2,.= Z3 = o, dou _ = _=.— ^o, 

et, pai- suite, 

Ç. =Ç2 = Ç3 = o- 



PURES ET APPLIQUÉES. 307 

La vibration s'effectue dans ce plan. Les équations (2) deviennent 

il C 
'^ = '"2(j2- J. )/'('') p.. 2-+- '"3 (j3-r. )/'('■)/'. ,3- 

On a d'ailleurs 

''P.,2 = {x.^ — X,) (Hj — 2,) + (jo - j,) (i^o - •/!,). 

On en déduit, en remarquant que le triangle est équilatéral, et po- 
sant F' (/•) = ip. 



dt 



^ + ■2p{nu-\- m3')p2,3-'-/"«i(Pi,2-l-p.,3) = o, 



d- 



(6) I -J^ -+--2p{ui, -f- m^)^,,.,-}- pnu[pi_, -f-p2,3) = o, 
^^ + 2/j (m, + '«0) p,,, + pin^ (p3,, ^- p,,,) = o. 

Un système d'intégrales simples est de la forme 

P2 3 = A, cos(.9f -1- a), p,,3 = A2Cos(5'i + a), p^^^=^ kiCos[st + a); 
les constantes doivent satisfaire aux relations 

1 [^^ — p(2in2 -+- 2W3 — m,)] A, — pm, (A, + \., -+- A^) = o, 

(7) 1 [^^ — /'(2W3 -t- 2 772, — «Jj)] A„ -- ^/«o(A, H- Ao -i- A3) = o, 

' [s"^ — p{2m, + 2;?2o — W3)] A3 — /J//23 (A, + Ao + A3) = o. 

Posant s^ = ip[m, + rn, + /«s) — 3pii, on en déduit l'équation {]ii 
troisième degré 

(o) -H 1 :5 = o, 



m, — « m, — u m , — ii 



qui a ses trois racines réelles. Connaissant pj, 3, ^,,3, p,_., on détermi- 
nera ^,, >;,,••• à l'aide des équations (5); on obtient ainsi trois vibra- 



tions rectilignes. 



5. Dans le cas particulier où la molécule est formée de trois atomes 

39.. 



3o8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

de même masse m, les équations (7) deviennent 

1 [s- ■- 3pm)A, — p»i{Af -+- Aa -+- A3") = o, 

(9) • (j- — 3/j/n) Ao — /î/«(A| ■+- Aj -f- A3) = o, 
' [s" — 3p/rt) A3 — pin (A, -I- A2 -f- A3) = o, 

d'où l'on déduit la relation 

(10) (s'^ — 6pm)[A, -t- Ao -H A3) = o. 

Ces équations admettent les deux solutions 

s^ = 6pm, A, = Aj = A3 = A, 
A, + Ao -t- A3 = o, s^ = ?>pm. 

La première valeur de s'^ est racine simple de l'équalion dn troisième 
degré, la seconde racine double. 

(). Première solution. — Si l'on prend pour origine des coor- 
données le centre de gravité de la molécule, les équations (5) de- 
viennent 



d'où 



=: — &pm— h.co&{st -^ a), -fT =^ — &pin—hco^[st 



ç, = A — cos [st -h a), -/^i = A — cos(a-/ -h a). 

On en conclut que les vibrations des trois atomes s'effectuent suivant 
des droites passant par le centre de gravité. Le triangle se dilate et se 
contracte alternativement en restant homothétiquc à lui-même. 

7. Deuxième solution. — Deux des coefficients A,, Aj, A^ sont ar- 
bitraires. Les équations (5) deviennent 



lit' 
df 



= 2pm-{A,a:, + AjXo -i- A2X3)coi,{st ■+- a), 
=r 2pm j (A, j, -f- A3J.J -f- A2J3) cos{st -h a); 



?. 


= 


2 

~ 3 


fli 


= 


2 

~ 3 



PURES ET APPLIQUÉES. 309 

d'où 

■{A,x, -f- A3CC2 + A.iX3)cos[st -h «), 

■.(A,j-, 4- Aj7-2 -t- A2j-3)cos(5f -i- a). 

Chaque atome vibre en ligne droite; l'amplitude et la direction de 
l'une des vibrations dans le plan sont arbitraires; les amplitudes sont 
égales pour les trois atomes. On reconnaît aisément les (rois droites 
suivant lesquelles vibrent les trois atomes passent par un même point, 
situé sur le cercle circonscrit au triangle d'équilibre, et que, pendant 
le mouvement, le périmètre du triangle et sa surface restent constants. 

El) combinant deux vibrations rectilignes de cette seconde espèce, 
ayant des phases différentes a, on obtient des vibrations elliptiques. 
Les trois atomes décrivent des ellipses égales. 

Ainsi, quand la molécule est formée de trois atomes égaux, on n'a 
plus que deux périodes différentes : la première vibration est analogue 
aux vibrations longitudinales; la seconde, aux vibrations transvetsales 
de l'éther. 

m. 

8. Considérons maintenant une molécule formée de quatre atomes 
placés au sommet d'un tétraèdre. Dans l'état d'équilibre, chaque atome 
devant être en équilibre sous l'influence de trois forces ayant des di- 
rections différentes, on en conclut, comme précédemment, que ces 
forces sont nulles séparément, et par conséquent que le tétraèdre est 
régulier. Si l'on appelle /■ l'arête de ce tétraèdre, les équations (2) 
deviennent 

\ 'TIF = '"= (-^^ ~ ■^■') ^'('') F. .2 + '"3 i^; - x,)f'[r) p,,3 • 



^"' j -^ i'h{x,- x,)f'{r)p,,, 



en posant F'(r) = 2/3, on a six équations de la forme 



3ro JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

qui conduisent à une équation du sixième degré en s-, donnant six 
vibrations rectilignes. . 

9. Lorsque les quatre atomes ont des masses égales, ces équations 
deviennent 

(i3) ( 1u^ ^ l\nipp,^. + mp{p,^,-h p,^, ^p2.i-+- p2.i) = o, 

Pour intégrer, on posera 

(3,, 2 = A, 2 cos {st -ha), p,_3 = A,,3 cos [st -\- x),..., 
les constantes étant assujetties à vérifier les relations 

i [s^ — ?>mp) A, 2 -t- mpk^., — mpL, = o, 



(i4) 



où L désigne la somme des constantes A. 

Ces relations, combinées deux à deux, donnent 

, g. j (.f=' — /,mp)(A,,2— A3.0 = o, 

( (i- — 2/«p) (A,,2+ A3 ,) — a/nyîL = o, 

et, ajoutées toutes ensemble, 

(16) [s- — 8/?î/j)L = o. 

10. Première solution : Racine simple s'^ = %inp. — On déduit des 
équations (i 5) 

A|,2 =^ A3 ,, , A, 3 = A2.J , A, , = A2..1 , 
et des équations (r4) 

A(,2 = A, 3 = A, 4 = A; 

la constante A est arbitraire. 

Les équations (11) se réduisent à la forme 

d'' 'i 

— ^ = — ^mXfJ'{r) A cos [st -+- x), 



PURES ET APPLIQUÉES. 3i i 



(1 ou 



E, = - Acoa {st -h u), -n.^-^ Acos {st + a), ^, = ^ Acos {st -\- (/.). 

On en conclut qne les vibrations des atomes s'effectuent suivant des 
droites passant par le centre de gravité. Le tétraèdre se dilate et se 
contracte alternativement, en restant homothétique à lui-même. 

11. Deuxième solution : L == o; racine double s'- = 2mp. — On 
a encore 

A,2=A3_,, A|3=^A2,41 A,4^=A2^:, 

et par suite 

A, ,2 -f- A, ,5 -f A, .4 = o. 

Deux des constantes restent arbitraires. Ou en déduit 

pt,i = P3,4 = Acos{st -+- a), 
p,.3 = p2,i = Bcos(.î« -t- a), 
p,.k = P2,3 = — (A -f- B) cos (st + a). 

Les équations (i i) se réduisent à 

'HIl ^^laii \Ax, + 8^3 - (A + B) JcA cos{st + a) ; 
dt' r ^ 

d'où 

^, = i [(A -hh) Xi — Ax., — HjCs] cos [st + a). 

Si le plan des x}' est parallèle à la faceni^m^ m^ du tétraèdre dans 
l'état d'équilibre, on a 'Ç^ = o. Ainsi la vibration de chacun des atomes 
s'effectue dans un plan parallèle à la face opposée du tétraèdre. La 
direction de la vibration de l'un des atomes est arbitraire dans ce j)lan. 

En combinant deux vibrations de cette seconde espèce, on a des 
vibrations elliptiques dans des plans déterminés. 

12. Troisième solution : Racine triple s^ = l\mp. On a 

L = o, A, 2 = — Aj,, A, 3= A2,i, A,,=: Aj.sj 



3i2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

d'où 

j5, 2 := — /33,4 =: A COS [st ■+- «), 

Pi. 3 = — Pi.i = B cos{st — a), 
pi 4 = — p2.3 — Ccos(j/ -I- a); 

les trois constantes A, B, C restent arbitraires. 
Des équations (i i) on déduit ensuite 

«, rzr -{{x^ — .r.) A-t- [x^ — .r,)B -+- (x^ — x,)C] co^{st-\- a). 

La direction de la vibration rectiligne de l'un des atomes est arbi- 
traire dans l'espace. En réunissant deux vibrations de cette troisième 
espèce, on obtient des vibrations elliptiques dont le plan de l'une est 
orienté d'une manière quelconque dans l'espace. 

Ainsi ime molécule tétraédrique formée de quatre atomes égaux 
ne peut rendre que trois sons différents. 



PURES ET APPLIQUÉES. 3i3 

THÉORIE NOUVELLE DES ONDES LUMINEUSES, 

Par m. BOrSSINESQ. 



Présentée à l'Acaclémie des Sciences le 5 août 1867; 
vnir les Comptes rendus, t. LXV, p. 235. 



Je considère Téther libre comme un milieu isotrope, pouvant pro- 
pager des vibrations transversales d'iuie amplitude extrêmement petite, 
et la matière pondérable comme composée d'atomes nombreux, entre 
lesquels pénètrent ceux de l'éther. J'admets aussi qu'il se produit, 
pendant le mouvement vibratoire, des actions s'exerçant à de très-pe- 
tites distances entre la matière pondérable et l'éther. 

Les ondes lumineuses se propagent dans l'éther libre avec une rapi- 
dité immense : par conséquent, l'élasticité de ce milieu doit être pres- 
que infinie par rapport à sa densité, pour les vibrations de très-|)etite 
amplitude. D'ailleurs ces vibrations occasionnent dans la matière pon- 
dérable des changements considérables, tels que la fusion, la volatili- 
sation, etc.; donc les actions qui s'exercent entre ces deux espèces de 
matière sont très-puissantes relativement à la petitesse des mouvements 
dont il s'agit. Mais ces actions sont-elles considérables en valeur ab- 
solue? Je ne le pense pas; car, dés que les excursions des molécules 
pondérables acquièrent une grandeur sensible, comme dans les ondes 
sonores ou dans les mouvements finis des corps, il est impossible de 
reconnaître expérimentalement la moindre résistance opposée à ces 
molécules par l'éther. On doit donc, ce me sendile, considérer cet 
agent comme doué d'une élasticité puissante pour des vibrations de 
très-petite amplitude, mais admettre eu même temps que ses forces 
élasli(|ues cessent d'être proportionnelles aux écarts, avant que ceux-ci 
deviennent appréciables, et qu'elles restent toujours très-petites en 
valeur absolue. La petitesse de ces actions, et de celles de l'éther sur 

TollU! Xlll Q^ Sfilie).— StPTEMBKE iSGS 4^ 



3i4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

la matière pondérable, n'empêchera pas leurs effets sur celle-ci, poiuvii 
qu'elles soient comparables, lors de vibrations très-rapides d'une am- 
plitude insensible, aux forces élastiques de la matière pondérable. 

Cela posé, concevons un corps homogène, créé au milieu de l'élher 
libre en repos. S'il existe pendant le repos des actions entre ces deux 
espèces de matière, ce que nous ne savons pas, l'élher contenu dans l'in- 
térieur du corps sera soumis à des actions sensiblement égales dans tous 
les sens, et dont la résultante sera nulle; mais celui qui se trouvera près 
de la surface sera comprimé ou dilaté par l'action des couches sous- 
jacentes de matière pondérable. D'après la pensée énoncée ci-dessus, 
cette action devra être extrêmement petite, et il me paraît naturel d'ad- 
mettre qu'elle ne changera pas d'une manière appréciable l'état de l'é- 
ther. Si elle changeait en particulier son élasticité, on n'arriverait pas 
aux conditions de continuité de Cauchy, ni par suite aux lois observées 
de la réflexion et de la réfraction, ainsi que nous le verrons au § VIII. 
Nous admettrons donc que l'éther contenu dans les corps est sensi- 
blement identique à l'éther libre. Un fait pareil se produit chez les 
gaz : mêlés à d'autres gaz sans action chimique sur eux, ils gardent à 
très-peu près la même élasticité et la même densité que s'ils étaient 
seuls. 

Supposons actuellement qu'une onde lumineuse vienne à pénétrer 
dans un tel milieu. Celui-ci sera parfaitement transparent, si l'onde y 
continue sa marche sans s'éteindre ni se morceler à l'infini. Cela arri- 
veia dans deux hypothèses différentes : d'abord, si le cor|)s est telle- 
ment constitué, que les molécules pondérables restent immobiles pen- 
dant les vibrations de l'éther, et n'absorbent pas une quantité appré- 
ciable du mouvement; en deuxième lieu, si la matière pondérable y 
vibre en concordance avec l'éther. La première hypothèse nous paraît 
invraisemblable; car on ne conçoit guère comment les molécules pon- 
dérables pourraient, dans un milieu agité, rester immobiles et n'ab- 
sorber qu'une fraction insensible du mouvement. Nous admettrons la 
.seconde, qui nous expliquera très-simplement, avec toutes leurs lois 
observées, la dispersion, la polarisation rotatoire, la double réfraction 
rectiligne et elliptique, la réflexion et la réfraction. 

Un corps imparfaitement transparent sera au contraire celui qui, 
ne pouvant vibrer complètement à l'unisson de son éther, brisera sans 



PURES ET APPLIQUÉES. 3i5 

cesse el morcellera à l'infini les ondes qui se propageront à son inté- 
rieur. Il donnera ainsi naissance à de nouveaux mouveinents vibra- 
foires, dont la longueur d'onde pourra n'être pas la même que celle 
des premiers. 

Si le morcellement est tellement rapide, que toute onde de force 
moyenne soit anéantie avant d'avoir parcouru un espace sensible, le 
corps sera opaque ou athermane. La force vive ne se perdra pas pour 
cela, mais elle passera sans cesse dans de nouvelles ondes produites de 
proche en proche : la conductibilité sera justement cette propriété 
qu'aura le corps de propager lentement dans son intérieur, sous forme 
d'ondes toujours nouvelles d'une étendue infiniment petite, la force 
vive qu il aura reçue. Celle-ci s'accumulera dans le corps, car il en arri- 
vera sans cesse de nouvelles quantités avant que les premières aient pu 
sortir; l'agitation des molécules augmentera donc, et produira divers 
effets qui constituent réchauffement. J'espère montrer dans un autre 
Mémoire que, de ce point de vue, on arrive aisément au.x équalions de 
la température et à l'explication des principaux phénomènes physi- 
ques et dynamiques de la chaleur; ici je me bornerai à l'étude des 
ondes lumineuses. 

§ I. — Equations des mouvements vibratoires. 

Quand nous disons que les vibrations très-petites de la matière pon- 
dérable, dans les corps transparents, sont concordantes avec celles de 
l'éther, nous entendons que, dans les mouvements périodiques de fai- 
ble amplitude, la position des molécules pondérables dépend a chaque 
instant de celle des molécules d'éther qui les environnent, et ne dépend 
pas d'autre cho.se. Prenons un système de coordonnées rectangulaires 
desx, j, z. En un point {a:,jr, z) du milieu, et tout autour dans une 
très-petite étendue, la position des molécules d'éther est définie : à une 
première approximation, par les déplacements suivant les axes(w, v, îv) 
de la molécule d'éther M dont les coordonnées d'équilibre sont oc,j, z; 

à la deuxième approximation, par les dérivées premières ^^"' "' "'^- 
à la troisième, par les dérivées secondes d'in.,",'^) ^^^ ^ 

d{x,y,z)d{.r,y, z) 



3i6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

effet, si a + h, ; -+- k, z -h 1 sont les coordonnées d'équilibre d'une 
seconde molécule d'éther M', voisine de M, son déplacement suivant 
l'axe des x sera 

du , (la , (lu , 

« -I- ,- h + 1- k -H :r ' 

dx dy dz 

1 /d-ii , ^ d-ii, o d'il ,, d'il , , d'n ,, <f"« , , 
-f-- --;h-+-— k-+ — - i--|- 2-— -k! + 2 — -^lll-i- 2;7— T-llK 

2 \ <•/,(.-- d}' ih^ "J'^z </z«.r dxdy 

On voit qu'il ne varie qu'avec u et ses dérivées partielles des divers 
ordres en oc, j^ z. Comme il en serait de même pour les déplacements 
suivant les autres axes, et pour toutes les autres molécules voisines 
de M, l'état de l'ether est parfaitement déterminé, dans un petit espace 
autour de chaque point, par les valeurs qu'ont en ce point u, v, w et 
leurs dérivées partielles en x,y,z. Les déplacements suivant les axes «,, 
t», , IV, de la molécule pondérable dont la position d'équilibre est 
(x, y, s), ne dépendent que de cet état, et seront fonctions des mêmes 
variables. On aura ainsi 



M,, i',, i\', = des fonctions de n, V, w, de 

(0 



de 



d [-r, y, z) ' 

d'(u, (', ((') 
d{x,x, z)d\x,j, z) 



Pour u, V, w assez petits, les expressions de z/,, i», , w, pourront être 
développées par la série de Maclaurin, et, lors des ondes lumineuses, 
on pourra ne garder que les termes du premier degré. 

Les termes en ' ' '' ' , seraient négligeables j)ar rapport à ceux 

" (,■'■1 y j ^) 

en u, V, 11', si la longueur d'onde n'était pas tres-petite; mais, comme 
elle l'est, et que ces termes la contiendront en dénominateur, ils pour- 
ront avoir une valeur sensible. Il en est de même des termes en 

"' ',' ,' ■ Nous nous arrêterons généralement à ces derniers : 

d[x,y,z)d[x,j,z) ° 

les résultats ainsi obtenus seront suffisamment approchés dans la plu- 
part des cas. 

Cela posé, cherchons les équations du mouvement de l'élher. Ce- 
lui-ci étant supposé sensiblement identique à l'élher libre, et par con- 



PURES ET APPLIQUÉES. ^17 

séqiient isotrope comme lui, ses actions élastiques donneront suivant 
l'axe des ^, sur un volume très-petit ts comprenant la molécule M, 
une composante de la forme 



[(> + :^-)J. + y-A,A.]: 



6 désigne la dilatation -; — !--,- + -,-' ^-y désigne le symbole 

" dx dj dz ' ° ■' 

(C (f f/2 

-^— + j^ -t- -T-;» enfin >. et /j. sont les deux coefficients d'élasticité de 

l'éther (vo?/'Lamé, Leçons sur l'élasticité, § 26). 

Les forces élastiques de la matière pondérable, développées pendant 
les mouvements de très-petite amplitude qui constituent les ondes 
lumineuses, sont trop peu considérables pour produire un effet sen- 
sible [*]. 

Mais il n'en est pas ainsi des actions réciproques de la matière pon- 
dérable et de l'éther : ce sont elles en effet qui produisent les vibra- 
tions de l'une et modifient celles de l'autre. Bien que ces forces 
nous soient inconnues, il est naturel de penser que leur effet le plus 
grand et sensible provient d'une espèce de frottement entre les molé- 
cules d'éllier et celles de la matière pondérable, qui passent trés-pres 
les unes des autres sans avoir une vitesse commune. Par suite, l'accé- 
lération des molécules pondérables contenues dans le volume zs est 
due à l'éther de ce volume, et leur force motrice est égale et con- 
traire à leur action sur cet éther. En désignant par p, la densité de la 



[*] En effet, les forces élastiques exercées sur l'élément de volume a d'étlier sont 
du même ordre de grandeur que les produits de ra^, u^ par les déplacements u, i', «- : 
si nous appelons p la densité de l'éther, a] le carré de la vitesse de propagation des 

ondes transversales dans l'éther libre, carré égal à -, et m la quantité de mouvenjenl 

? 
que possède l'élément, elles seront de même ordre que le ])roduit w^m. De même, les 

forces élastiques exercées sur un élément égal de volume de matière pondérable seront 

du même ordre que w'/»,, w, étant la vitesse de propagation des ondes longitudinales 

dans ce milieu, et «/, la quantité de mouvement que possède l'élément considère. Lors 

des ondes lumineuses, ce dernier produit wjw, est bien négligeable à côté de w'//;; 

car m et m, sont comparables, tandis que w, est comme nul par rapport à w„. 



3i8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

matière pondérable, cette action aura pour composante, suivant l'axe 

des X, — p, ST -— ^ '• -jT- y représente l'accélération suivant l'axe des x 

de la molécule pondérable qui se trouve actuellement avec la molé- 
cule M d'éther; mais, tous les déplacements étant extrêmement petits, 
cette accélération ne diffère pas d'une manière appréciable de celle de 
la molécule pondérable dont les coordonnées d'équilibre sont x^ j, z, 
et nous pourrons y remplacer m, par son expression (i). 

Si nous appelons p la densité de l'éther, la composante mo- 
trice prs -rr du volume zs d'éther sera égale à 



[P" + /^)^ + /^-^2"]-p<'=^ 



d'il, 

IF 



De là résulte la première équation du mouvement, à laquelle les deux 



autres seraient analogues : 



, , ,, , rf9 , <-/-«, d'il 

(2) [1+ a)~ + lJ.^,u - p, — ^ p—. 

On substituera à ^<,, dans le premier membre, son expression sui- 
vant les premières puissances de u, v, w, el de leurs dérivées en x,^", z. 

Nous allons étudier la forme de m,, ^',, îv,, et les vibrations corres- 
pondantes de l'éther, dans les milieux isotropes, et dans ceux qui dif- 
fèrent peu d'être isotropes et d'être symétriques. 

Nous appelons ici milieu isotrope celui dont les équations de mou- 
vement ne changent pas, lorsqu'on fait tourner d'une manière quel- 
conque autour de l'origine les axes des coordonnées, en les laissant 
toujours rectangulaires et de même sens relatif. 

Nous appelons .y /«e^r/(j'Me tout milieu dont les équations de mouve- 
ment, pour un certain système de coordonnées rectangulaires, restent 
les mêmes, lorsqu'on change en son opposée la direction d'un quel- 
conque des axes. Enfin quand un milieu ne sera symétrique |)ar ra|)- 
port à aucun système de plans coordonnés rectangulaires, nous l'aj)- 
pe 1 lero n s dissymétrique. 

Il est clair d'après cela qu'un milieu isotrope sera symétrique lors- 
que, sans changer ses équations de mouvement, on pou'ra disposer les 



PURES ET APPLLQUEES. 819 

ares de toutes les manières, pourvu qu'on maintienne leur rectangula- 
rité; et qu'il sera au contraire dissymétrique, si on peut seulement les 
faire tourner d'une manière arbitraire autour de l'origine. Les milieux 
habituellement appelés isotropes seront, clans ce Mémoire, désignés 
sous le nom (ïisotropes-sjinétriques ; les liquides doués d'un pouvoir 
rotatoire sont au contraire isotropes-dissymétriques. 

Les milieux presque isotropes et presque symétriques dont nous 
nous occuperons, auront des équations de mouvement peu différentes 
[)our les divers systèmes d'axes rectangulaires de mêruH sens relatif, et, 
parmi ces systèmes, en admettront un pour lequel ils différeront, bien 
moins que pour tous les autres, d'être symétriques. Tels sont tous les 
cristaux transparents observés jusqu'à ce jour. 

§ IL — Formules de u,, v,, u',, dans les milieux isotropes. 

Dans un milieu isotrope, les expressions de u,, t',, w, seront les 
mêmes pour fout système d'axes rectangulaires de même sens relatif. 
Par exemple, l'expression de u, ne devra pas changer : si l'on change 
à la fois X en — jr, j' en — j\, n eu — u^ c en — c, u^ en — u, ; ou 
bien x en — a-, z en — s, u en — u, w en — iv, h, en — m, ; ou en- 
core y en — f, z en — z, v en — v, w en — w. En effet , tous ces 
changements reviennent à faire tourner d'une demi-circonférence le 
système de deux axes autour du troisième. Après cette première ré- 
duction, il ne restera plus dans l'expression de ;/, que les termes en 



«. X' 



di\' iPii d"- u d^ u d-i> 



dz dy dx- dj-^ dz' dx dy d.v dz 

si l'on s'arrête aux dérivées du second ordre. 

On peut aussi permuter entre eux deux des axes, pourvu qu'on 
change en même temps en son opposée la direction du troisième, par 
exemple, transformer jr en z, v en w, et z en jr, iv en v, pourvu qu'on 
change en même temps x en — x, u en — m, u^ en — «,. On recon- 
naît ainsi que les coefficients de -7;' 7- sont égaux en valeur absolue, 

mais de signe contraire, tandis que ceux de-; — > -, — 7- sont respective- 

° ' T dy' dx dj ' 



)20 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

d-ii d' 



ment égaux à ceux do ^- -j-V- L'expression c!e ?.', est donc de 1; 
forme 



(3) 



_ / di' dw 



C 



f/9 



-f- DA„?/ -t-E— ,, 



en changeant respectivement les axes des X, des j", des 7-, en 
ceux des r, des Z, des .T, on en déduit 

du\ 

11) 



., =A,.+B(g 
et de même 
\ u', — Aïv + B 



+ C-T- + DAjt^ + E-— -. 

dy dy' 



du 

l'y 



dv\ 
di) 



C 



rf9 
dl 



DAjir 



, d\v 



' d d d 
\dx~dx' '■dy'" 




dl~ d? 


j H = ;/ — ^\>', 


4' =: c' + v«', 


U' =; H'' 


> «. =^"', - ^*''m 


f'i = ^'\+ vî/, , 


iV, =^ (v', 



Supposons actuellemcnl qu'on fasse tourner, aiitoiu- de l'axe des z, 
les deux axes des a- et des ^- d'un angle infiniment petit i. Soient x', 
y\ z'; î/', i'', îv'; m',, i'\, xv'j, les coordonnées d'équilibre et les dé- 
placements, dans le nouveau système d'axes infiniment voisin du pre- 
mier, des molécules dont x, j, z; u^ i-, w; w,, i',, h-, sont les coordon- 
nées et les déplacements pareils dans le système primitif. Nous aurons 
les formules de transformation 



(4) 



Tirons de ces formules les expressions de ?<,, c,, u',, et celles de Ji, 
1», w et de leurs dérivées partielles eu x, _^, z, en fonclion des quan- 
tités pareilles relatives aux nouveaux axes, puis portons-les dans les 
relations (3). Il faudra et il suffira que les termes entaient somme 
égale dans les deux membres de chacune de ces relations, pour que 
le milieu soit isotrope aulour de l'axe des z. On trouve pour cela la con- 
dition nécessaire et suffisante E = o. Il est clair que l'isotropie autour 
des autres axes des coordonnées, et, par suite, l'isotropie absolue du 
milieu, donnera la même condition. Donc les expressions définilives 
de ?/,, f,, w^ s'obtiendront en faisant, dans les relations (3), E = o. 

Si le milieu est isotrope-symétrique, ces relations subiront une nou- 
velle réduction. La première d'entre elles ne devra changer, ni par 



PURES ET APPLIQUÉES. 32 1 

les transformations de x en — .r, u en — m, ti, en — n,, ni par celles 
de j' en — ^, t^ en — v, ni par celles de z en — z, ir en — iv. On de- 
vra donc poser B = o, et il n'y aura plus de terme contenant les dé- 
rivées premières de a, s>, w. 

§ lll. — Dispersion et polarisation rotatoire : lois approchées. 

Nous pouvons maintenant étudier les vibrations de l'éther dans 
les milieux isotropes. Portons la valeur approchée de ii, dans l'équa- 
tion (2), et celle-ci deviendra 

Prenons les intégrales simples de cette équation et des deux autres 
pareilles, sous la forme 

2-/ mT-<-nr-^,)z \i — ^ 

i^^'le'^ " ^ 

) 2 77 / mx + n> -<- P - \ /• — 

(5) U = Ne-(' ^>^', 

îv= Pe" ^ " ' ; 

fn, n, p sont les cosinus des angles que fait avec les axes une direction 
quelconque, t et w deux constantes réelles, enfin M, N, P trois coeffi- 
cients généralement imaginaires. Il est clair que les parties réelles de u, 
t', \K> vérifieront séparément les équations du mouvement : elles repré- 
senteront des ondes planes, perpendiculaires à la direction [in, h, /j), 
ayant w pour vitesse de propagation, et toj pour longueur d'onde ou t 
pour diuée de la vibration. 
Observons que 

et la première équation du mouvement deviendra 

4C7r'p,\ ^/9 / 4Dk=p,\ , 4B7t'p, /^-^ dw\ 

= fp + ,'^.A)^- 

T.,111? \\\\ r2«S0rij). - SEPTE.MDP,li iS(i3 4l 



3>.2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Supposons pour un instant que le milieu soit isotrope-symétrique, 
ou que B = o. On voit qu'il se comportera comme un corps homo- 
gène d'élasticité constante, qui aurait pour densité p + jo. A, et pour 
coefficients d'élasticité ceux de l'éther, augmentés chacun d'un terme 
très-petit inversement proportionnel à t^. Les carrés des vitesses de 
propagation des ondes longitudinales et des ondes transversales seront 
respectivement [voir î.amè^ Leçons sur l'élasticité, § 69) 

X + 21X r , 4(CH-D)7r'pi 1 1 fx / /jDv'p, 1 \ 

p + p, Â L X + 2 U. T= J p + p, A \ li T- / 

Ces vitesses varient avec t conformément à la formule approchée 
que l'expérience a donnée pour les ondes transversales. On a reconrni 
ainsi que le coefficient D est négatif, ou que la vitesse de propagation 
augmente avec la longueur d'onde. Toutefois il doit être positif pour 
la vapeur d'iode; car, dans cette vapeur, la vitesse de propagation di- 
minue avec la longueur d'onde. 

Quanta A, sa signification dans les formules (3) montre qu'il est 
essentiellement positif. En effet, l'éther doit entraîner les molécules 
pondérables dans le sens suivant lequel il se meut lui-même. Par suite, 
ce coefficient a poui- effet de rendre les vitesses de propagation des 
ondes plus petites dans l'éther des corps que dans l'éther libre : ce qui 
est encore conforme à l'expéiience. 

Revenons au cas générai de B quelconque, et posons, afin d'abréger, 

47r'Cp, 4'r'np, 
(7) i-^" = I^. ic-^U -^-A-, 

^'' p + p, A ' p + p,A p + p,A ' 

Nous pouvons sujiposer, à cause de. l'isotropie, que le plan des jcj' 
ait été pris parallèle aux ondes, ou que l'on ait m = o, « = o, /j = i . 
Alors les valeurs (5) de u, v, w ne varient qu'avec z et t, et changent 
les trois équations du mouvement eu 

INl H N v/— I = o. 



m' / TW 



(8) ;(j._,)N-:^Mv-.:=o, 



K + T, 



P=.0, 



PURES ET APPLIQUÉES. SaS 

Ajoutons les deux premières de ces équations, après les avoir res- 
pectivement multipliées par N et par — M. Elles donneront 



/t(M'^-t-N=) = o ou N=±Mv/- 
et ensuite — — r nr M = o. 



(9) 



On salisfait à la troisième (8) en faisant, soit oj^ = K -i- L, soit P = o. 

Dans le premier cas, les relations (9) donnent M = 0, N = : les 

vibrations sont longitu Jinales, et les ondes se propagent avec la même 

vitesse v'K. -+- \j que si B était nul, ou que le milieu fût symétrique. 

Dans le second cas, les vibrations sont transversales, c'est-à-dire se 
font dans les plans des ondes. La deuxième relation (9) donne 



TT / l T:' k 






le radical doit toujours être [)ris positif, car, avec le signe —, il don- 
nerait pour w des valeurs négatives. 

Appelons w,, r,i., les deux racines, la première correspondant au 

signe -I-, et à N -— — M y'— i ■ Si nous prenons M = le'''^ ' , 1 et 9, 
étant réels, les parties réelles de u, c, ou les déplacements correspon- 
dants à cette première racine, seront 

T 2ff/^ z \ . . in I z 

_n= 1 cos -^ [t •" ?i ' '' = 1 sin — It h ^ 



La courbe décrite par chaque molécide est le cercle ir + f- = P : il 
est parcouru dans le sens direct, c'est-à-dire en allant de l'axe des jc 
vers celui des j'. 

Appelons «p, l'ne autre constante, et les déplacements correspon- 
dants à la seconde valeur de o) seront 

a = lcos — / 1- (6, , c = — Isiri — [t 



La trajectoire est encore un cercle, mais décrit en sens inverse du 
premier. 

41. 



32/, JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Si l'on veut avoir des vibrations rectilignes, on n'a qu'à prendre la 
somme de ces deux intégrales. On trouve ainsi, pour nouvelles valeurs 
des déplacements, 

- ' TT /W| fJ, \ 2 7r/^ », -H w, fi-hfi 

U = 2lCOS- Z + ©, — ©., COS t Z + 



t» = 2 Isin - z -+- (p. — rp^ COS t Z -f- 

L'angle que fait la vibration avec l'axe de x est 

^L = - ;; + ffl, — ffl, = -I — 2 + consf. 

T \ W| W, ' ' " / i-.T- 

A mesure que l'onde avance suivant l'axe des z, le plan de polari- 
sation tourne, dans le sens de la vibration circulaire dont la vitesse 
de propagation est la plus grande, d'un angle qui varie proportionnel- 
lement au chemin parcouru, et ;i peu près en raison inverse de t" ou 
du carré de la longueur d'onde : cette dernière loi approximative a été 
trouvée expérimentalement par M. Biot. 

La vitesse de l'onde est 

3. w, oȕ L 



s/^ 



elle se réduit, sauf erreur du second ordre, à yL, lorsque /. est très- 
petit : c'est ce qui arrive chez tous les corps. 

§ IV. — Lois plus exactes. 

Il est aisé d'obtenir pour chaque onde en particulier, dans le cas d'un 
milieu isotrope, l'expression aussi approchée qu'on voudra de «, , i», , (v, , 
et par suite les formules de la dispersion et de la polarisation rotatoire. 
Il suffit de prendre, comme au paragra|)he précédent, le plan des xj 
parallèle aux ondes. Alors u^ v, w ne dépendent que de z et de t. Les 
termes contenant les dérivées d'ordre n, qui entrent dans l'expression 

, , . . . . d" u d"i> il'Uv 

de M,, seront tout au puis au nomljre de trois, savoir ——■, -r--> —r-- 

" ' ' «:" dz" dz" 



PURES ET APPLIQUÉES. S^S 

Mais les remarques faites an commencement du § H les réduiront 
encore : si n est pair, il ne restera que le terme en -^/, si n est impair, 
il ne restera que celui en ^- De même, l'expression de t-, ne contien- 
dra pas d'antre terme d'ordre n que celui en -^ si m est pair, et celui 

en — si n est impair. Ces termes auront même coefficient dans u^ et 
dans V, pour n pair, et des coefficients égaux, mais de signe contraire, 
pour n impair; car, si l'on échange entre eux les deux axes des x et 
des Y en changeant en même temps z en — z, la formule de u, devien- 
dra celle de V, et réciproquement. Quant à la formule de (V,, elle ne 
contient pas de terme d'ordre n si n est impair, et elle contient seule- 
ment le terme en ~ si n est pair. Les expressions de «,, c,, u', seront 
donc de la forme 

r „ o, f/'"' • cil '''"' , 

[H., = Srv +S'-^ +S^-^.... 

D'ailleurs, les divers coefficients Q, Q', Q",- ■■> R, R', •••, S, S',... se- 
ront arbitraires, excepté S qui, nous le savons, est égal à Q. En effet 
on reconnaît aisément, par les formules (3) où E= o, et en observant 
que l'expression symbolique A^ reste la même dans tous les systèmes 
de coordonnées rectangulaires, que les formules suivantes sont iso- 
tropes, quels que soit leurs coefficients : 



+ Q"A,A,«-4-(S"-Q")A.;;^ + R"A,A,(J- 



ch' (liv 






-4-Q"A^A,i' + (S"-Q")A,^+..., 



39A-, JOURISAL DE MATHÉMATIQUES 

+ Q"A,A,n'-^(S" -Q")A/^+.... 

Or, si on y suppose /^, v, w indépendants de x et de ) , ces formules 
deviennent identiques à (lo), pourvu que la condition S = Q soil 
vérifiée. 

Portons dans (loj les expressions de u, c, w données par 

I\l Ps P "^ 

et observons que 



rf'rt 4^^' ''" 


d^'u 


iGti-' du 


d'il 

' dz- 


4- 

7- f.)-' 




d' u 


iÔtt' 


^/- « 


<iz T'-f»>' dz 


dz' 


' -'w' dz' 


dz 


t'w' 


,/z^ 



Les déplacements u,, f,, t^', prendront la forme qu'ils avaient au para- 
graphe précédent, dans le cas d'une onde perpendiculaire à l'axe des z, 



[lo bis) 1 ., 

,v. = Ah'+{C + D)' '" 



dz' 



On aura donc toutes les formules du paragraphe précédent à partir 
de (7); seulement B, C, D seront ici des séries rapidement conver- 
gentes, ordonnées suivant les puissances négatives de z-m'. 

Si le milieu est légèrement dissymétrique, la formule qui termine le 
paragra|)he précédent donne, pour calculer le carré de la vitesse de 
propagation des ondes transversales à vibrations rectilignes, l'équation 



i:!>D 



)- = L, ou bien 



•p,A 



De cette équation ou 1) est une série rapidement conveigente or- 
donnée suivant les puissances négatives de t'w% on tirera par approxi- 



PURES ET APPLIQUÉES. ^27 

mations successives la valeur de w^, sous la forme 

(11) w- = ei+ — + -+• 



C'est la formule géuérale de la dispersion dans les corps isotropes, 
c'est-à-dire celle qui donne, en fonction de la longueur d'onde ou de 
la durée de la vibration, la vitesse de propagation des ondes. 

L'angle (j; dont tourne le plan de polarisation sera, sauf une con- 
stante, 



p + p, A 



En substituant à B la série que représente celle quantité, et puis 
à co^ sa valeur (1 1), l'angle i\i pourra être développé en série de la foruit' 



(.2) +=è('+$ + Ç 



Tous les coefficients e, e', f^'\...,J,J',f"&ou{ indépendants. 
Si nous prenons dans i]; deux termes seulement, et que, supposant 
/' négatif, nous mettions le signe en évidence, nous aurons 



ii-Ç 



L'angle dont tourne le plan de polarisation ne variera plus, connue 
au paragraphe précédent, en raison inverse du carré de la longueur 
d'onde : mais il s'annulera, en changeant de signe, pour t" = /', et sa 
valeur absolue deviendra maxima pour r'^ ^= if. C'est ce qui arrive, 
comme M. Biot l'a reconnu, dans des dissolutions d'acide tarlrique [*]. 



[*] Les expressions (lo) de u,, e,, i\\ ne conviennent pas seutenjent au cas d'un mi- 
lieu isotroj)e autour d'un axe pris pour celui des z; elles conviennent aussi au cas 
d'un cristal à un seul axe oj)tique, pour l'onde normale à cet axe. 

tn effet, les cristaux à lui axe ont pour type, soit le prisme droit à base carrée, soit 
le prisme droit à hase hexagonale régulière. L'axe des z étant celui du prisme, on peut 
adopter deux axes rectangulaires des .r et des y, le premier perpendiculaire sur le mi- 
lieu d'un coté du carre ou de l'hexagone, le second perpendiculaire à nu entre côté 



328 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

§ V. — Double réfraction rectiligne. 

Considérons actuellement un milieu presque isotrope et presque sy- 
métrique : ce qui est le cas des cristaux naturels au point de vue des 
ondes lumineuses. 

l^es valeurs de m,, v,, h',, dans un milieu rapporté à trois points 
plans coordonnés de symétrie, doivent satisfaire à la condition de ne 
pas changer de forme, lorsqu'on change arbitrairement en son opposée 
la direction d'un quelconque des axes. Si l'on s'arrête aux dérivées du 
second ordre, cette condition revient à dire que ii, contient seulement 

, tl-u d-ti (fil d'v d-iv 

les termes eu m, -j-^-. -j-^^ — -t-j -; — r-? -; — ^• 

f/.r- d\ ■ dz' dx dy il.r riz 

Le milieu proposé étant presque isotrope, 7^,, p,, îv, y ont la 
forme (3) avec E = o, sauf erreur très-petite, et cela dans tous les 
systèmes d'axes rectangulaires de même sens relatif. Mais de plus, pour 
un système particulier d'axes, le milieu est presque symétrique, c'est- 
à-dire se rapproche incomparablement plus d'être symétrique que 
pour tout autre système. Cela fait que, dans ;<,, à part les termes en u, 

d'il d-ti d'u d-v d'iv . i . 

. — , — , — — , - — -> ,—7 5 tous les autres auront avec ce système 

f/jr- il y- dz' (Ix dy dx dz •' 

d'axes des coefficients incomparablement plus petits que ceux qu'ils 

<1m carré ou ])assant par un sommet de l'iiexagone. Si l'on fail tourner de 180 degrés 
le système de deux quelconques des axes autour du troisième, les nouveaux axes se- 
idiil par rapport au cristal dans une position semblable à celle des premiers, et les for- 
nuiles de ",, i',, »', n'auront pas changé. Donc, pour l'onde per]>endiculaire aux s, ces 
quantités auront des expressions de la forme 



{^) 



Actuellement faisons tourner, dans le plan des.»/, les deux axes des .r et des_^-, 
d'un angle z égal à 90 ou ;"> (>o degrés, de manière à obtenir deux nouveaux axes 
des .r' et des/' disposés par rapport au cristal dans une position analogue à celle des 



«, = Q(( + R 


ï-«' 


d-, + ^ 


d'v ll'll 

d.'-^"^ dz' 


", =Q,<'H- R, 


1-^. 


■ d,^ + ^' 


d'il „ d*r 


ii'i ^= S(i' 


-4- S' 


dUv 

dz- 


-"^' 



PURES ET APPLIQUÉES. 329 

avaifut avec les autres systèmes. En convenant de négliger ceux cPen- 
tre eux qui étaient déjà très-petits dans tout système d'axes, il ne res- 
tera que le terme B (~ - '^] ■ Quant aux termes en u. ^, —, ^, 

\dz dy j ^ ■ ,l.,- ,()■ </z- 

dJTh" TïTdz' pourront avoir respectivement des coefficients qui dif- 
fèrent de A, D + C, D, D, C, C de quantités très-petites par rapport 
à A, D, C eux-mêmes. Ceux qui contiennent les dérivées secondes, in- 
fluant déjà assez peu sur le mouvement, peuvent être supposés les 
mêmes que dans le cas de l'isotropie. Donc le terme en tt a(ua seul, 
oiUre la partie isolroj)e An, une partie très-petite Aau. 



premiers. Soient «', /, (/, , c', les ilcplacemenis des molécules par rapport an nouveau 
système des .»•' et des 7'. Nous aurons les fornndes de transformation 



u ^ u cosa — 1' sina, 

V = II' sin a -+- «' cosa ; 

//, = «'iCOSa — c'iSina, 

f, = i/', sina -1- (■', cosa. 



Ces valeurs de u, v, «,, <-, , portées dans les deux premières relations (a), les chan- 



"'. — Q«' — R -^ j cosa — ( </, — Qc' -f- R '-^ I sina =r o, 

«', — Q, «' H- R, ^ j sina 4- iv\ _ Q, ,.' _ r/JI. j coSa = o. 

Les coefficients de cosa sont nuls identiquement, car u\, c', doivent avoir les mêmes 
expressions que «, , c, ; donc, sina n'étant pas nul, ses deux coelficienis doivent l'être, 
et, comparés à ceux de cosa, ils donnent 

Q, r=Q, R, =z-R....; 

ce qui identifie les relalicns (aj aux fornmics (10). 

Il en résulte que les cristaux à un axe se comportent, pour l'onde normale à l'axe, 
comme les milieux isotropes, et que toutes les formules de la dispersion et de la pola- 
risation rolatoire établies ci-dessus leur sont applicables. Seulement les deux coeffi- 
cients Q, S ne sont plus égaux : mais cela n'influe en rien sur ks ondes transversales. 
Tome XIII (2» série) — SrrTEMB[\E 1868. 4^ 



33o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Les expressions dei/,, i',, ir, seront ainsi 



(Iv ihv\ cl 9 

t/z (ly j cl.x 



u, = A{i -h u)u -\- B {- ;- ) 4- C— + DAjM, 



(.3) j .. = A (. + r^). + p. (;-;;i. - ^) + cg + da,., 



/7 



u..=.A(i + v)u^+B --- +C^ + Dâ,u.; 



les coefficients a, /3, y, B sont très-petits. 

Si nous rappelons que, clans le cas d'un mouvement vibratoire, 



et si nous adoptons, afin d'abréger, les notations (7), et celles-ci, 

(,4) --li±\^a^ __P.A,8 ^^ __IlAl^ c, 

,1 H- p, A û + p, A p -1- p, A 

la valeur de u,, portée dans (2), donnera la première des trois équa- 
tions du mouvement 

-7V = Kr+c-^-t-LH- c]à.,n'-¥- - ,- A- — • 

\ ^/«^ ^ ' dz ^ ■ T- \e/r "■'' ,' 

Nous supposerons qu'on ail choisi les axes de telle sorte que èsoit 
compris entre a et c. Cela n'empêche pas de les prendre de sens déter- 
miné, de |)reuflre par exemple l'axe des ; à droite de celui des jc, 
pour un obseï valeur (pii ainait les pieds à l'origine et la tète du côté 
(les z positifs : il suffit pour cela de changer, si c'est nécessaire, un 
lies axes en son prolongement. 

J3ans tous les cor[)s biréfringents connus, la quantité k est si petite, 
qu'on peut la négligci'à luie j)remiére appi'oximation, et qu'il a même 
été le [»lus souvent impossible de constater sou existence. Si nous fai- 



PURES ET APPLIQUÉES. 33 1 

^lOI)s A' = o, les équations (j5) seront un cas particulier des écjua- 
tioiis (8) étudiées dans notre Mémoire sin- les ondes dans les milieux 
isotropes déformés [*]. Il suffira, pour les leur identifier, de poser 
dans ces équations (8), 



[i 5 bis) X' = >. = K, p. = (5 — L, (7 = o, 



o. 



On aura ainsi la théorie de la double réfraction rectilignc de Fresnel, 
jjuisque o- = o [voir § VIII du Mémoire cité); mais les vibrations ne 
seront qu'à peu près transversales, et non pas rigoureusement comme 
le supposait Fresnel. 

Les coefficients K, L contiennent la longueur d'onde, et donnent 
la partie principale de la dispersion ; cette partie est la nièmc que pour 
un corps isotrope. Si on voulait connaître l'autre partie, il faudrait 
pousser plus loin l'approximation. 

Lorsqu'on s'arrête aux termes du même ordre de grandeur que a, 
b, c, nous avons vu, au § IX du Mémoire cité, que la direction des 
axes optiques est évaluée avec une erreur du |)remier ordre. Donc, si 
l'on construisait l'onde exacte, la du'ccfion d'un même axe optique 
serait généralement variable avec la longueur d'onde d'une quantité 
assez petite, mais sensible; ce fait constitue la disiiersion des axes opti- 
ques. 

§ VI. — Double réfraction elliptique. 

Voyons maintenant quelle peut être, dans les équations (i5), l'in- 
fluence des termes en k sur une onde plane de direction quelconque. 

Si ces termes étaient nuls, une onde plane de direction quelconque 
pourrait correspondre à trois vibrations reclilignes sensiblement rec- 
tangulaires : deux quasi-transversales, une quasi-longitudinale [voir 
les §§ 11,111, IV du Mémoire cité). Prenons de nouveaux axes rectan- 
gulaires disposés dans le même sens relatif que les premiers; choisis- 
sons ceux des oc' et des 7' par.dléles aux ondes, et fiisant avec les vi- 
brations ([uasi-transversales des angles aussi petits ou aussi voisins de 
deux droits que possible, et prenons l'axe des z' dans le sens suivant 



[*] Jiniiiml de Mnihcinaliqucs pures et iiiijiliqiKr.s, •}.' série, t. XIII, p. aai . 

42.. 



332 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

lequel marchent les ondes; ce dernier fera par conséquent un angle 
très-petit avec la vibration quasi-longitudinale. L'onde sera parallèle 
au plan des x'j\ et les déplacements u' , v', iv', pris dans le même 
système d'axes, dépendront seulement de z' et de t. Si donc nous fai- 
sons abstraction des termes en k, les équations du mouvement seront 
de la forme 

dUl' d'il' d'v' d'iv' 

■^5- = ^' -d^-^^ TIF' +"7^' 

dUv' d'^iv' d'^ui' d^t>' 

di' ~ 1^ "*" ii^ ' ^?^ ■ 

Portons-y les valeurs de ?/, c', u'', données par 

elles deviendront 

( [F - «=)IVI 4- GN + HP =0, 

(17) j (F' - 0)2) N + CM -+- H'P = o, 

( (F" - or) P + G" M + H"N -= o. 

Nous savons que ces relations doivent être vérifiées, si on y fait 
deux quelconques des quantités M, N, P très-petiles de l'ordre de a, 
A, c, la troisième restant finie. W en résulte que les coefficients G, H, 
G', H', G", H" sont au plus de l'ordre de r/, Z», c, et que les carrés des 
trois vitesses de propagation sont respectivement égaux, sauf erreur 
du second ordre, à F, F', F". Si nous considérons spécialement les 
deux vibrations qnasi-transversab s, en observant «[uc les deux valeurs 
correspondantes de w" diffèrent très-peu, nous verrons que G, G' sont 
.seulement du second ordre en «, i, c. Dans l'élude de ces vibrations, 
on pourra donc réduire les deux premières équations du mouvement, 
sauf les termes en /r, à 

08) ^ = F^,, -j,T=y-^- 



PURES ET APPLIQUÉES. 333 

Je suppose qu'on ait pris l'axe des x' dans le sens de la vibration 
qui correspond à la pins grande vilesse de propagation, on dans le 
sens de l'aulre vibration, suivant que a est > ou < c. En appelant U, 
U' les angles que fait la normale à l'onde avec les axes ojiliques, nous 
ain-ons, sauf erreur du second ordre \vo\r, dans le Méinnire sur les 
ojides dans les milieux isotropes déjormés, la formule (3o), où /'■' ne 
diffère de w" que d'une quantité n;^gligeable du second ordie]. 



;>9) 



j F ^- I. [, + ^ - ^ cos (U + U'j], 
(f=l[. + ^-^cos(U-U')} 



Quant aux termes en A, ils sont les mêmes dans tout système d'axes 
rectangulaires de même sens relatif; avec le nouveau système de coor- 
données ils ne donneront rien dans la troisième équation (i6) du mou- 
vement, tandis qu'ils augmenteront respectivement les seconds mcm- 

bres des deux premières de ^ A -r-, et de — ^^— k -—;• l-es vraies 

ï^ t' ilz T dz 

équations ainsi obtenues, on y portera les valeurs (i6 bis). La troisième 
donnera toujours 

(F" - r^^) p + G"M + H"N = o. 

Comme G" et H" sont très-pelits, il en résulte qu'on aura, on bien 
F"— w^ très-petit, ou bien P très-petit. 

Dans le premier cas, les deux premières équations du mouvement 
donneront M et N très-petils : donc l'onde correspondante est quasi- 
longitudinale; de plus la troisième équation donne oj^ = F", comme 
si k était nul. 

Dans le deuxième cas, la vibration est quasi-transversale. On peut 
négliger les termes en G, G', H, H', qui sont du second ordre, et les 
équations (i8), avec les termes en /., deviennent 

((^.-.)m+^Ns/— = o, 
' !:_, N-i^Mv'^-o. 

\<à' / TU 



334 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 



Éliminons le rapport — ; nous obtiendrons l'équation des vitesses, 



i-Ar--A = ^^~^''^' 



qui, résolue en négligeant les quantités très-petites par rapport à A, 
donne 



w 



= ^*v/(^)'-(-^)" 



Appelons w, la racine qu'on obtient en prenant le radical avec le si- 
gne de F — F', et (,).2 l'autre racine. Les valeurs (19) de F, F' permettent 
d'obtenir ces deux racines en U et U'. Leur différence est 



(21) to, — Mo = ' -^- = t / ^ "^ sinUsuiU' -t-l^r-l- 

N 
I^es équations (20) donneront ensuite le rapport — 



N _ 
OU bien 



N _2^ 



iTzk 



TM w' F 



7V'— 1 



■2 - /■ V 1. 



H^-^H 



F — F'_^ IV — ry /277(!VlV 



V-i 



[a — c] ^L 



inUsinU'zhl / ^^^-^sin U sinU' + /'^V 



Appelons q le coefficient de — y — ' dans cette expression de —, lors- 
qu'on prend le radical avec le signe de F — F', c'est-à-dire de a — c. 
(^ela donne 



N = — Mo y/ — I , si l'on pR'iitl la prcniièie racine w,, 
M = — N^ V — I , si l'on prend la seconde racine o)o. 

Enfin posons M = le'''^""' dans le |)remier cas, et N = le'''^ ~' dans le 



PURES ET APPLIQUÉES. 335 

second, I, 9,, 9. désignant des quantités réelles; pnis, gardons pour 
intégrales simples les parties réelles de it\ v' . Nous am-ons les é(| 
tions des deux ondes 



ua- 



et 



u' = 1 cos — ( / — - H- 9 , ) > «'' ^ 1 7Mn 



1 cos 



u' = Ir/sui — { t 

' T \ 6); 



W, / 



La trajectoire des molécules dans la première onde est une ellipse 
dont le grand axe est parallèle aux .r', le petit axe aux j', et qui est 
décrite, si q est positif, en tournant dans le sens du premier de ces 
axes vers le second. Dans la deuxième onde, la trajectoire est encore 
une ellipse, semblable à la première, mais disposée à angle droit avec 
elle et décrite en sens inverse. 

Le rapport du petit axe au grand, dans ces deux ellipses, est en 
valeur absolue 



(22) q=^ 



(«-c)v/L 



sinUsinU' + v/ 



^ — — sin U sinU' 



(^ 



Le radical doit être pris avec le signe de a — c. 

L'angle qui exprime le relard contracté par la deuxième onde, pai 
rapport à la première, en traversant une épaisseur h de la sub- 
stance, est 

9,71 /■ /i II \ aîr(w, — 0),) A 



T \ Wv 



tL 



On aura donc, d'après la relation (21), 

(23) retard - a;. // 1/( ^_~ ,''^'" '^^^'"'^^ j "^ (^ï) ' 

Le radical doit être pris avec le signe de a — c. 

En résumé, un cristal dissyméiriqiie peut propager dans cIki<|ui' 
direction, outre une onde quasi-longitudinale de même vitesse que 
s'il était symétrique, deux omirs (prisi-liansversales, ayant cliacune 



336 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

sa vilesso distincte de propagation. Les vibrations de (liaque molé- 
cule d'éther, dans ces deux ondes, se font suivant deux ellipses sem- 
blal)les, de forme parf.iitement déterminée par la relation (■22), dis- 
posées à angle droit et décrites en sens contraire l'une de l'autre. De 
plus, le grand axe de chaque clli[)se est dirigé comme le serait la 
vibration rcctiligne correspondante, dans le milieu supposé sj'mé- 
trique. 

Le rapport q du petit axe au grand axe [(22)] est le plus grand pos- 
sible pour U = o, ou bien pour U' = o. Il est alors égal à i : l'ellipse 
est nn cercle, et l'on a la double réfraction circulaire, avec les mêmes 
lois approchées que dans les milieux isotropes dissymétriques Dés cpie 
U ou U' augmentent, le rapport 17 diminue, et il devient mininnnn 
pour U et U' égaux à 90 degrés. Si k est assez petit par rapport 
k n — c, les ellipses deviendront presque des lignes droites, et les 
vitesses w,, Uo seront à peu près les mêmes que pour un cristal syuîé- 
trique. 

Obser\ons, en terminant ce paragraphe, que le défaut de symétrie 
d'un cristal est caractérisé dans les expressions de ^/,, i»,, iv,, non-seu- 
lement par les termes en B, mais encore par d'autres que nous avons 
négligés, et qui contiendraient des dérivées d'ordre supérieur au pre- 
mier. D'après la nature presque isotrope et presque symétrique du 
cristal, tous ces termes, y compris ceux en B, se trouvent, sauf erreur 
négligeable, les mêmes que dans un milieu isotrope, c'est-à-dire qu'ils 
ont la même forme pour tous les systèmes d'axes coordoiniés de 
même sens relatif. Leur ensemble constitue, dans ^/,, i', , tv,, des 
expressions dont aucun terme n'e.st compatible avec la symétrie, quel 
que soit le système d'axes adopté. Si l'on choisit en particulier les axes 
des x', des 7 ' et des 2', dont les deux premiers sont parallèlrs aux 
ondes, ces termes seront pareils aux termes en R, R', R",.- des for- 
mules (10), qui seids, dans ces expressions isotropes de «,, i',, tr, les 
plus générales possibles pour des ondes parallèles au plan des xj^ 
sont incompatibles avec la symétrie. Par suite, d'après les for- 
mules (10 bis), ils ne donneront rien dans la troisième équation du 
mouvement, mais ils ajouteront, au second membre de la première 

équation, un terme de la (01 me -^ A -^1 et, au second nicu)bre de 



PURES ET APPLIQUÉES. 337 

la (leuxièiiie, un terme de la forme — -^ k'-jri k étant une série or- 

floiinée suivant les puissances négatives de r-oj*. On obtiendra donc 
fous les résultats de ce paragraphe, à cela près que, dans les diversos 
lelations de (20) à (aS), il faudra remplacer k par cette série. Ou 
pourra, dans celle-ci, substituer à w^ sa valeur approchée L, et k ne 
sera plus qu'une fonction de r-, la même pour toutes les ondes quasi- 
transversales propagées dans le milieu. 

§ VII. — ^application an quartz. 

Nous avons supposé au coefficient A une valem- comparable à a~ c. 
Or cela n'a lieu pour aucun des corps biréfringents connus jusqu'à ce 
jour. Dans le quartz, qui est presque le seul de ces corps où Ton ait 
trouvé la double- réfraction elliptique, k est compris entre les quan- 
tités du second ordre en a — c et celles du troisième. L'influence de 
ce coefficient ne se fait donc sentir que sur les ondes presque normales 
à l'axe optique : elle est d'ailleurs soumise aux lois du paragraphe 
précédent, malgré l'extrême petitesse de A, car les ternies que nous 
avons négligés seraient encore beaucoup plus petits que les termes 
conservés. 

Datis les expériences faites par M. Jamin sur la double réfraction 
elliptique du quartz, on avait, en désignant par «^ la vitesse de la 
lumière dans le vide, et prenant pour unité le millimètre, 

^no 2 7r/< ,— (.■„ n — r 0,0001 
TWo = 0,000 588, -— - = 0,M7, \/L==— ^, — -=- = ■—• 

De là on tire, d'après (23), 
relaie" 



i-kIi 



= v('5,47-''i"' U)^ -f- 0,01369, 



et, en amenant le second membre de (22) à ne dépendre que de — - el 



a — c 



de — sinUsinU', 

2T V L 



0,117 



i5,47sin'U -I- v("5,47sin'U)'+ 0,01 369 

Tome XIII (i' série V — Octobiie i8I)8. 4^ 



338 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Les tal)!eaux siiivHiits montrent que ces formules s'accorde nt autant 
qu'on pouvait s'y attendre avec les résultats de l'expérience. 



u 


nETARD 

2 -A 


DIFFÉRENCE. j 


V 


? 




Calculé. 


Observé. 


Calculé. 


Observé. 




3.3o 


o,i3o 


o,.34 


0,00/1 


, 

5.57 


0,317 


0,333 


o,oi5 


5.57 


o,2o3 


0,20/( 


, 00 1 ! 


8.16 


o,'77 


0, 173 


— 0,00.'| 


8.0S 


0,33 1 


0,338 


0,007 


9.55 


0,125 


0,128 


o,oo3 


g.ôo 


0,466 


0,-571 


o,oo5 


11.21 


o,og6 


0,100 


0,00'| 


11.55 


0,670 


0,667 


— o,oo3 ! 


12.35 


0,079 


0,077 


— 0,002 


13. i, 


0,87/, 


0,862 


— 0,012 


.3.4. 


0,067 


0,068 


0,001 


1 5 . c3 


I ,o5o 


i,o55 


o,oo5 


i5.32 


0,032 


0,0^7 


— o,oo5 


16. 3i 


1 ,25l 


i,3o8 


0,067 











§ YIll. — Conditions à la surjace, dites de continuité : 
réflexion et réjraction. 

Nous nous sommes occupés jusqu'ici des phénomènes lumineux qui 
sont produits à l'intérieur des corps transparents. 11 reste à expliquer 
ceux qui se passent à la surface de séparation de deux d'entre eux, 
c'est-à-dire la réflexion et la réfraction. Caucliy a fait voir que, poiu- 
obtenir leurs lois, il faut joindre aux équations indéfinies des petits 
mouvements de l'éther des conditions relatives à la surface, qu'il ap- 
pelle conditions de continuité. Elles consistent à admettre que les dé- 
placements u, (', w des molécules d'éther, et les dérivées premières 
par raiiport à x^ j, z de ces déplacements, sont égaux chacun à cha- 
cun en tout point de la surface, de part et d'autre de celle-ci. 

Ces condilious s'obtiennent naturellement dans 'noire manière de 
concevoir l'éther. En effet, cet agent, ayant dans deux corps adjacents 
la même élasticité et la même densité, forme un milieu unique où les u, 
f, u' ne peuvent varier brusquement d'un point aux points voisins. 
Donc les déj)lacemenls doivent être les mêmes de part et d'autre de la 
surface de séparation. Supposons, pour fixer les idées, que celle-ci 
soit le plan des yz. Les valeurs de /(, c, w seront égales de [larl «i 



PURES ET APPLIQUÉES. 33ç) 

d autre de ce plan, et il en sera, par suite, de même des dérivées pai- 
fielles de u, v, îv par rapport à ^ et à z. Si actuellenient on découpe 
par la pensée, en un point quelconque de la surface, un cylindre très- 
plat de matière, ayant ses bases parallèles au plan des )^z et siluées 
respectivement dans l'un et dans l'autre corps, les actions exercéi s sur 
ces deux bases devront Ires-sensibltment se faire équilibre. Cela en- 
traîne l'égalité, de part et d'autre du plan des > r, des trois compo- 
santes élastiques de l'éther que M. Lamé appelle, sous l'unité de sur- 
face, N|, T3, To, et qui valent respectivement [Leçons sur l'élasticité, 
§ 20) 

,> \ fin - I dv div\ I du di'\ ( div du 



dj dz ! ' \dj dxj ' \d.r d 

r 1 . ■ / .11 di' da' du du 1 ' ■ < ' 1 1 ^•, 

Les dérivées partielles --, — -, -—, -— sont deia eeales de part et d autre 

' d> dz dy dz J O I 

de la surface de séparation; donc l'égalité de ces forces montre qu'd 

, , I ilu dv dtv 

en est de même de -— ^ -—■, —- ■ 

d.r <I,T dx 

Si l'éther n'avait pas la même élasticité chez deux corps adjacents, 
il est clair que, ). et \j. n'étant pas égaux des deux côtés du plan desjr, 

du <-/(' d:\ , . 1 1-x 1 1 1 

-r^-T'' -r '16 le seraient pas non plus. Donc les conditions de conti- 

dx d.r dx ' 1 

nuité n'auraient pas lieu, et les lois des intensités des ondes riflécliies 
et réfractées ne seraient pas celles que donne l'expérience. C'est pour- 
quoi nous avons cru devoir admettre la constance d'élasticité de l'éther 
dans deux milieux adjacents. Quant à la constance de sa densité, elle 
n'est pas nécessaire à notre théorie: mais elle nous paraît une condi- 
tion naturelle de la constance d'élasticité, et nous la regardons comme 
vraisemblable. 



43. 



34o JOURNAL DE iMATHÉMAl'IQUES 

Etude sur les vibrations rectilig/ies et sur la dif/raction , dans 
les milieux isotropes et dans l'cther des cristaux; 

Par m. BOLSSIAESQ. 



Ce Mémoire a pour objet : en premier lieu, d'établir les lois des 
vibrations rectilignes à très-courte période, produites dans un milieu 
isotrope, et celles des ondes quasi-transversales qui se propagent, à 
partir d'un seul centre d'ébranlement, dans l'éther des cristaux biré- 
fringents; en deuxième lieu, d'appliquer ces lois à la démonsiration 
des formules fondafnentales de la diffraction. 

Je considère d'abord un milieu isotrope, et je fais voir que les 
vibrations rectilignes y sont longitudinales ou transversales, c'est-à- 
dire perpendiculaires ou parallèles aux surfaces des ondes. Dans les 
deux cas, celles-ci ont leurs normales communes, les vibrations se 
font, pour toutes les molécules situées sur cbacune de ces normales, 
suivant des droites parallèles, et la force vive se transmet intégrale- 
ment d'une de ces molécules aux suivantes, avec la vitesse même des 
ondes. Il y a en outre, pour les vibrations longitudinales, celte loi 
particulière que l'amplitude est constante en tous les points d'une 
même onde, et, pour les vibrations transversales, celle-ci que, sur 
une même onde, l'amplitude varie, d'un point à un autre de la même 
ligne de vibration, en raison inverse de la dislance de celle ligne à la 
ligne de vibration voisine. J'appelle ligne de vibration toute ligne 
suivant la tangente de laquelle vibre la molécule située en un <piei- 
conque de ses points. 

Ces lois restreignent le nondjre des familles de surfaces qui peuvent 
être surfaces d'onde. Soit pour les vibrations longitudinales, soit 
pour les vibrations transversales, il n'y en a que trois, savoir : des 



PURES ET APPLIQUÉES. 'i\\ 

p)lans parallèles, des cylindres circulaires concentriques, des sphères 
concentriques. 

Je passe ensuite aux milieux biréfringents. Les trois équations de 
leurs petits mouvements s'obtiennent en multipliant respectivement 
par trois coefficients presqiu- égaux à l'unité les seconds membres 
des équations de moiivemenl d'un milieu isotrope. J'étudie les vibra- 
tions quasi-transversales correspondantes à des ondes propagées à 
partir de l'origine des coordonnées. Ces ondes sont celles de Fresnel, 
et les vibrations sont dirigées sensiblement, en chacun de leurs 
points, suivant la projection, sur le plan tangent à l'onde en ce point, 
du rayon qui y aboutit. Les lignes de vibration sont à très-peu près 
des ellipses sphériques, ayant leurs foyers sur les axes optiques; leurs 
trajectoires oilhogonales sont des courbes sphériques de même na- 
ture. L'amplitude est soumise à trois lois; elle varie : i" suivant un 
même rayon, en raison inverse de la distance à l'origine; et de plus, 
sur une même onde : 2" suivant une même ligne de vibration, en 
raison inverse de la distance de cette ligne à la ligne de vibration voi- 
sine; 3" suivant une trajectoire orthogonale aux ligues de vibration, 
en raison inverse de la dislance de cette trajectoire à la trajectoire 
voisine. En appelant /■ le rayon mené de l'origine à un point quel- 
conqiu", U, U' les angles qu'il fait avec les deux axes optiques, ces 
trois lois reviennent à dire que le carré de l'amplitude est égal à une 
constante divisée par le produit r^ sinU sinU'. C'est la formule qu'ob- 
tient M. Lamé, dans ses Leçons sur l'élasticité, § 126, par une tout 
autre voie et pour des milieux biréfringents d'une autre espèce. 

Le Mémoire se termine par lapplication de ces résultats à la théo- 
rie de la diffraction. Je trouve que la fornude d'intensité donnée |)ar 
Fresnel est sensiblement exacte lorsqu'il s'agit de vibrations transver- 
sales, comme dans le cas des ondes lumineuses, tandis qu'elle ne le 
serait pas pour des vibrations longitudinales. Quant à l'expression gé- 

uéralement admise pour la phase, elle devrait être ilinunuée de -• 





= 


X 


f/9 
dx 


-\- 


fxA, 


II. 




= 


X 


du 
dj- 


+ 


fj.Aj 


«S 


d'iv 

df' 


= 


). 


df) 


-f- 


a A, 


w 



:î42 journal de mathématiques 

§ T. — Vibrations i-ectilignes dans les milieux isotropes : 
loi des normales communes . 

Soient, dans un milieu isotrope: -r, ) , z les coordonnées rectangu- 
laires d'équilibre d'une molécule M; », c, w les déplacements sui- 
vant les axes de cette molécule à l'époque t. En désignant par 5 la dila- 

dti dv dtv „ \i ■ 11- d'' d- d- 

iation -,- + ^- + -r- et par A^ 1 expression symbolique -r-, + ~, — '- -r^' 

(-/./• dj dz ' ' ^ •' ' df dy' ilz- 

on sait que les trois équations du mouvement sont de la forme 



(0 



Supposons que les molécules exécutent des vibrations reclilignes 
d une période i très-courte et d'une direction, variable d'un point à 
l'autre, définie par les cosinus /«', n\ p' de ses angles avec les axes. 
Si A et B désignent deux fonctions continues de .t,j, z, les déplace- 
ments seront 

/ it = A/»î'cos— \1 — R), 

{->.) / »' = A // cos ^ (/ — B), 

1 w = kp' cos-^ [t — W) ; 

A est l'amplitude, B = const. est l'équation des ondes. Si l'on mène 
à celles-ci, en chaque point {x, f, z), une normale, les cosinus m, 
n, p des angles que fera sa direction avec les trois axes seront égaux 

H — , -^ - — 5 ;-< A, B désignant le paramètre différentiel 

A, B dx A, B rf/ A, B f/i ' ^ ' 



.... 11- /'/B= dB' f/B' 

du prenner ordre de B, c est-a-due 1 expression + i/ -^ -+■ — + -^• 

On peut concevoir des lignes perpendiculaires à toutes les ondes, qui 



PURES ET APPLIQUÉES. 343 

aient poiii' éléments des portions infiniment petites de ces normales. 
Olies d'entre ces lignes qui passent par (j-, y, z) et par les points 
intiniiiient voisins forment ensemble un filet d'étendue cpie nous ap- 
|)ellerons rayon, et dont nous désignerons par g la section normale 
en (.r, ) , :) et par dz un élément de la longueur. Les ondes emploient 

pour parcourir le chemiri dt un temps égal à l'accroissement •— de 



(jue reçoit B le long de cet élément : leur vitesse w en [a-, )\ z) est 

777 



donc I divise par —, et son inverse est 



f/B r/B r/B r/B . „ 

-— ou -— m + -- n + —- I) = ^^\^ 
cil clx cly riz ' 

Les valeurs (2) de u, i', u' doivent vérifier les équations (i). Désignoiiv 
par S la somme de trois termes analogues, dont le premier est écrit 

1 '/"i itn dp iliii , , . , 

après ce signe, par exemple ,77 + 3" + ^7 poi"- S -— : désignons dt- 
plus par — := S/» -7- la dérivée d'une fonction le long de la ligne di 
Si nous observons que 



dE m 


dn II 


dH 


tir w 


dy 01 


Tz 



nous trouverons aisément 

[d.km'-\ 
AniSnim' — -— — cos — {t — B) 

27r I „ d.Km 01 I . 2jr , 

H mS—, h 'ji- ; sin — (t — Bl, 

TM 1_ llX dx _| T ^ ' 

A 4'''"rj ( '■''■'"a i /~1 On , ^ . 

A.« = - l^, [A m' - ^ A, A/;/)J cos- (/ - B) 

, 2jr r , <■/'"' , / d\ „ dm A du\~\ . ?.77 , ,^ , 

H 2A — - + m' 2 — -)-AS- — sm— [t - B . 

Ces valeurs, portées dans la |)remière équation (1), devront la véri 



3/,4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

fier à toute époque, et donneront les deux relations 




J 



(3) A [(fJL — w-)m'-l-)./«S/»/«'j — j;^ I >. ^^— h,u.Aj(A//i') I = o, 

(4) 

, / '/A , „ rf/« A f^i ' 

/// ?.-— +A»;^ pi = O. 

lit ax M f/î 

Les deux autres équations du mouvement donneront deux relations 
pareilles à (3) et deux pareilles à (4). 

La longueur d'onde toj étant excessivement petite, le second terme 
do l'équation (3), en t'oj-, est entièrement négligeable à côté du 
premier, excepté aux endroits où A, m', n', p' varieraient très-rapide- 
ment d'un point aux points voisins. Mais, en de tels endroits, on ne 
doit pas compter sur les équations (i), qui ne peuvent être établies 
qu'en admettant la continuité de u, v, w. Ce cas excepté, la rela- 
tion (3) et ses deux pareilles ne sont autres que celles des ondes 
planes. En les ajoutant, après les avoir respectivement multipliées 
par in^ n, p, on reconnaît aisément qu'elles donnent 

Isoit des vibrations longitudinales, avec 
i7i' = îii, n'=f/, p' = n, '.)- = 1 -\- [J.: 
j soit des vibrations transversales, avec 
\ Sinm' = o, oij- = p.. 

Dans les deux cas, la vitesse de propagation oi est constante, et son 
inverse A, B l'est également. Cela revient à dire que les ondes ont 
letirs normales connnunes, et que, l'une d'elles étant donnée, toute 
autre est le lieu géométrique des extrémités des normales d'égale lon- 
giietu- menées à celle-là. En effet, si nous différcntions par rappoi I à x 
la relation A, B = consl., il viendra 

I /,/]i</'H </B <l'\i '/B r/'B \ ,, <l.r 

(() 1 -! 1 • r = O (Ui Ijuii — ; — = O. 

^ > A, B\r/xrf.r' (h ilxdy <lz <U dz j th. 



PURES ET APPLIQUÉES. 345 

Donc les dérivées partielles de B par rapport à .» , y, z et par con- 
séquent les cosinus /«, n, p ne changent pas le long d'un chemin 
normal aux ondes. Ce chemin est une ligne droite, et tontes les ondes 
ont les mêmes normales. Il résulte d'ailleurs évidemment de la rola- 

777 ~ const., que la (hstance de de deux ondes infiniment voisines 

est constante, et que par suite l'une quelconque d'entre elles est le 
lieu géométrique des extrémités des normales d'égale longueur menées 
à une autre. 

§ II. — Transmission des forces vives. 

()ccui)ons-nous actuellement de l'équation f 4). et d'abord transfor- 
mons-y l'expression S ■£^- Si m, n, p désignent généralement, en 

chaque point (x, > , z) de l'espace, les cosinus des angles que fait 
avec les axes une droite fixe menée à partir de ce point, cette expres- 

ri/ii du dp , 

^'"" 'lû'^'d}'^ lu ^"'"' nienK" valeur dans tous les systèmes pos- 
sibles d'axes rectangulaires. Soit en effet un autre système quelconque 
d'axes rectangulaires des .r,, des j, et des z,, faisant respectivement, 
avec cawx des .r, j, z, des angles ayant leurs cosinus égaux à : a, b, r; 
n\ h' , c' ; rt", h", c" . 

Désignons par m,, ?i,, p, les cosinus des angles que fait avec ces 
axes la direction {m, «, p . Nous aurons les formules de transforma- 
tion 

''^i (t>: dy, lU dz, d.r 

ni, = Sain, //, = Sn'/H, p,-Sn"m: 

^-ha-Sam = Sa^^ + Shcl~ + £ 



il'où 



dx \di dj- 



U. d"', _ ui ^i . _/.i . ^,ri^ dm 



S"£l^Sla^^a- + a"-) '^p- + S{bc + b'c' + b"c") ('^ ^± 

"•'' ' Ux '' ' \dz d) 

relation qui, d'aprèi des formules bien connues, se réduit à 

rt.r, djc 

ToiriQ XIII ( i' jérie). — OtTUBRE i868. 44 



M6 JOURNAL DE MATHÉMAIIQUES 

Nous pouvons donc admettre qu'on ait adopté pour axe des : la 
normale à l'onde au point M, et pour axes des x et des y les tangentes 
aux deux lignes de courbure de l'onde qui passent par ce point. 
Alors m, n seront nuls en M et très-petits aux points voisins, tandis 
que p en ces points ne différera de l'unité que d'une quantité du 
second orJre. On aura donc 

5ï = '^' 

et si l'on désigne par R, R' les rayons principaux de courhurc de 
l'onde, on trouvera aisément 





dm 

Tu ~~ ' 


-p.' 


dn I 
d}~^ ^ R? 


Par conséquent 








(S) 


„ dm 

^,77 


= — 


i>k)- 



Représentons-nous un fdet d'étendue normal aux ondes, liuulc 
latéralement, sur l'onde qui passe en M, par un rectangle ayant pour 
deux de ses côtés deux éléments a, a' des lignes de courbure menées 
à partir de ce point et poiu' surface ya' = 7. Ce filet sera coupé pai- 
l'onde suivante, distante de la première de {It, suivant un parallélo- 
gramme presque rectangulaire dont deux côtés vaudront « + flu, 
(/! -j- d'/ ^ et dont la surface, sauf erreur du quatrième ordre, sera 

(« + ({y.) ( «' -I- c/s*' , =^ y.u! -r- d[aa') = 7 -+- (h. 

D'ailleurs des triangles semblables donnent les proportions 

-(- d-y K ~ di 



ou Ijien 





K — dt 




K ' 


dx 


-di 


a 


~ 'k 



d-j.' _—di 
^ "" ^R^ 



En ajoutant membre à membre ces deux dernières égalités, on irouvr 

(9) -(u^R^) "" ^Z: = ;;/7" 



PURES KT APPLIQUEES. 3^7 

Il en résulte 

2 — + AS 




r/s fff C/i il î Aî fli 

et Téquation i 4) devient 

lO ), \ /nS — +- '0 ^ / -f- 2/jlA -y~ + ^- r— = o. 

\ (Ij; (IX / ' c/t Ac cil 

Ajoutons cette relation et ses deux pareilles, après les avoir respec- 
tivement nmltiiîliées par ni\ n\ //, et observons que t!e S«/" = i, il 

l'ésulte Sm' -j- =:: o. Si nous désignons par di' un clieniin infininieiil 

petit, pris à |)artir de M dans le sens de la vibration, et par — ; =S/M'-r- 
la dérivée il luie foiution suivant cette diiection, le résultat sera 

/ , ./^*"""' 

> I t:' ,„ rf.Aw 

A \ »/«'// o ; h f-û - _, , 

'Dans !e cas des vibiatioris transversales, ou de S//i/«' = o, cetlt- 
écjuation se réduit à 

Dans celui des vibrations longitudinales, ou de m' ^= in, n' = n, 

))' = p, le terme en ). deviendra, grâce à (q), ^ -^, et l'on aura la 

uiéiue équation (i i). 

l'our trouver le sens de cette équation, considérons le rayon ou 
|jetit filet normal aux ondes, dont la section variable est cr. Décompo- 
sons-le, par des ondes infiniment voisines, en tranches de hautinu- 
constante ds. L'une d'elles sera égale à çdz, et sa force vive à 

l'époque I, multipliée par le li-mps très -petit durant lequel il la 



3/,8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

garde, sera le produit de sa densité par -^ dr siir— [t — B). Au 

l)OUt du temps —, le produit pareil duns le volume suivant sera la 

même quautilé; car, d'après (ii), le coefficient du sinus carré ne 
changera pas, et le sinus ne changera pas lui-même, puisque t aura 

augmente de — et B de -— di -= — 

^ t.) (/ Ê W 

Ainsi le produit de la force vive que possède une tranche élémen- 
taire du rayon à lui instant quelconque, par le temps infiniment petit 
durant lequel cette tranche la garde, se transmet à la tranche suivante 
avec la vitesse même des ondes. 

Sauf en c(ue!ques points spéciaux, la vitesse oj est constante; ce prin- 
cipe revient donc à dire que le carré de l'amplitude varie suivant un 
même rayon en raison inverse de la section normale du rayon. 

Aux points où les rayons se rencontrent, c'est-à-dire sur la surface, 
lieu des centres principaux de combine communs aux ondes, la force 
vive est incomparablement plus grande qu'ailleurs; cette surface est 
une caustique. 

§ III. — Ondes longitudinales. 

Nous allons maintenant étudier séparément les vibrations longitudi- 
nales et les vibrations transversales, en supposant oj constante, et par 

T,/'\^ 1 1 ' ■ ' 'il" d'^ dp ■ i 

suite [(6)j les dérivées 77-' t"' -f égales a zéro. 

Si l'onde est longitudinale, c'est-à-dire si m' = }n, n' = n, p' = p, 
l'équation (10) se réduit à 

dA /dA A d-jX ,, , , n ^A dA 

ni \— 1 -— == o, ou, d après ( l i J, — = /« 



dx ^'"\d,^ ,j d,j -^' -'"-1— r-y. dx ^.: 

On trouvera de même 



^A dA 


dA _ dA 


djr de 


dz ~ 1' Ti' 



Ces trois équations expriment que l'ampliludeest constante sur toute 
l'étendue d'une même onde ; telle est la loi particulière aux ondes lon- 



gitudinales. 



PURES ET APPLIQUÉES. 3/(9 

L'équation (i i) achève de (Jéler?iiiiier l'amplilude, puisqu'elle iiidi- 
([iieconiineut varie A d'uue onde à la suivante. Il en résulleque la quau- 

tite — ou - + „, devra être la même sur toute une même onde; 

a di R R' 

et que, par conséquent, les oudes lonj^iliidiiiales sontdes surfaces dont 

la courbure moyenne ; ( ir + y!^ ) *'st constante. On peut déduire de là 

cette conséquence remarquable, que les seules familles de surfaces 
qui puissent être ondes longitudinales sont, ou des plans |iaralléles, ou 
des cyhndres circulaiies concentriques, ou des sphères concentriques. 

En effet, considérons les normales couniuuies aux ondes proposées. 
Leiu-s points d'intersection, c'est-à-dire les centres de courbure prin- 
cipaux, sont tous à l'infini, ou bien cjuehpies uns à une distance finie. 
Dans le premier cas, les ondes sont des plans parallèles. Dans le se- 
cond cas, menons l'onde qui passe par le point d'intersection de A^wx 
normales ; sa courbure moyenne en ce point, et, par suite, en tous ses 
points, sera infinie. Donc cette onde centrale se réduit à une ligne ou à 
un point, où viennent aboutir toutes les normales. Si c'est une ligne, 
considérons un de ses éléments infiniment petits. Des points de cet élé- 
ment parlent dans tous les sens des normales, communes à cet élé- 
ment et aux auties ondes. De plus ces normales, limitées à une même 
onde, ont toutes la même longueur. Par conséquent toute onde est 
formée d'une smte de tranches qui son! des fragments de cylindres 
circulaires de rayon constant, ayant pour axes les divers éléments de 
I onde centrale. Une des courbures principales d'une telle surface est 
celle du cercle qui l'engendre, et l'autre coiubure est nécessairement 
variable a\ix divers points d'un même cercle générateur, à moins que 
le lieu des centres de ces cercles ne soit une ligne droite. Les ondes 
sont donc des cylindres circulaires concentriques. Er.fin, si l'onde cen- 
trale se réduit à un point, les autres seront des sphères concentriques. 

Donc il n'y a pas d'autres ondes longitudinales possibles que celles 
constituées par des plans parallèles, par des cylindres circulaires con- 
centriques, ou par des sphères concentriques. Elles se produisent res- 
pectivement quand on ébranle le milieu de la même manière, siu- toute 
l'étendue d'un pian indéfini, tout autour d'une droite, tout autour 
d'un point. 



'i5o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

§ î\'. — Ondes (laiisvprsales. 
Si l'oncle est transversalo, ou que Snnn' ^ n, l'équaiion do; deviciit 

^ ^ d.\ m' dm ' 

J.in7> ; -r -1 'J. A —r- = O, 

(Il ' d% 

qui, jointe à ses deux pareilles, donne 

I dm' I (In' \ dp' 

m ds n dt /> di 

Intégrons le long d im même rayon, et observons que m, //, p res- 
tent iiivari:iblrs dans celte intégration. En désignant par m'^, «'„, p^ 
les valeurs initiales de ///', n'.p', il viendra 

'"■ ~ '«'„ _ «' - "'o _ /'' — P\ 



Multiplions respectivement les deux terni* s de ces ra[)ports par m, 
n, p, et ajoutons-les terme à terme, en observant que Sm/ri' = o, 
S'//'«'(, = o. Nous verrons que la valeui- de ces rapports est nidle, et 
<[ue par suite 

, . dm' dri' dp 

(l2 -—=:—— -i- = O. 

"> ' f/e ds dt 

Ainsi le long d'un nièine rayon, les vibrations se font suivant des 
droites parallèles. La même loi s'appliqtie évidemment aux ondes lon- 
gitudinales, puisque les vibrations y ont lieu suivant le rayon même. 

L'équation (lo) et ses deux analogues se réduisent actuellement à 

, „. ^ d.Xm' ^ ,d\ .r,'''"' 

( i3) !S — ; — = o, ou bun S m ~ 1- AS -;— = O. 

\ ' d.r cl.'- il.r 

Oite relation, jointe à Sniin' = o, exprime que 9 est ind, ou ipie]< 
mouvement se fait sans changement de densité. 

Appelons (h' nn élément decliemin, mei;é, à partir du point consi- 
déré M, dans la direction {m', n', p') de la vibration, et (i3) pourri 



PURES KT APPLIQUÉES. :i.')r 

s'écrire 

o. 



(■4) -— + Ah - 

^ ' (h (le 

Nous avons iléiiioiitré [(7 ] t|iie rcxpressioii S ^ a la inên'.e valeur 

fil ch;K| 110 point, quel que soit le système il'axrs rectangulaires adoptr. 
Nous pouvons donc supposer que l'axe des >■ soit mené, à partir dw 
|)oint M, dans la direction (m, u, p) du rayon, et celui des z suivant la 
vibration. Nous aurons, en M, m' — o, n' = o, p' = 1 . Nous pouvons 
d'adleurs admettre qu'on ait tracé sur l'onde les lignes de vibration, 
c'est-.à-dire les lii;nes lelles, que toutes les molécules situées sur elles 
vibrent suivant leurs tangentes. Ces lignes découpent l'onde en bandes 
infiniment étroites. L'élément linéaire de direction [m', 11', //), mené a 
p;u-tir de M, est langent à l'une de ces courbes, el la perpendiculaire 
qui le sépare en M de la ligne de vibration voisine, est parallèle à l'axe 

des .r; nous la désignerons |)ar o. La quantité — -^ est sensible- 
ment, au point M, le rapport à y de l'angle que fait la ligne de vibration 
menée en M avec la projection, sur le plan de cette ligne et de l'élé- 
ment (p, de la ligne île vibialion voisine ; cette quantité est, saul erreur 

négligeable, égale à ^j', • La dérivée — est nulle d'après les éi[ua- 

tions (12); -j- lest encore, car p' ne varie aux environs de M que de 
quantités du secouil ordre. Ainsi la relation (i4) devient 

. _, (/A A da , . ' {/.A 'il 

l5) -7-7-1 rr = <■>, fi'i bien --— = o. 

^ ' di 'j. di de 

Elle exprime que le produit A'^ est conslani le long d'iuie bande 
comprise entre deux lignes infiniment voisines de vibialion; mais il 
|)( ni varier arbitrairement d'une bande à l'autre. 

La loi particulière aux ondt^s transversales est donc que l'amp'lilude 
varie, suivant une ligne de vibraluMi, en raison inverse de la distance 
de celle lisne à la li^ne de vibration voisine, située'sur la même onde. 

Cette loi, combinée avec les lois générales (1 1) et (12), i-estreint le 
nombre ile.> Limilles desui (aces (jui peuvent être sinfaces d'omles li.ius- 



352 JOURNAL DE MATHEMAIIQUES 

versales. Cherchons par exemple quelles surfaces d'ondes sont possi- 
bles avec des vibrations dirigées à volonté suivant l'un on l'autre de 
leuis systèmes de lignes de courbure. Les surfaces développables for- 
n7ées iiar les normales aux ondes diviseront celles-ci en une infinité 
de p.etits rectangles, dont j'appellerai s' la tlimension parallèle à la 
vibration, et dont œ désigne déjà l'antre dimension. Leur surface 

sera Çc'. D'après (i i), le produit A" cps' ou (A^)^ - sera coristant le long 

(l'une même normale, et par conséquent se trouvera le uième en 
deux points correspondants de deux ondes. D'ailleurs Aî) est constant 
suivant une même ligne de vibration. Donc, en tons les points corres- 
pondanls de deux ondes, situés sur une même surface développablc 

formée par les norm;des, la fractior» - relative à une des deux ondes 
est, à la fraction - relative à l'autre, dans un rapport constant. Si l'on 

prend pour la première onde celle qui passe par un point où se réu- 
nissent deux génératrices de la surface développable, on aura en ce 
point e' = o, et par suite s sera lud sur toute la ligne de vibration qui v 
|)asse. Donc cette ligne se réduit à un point, et la surface développable 
est un cône. Il n'y a d'excejjtion que pour le cas où les génératrices se- 
raient parallèles; alors ce cône deviendrait un cylindre. 

Ainsi les normales aux ondes, menées suivant une même ligne de 
courbure, se rencontrent en un même point, ou sont parallèles. Il 
peut se faire : i^oii bien que les normales correspondantes aux flenx 
svstfines de lignes de coiuljure soient paralUles; 2" ou bien qu'elles 
Vf rencontrent toutes au même jioint ; 3" ou bien que celles d'un sys- 
tème, situées sur ime même ligne de courbure, soient paiallèles, et 
que celles de l'aulie se rencontrent. Les ondes seront évidemment, 
il. lus le premier cas des |)lai)s parallèles, et dans le second des sphères 
coMcenIriques. Dans le troisième, supposons les vibrations dirigées 
>uivant le s\stème des ligues de courbure (]ui correspondent aux nor- 
males parallèles. Alors ï sera coiisl.iiit sur chaque rauui, et, lotit le 
long d'une même Jigne de vibration, en deux points correspondants 
de deux ondes, o sur la première sera à f sur la seconde dans un rap- 
port constant. .Si donc on mène la prennère par un point où se rencon- 



PURES ET APPLIQUÉES. 353 

treut deux iioriiiales appartenant aux lignes de couiljiiie de l'aiHie 
système, on aura en ce point, et, par suite, sur toute la ligne de vibra- 
tion qui y passe, 9 — o; c'esl-à-dire que cette ligue de vibration est U- 
lieu des points d'intersection des normales appartenant aux lignes de 
courbure du deuxième système. Elle constitue une or.de centrale à la- 
quelle viennent aboutir toutes les normales. Les ondes sont par suite 
composées de tranches ayant la forme de cylindres circulaires de rayon 
constant, avec les éléments de l'onde centrale pour axes. Comme mu- 
de leurs courbures principales est partout nidie, ce sont des cylindres 
circulaires concentiiques. 

Il y a donc seidement trois familles d'ondes, pouvant correspondre 
a des vibrations transversales dirigées suivant leurs lignes de cour- 
bure: ce sont des plans parallèles, des cylindres circulaires concentri- 
ques et des sphères concentriques, c'est-à-dire les mêmes que pour les 
vibrations longitudinales. On pourrait même les réduire aux deux der- 
nières, car les plans parallèles n'en sont qu'un.cas particulier. 

Quand les ondes sont sphériques, les vibrations peuvent être dirigées 
d'une manière quelconque sur l'une d'elles. Si en particulier les ligues 
de vibration sont des cercles parallèles, l'amplitufîe sera constanle 
sur chacune, mais variera arbitrairement d'une ligne à l'autre. Ou 
pourra par exemple la supposer nulle partout, excepté sur une bande 
très-mince. D'une onde à l'autre, et suivant un même rayon, elle dé- 
croîtra, d'après (11), en raison inverse de la distance au centre. 

Pourétablir toutes ces lois, nous avons supposé que {<, e, ivvariaient 
d'une manière continue d'un point aux points voisins; ce n'est qu'à 
cette condition que l'on peut poser les équations (i), et négliger dans 
(3) les termes en t%,^ Or cette condition n'est pas satisfaite à une 
trop petite dislance du centre de l'ébranlement, dans les ondes sphé- 
riques. Donc les lois obtenues ne sont vraies qu'à partir d'une onde 
sphériqiie centrale, dont nous appellerons plus loin Ç le rayon, qui est 
très-pttit et presque insensible. 

§ ^- — Ondes qunsi-tmnsi'ersales dans les milieux biréfringents. 

Apres les équations (1), qui régissent les petits mouvements des mi- 
lieux isotropes, les plus simples sont celles qu'on obtient en mulli- 

Tome XIII {-i' série). — Ociobrf. iSCS. /j5 



354 JOURNAL DE MATHEMATIQUES 

pliant respectivement les seconds iiieniljres de ces écpiations |iaf trois 
cocfficifnls i + a, 1 -\- h, i -h c, peu différents de l'unité: 



dt^ ^ ' \ tlx 

<r-i> , j I. (ta 



(iG) ''-^ =^{x-^b){l'-+ ij.\,v 



Ce sont celles cpie j'ai trouvées dans ma théorie nouvelle des 
ondes lumineuses [formules (i 5), avec A = o] [*], pour représenter les 
vibrations de Féther dans les cristaux transparents. Elles sont un cas 
très-particidier des équations (8) de mouvement des milieux iso- 
tropes déformés, étudiées dans un antre Mémoire [**j ; il suffit de faire, 
dans ces équations (8), pour obtenir nos relations actuelles (i6j, 
>.'= )., p = p., 7 = o, V = o. Elles expliquent la double réfraction sui- 
vant les idées de Fresifel, puisque c = o (uo//-§ VIII de ce Mémoire); 
seidenicnt les vibrations ne sont qu'à peu près transversales. 

Je me projjose d'étudier, parmi les ondes quasi- transversales qu'elles 
peuvent représenter, celles qui sont propagées à partir d'un centre uni- 
([ue, pris pour origine des coordonnées. Je me contenterai d'indiquer 
les résultats du dernier Mémoire cité, qui me seront nécessaires, ine 
réservant d'étudier ici les lois de l'amplitude. 

Nous avons vu f§ V du mémo Mémoiie) que, si des ondes à \il)ra- 
lions rectilignes peuvent se propager à partir de l'origine, elles gran- 
dissent propoi'tionnelleinent au temps en restant sendjlables à elles- 
mêmes, et sont les envelop|)es de toutes les ondes planes parties en 
même temps qu'elles de l'origine. En posant 

p.(i -f. «) = «, ij.{i -h b) — (i, ,a(i -(- c) =7, 

celle cjui est partie de l'origine depuis l'unité de temps a pour é([uatiou 

(■7) S^- = >- 

[*] Journal //e Maf/u'/iinlir/iir pures et app/zr/iices, 2' sorie, t. XIII, p. 33o. 
|**J Joutnul lie Alalltciiiiili(jiir pures et (ippli<iuées, 1' série, t. \I1I, j). 2a i. 



PURES ET APPLIQUÉES. 35.-5 

Menons à celle onde, en un point [.r,j, zj, à l'exlrénule du raNon 

/' = vS.ï-, l'onde plane tangente. 

Les cosinus m, n, p des angles de sa normale avec les axes seront 

(formules 23), sauf erreur du second ordre, 



(18) 



m = - 



I .r 



VP 



/" 



'• v^j/.s^^-P^ 



[Sx' — , 



P ^-7-7 



v> »■*"■ — '/ g 



iS.r- ~ al = 



Au même point (.r, 7-, z), les vibrations se font (formules 24) sui- 
vant la direction définie, sauf erreur du premier ordre, par les cosinus 



m = 



S.r" - a 



V^YsT^^ 



09) 



71 = 



--y^ 



I 



s.< 



-W'^ 



(Sx» — a)-- 



Ces valeurs donnent, comme il est aisé de le vérifier, Smm' ^ o 
sauf erreur du second ordre, de telle sorte que si elles étaient exactes' 
les vdjrations seraient transversales. Mais la formule (17) du même 
Mémoire fait voir que l'angle très-petit de la vibration avec l'onde 
est à très-peu prés 



(ao) 



S mm' = ^ 



V^Ts^:?^ 



Avec les relations (tg) et (-20), on peut mettre sensiblement (,8) sous 

45,. 



356 JOURNAL DE MATHÉiMATIQUES 

I;i forme 



A 



m = m'Smin\ 

r p. 

(ai) '. n ^^' n'Smin', 



t) = p ?» iniit . 

\ ' r fi ' 

Enfin, tout le long d'un rayon, c'est-à-dire d'une droite quelconque 
émanée de l'origine, la direction [m, n, p) et la vitesse w des oniles 
jjjanes tangentes sont constantes, ainsi que les cosinus [m' , n', p' ) qui 
fixent la direction de la vibration. On peut donc regarder les for- 
mules (21) comme s'élendant à toutes les ondes et non pas comme 
s'appliquant seulement à l'onde (17)- 

Nous désignerons toujours par -7- = Sw -p la dérivée d'une fonc- 
tion le long d'une normale menée en (x, j^ z) à l'onde qui passe par 
ce point; par —, = S»i' 4- 1:» dérivée d'une fonction suivant la vibra- 

tion, et encore iiar -— = S - 4- ''i dérivée suivant le rayon, qui est ici 

' ' dr r a.i •' ' 

dislinct de la norm;ilo. 

Les valeurs de 11, v, w étant représentées par les formules [2) du 
Mémoire actuel, la première équation (16) donnera évidemment les 
deux équations (3) et (4), dans lesquelles il suffira de remplacer X et y. 
par X(i + rt), /j. (i -f- a). L'équation (3) et ses deux analogues, où l'on 
néglige 1rs termes en t-w', deviendront les trois équations des ondes 
planes; elles sont vérifiées par le fait même qu'on adopte la sur- 
face (17) pour l'onde partie de l'origine depuis l'unité de temps, et 
les valeurs approchées (19) et (20) poui- m', n\ p', Snim'. L'équa- 
tion (4) lie change pas, car le facteur 1 + a est commun à tous ses 
termes et disparait : c'est elle, avec ses deux analogues, que devra 
vérifier l'amplitude A. 

Le milieu étant presque isotrope, les dérivées partielles de w seront 
tres-petiles, et on pourra négliger les termes qui les contiendront 
eu même temps que d'autres quantités du premier ordre de petitesse; 
jiar exemple oj pourra être supposée constante dans les termes qui 
auront le facteur Sinni'. 



PURES ET APPLIQUÉES. Soy 

§ VI. — Première et deuxième lois de ramplitude. 

L'équation (4) et ses deux pareilles, respectivement multipliées 
par m', //', p' et ajoutées, doniicnt 



^diii A </o> 
dx a (il 



(22) /. [Smm S -j^ + --/,y-j + P- (^ 777 + '^ 
Il résulte des formules (21) que 

(23) — ou ^in~ — - {^inm')~, 

tlt d.v dr fi ' (/;' 

S dm 2 X /„ „ dm' dSnim'\ 

dr r n \ djc di' j 

et par suite, si l'on observe (pie '-£- =^ o et que les termes du second 
ordre de petitesse sont négligeables, 

f/A „ dm A da fdA. \\ 1 fd.ASmm' ,, ,„ d.Am' 

dï d.i: u di \dr r] ^\ dt' dx 

La relation (22) devient 

, ,N f/A A r/.Ar 

(24J , -r- + -=0 ou - -=0. 

^ ' • dr r dr 

D'où la première loi, analogue à celle de la relation (11): l'amplitude, 
suivant un même rayon, varie en raison inverse de la distance au 
centre de l'ébraidemcnt. 

Tenons compte des formules précédentes, et rappelons (|ue ^-^ = o; 
l'équation (4) deviendra 

1' / -Cl / c '/-A'"' c/.AS/rtm' 
l (m — m S mm } S — , 1 -, 

, ^. 1 ^ ' dx dx 

125) 

, d. AS ni/u' . ,,-, , '//'/ 

— m — , 2A( omm ) -— — u. 

di ^ ' di 

Midliplions respectivement cette équation et ses deux pareilles 



358 JOURNAL DE MÂTTIÉMATIQLES 

par m, h, p, puis ajoutons-les et négligeons les termes du second 
ordre cle petitesse. Nous aurons 

„ d.km' , (iX ^ , . „ ,„ dm' 

tir dr tll 

Or, à cause de Smi/i' très-petit, on peut remplacer dans le troisième 

„ dm' ^ . dm i. u i i i 

terme Sw/ -r- par — T^m -— ; d ailleurs, m, n, p valant sensuileuient 

di ' «c ' 

-) '--, -5 on trouve au même degré d'approximation 

dm m' „ dm' i 

— = — et S m -~ = 

di r i/i r 

Tenons compte de (24), et nous aurons simplement 
(26) S -^ 1 — Smni' = o, 

^ ' dx r 

Si l'on observe cpie le terme en Siniii' est très-petit et que nï, n', p' 
varient très-peu le long de la normale à l'onde, cette équation de- 
viendra sensiblement pareille à (i3) et se traitera de la même ma- 
nière. Elle exprime que l'amplitude, aux divers points d'une même 
ligne de vibation, varie à peu près en raison inverse de la distance 
de cette ligne à la ligne de vibration voisine, prise sur la même onde. 
Les vibrations n'étant que quasi-transversales, Icm-s lignes ne sont 
pas rigoureusement sur les ondes; mais il est clair qu'on peut les y 
supposer, sauf erreur négligeable, en les remplaçant par les projec- 
tions sur ces surfaces des éléments rectilignes suivant lesquels vibrent 
les molécules qui y sont situées. 

§ VIL — Troisième loi. 
En éliminant S -^, P'i'' ':> relation (26'), on change (25) en 

d.r ' ^ ■ o V / 

, A oi , d.ASmm' .d.ASmm' . ,„ ,\ '/'"' 

(21) —m- Smin' -{ ^ m —, 2 A (S/nw -— r = o. 

* '' /■ dx de ^ ' as 

Les relations (24) et (2G) étant déjà deux conséquences distinctes 



PURES ET APPLIQUÉES. 359 

lie l'équalioii (/)) et de ses deux analogues, il suffit, pour achever 
de les interpréter, que nous en tirions une troisième conséquence. 
Appelons /; g, h les cosinus des angles que fait avec les axes la 
perpendicidau-e menée, en [x, j; z), à la normale [m, n, p) et 
à la projection de la vibration sur l'onde. Multiplions (27) et ses 
deux pareilles respectivement pary; g-, h et ajoutons les résultats. De 
plus, appelons ,/'^ un élément de chemin pris dans la direction 

(y ' o' ^0 ^^ j-^ l;i dérivée d'une fonclion suivant cette direction. Eu 
négligeant les quantités du second ordre, nous obtiendrons 



C08) (l.^Smm' ,s.,'lm' 

H"; 2A9mm » f — 

lia J ,1,1 



o. 



Au second terme qui contient le facteur Sm»i', {in',ii',p') et dz' 
peuvent être censés, dans l'expression S/jJj^, représenter la duec- 
tion et la grandeur d'un élément de la ligne de vibration située sur 
l'onde. De S/,«' = o il résultera S/^ = - S m' |;. Or dj\ ./g, .//, 
étant les petits accroissements de /, g, h le long de l'élément cW , 
Sm'<lf=^,n'{f-^,IJ) représente le cosinus de l'angle fait avec 
l'élément (W par la trajectoire orthogonale de la ligne de vibra- 
tion, trajectoire menée à la seconde extrémité de cet élément. Si a' 
désigne la portion des lignes de vibration comprise entre deux tra- 
jectoires orthogonales inhiument voisines, on voit aisément que le 
rapport de ce cosinus à di! vaut i ''jL. Oouc l'équation (28) deviendra 

l J) ,1^ + -, ;^ _ o, ou l>,en -1—^^ 1 = o. 

Rappelons que, d'après les résultats du Mémoire siu- les ondes 
dans les nulieux isotropes déformés, ou encore d'après les for- 
mules (21), la vibration est sensiblement dirigée suivant la projection 
du rayon sur le plan tangent à l'onde. Par suite, sur l'onde (17) par 
exemple, la trajectoire orthogonale aux lignes de vdjration, menée 
en uu point [.r, y, z), est l'inIerM;ction de l'onde par la sphère 



36o JOURNAL DE iMATHÉMATIQUES 

Sx"^ = une constante C, qui passe en ce point. Soient c?jr, c^j", &z 
les projections sur les axes de la ligne e', dont la direction est donnée 
par les formules (ig), et qui est comprise sur l'onde (17) entre la 
trajectoire Sx^ = C et celle-ci Sx" == C -l- c?C. Nous aurons évi- 
demment 



S.r2 



V 



(S. 



Sx' — 



v^ 



(Sx= 



âz = 



S.i' — 7 



v/^ 



(Sx'— a)' 



et par suite, en tenant compte de (17), 



(Sx= — a)' 



D'après (20), cette valeur de s' est en raison inverse de Swm\ 
et (29) peut s'écrire 
,„ , rf.As' 

D'où la troisième loi : Sur une même trajectoire orthogonale aux 
lignes de vibration situées sur luie onde, l'amplitude varie en raison 
inverse de la distance de cette trajectoire à la trajectoire voisine. 

Cette loi, par son énoncé, ressemble à la seconde; mais elle en 
diffère beaucoup par son importance et par sa généralité. En effet, la 
relation (29), qui la contient, a tous ses termes du premier ordre de 
petitesse, et si, dans un phénomène naturel, les valeurs de u, c, ir 
n'étaient qu'à peu près nprésenlées |)ar les ex|)ressions (2), les deux 
premières lois seraient encore vérifiées, comme n'exprimant que le 
gros du phénomène, tandis que la relation (29) aurait de nouveaux 



PURES ET APPLIQUÉES. 36 r 

(ei'inos du mémo ordre de grandeur que ceux qui s'y trouvent, et 
donnerait pour l'amplitude une loi différente de (3o). 

Pareillement, les lois de l'amplitude, déduites de l'équation (4) et 
de ses deux analogues, doivent être moins bien vérifiées par les phé- 
nomènes que celles concernant la forme des ondes et la direction des 
vibrations, déduites de (3) et de ses deux pareilles : car, si l'on mul- 
tiplie les équations du mouvement par t= w% l'équation (4) sera four- 
nie par l'ensemble des termes de la première qui contiendront alors 
le facteur très-petit tw, tandis que (3), première équation des ondes 
planes, sera fournie dans sa partie sensible par l'ensemble des termes 
qui n'auront pas ce facteur; si donc u, v, w n'ont qu'à peu près la 
forme (2), les termes négligés influeront plutôt sur (4) que sur (3). 

§ VIII. — Expression de VnmpUlnde. 

Il nous reste à déduire des deux dernières lois (26) et (3o) l'expres- 
sion de l'amplitude sur une onde particulière, par exemple sur 
l'onde (17), afin de montrer que ces deux lois ne sont pas contradic- 
toires; ensuite la première loi (24) achèvera de déterminer l'ampli- 
tude en un point quelconque. Pour cela, il nous faut d'abord étudier 
rapidement les lignes de vibration et leurs trajectoires orthogonales. 

Rappelons, du Mémoire sur les ondes dans les milieux isotropes 
déformés (§IV), que, si l'on coupe l'ellipsoïde d'élasticité Sa.r= = 1 
par un plan passant à l'origine, qu'on mène d'un même côté àitwyi 
plans parallèles au premier et tangents à l'onde, et enfin les rayons qui 
aboutissent à leurs points de contact, les vibrations correspondantes 
au plus grand de ces rayons se font suivant le petit axe, égal à sou 
inverse, de l'intersection du premier plan par l'ellipsoïde, et les vibra- 
tions correspondantes au plus petit de ces rayons se font suivant le 
grand axe, égal encore à son inverse, de la même ellipse d'intersection. 
Comme ces rayons sont tres-voisins de la normale au plan, on peut 
leur substituer les rayons correspondants à celte normale. 

Cela posé, si nous admettons qu'on ait choisi les axes de manière 
qu'on ait « > /3 > 7, l'ellipsoïde aura deux sections circulaires pas- 
sant par l'axe des jr et également inclinées sur l'axe des x. Les nor- 
males à ces sections rencontreront donc à très-peu près aux mêmes 

Tf.me XIII {1' série) OcTonp.E i8C8. 46 



362 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

points les deux nappes de l'onde, c'est-à-dire qu'elles seront Irés- 
voisines des axes o|otiques où se réunissent les deux nappes. D'ailleurs 
les deux cercles seront égaux. 

Considérons donc un rayon quelconque, les deux axes optiques, 
et trois plans menés par l'oiigine respectivement perpendiculaires à ce 
rayon el aux axes. Le premier de ces plans coupe l'ellipsoïde suivant 
une ellipse et les deux autres suivant les deux sections circulaires 
égales. Ces deux derniers cercles intersectent donc l'ellipse du premier 
plan suivant deux diamètres égaux : par suite leurs intersections ont 
pour bissectrices les deux axes de l'ellipse. Or si l'on mène un plan 
[)ar le rayon considéré et par chacun des axes optiques, ces plans 
couperont le plan de l'ellipse suivant deux lignes perpendiculaires à ces 
intersections et dont les angles auront les mêmes bissectrices. Par suite, 
les axes de l'ellipse seront contenus dans les plans bissecteurs des angles 
des deux plans qui passent par le rayon et par chacun des axes op- 
tiques. Les axes de l'ellipse donnant la direction des vibrations, il en 
lésulte le théorème suivant, qui se trouve d'ailleurs dans les traités 
de double réfraction : 

Si Von fait passer un plan par un rnjon et par chacun des axes 

opli(jues, les vibrations des molécules situées sur ce rayon se font 
iuivant les plans bissecteurs des angles de ces deux plans. 

Actuellement, U et U' désignant les deux angles que fait avec les 
axes optiques le rayon mené en un point quelconque d'une onde, je 
dis que les lignes de vibration sont à peu près des ellipses sphériques 
ayant leurs foyers sur les axes optiques, c'est-à-dire que, sur l'onde qui 
est presque une sphère, elles ont pour équation 

U zp U' = const. 

Soient : A, A' [fig- i) les intersections des deux axes optiques par 
l'onde considérée; MA, MA' deux lignes géodésiques ou très-sensihle- 
aient deux arcs de grand cercle qui joignent à ces points tout point M 
de l'onde ;MN un élément de la ligne de vibration qui passe par ce point. 
Cet élément, d'après la loi ci-dessus, fait des angles égaux avec AM et 
avec A' M ou avec le [)rolongement de AM et avec MA'. Menons par 



PURES ET APPLIQUEES. 363 

la pensée deux arcs de grand cercle NA et NA'. Je dis que, dans le 
premier cas, 

NA - NA' = MA - MA', 

et que, dans le second, 

NA + NA' = MA + MA'. 

Des points A et A', comme pôles, menons deux arcs infiniment 
petits NP, NP', qui déterminent, suivant AM, A'M, deux arcs de grand 
cercle AP, A'P' respectivement égaux à AN, A'N. Les deux triangles 




NPM, NP'M, rectangles en P, P', auront hypoténuse commune et 
Tangle aigu en M égal : par suite MP = MP'. Or MP est ce que 
gagne AM en devenant AN, et MP' est, dans le premier cas, ce que 
gagne et, dans le second, ce que perd l'autre distance A'M en deve- 
nant A' N. Donc la différence ou la somme de ces deux distances 
reste constante quand le point M se déplace suivant une ligne de 
vibration. 

Si le point M est en particulier sur l'axe des x, la considération de 
l'ellipsoïde d'élasticité montre que la vibration qui fait deux angles 
égaux avec MA et MA' correspond au plus grand rayon, c'est-à-dire 
à la nappe extérieure. Par la raison de continuité, il en sera de même 
si le point M se déplace d'une manière quelconque, à partir de l'axe 
des x^ mais en restant sur la même nappe. Donc les lignes de vibra- 
tion ont pour équation 

U rp U' = une const. C,, 

le signe — correspondant à la nappe extérieure, le signe -t- à la 
nappe intérieure. 

4(i.. 



364 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Les trajectoires orthogonales aux lignes de vibration seront évi- 
demment 

U ± U' = une const. Ca- 

Evaluons l'élément MN = ds^ en fonction de U et de d{] . Pour cela, 
reportons-nous aux figures précédentes et appelons I, dans le pre- 
mier cas, l'angle des deux arcs MA, MA', et, dans le second, son 
supplément. Le triangle sphérique AMA' donnera, en désignant 
par 2 5' l'angle des deux axes optiques, 

COS2 5' = cosU cosU' dr sinU sinU' cosi, 
d'où 



I /c 



cosae' — cos(U± IJ' 
cos- — * ' 



z 1 sinU sinU' 
Or, dans le triangle MPN, où MF ^ r<YU, on a 



ds = -^= rd\j \ 



MN ou .' . / 



cos 29' — eos(U rtU'j 



Observons que l'on doit prendre le signe + ou le signe — , suivant 
que l'équation de l'arc ds est 

d\j — d\]' — o ou du H- du — o. 

Nous pouvons enfin calculer les distances infiniment petites y ou s' 
de deux lignes de vibration ou de deux trajectoires orthogonales à 
ces lignes. Il suffira de faire dans l'expression de ds : pour obtenir (p, 

d\]±d{J' = o, d\Jz^dU' = dC,, Uq:U' = C,; 
pour olitenir s', 

d\]:^dU' = o, dUzhdU = dC„ U±U' = C2. 
Nous trouverons ainsi 



.„ , dC, _ /rp 2 sinU sinU' , c/C; /± ?. sinlJ sinU' 

V^'j 9 — T '' V COS2 9' — cosC' ^ "" ir'' V C0S2 9'-C0SC/ 



PURES ET APPLIQUÉES. 365 

D'après la deuxième loi de ramplitude, C, et dC, ne variaiil pas, 
le produit A^ est constant, et, d'après la troisième, C, et dC^ ne va- 
riant pas. As' l'est également. 11 est évident qu'on ne peut satisfaire 
à ces deux conditions qu'en prenant siu- toute une onde 

,., . . constante 

(.i-i) A = 



■ ysinU sinU' 

Celte valeur de A vérifiera aussi la première loi (2/1), si la constante 
est la même pour toutes les ondes : elle est donc l'expression générale 
de l'amplitude. 

§ IX. — application à la dijfraction et à la délimitation 
des rajons lumineux . 

Généralement les ondes Itnnineuses qui se propagent dans un 
espace ne sont pas indéfinies; souvent au contraire elles sont tres- 
restreintes dans le sens latéral, comme cela arrive pour un pinceau 
de lumière qui pénètre dans une chambre par une étroite ouverture. 
On sait comment, dans ce cas, la Physique actuelle explique la pro- 
pagation du mouvement dans un sens à l'exclusion des autres. Elle 
suppose qu'on peut concevoir tous les points de la première onde 
considérée comme autant de centres d'éhraidement, propageant au- 
tour d'eux des vibrations d'une amplitude proportionnelle à celle de 
l'onde elle-même en ces points, et que la superposition de toutes ces 
vibrations fournit pour chaque molécule du milieu les vrais déplace- 
ments. On y joint toutefois cette hypothèse que les vibrations pro- 
pagées autour de chaque point de l'onde primitive n'ont une ampli- 
tude appréciable qu'aux environs de la normale à cette onde. Les 
expressions que l'on déiluit de là pour l'amplitude expliquent et per- 
mettent d'évaluer avec une précision suffisante les phénomènes con- 
cernant la diffraction et la délimitation des rayons lumineux. Toute- 
fois les deux hypothèses admises peuvent laisser des doutes, la 
seconde surtout, car nous avons vu que, dans les vibrations trans- 
versales, ram|)litude ne varie pas d'une manière arbitraire aux divers 
points d'une même onde, mais en raison inverse de la distance de 
chaque ligne de vibration à la ligne de vibration voisine. Il y a donc 



366 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

lien d'examiner si l'aniflyse permet d'obtenir les formules dont on se 
sert en diffraction. 

Supposons d'abord notre milieu homogène et isotrope, et de plus, 
afin de fixer les idées, limité inférieurement par une surface quel- 
conque f[x, j>-, z) = o, mais indéfini latéralement et en haut. Les 
molécules de la surface exécutent simultanément des vibrations trans- 
versales rectilignes, ayant une amplitude et une direction données, 
arbitrairement variables suivant une loi continue d'un point à l'autre, 
mais constantes en chaque point pendant un temps assez long. Bien- 
tôt toutes les molécules du milieu exécuteront des vibrations de 
même période x. Proposons-nous d'obtenir l'expression de leurs dé- 
placements M, 4', iv. Ceux-ci devront vérifier les équations (i), et de 
plus, tout près de la surface /(x, ) , z) = o, se réduire aux valeurs 
données. 

Nous avons appelé ^, à la fin du § IV, une distance pre.sque insen- 
sible, qui est le rayon à partir duquel se vérifient les lois des ondes 
sphériques. Ce rayon, quoique très-petit, doit encore être assez 
grand par rapport à la longueur d'onde toj, puisqu'on peut, en com- 
paraison, négliger dans l'équation (3) le terme qui contient -"u,^. 
Construisons, au-dessous de f [x, j, z) = o, à cette distance Ç, une 
;iulre surface/i [x, y, z) = o, que nous diviserons en parties infiniment 
petites r/(7. Prenons un point M [fig. 2) dans chacune de ces parties, 




connne centre de sphères que nous supposerons être des ondes pro- 
pagées à partir de ce point. Menons par M la normale MM' = Ç, 
commune à y = o et à/, = o, et faisons passer un plan MM'N par 
cette normale et par la vibration qui a lieu effectivement en M'. 
Supposons que, sur les ondes sphériques, les vibrations se fassent 
suivant des cercles parallèles à ce plan, avec luie amplitude constante 
le long d'un même cercle et nulle partout, excepté sur une bande de 
quel([ues degrés de part et d'autre du plan. Enfin admettons que, sur 



PURES ET APPLI()UÉES. 367 

l'oiule de rayon Ç, tangente en M' à y"= o, l'amplitude sur le grand 

cercle de vibralion soit égale an facteur — ^ midtiplié par celle A qui 
a lieu effectivement en M', et que de plus les vibrations sur la même 
onde aient une avance de temps -^ sur celles qui ont lieu effectivement 

en M'. Chaque système d'ondes sphériques ( voir la fin du § IV) don- 
nera poiu" «, i', IV des valeurs qui vérifieront les équations (1). Leur 
superposition les vérifiera donc également, et il suffira qu'elle donne 
en M' les valeurs effectives de n^ c, iv pour constituer la solution du 
problème. Or je vais démontrer qu'elle les donne en effet. 

Concevons, à partir de M', des droites respeclivement égales à Ç, 
augmentée de une, deux, trois,..., demi-longueurs d'ondes, et, 
appuyant l'autre extrémité de ces droites sur la surface^! = o, décri- 
vons des cônes qui diviseront cette surface en zones contiguës. Il est 
clair que les ondes sphériques dont les centres se trouvent sur une 
même zone enverront en M' des mouvements en partie concordants, 
tandis que les mouvements envoyés par deux zones voisines seront 
discordants. Ces zones auront une surface croissante à partir de la 
zone centrale, mais leur partie active n'en sera bientôt qu'une très- 
petite fraction, puisque sur chaque onde sphérique les vibrations 
n'existent qu'aux environs d'un grand cercle. Les mouvements en- 
voyés en M' par les diverses zones augmenteraient cependant d'une 
zone à l'autre, à cause de la grandeur croissante de celles-ci, si l'am- 
plitude n'était en laison inverse de la distance. Ces deux causes se 
compensent à peu près pour les zones situées à une distance finie 
de M'; mais l'effet de celles-ci est très-faible, puisqu'elles ne sont 
actives, relativement à la molécule M', que siu' une très-petite frac- 
tion de leur étendue. La valeur totale des mouvements envoyés en M', 
pour u, pour v et pour w, sera donc une somme de termes décrois- 
sants, alternativement positifs et négatifs, fournis chacun par une 
zone. .Soient, pour le premier déplacement n, 

II', n' -t- Ak\ n' -h 2 Au' -h AAu' 

trois consécutifs de ces termes pris en valeur absolue. 'Ç étant assez 



368 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

grand par rapport à la longueur d'oiifle, deux zones contigues ont 
presque la nièa)e action sur la molécule M', et les termes qu'elles 
donnent varient peu et avec continuité de l'un à l'autre. Ce principe 
peut tout au plus paraître douteux pour les zones centrales, qui sont 
ilans luie position exceptionnelle; mais nous verrons dans un instant 
qu'il s'étend même à celles-là. Par suite AAn' par rapporta Au' et Au' 
par rapport à u' sont extrêmement petits. Comme deux termes consé- 
cutifs ont signe contraire, chacun, u' -h Au' par exemple, peut être 
détruit par la moitié du précédent — et par la moitié du suivant 

h Au H 1 saur erreur égale a On peut auisi annuler le 

second terme, le quatrième, le sixième, etc., avec la moitié du pre- 
mier, avec le troisième, le cinquième, etc. La somme des erreurs 
commises sera de l'ordre de 2AAu', ou de Am', c'est-à-dire négligeable. 
Il ne restera que la moitié du premier, plus une portion du dernier, 
qui est insignifiant. Par conséquent l'action totale des zones sur le 
mouvement de M' se réduit sensiblement à la moitié de celle de la 
première zone. 

Prenons, à partir du point M,Mjr (yîg. 3), dans le sens de la vibration 
qui se fait en M', pour axe des x, et la perpendicidaire Mj' dans le 
plan tangent à /, — o pour axe des j-. Les déplacements effectifs et 




f.= 



donnés de la molécule M' auront pour ex|)ressions, en comptant le 
temps à |)arlir du commencement dune vibration, 

(33) « = Acos-^) 1^ = 0, n' = o. 

Il faut donc démonirer que les moitiés de ceux fouinis par la jjremière 
zone ont les mêmes ex()ressions. 

Pour cela, décrivons, du point INI connue centre, l'onde sphé- 



PUKES ET APPLIQUÉES. 36g 

lique M' P. Considérons un élément da de la surface^, = o, silué en 
H(.r, ^-), très-près du point M. Le rayon HM', qui en émane, est 
parcouru par les ondes sphériques de la même manière et dans le 
même temps que le serait son égal et parallèle Mil', limité en haut à 
la surface y= o. La vibration envojée en M' par l'élément d(7 est 
donc en relard sur celle que lui envoie M, de tout le temps employé 
à parcourir la portion PH' de J\IH', qui est hors de l'onde IM'P. D'ail- 
leurs, PH' étant sensiblement perpendiculaire au plan de jcj', vaut 

.,.., = r^^; le temps employé a le parcouru- sera —■ Les va- 

leurs de u, i>, (v, envoyées en M' par l'élément tla, sont donc à très-peu 
près 

A/la It: I T -x"- -H r'\ 
Il = COS [t + -7 : ]■> (' r= o, W = O. 

En intégrant dans toute l'étendue d'une portion de la surface 
Jt = o, on aura les déplacements envoyés en M' par cette portion de 
surface. Quand celle-ci est circulaire et a pour centre M, on peut la 
décomposer en tranches concentriques de rayon r,, de largeur di\ et 
d'étendue nd(^r\). L'intégrale cherchée sera, pour ?/, 

!^ Çd[r\)co^-(t + '-.-^\ 

+ sin(^' + ^)j^sin^rf(0]. 

Si l'étendue considérée est celle de la i'™^ zone, la limite inférieure 

de — ^ sera / — i, et la limite supérieure /. L'intéerale est donc, 

en prenant le signe -f- ou le signe —, suivant que / est impair ou 

est pair, ± aAcos^^ — • Ce résultat est bien le même, au signe près, 

pour les diverses zones voisines de la première : ce qui démontre pour 
ces zones le principe émis plus haut, que la différence entre les effets 
de deux consécutives est très-petite. Quant aux déplacements p et iv, 

Tome XIII (2"^ série). — Octodue 18G8. 47 



Syo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

ils sont sensiblement nuls, et le principe s'y étend sans démonstra- 
tions. De plus, les moitiés des valeurs de u, v, vv, données par la 
première zone, sont bien identiques à (33), ce qu'il fallait démon- 
trer. 

Les formules d'intensité que Fresnel a établies dans sa théorie 
de la diffraction, et qu'on trouve dans les cours de physique, dé- 
couleront de notre analyse; mais celles qui donnent la phase ou 

l'anoiualie devront être diminuées de - ; cela provient de ce que, 

dans les ondes sphériques élémentaires, les vibrations se trouvent en 
avance d'un quart par rapport à celles qui sont directement données 
sur la première onde J (.r, j, z) =^ o. 

Les mêmes raisonnements ne sont pas applicables aux ondes longi- 
tudinales; car, dans ce cas, l'amplitude des vibrations seMit con- 
stante sur toute une même onde sphérique (§111), et les zones que 
nous avons considérées, devenues actives dans toute leur étendue, 
n'auraient plus des influences décroissantes de l'une à l'autre sur les 
mouvements produits en M'. Il parait donc que les formules de la 
diffraction ne pourraient pas être étendues aux ondes sonores. 

Nous avons supposé le milieu isotrope; si c'est un corps biréfrin- 
gent presque isotrope, on raisonnera de la même manière. Il y aura 
toutefois les différences suivantes : i° les lignes de vibration données 
sur /'(,r, j-, 2) — o, au lieu d'être arbitraires, seront déterminées 
par la natiue du milieu, car les vibrations seront dirigées, aux divers 
points de la surface, comme dans les ondes planes tangentes à la sur- 
face en ces points; 1° on prendra la droite MM', non pas exactement 
normale aux doux surlaces f=o,J, = o, mais telle que l'onde 
presque sphérique dont le centre est en M et qui passe par M' soit 
tangente en ce point à la surface /— o; 3** sur cette onde, la bande 
très-mince sur laquelle l'amplitude n'est pas nulle ne sera générale- 
ment plus circulaire, mais elle suivra la ligne de vibration, située sur 
la même onde, qui est tangente en M' à la ligne de vibration directe- 
ment donnée sur la surface /= o (d'après l'observation qui termine 
le § VII, l'erreur commise en su|)posant l'amplitude nidle partout 
.ulleurs que sur celte bande, sera très-petite de l'ordre de tw multiplié 
par le pouvoir biréfringent, et pourra être négligée dans les phéno- 



PURES ET APPLIQUÉES. 871 

mènes éliicliés); 4° les zones rlécrites autour du poinl M sur/, = o 
seront telles, que les rayons menés à M' à partir des divers points de 
leurs contours soient parcourus par les ondes dans des temps dépas- 
sant d'un nombre entier de fois ^ celui qu'elles mettent à parcou- 
ru- MM'. Comme les ondes sont à peu près sphériques, les quantités 
telles que PH' auront sensiblement la même valeur à une même dis- 
tance de M'; donc ces zones seront encore circulaires, près du 
point M, et, sauf la direction différente de MM', on obtiendra les 
mêmes résultais que pour un milieu isotrope. 



■rj- 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 



JSote sur V application de la théorie du mouvement 'varié des 
liquides imparfaits à l'étude des tremblements de terre; 

Pau m. Anatole DE CALIGNY. 



Il ne parait pas qu'on se soit jamais occupé des phénomènes de 
coups de bélier hydraulique qui peuvent se présenler dans les ma- 
tières en fusion, telles que les laves ou les matières souterraines quel- 
conques que l'on suppose exister à l'état liquide sous la croûte solide 
dont le globe de la Terre est entouré. Les phénomènes de cette espèce 
de mer souterraine ne peuvent pas être cependant de la même nature, 
à beaucoup près, que ceux des mouvements des mers à ciel ouvert, 
qui peuvent s'étendre en montant sur les plages, quand même ces 
matières souterraines auraient autant de fluidité que nos mers. 

Supposons que, par une cause quelconque, par exemple soit à. la 
suite de l'affaissement ou de l'effondrement d'une caverne, soit h la 
suite d'un soulèvement, le liquide souterrain trouve une place pour s'y 
précipiter, l'effet pourra être d'abord analogue à celui du coup de 
bélier des vagues au-dessous d'un rocher. Mais, abstraction faite de ce 
qu'on peut concevoir d'analogue au premier aperçu, il est intéressant 
d'étudier le mode de propagation du mouvement que suit celte pre- 
mière colonne liquide. 

Si l'on peut comparer ce mouvement à celui d'une grande colomie 
d'eau dont une extrémité déboucherait dans lui réservoir, l'autre 
extrémité étant fermée par un robinet qu'on ouvrirait subitement, le 
cas n'est pas du tout le même, surtout si Ion tient compte de la nou- 
velle théorie de la chaleur. 

Il résulte, en effet, des expériences décrites dans mon Mémoire pré- 
senté à l'Académie des Sciences en iH^y, et couroiuié par cette Aca- 



PURES ET APPLIQUÉES. 37^ 

demie en i83g, qu'à l'instant où l'on débouche subitement un long 
tuyau de conduite, la pression du réservoir dont il s'agit étant em- 
ployée à engendrer du mouvement dans toute la colonne liquide, un 
jet d'eau sortant par un petit orifice près du robinet cesse complète- 
ment, et la vitesse engendrée est d'abord très-l'aible dans toute cette 
colonne. 

L'effet n'est pas le même quand on débouche subitement un tuyau 
rempli d'air comprimé, comme on le voit par l'explosion qui chasse 
avec rapidité des poussières attachées aux parois intérieures de ce tube. 
On conçoit que chaque tranche d'air comprimé renferme eu elle-même 
une cause de détente rapide, tandis que la colonne liquide précitée 
recevait, par une de ses extrémités, l'action d'une force bien distincte 
d'elle-même, c'est-à-dire que l'eau est si peu compressible, que le 
travail provenant de la détente de cette eau comprimée était insi- 
gnifiant. 

N'y a-t-il pas lieu de croire que les matières en fusion, telles que les 
laves, qui d'ailleurs sont rejetées avec tant de force par les volcans, 
peuvent être considérées comme ayant en elles-mêmes, ou par suite 
des pressions énormes auxquelles elles sont soumises de toutes parts, 
une force d'expansion rapprochant bien plutôt le phénomène de celui 
de l'explosion de l'air comprimé dont je viens de parler que de celui 
de la colonne liquide subitement débouchée par le robinet précité, 
surtout si l'on tient compte de l'état de vibration admise par la nou- 
velle théorie de la chaleur ? 

Si l'on peut admettre, d'après ces considérations, une certaine faci- 
lité de propagation du mouvement des matières souterraines en fusion, 
il est intéressant d'examiner ce qui peut s'y jjrésenter d'analogue aux 
mouvements des liquides coniuis, en tenant compte de ce que la partie 
inférieure de la croûte terrestre n'est pas supposée, je crois, en géné- 
ral du moins, p^ar beaucoup de géologues, plus horizontale que la 
partie supérieure, sauf les vallées creusées par le mouvement des 
eaux. 

C'est bien plutôt à ce qui se présenterait au fond d'une n;er d'une 
très-grande profondeur, si le mouvement pouvait s'y ])ropager avec 
une assez grande force, qu'à ce qui se présente à la surface, cjue les 
phénomènes doivent être comparés. Le cas, au reste, ne serait pas, à 



374 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

beaucoup près, rigoiireuseinorjt analogue, en supposant même que 
tout fût égal d'ailleurs quant à la fluidité, la croûte terrestre étant 
assez épaisse pour résister plus complètement aux coups de bélier. 
Mais on conçoit par là même que ces coups doivent avoir une puis- 
sance dont celle des flots ne peut sans doute donner qu'une idée très- 
imparfaite. 

Si l'on suppose que les continents et les îles aient été formés par 
voie de soulèvement, que par conséquent le dessous de la partie qui 
sujjporte les mers soit moins élevé que le dessous de la partie qui sup- 
j)orte les continents, et qu'il y ait, par une cause quelconque, un 
mouvement du liquide intérieur dirigé vers les régions qui supportent 
les mers, ce liquide, aux points de jonction de ces deux surfaces, ren- 
contrera une véritable plage inclinée. Mais il est bien à remarquer 
qu'en frappant cette plage latéralement par-dessous, son mouvement, 
tout en se décomposant et tendant à se diriger de haut en bas, n'aura 
pas la liberté que rencontrent les flots sur une plage inclinée, parce 
qu'ils trouveront devant eux un espace rempli de liquide, quand 
même le degré de fluidité serait le même dans les deux cas. 

Il semble donc qu'il peut y avoir plus de chances, toutes choses 
égales d'ailleurs quant au climat, etc., pour qu'il se présente des trem- 
blements de terre à ces points de jonction entre les mers et les continents 
ou les îles, qu'à tout autre endroit. Il paraît, en effet, que c'est dans 
les contrées maritimes que les tremblements de terre ont, dès le temps 
il'Homère, été le plus souvent remarqués. 

Mais, si les considérations précédentes sont rationnelles, il semble 
que ce n'est pas précisément à Neptune qu'Homère aurait dû les attri- 
buer, s'ils résultent plutôt de la réaction de la partie de la crol^ite ter- 
restre qui supporte les mers et reçoit d'abord les chocs directs, et si 
ces derniers ne se font souvent sentir aux terres que par réaction. 

Je reviendrai sur ce sujet quand je connaîtrai le résultat des expé- 
riences dont le P. Secchi me fait l'honneur de s'occuper, d'après mes 
indications, sur les frottements de l'eau soumise à des pressions 
énormes, les conditions précédentes s'appliquant d'ailleurs, jusqu'à 
un certain point, à des liquides imparfaits. 

J'ajouterai seidemeni ici que si le mouvement des matières en fusion, 
au lieu de frapper iiiunédiatement une surface inclinée, rencontre 



PUKES ET APPLIQUÉES. 373 

d'aboid lin ronflement sous une surface soulevée, ce renflement étant 
même supposé déjà rempli de liquide, il pourra se présenter des toui- 
hillons par suite desquels l'état de la question pourra èlre modifié de 
tant de manières, qu'on ne doit sans doute présenter qu'avec une 
extrême réserve des hypothèses sur des mouvements susceptibles d'être 
accompagnés aussi de tourbillons qui se présenteraient si, contraire- 
ment à l'hypothèse ci-dessus indiquée, la direction des mouvements 
partait de la portion inférieure de la croûte terrestre qui supporte les 
mers. 

Mais abstraction faite même déboute considération particulière de 
ce genre, il était d'autant plus intéressant de faire entrevoir la variété 
des applications qui peuvent être faites du principe des forces vives à 
la théorie des tremblements de terre, qu'il en résulte d'ailleurs immé- 
diatement qu'aucune limite ne pouvant être assignée à la puissance des 
coups de bélier souterrains, cela seul suffirait pour répondre à des ob- 
jections sur la force nécessaire pour soidever les matières en fusion 
des volcans, si leur cheminée a toute l'épaisseur de la croûte terrestre. 

Depuis que j'ai présenté ces idées à l'Académie des Sciences, en 1 866, 
pendant que j'étais à la campagne, j'ai repris l'élude de celte question, 
en tenant compte des diverses hypothèses faites sur la nature de la 
fluidité des matières souterraines supposées en fusion, d'autant plus 
qu'il paraît résulter de la coïncidence de divers tremblements de terie 
avec certaines époques de l'année que, dans tous les cas, on doit 
atlmcttre des espèces de marées souterraines [*]. 

Je crois, après y avoir de nouveau réfléchi, qu'en sup|iosant niéiiie 
ces matières plutôt à l'état pâteux qu'à l'état liquide, en un mot, quelque 
imparfaits que soient ces liquides, les hypothèses que j'ai proposées 
sur ce sujet n'en pourront pas moins trouver d'utiles applications 
quand on aura suffisamment multiplié les observations sur les tremble- 
ments de terre. 

A ce sujet, il n'est peut-être pas sans intérêt de montrer comment on 

[*] Aux faits de ce genre rappelés dernièrement par M. Élie de Beauiiiont, je 
pourrais joindre ceux dont je dois ta connaissance à mes confrères de l'Académie des 
Gcorgofili de Florence, el nolarament au savant Secrétaire perpétuel de cette Aca- 
démie. 



376 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

peut, dans bien des circonstances, donner une certaine rigueur aux 
résultats, en faisant des observations qui s'y rapportent longtemps 
après la cessation du phénomène. Ainsi, dans un château où je me 
trouvais à l'époque d'un tremblement de terre, en 1866, on n'entendit 
pas toutes les sonnettes s'agiter par suite de la commotion : on entendit 
seulement celles dont les l'essorts étaient disposés dans une direction 
où elles pouvaient être facilement agitées, à cause de la direction géné- 
rale du mouvement du tremblement de terre. 

Or on conçoit, d'a|)rès ce qui a été dit ci-dessus, que si l'on pouvait, 
par des moyens semblables, donner plus de sûreté aux observations, il 
ne serait peut-être pas impossible d'en tirer quelques conséquences sur 
la forme intérieure de la croûte terrestre, même dans des contrées où 
la siu'face extérieure a été très-modifiée par les mouvements des eaux. 



PURES ET APPLIQUÉES. ^77 



v»v*>v**t****\v*\v*»\v»»n»v»\»»»»»%»»^v\^»\\\\\v\\v»\v»»\\v\\\*i»fc\i 



Mémoire sur l'influence des frottements dans les nwin'ementi 
réguliers des fluides; 

Par m J. BOUSSIIVESQ [*] 



Ce Mémoire a principalement pour but de nionirer : en premier 
lieu, que les formules données par Navier, pour représenter les mou- 
vements des fluides en tenant compte du frottement, sont exaclts 
et d'accord avec les faits (sauf une modification à introduire dans les 
conditions relatives à la surface), lorsque les vitesses des molécules 
fluides varient d'une manière conlinue d'un point aux poin(s voisins; 
en deuxième lieu, que, si les mêmes formules ne s'appliquent pas aux 
mouvements dans les tuyaux deconduiteet dans les canaux découverts, 
cela doit tenir à ce que les molécules fluides décrivent alors des lignes 
sinueuses, et, par leurs passages irrégidiers les unes devant les autres, 
développent des résistances très-différenles de celles qui auraient lien 
si les vitesses ne variaient pas brusquement d'un point aux points voi- 
sins. Les mouvements sont bien réguliers dans les lubes capillaires : 
aussi les expériences très-précises de M. Poiseuille sur l'écoulement 
permanent des liquides dans de pareils tubes [**], et celles de M Gra- 
bam sur la transpiration des gaz [*** j, sont-elles complètement d'accord 
avec la théorie. 



[*] Ce travail a été présenté le 27 juillet 1868 à l'Académie des Sciences, qui, dans 
sa séance du 3 août, en a ordonné l'insertion au Recueil des Savants étrangers. Depuis 
j'ai ajouté les §§ VI, XI, XII : M. de Saint- Venant, auteur du Rapport, a bien voulu 
■n'indiquer les questions qui sont traitées dans ces paragraphes. 

[**] Comptes rendus (27 novembre i843, t. XVII, p. 124). f'oir aussi les expi - 
riences antérieures de Girard [Mémoires de l'Institut, i8i3, i8i4, i8i5), et celles de 
Coulomb [Mémoires de la première classe de l'Institut, an VI, t. III). 

['**] Physique moléculaire de M. l'Abbé Moigno, p. 117. 

Tome XIII (1' série). — Novembrb i8fi«. 4^ 



378 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Je trouve d'abord des équations indéfinies qui reviennent à celles 
de Navier. Je les établis presque sans calcul, et sans avoir besoni 
d'admettre, entre deux molécules très-voisines, une attraction ou une 
répulsion nroporlionnelles à la vitesse avec laquelle elles s'écartent ou 
s'approchent l'une de l'autre. La modification que je fais subir aux 
conditions relatives à la surface, modification vraisemblable à priori aV 
montrée nécessaire par les faits, consiste à supposer la vitesse ludle 
près d'une paroi mouillée. 

J'étudie ensuite le mouvement il'un liquide par filets rectilignes et 
parallèles. Il existe pour la dépense, soit dans l'état permanent des 
vitesses, soit dans leur état variable, des lois simples qui convieiuienl 
à toutes les sections normales de même forme, quelle que soit cette 
forme. Je démonlie ces lois, el je traite s|jécialement les deux cas d'une 
section elliptique et d'une section rectangulaire. 

La méthode employée dans la question précédente me permet d'ob- 
tenir les lois de l'écoulement des fluides dans les tubes très-étroits, 
droits ou courbes, et de section normale variable. 

Je termine par un essai sur le niouveiuent permanent des liquides 
dans des tubes ou des canaux horizontaux <à axe circulaire. Le mouve- 
ment ne peut se faire par filets circidaires et conaxiques cjne dans le 
seul cas où le liquide n'a ni fond, ni couvercle, mais est indéfini dans 
le sens vertical. S'il y a un fond et une surface libre, les molécules 
liquides, en même temps qu'elles avancent parallèlement à l'axe du lit, 
sont animées d'un mouvement transversal : celles qui sont près de la 
surface libre et possèdent la plus grande vitesse, vont à la dérive du 
côté du bord extérieur ou concave; les plus superficielles sont même 
jetées contre ce borti ; puis elles plongent, perdent inie partie de leur 
vitesse et rctlnent vers le bord convexe où elles remontent pour recom- 
mencer nu trajet pareil. La masse fluide n'avance donc qu'en se tor- 
dant sans cesse, ou en formant un tourbillon. Lorsque le liquide est 
contenu dans un tube qu'd remplit, il y a <\ex\\ touil)ill(uis au lieu d'un. 
Le liquide contenu dans la moitié intérieure du tube en forme un pre- 
mier pareil au précédent, et celui qin remplit la partie sii|)érieure en 
forme mi second symétritpie du prenùer. 

On sait qu'aux tournants des rivières la berge concave est sans 
cesse creusée, tandis que la berge convexe s'atterrit : cila doitéire en 



PURES ET APPLIQUÉES. 879 

eftcl, si les eaux soiii jelées avec force coiilre la pieiiiière et arrivent, 
ail contraire, avec une petite vitesse sur i.i socontle. 

§ L — Foi ces développées dans les fluides par le mouvement. 

Un fluide naturel, dont les molécules glissent à côté les unes des 
autres et s'écartent beaucoup des positions relatives qu'elles occupaient 
d'abord, peut être assimilé à un corps peu solide qui se déformerait 
sous l'action des plus petits efforts, et qui, ilans son mouvement, pas- 
serait par une infinité d'états moléculaires distincts. Dans cliacim de 
ces états, le corps pourrait rester en équilibre ; mais le mouvement les 
détruit aussitôt après qu'ils se sont formés, pour les remplacer par 
d'autres. La résistance qu'oppose le fluide à sa déformation durant un 
instant très-court, est évidemment d'autant plus grande qu'est plus 
grand lui-même le nombre d'états moléculaires par lesquels il passe 
dans cet instant : cela revient à dire qu'elle dépend, en chaque point, 
de la vitesse relative des molécules très-voisines du point considéré. 
Cette résistance constitue, par ses composantes langentielles, le frotte- 
ment des fluides : nous nous proposons de l'évaluer. 

Soient : x, y, z trois coordonnées rectangulaires d'un point M de 
l'espace; u, v, w les composantes suivant les axes, à l'époque t, de la 
vitesse que possède la molécule qui passe en M à cette époque. Si nous 
supposons les mouvements continus, c'est-à-dire les vitesses peu va- 
riables d'un point auK points voisins, les composantes, suivant les axes, 
de celle de la molécule qtii passe en un point [jc -h />, j^-\- k, z -\- l j 
très-voisin de M, seront sensiblement 

fin , du , du , 

u-h— h-h-rk-h-rl, 

dx dy dz 

dv , dv , dv , 

i^+— A-h-pA:-!--/, 
dx dy dz 

dw 7 dw I dw , 

W^-j-h + — k+—L 
dx dy dz 

On voit que les vitesses relatives des molécules voisines de M sont 
déterminées par les dérivées partielles de m, i', w en x, j", z. Donc les 
forces développées par le mouvement dépendiont de ces dérivées. 

48.. 



38o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Concevons qu'on mené en M un élément plan quelconque, donl In 
normale fasse avec les axes des angles ayant respectivement pour 
cosinus d, e, f. Soient p„j., p„y, p,,^ les trois composantes, suivant les 
mêmes axes, de la force rapportée à l'unité de surface qui est exercée 
sur cet élément plan du côté où l'on a mené la normale. Les raison- 
nements exposés aux §§ 7 et 9 des Leçons sur V Elasticité de M. Lamé, 
donneront 

//;,,, = N.d + Tje + T,f, 

(0 /;„, = T3d + N,e+T, f, 

f p,^^ = T, d + T, e + N3 f, 



N,, No, N;,, T,, Tj, T3 désignant les composantes des forces exercées 
sur l'unilé de surface des trois éléments perpendiculaires aux axes. 

Nous venons de voir qu'elles sont fonctions de- — '- — '- — • : comme nous 

i{[x, y, z) 

n'avoi.'s pas de raison poiw supposer les dérivées partielles de ces fonc- 
tions nulles ou infinies pour des valeurs nulles des variables, nous 
pourrons les développer par la série de Maclaurin, et nous arrêter même 
aux termes dn premier degré quand les dérivées partielles de ;/, f, w 
en X, j, z ne seront pas trop grandes. Les expressions des forces dé- 
veloppées par le mouvement seront donc pareilles à celles des forces 
élastiques dans un corps solide : seulement «, v, wy désigneront, non 
pas, comme poin- les forces élastiques, les trois déplacements suiv.uit 
les axes de la molécule dont x^j, z sont les coordonnées primitives, 
mais bien les trois vitesses suivant les mêmes axes de la molécule qui 
passe en (jt, )\ z) à l'époque t. Si nous observons qu'un fluide est iso- 
trope, et que, d'autre part, lors d'un cliar)gement de coordonnées rec- 
tangulaires en d'antres rectangulaires, les vitesses u^ v, \v se transfor- 
ment comme les déplacements de même nom relatifs à la théorie de 
l'élasticité, et les actions spéciales aux fluides, d'après (1), comme les 
forces élasti(pies, nous verrons que l'isotropie permet de mettre les 
pienuéres de ces forces sous la même forme que les secondes. En dési- 
gnani par/;, K, H trois coefficients indépendants de //, c, iv, et par 5 la 

du rh (hv , i r ' '1 

somme —H \ — r-' nous aurons donc, comme poui- les lorces elas- 

c/x dy dz 



PURES ET APPLIQUÉES. 38 1 

tiques clans un milieu isotrope, 



dy ' \dx dz 

(du dv 

dy dxj 



N.= -,, + K6..hJ. T. = H(:^.J)n. 



Ee coefficient p représente la pression qui serait exercée au point 
{x, j, z) du fluide, si les molécules perdaient instantanément leurs 
vitesses tout en gardant les mêmes places relatives. Quant aux coef- 
ficients H et K, ils varient sans doute avec la nature du fluide, et avec 
tous les éléments qui modifient sa constitution, tels que, par exemple, 
la température et la pression. Mais, lorsque ces éléments ne changent 
pas beaucoup, on peut négliger les variations de H et K, qui sont tres- 
petifes par rapport à H et K eux-mêmes. 

Cherclions les équations du mouvement. Soient : p la densité du 
fluide; X, Y, Z les composantes, suivant les axes, de la force extérieure 
qui agit sur l'unité de masse; u' , t-', w' les trois accélérations, suivant 
les axes, de la molécule M. La considération du parallélipipéde rec- 
tangle élémentaire donnera les trois équations du mouvement. La 
première est 

</N, dl, dl. ^ 

dx dy dz ' ' ' 

OU bien, d'après les formules (2), si nous leprésentons avec M. Lamé 
par Aj i expression symbolique -r^ -f- -^ -i- -—^ et si nous substituons 
à u' sa valeur connue, 

„, di> , ir \ d^ ,. . /dit du dit (/a\ 

^^)-£-^^^ + ^^d-.-^^^^^"-^P^-'P[d>'^"T. + "dJ-'^'''Tz} 

Les deux autres équations se déduisent de celle-là par une ou par 
deux permutations circulaires, effectuées sur : x, j, z ; », v, w; X, Y, Z. 

[*1 Foir la Note I, à la fin du Mémoire. 



382 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Dans le cas d'un liquide, c'est-à-dire d'un fluide sensiblement in- 
coiiipressible, on sait que la condition de continuité est 

, , , , du liv riw 

ce qui annule dans (2) les termes en R et dans (3) le terme en H -1- K. 
Ces formules deviennent ainsi pareilles à celles qu'à trouvées Navier. 

A la surface du fluide, les vitesses m, v, w devront vérifier des re- 
lations spéciales, que nous chercherons seulement pour deux cas 
particuliers : 

1° Près d'une paroi fixe mouillée par le fluide, les trois compo- 
santes », i', w seront nulles. En effet, puisque une différence extrê- 
mement petite lie vitesse entre molécules très-voisines développe luie 
force sensible, une différence finie de vitesse entre les moléciUes de la 
paroi et celles du fluide en contact développerait un frottement in- 
compai'ablement plus considérable. Ce frottement, |Jour faire équilibre 
à l'action tangentielle exercée par le fluide sur sa surface, devra donc 
correspondre à une vitesse très-petite et analytiquement nulle. 

2° A la surface libre d'un liquide, nous admettrons que ce liquide 
n'éprouve pas un frottement appréciable de la part du gaz adjacent. 
Les trois conditions s'obtiendront, en exprimant que les deux compo- 
santes tangentielles de la force exercée par le liquide sur sa surface 
libre sont nulles, et que la composante normale fait équilibre à la 
pression atmosphérique. 

§ IL ~ Mouvement rectiligne d'un liquide. 

Nous allons traiter en détail le cas d'un liquide homogène dont les 
molécides se meuvent suivant des droites parallèles. La surface sera 
un cylindre, parallèlement aux génératrices duquel nous prendrons 
l'axe des .f. On aura donc 

i; =.= o, 1^ = 0; 

la condition (4) de continuité, réduite à 

du 

;s = «' 



PURES ET APPLIQUÉES. 383 

montre que la valeur ii de la vitesse est spiilemei)t foiietioti de j^, z et t. 
Enfin, nous admettrons que les composantes X, Y, Z de la force ex- 
térieure soient les trois dérivées partielles en x, j\ z d'une même 
fonction U, en sorte que 

„ d\i ,/U „ ^U 

ax (ly dz 



Les formules (2) deviennent 



(5) N, =:N, = N3 = -p, T. = o, T,.= H^, T,= H'4^, 

dz <lyi 

et celles du mouvement 

H\\ '^P ''U _ du dp dM dp d\i 

"■ ' dx ^ dx " ^ dt dj " dy ' dz ' dz 

En retranchant de la première, différentiée par rapport à j-, la se- 
conde, différentiée par rapport à r, il vient 

I '^ /ti a '^"\ 

( 6 bis) < On aura de môme 



(V^ 1 » » (I ) (.1 111, I ■ I e 1 1 1 ^ 



On sait d'ailieiu's que u ne dépend pas de x. Donc, en désignant 
par (p [t) une fonction du temps, la même pour tous les points du 
fluide, on pourra [loser 

(7) HA,«-p J = .p(0. 

Cette relation, comparée à la première (G), donne 

Les trois équations (6), respectivement multipliées par r/r, dj^ dz, 
ajoutées et intégrées, deviennent elles-mêmes 

(9) [) = une fonction 'W / ) ^- p\] + X'f [t). 



384 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

On déterminera (p [t) et ij^lO» ^^ exprimant que la pression p prend, 
en deux points, situés par exemple l'un au commencement et l'autre 
à la fin du canal rectiligne qui contient le liquide, deux valeurs 
données à chaque instant. 

Occupons-nous actuellement des conditions relatives à la surface. 

i" Près d'une paroi mouillée, ou aura 

{g bis) u ^ o. 

2° Près de la surface libre, la pression normale exercée du dehors 
sur le liquide sera égale et contraire à l'action du liquide lui-même 
sur sa surface. 

Évaluons les composantes suivant les trois axes de cette dernière 
action, soit à la jiaroi, soit sur la surface libre. Menons au liquide une 
section normale, et appelons 

cis 

un élément du contour de cette section, dj et dz les projections de 
cet élément sur l'axe des j et sur celui des z. La normale à la surface, 
menée en un point de l'élément ds vers l'intérieur du liquide, fait avec 
les axes des angles dont les cosinus sont 

d ^ o, e 



c/s cls 

les signes supérieurs ou les signes inférieurs devant être adoptés sui- 
vant qu'on parcourt l'élément (h à partir d'une de ses extrémités ou à 
partir de l'autre. Les formules (i) et (5) donneront, pour les trois 
composantes de l'action exercée par le liquide sur sa surface, 

du dz du dy\ ZÇL dz dz dy 



^, (du dz du dy\ _i_ f/z 

■==-"i^5;-^^)' P-y^-P-dT' P" 



d.1 



Les deux dernières équivalent à une composante normale — p; la 
première est tangentielle. En appelant po la pression cxeicée sur la 
surface libre par l'atmosphère environnante, nous aurons donc, aux 
divers points de cette surface, p^ = P- D'où, d'après (g), l'équation 
de la surface libre 

(lo) p^=.^{t) + Ç>\] ^X'^{t). 



PURES ET APPLIQUÉES. 385 

En ses divers points, la composante p,,^ est nulle, et Ion a la con- 
tiilion 

(il) -r dz — -— (1)== O (surface libre). 

clj dz ^ 



§ III. — État permanent et étal variable. 

Admettons que les composantes X, Y, Z de l'action extérieure soient 
indépendantes du temps, ainsi que les pressions exercées en deux 
points fixes. Les fonctions y (^) et (j^ [t) se réduiront à deux constantes; 
p ne dépendra pas de ^, et il devra en être de même de p,t. 

Posons 

(12I Zlliîl — T -? - f • 

les équations du mouvement seront, en vertu de (7), (9 bis) et (11), 

à l'intérieur du fluide, A., ;< -1- L = L, —r'- 
^ ' dt 

■■3) . , - , 

I soit /< = o (paroi;, 

à la surface-enveloppe / ,/„ du 

1 soit -r (iz — -— oy =^ O (surface libre), 
f i/)- itz - 

Le mouvement sera permanent, si l'on met pour u une valeur V, qui 
vérifie ces équations en y faisant — = o. On obtient ainsi, avec les 
mêmes conditions à la surface, l'équation indéfinie 

(r4) A2V + L=o. 

Généralement, on posera ii = V -t- Vq, Vo désignant la partie de u 
qui tend vers zéro à mesure que le mouvement approche d'être per- 
manent, et l'on aura 

(f/V 
à l'intérieui- du liquide, AjVq^L, — °i 

f à la surface, soit ¥„= O, soit -— ° dz — ' — " dr = o. 

' Il y dz •- 

Tome XIU (2' série). — Novembre 1 868. 49 



386 JOURNAL DE iMATHÉMATIQUES 

§ IV. — État permanent : lois générales. 

Cherchons d'abord, pour l'état permanent, les lois générales de la 
dépense, c'est-à-dire celles qui régissent tous les cylindres liquides de 
même forme, quelle que soit celte forme. 

Supposons en premier lieu que le volume liquide ail des diii.ensions 
données et que L = i . Soit f{j, z) = o l'équation de la surface, qui 
est en partie paroi et en partie surface libre. Les équations du mou- 
vement seront 



7p "^ U? 



I -TT -+- -rr + I = o, 

I n \ ■ \r . t/V . '/V . 

I et, pour f i V, z) := o, suit V = o, soit — dz ~ (/) =^ o. 

^ ' ^ v^ ' ,/y. l/z " 

Concevons maintenant lui autre volume liquide, de section normale 
semblable à celle du premier, ayant sa surface paroi ou libre comme 
aux endroits homologues de celui-ci, et où Lait une valeur quelconque. 
En désignant par a le rapport de similitude et posant y' = ay, z' = az, 
j'[, z' seront les coordonnées du point de sa section normale, homo- 
logue au point [j", z) de la section pareille du precnier voliune. L'é- 
quation de la siu'face sera toujours J {j, z) = o, et, si V est la vitesse, 
on aura 



d'V d'V 

poiii- /{j', z) = O, soit V" ~ O, soii '-—■ dz' j:r'h' = o, 

f , . . V ha- , L,a' , 

ou bien soit - — - := o, soit — ; dz — d) = O. 

Lrt- dy dz 

f.a quantité - — - est déterminée par les mêmes équations que la quan- 
tité \. On [leut donc poser 

(i6) ï^. = V, ou V'=Lrt^V. 

D'où la loi suivante : 




rURES ET APPLIQUÉES. 387 

Si l'on considère deux volumes cylindriques de liquides différents 
et de dimensions différentes, mais de sections normales semblables, les 
vitesses permanentes en deux points homologues sont proportionnelles 
au coefficient L et à la grandeur des sections. 

Pour avoir la dépense qui correspond à l'unité de temps, il fanl 
multiplier chaque élément de la section normale par la vitesse corres- 
pondante, et intégrer dans toute l'étendue de la section. Comme deux 
éléments homologues des sections dans les deux volumes sont pro- 
portionnels au carré des dimensions de celles-ci, il en résulte que la 
dépense est proportionnelle à leur quatrième puissance. 

Dans le cas d'un liquide pesant, supposons que l'axe des j' soit ho- 
rizontal, et que celui des :• fasse avec la direction de la pesanteur un 
angle a. On aura 

rfU (iV dV 

-— = gs\na, -— = n, --=gcos(Z. 
S'il y a une surface libre, elle aura pour équation (10) et (8) 

dp . 

^j„ — const + pgz cosa -t- -^^ -f-.' 

D'ordinaire la pression atmosphérique p^ est sensiblement constante, 
et, comnie l'équation ne doit pas dépendre de .r, on devra avoir 

'J^ = o. Alors, d'après (8) et (12), L est égal à pg sina divisé par II : 

donc la vitesse sera proportionnelle à la pente, c'est-à-dire nu sinus 
de l'inclinaison des génératrices par rapport au plan Jiorizontal . 

Ce serait le cas du mouvement permanent de l'eau dans un canal 
découvert à peu prés rectiligne, si ce mouvement y existait an point 
de vue où nous nous soimnes placés. 

Supposons actuellement le liquide contenu dans un tube et le rem- 
plissant. Le coefficient constant L vaudra (8) et (12) ^ ipg sinr- 



<l.r 



dp 



On voit que la dérivée y- aura une valeiu' constante : elle s'obtiendr; 



en divisant par la longueiu' du tube la différence des pressions exercées 
à ses deux extrémités. Si le terme pg sina n'a pas une influence appré- 



388 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

ciable, la dépense sera proportionnelle à cette dérivée, c'est-à-dire 
en raison directe de la différence des pressions exercées aux deux 
extrémités du tube et en raison inverse de sa longueur. 

§ V. — Cas d'un tube elliptique. 

Quand le tube, rempli de liquide, est elliptique et a pour équation 

« 
.y- , z' 

l'axe des j étant d'ailleurs horizontal ou incliné, l'expression de la 
vitesse est 



'7J ^ — -2 b' -h C'Y b' c'J' 



En effet, elle satisfait à l'équation indéfinie (i4), et à la condition V = o 
sur la paroi. 

On aura pour la dépense 



(.8) ' ffYdjd:=L^-^^ 



n bc b- c- 

4 b- -h c- 



Appelons c l'étendue de la section, égale à nbc, et cette formule 
pourra se mettre sous la forme 

I La= ., ha- ^ 

(19) dépense = ^ ^ ^ = 0,079b -^ ■ 



c 



b c II 



Dans le cas d'un tube circulaire de rayon R, horizontal ou assez étroit 
pour que la pesanteur n'ait pas d'influence sensible sur l'écoulement, 
elle devient (12) et (8) 

{igbis) dépense = ^ =^ R\ 

Elle est bien, conformément aux trois lois générales démontrées ci- 
dessus, proportionnelle à la quatrième puissance du rayon, en raison 



PURES ET APPLIQUÉES. 



389 



iijverse de la longueur du tube, et proportionnelle à la différence des 
|)ressions exercées à ses deux extrémités. 

Si, l'axe des y étant horizontal, le liquide remplit seulement la 
moitié inférieure du tube, la surface libre aura pour équation s = o, 

et la condition relative à cette surface deviendra — = o. Ea même 

dz 

valeur de V la vérifiera, et la dépense sera la moitié de celle obtenue 
ci-dessus (i8). 



§ VE — Cas ci un tube rectangulaire. 

Traitons actuellement le cas d'un tube plein de liquide, à section 
reclangulaire. Appelons ih, ic\e& deux dimensions de cette section, 
et prenons, à partir du centre de celle-ci, deux axes des j et des z 
parallèles aux côtés correspondants. Si k' désigne tout nombre entier 
positif, 

k Vexpression (aA'-l- \)--> 

et B, C des coefficients arbitraires, une valeur de V qui vérifiera l'é- 
quation indéfinie (i4) sera 



L b'r-' 



2 b' 



1? 



-'i 



cos A 4 



l_ <;'' + € * 






,t 



cosk 



Pour qu'elle soit nulle aux parois, c'est-a-dire quand on y lait, 
soit j=^± b, soit z = ± c, il suffira de choisir les coefficients B et C, 
de manière que 



k'=zzc 



/.' = T- 



17' 



1 Hcos^f p= 2 C 



cos A" 



A' = o 



390 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

D'après une formule d'analyse, toute fonction paire /( j), donnée 
entre les limites j = — ^ et ) = + ^, a sa valeur exprimée par 



k' = v. 

1 

1> 






Nous devrons donc prendre 



et de même 






le signe + correspondant à /. pair et le signe — à A' impair. 
L'expression définitive de la vitesse est donc 



k'— M 



L 6^c= I .1' z 

< 

f A' = l_ r " -I- 






I — r z 

I f * -H f ' '' , 7- 

I (osAV 

AÏ -Al '^ 

Lr * -I- r '' 



[i-jhis)' 

k- —A. 



—. 7 cos A- - 

kt -A* 



On aura la dépense en multipliant |)ar (Y) rfe, et intégrant de ) = — fi 
kj = 4- è et de z = — c à r = + f. Représentons par c, afin d'abréger, 
l'étendue ^hc de la section, et posons 



[iSbis] «^ îj\3 + 2 2 



*' = -- r /- -1- *- -'-"Il 

A = L e '' + e '' (• <" + f *■ J ' 



nous amoiis 

(19 ier) drpcnse = Oî 7 -■ 



PURES ET APPLIQUÉES. Sgi 

Il lie reste plus qu'à calculer numériquement a. Nous [lourrons 
<l abord, dans sou expression, remplacer resi^ectivement 



, c . c b h 

/. 7 - /. r A - — /, - 



4__ ,, A 



— f 






par 

I 







puis nous aurons à évaluer les trois séries 



(■- 


■J) = 


= 2 




1 I 


'.2i 


K- 


I 


— - 5 




*21 


^(- 


-P) 


I 
1+6' e 





qui seront respectivement, dans la parenthèse de a, les coefficients 

de — h y» de - et de r- 
c c b 

Considérons en général la série 



I I I 

7^+^ + 3;^ 



Si ou l'arrête au terme 7:;;r^^^ la somme des 2" premiers termes 
négligés sera inférieure a 2" fois le premier d'entre eux, c'est-à-dire 
inférieure à „,„ ,.■ Les 2""^' termes suivants ont de même une somme 

inférieure à ,„,.,),„_,^ - Eu continuant à grouper ainsi les termes né- 
gligés, on verra que le reste est plus petit que la progression 



I 



2'Hm—\) ' 2("+') ('"—'; 2'""*" -'H"'-') 



3g-i JOURNAL DE MATHÉINIATIQUES 

ou que 



Si nous prenons actuellement la série plus rapidement convergente 



3. + 5.+..., 



et que nous l'arrêtions au même' terme , -^ le reste 

1 (2" — I (" 



H + . . . , auamenté de la somme ; — ; 1- -, ^ H . . • , 

(,"_^ ,)". ^ (2"+ 3)"' ' ^ (2")'" (2"4-2)"' 

plus grande que lui terme à ternie, ne sera autre que celui de la série 
précédente : le reste à lui seul est donc plus petit que l'expression 



2 (2"'-'— l) sC"-''!"-') 

l'our m = 3 et « = 5, cette expression vaut 0,0006; poiu- m = 5 et 
n = 3, elle vaut 0,0001. De telles erreurs étant suffisamment petites, 

on peut calculer^ + ^ + ^ +... en s'arrètant à ^., et- + 3; + si"^-- 
en sarrétaut k —■ On trouve auisi 



aV -^(1—^1=2 (0,27 1 3 — o,2lOi =: o, I 224, avec erreur <^ o,ooo4 . 
Il reste à évaleur les deux sommes 



2 '' 


H- c * 

I 


^■% 


i-he " 



qui sont beaucoup plus rapidement convergentes que la précédente. 
Nous supposerons qu'on ait disposé les axes de manière que b soit 
> c. Alors le premier terme de la seconde somme est seul sensible. En 
effet le deuxième terme est, en valeur absolue, plus i)etit que 



PLfRES ET APPLIQUÉES. 3Q'i 

En négligeant ce terme et les snivjuits, calculant les coefficients 



P 



' — j-,) (le cenx de la première somme qni penvent obtenir une 



valenr sensible, et observant enfin que e'' = a3,i4, il vient 

' i ' , / / ^ '■ \ '■ o , I q55' 

gis 'N'224( -^ - ' ' ^ 



[; 



o, 1955 



I -+- (23,1Z( 

o,o3^8 



h 



0,0080 



_I + (23,l4/ . + (23, i4) ^ I + (23,l4) ' 



o,oo3o 



0,001 4 



\'6ier\ 



(23,14)''' n-(23,i4)'''' 



o , 0008 



o,ooo5 



.+ (23,l4) * i+(23,.4) 
o,ooo3 0,0002 



'^ï 



,5 ■ 



-h (23, 141 " l + (23,l4) 



0,0001 ~l 

i + (23,.4)''*J 



10 



c 



Pour les valeurs particulières 

I, 2, 3, 4, 5, 

a. vaut respectivement 

0,0703, 0,0715, 0,07^1, 0,0747, 0,0737, 0,0780. 

Pour - =; oo , ou peut, dans la formule (18 bis)^ négliger les termes 
qui ont pour coefficient j-, et remplacer la différence et la somme 

e ^ zp e '' par 2 A" y et par 1. Alors il vient 



Tome XIII (2'' série). — Novembhf, 1868. 



5o 



394 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Or les deux membres de l'égalité 

iimltipliés par dj, et intégrés àe j ■— o a j — - h, dotineiit 



On aura donc, pour - 



'-^V~3 



o,o833. 



Ainsi le coefficient a, égal à 0,0703 ponr une section carrée, grandit 
sans cesse à mesure que la section s'aplatit, et tend vers la valeur li- 
mite o,o833. Quand le rapport des deux dimensions est supérieur 
à 10, on peut faire a = 0,081 avec une erreur relative au plus égale 

à -y~- Celte valeur est sensiblement la même que le coefficient o.otqH 

de la formule (19) de la dépense dans un tube elliptique. 

Observons, en terminant ce paragraphe, que l'expre-ssion [t'] bis) 

de V donne-— = o pourz = o. Cette expression convient donc au cas 

d'un canal découvert à section rectangulaire, de largeur 2e et de pro- 
fondeur c. I^a dépense sera la moitié de celle (19 1er) dans laquelle 
(7 = l\bc. 

§ Vil. — État variable. 

L'état variable est régi par les équations ()5), pareilles à celles de 
la température dans un cylindre homogène et isotrope, athermaue, 
ayant une portion de sa surface (la paroi) à la lempéralure zéro, et 
l'autre portion (surface libre) imperméable à la chaleur. 

On prendra pour intégrale simple 

V„ = e '-. W,, 

W, désignant une fonction àe j et de z, et c, une constante. Les équa- 
tions du mouvement deviendront 

\ a 1 inicnciir, — -— -| — - -f- C" Wj- = O, 

1 dy' dz- 

I à la suifiice, ou pom-y (^,z) = O, soit W, — O, soit -—- (h- ~ch=^o. 



PURES ET APPLIQUÉES. 3(p 

La quanlilé c, sera racine d'une équation transcendante, et auraime 
infinité de valeurs distinctes. L'expression 

(20) v,=^2^''' '•■'^^- 

étendue à toutes ces valeurs, vérifiera les équations du problème. Elle 
sera donc l'intégrale cherchée, si pour t = o elle est égale à la valeur 
initiale de la portion non permanente de la vitesse. Cette valeur est 
une fonction donnée F(^', z). En supposant qu'elle puisse être mise 

sous in forme Va, W,, des considérations qui appartiennent à la 

théorie de la chaleur [*] doiuieront, pour déterminer chaque coeffi- 
cient A,, la fornuile 

A( = ^ 



/ I V/fdvdz 



Les intégrales sont prises dans toute l'étendue qu'enferme le contoiu' 
/(j,z)=o. 

Cherchons maintenant comment varie la vitesse, lorsqu'on considère 
des volumes semblables de deux liquides, et que les valeurs initiales 
de V(| sont les mêmes aux points homologues. 

Soient donc : f{j',z)=^o l'équation du premier volume liquide, 
dans lequel lious supposerons L, =1; (20) l'expression de la vi- 
tesse non permanente dans ce volume ; j' -- «y, z' ^= az les coor- 
données, dans un deuxième volume semblable au premier, du point 
d'une section normale homologue à [j-, z ; enfin L', la valeur de L, 
dans ce volume, et V'^, la portion non permanente de sa vitesse, 
exprimée par 

( 



[*] Lrrniix sur In Chaleur de M. Lamé, § IJX. 

5o. 



396 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

On aura 

-TT- + —TT^ -+- f W, = o, ou bien — -.' -i ~- + «t', )- W, = o; 

dy- dz- ' dy dz- 

et, p<.ii./{j, Z) =0, 

f soit M = o, soit — -f rfz -r, (ij = o ou — — - dz (t) =0. 

' ■ dy dz -^ dy ttz 

Ou voit que W, est déterminé en j, z et «c' de la uiéiiie manière 
que W,- en ) , 2 et c,. Par suite, les valeurs de ac\ seront les mêmes que 
celles de c,, et W] sera égal à W,. D'ailleurs V'„ étant, pour t = o. 
égal à Vo, on aui'a 

(20/;/*) v'„=2^'^ ""•■■'vv,. 

Au bout d'un temps égal à à-\l^t, la vitesse \''„ est égale à la vi- 
tesse V(, au bout du temps t. Donc les vitesses spéciales à l'état varia- 
ble se réduisent à une fraction donnée de leur valeur initiale, dans des 
temps proportionnels à E, et à la grandeur des sections normales sem- 
blables. 

La quantité totale de liquide écoulé, depuis t =^ u jusqu'à / = oc , 
aura pour expression 

f j\rd} dz f'^'y^dt --^ l^.a'^^J^^jjv^idrdz. 

Elle est proportionnelle au coejjicient L, et à la quatrième puissance 
des dimensions homologues ■ 

Si les vitesses des deux liquides sont nulles pour t = o, \ ^ et V'„, 
changées de signe, vaudront à l'origine les valeurs permanentes V, V 
des vitesses. On aura donc 

pour < r= o, V„ = - V, V'„ = - V = - La' V, d'après (16). 

Les dépenses totales correspondantes à l'état variable, dépenses né- 
gatives, seront dans ces deux volumes comme i est à 

Lrt^ X L', rt' l,L>'. 



PURES ET APPLIQUÉES. ^97 

Les t^iaiiUitcs totales de liquide qui , vers le comnienceineiit du inom>e- 
ment, coulent de moins que si l'état permanent avait existé dès Vori- 
gine, sont donc entre elles comme les produits LL, et comme les cubes 
des sections normales semblables. L, est une conslanle, tl'a|)i'es (12), 
s'il s'agit toujours du même liquide à la même température; de plus, 
quand la pesanteiu- n'a pas d'influence sensible, L est le quotient par 
la longueur du tube de la diliérence des pressions exercées à ses deux 
extrémités. Donc les quantités ci-dessus sont, comme la dépense dans 
l'état permanent , en raison directe de la différence des pressions et en 
raison i/n'erse de la lon^ueui . 

La forme (20), donnée à l'intégrale, a I avantage de montrer com- 
ment Vo tend vers zéro. Mais les résultats généraux obtenus ci-dessus 
peuvent se déduire directement des équations (i5). En effet, celles-ci, 
appliquées au second volume liquide, sont 

a I intoriPLir — -— -1 °- = L, ^ ou hien -\ =- °- 

nj ' dz ' ' dt dj ' dz^ 



a la surface, soit V ,, 3= o, soit dZ — --— d) = O. 



U>%) 



d\ dz 



Elles dorment bien, pour tous les volumes liquides de même forme, 
et cliez lesquels les portions non permanentes des vitesses ont les mêmes 
valeurs initiales aux points homologues, 

Vy = la même fonction de ;■, z et 



L', à- 



fornuile qui contient les résultats dont il s'agit. 

Dans le cas d'un tube circulaire plein de liquide, en supposant que 
toutes les molécules situées à une distance /' de l'axe eussent à l'origine 
la même vitesse, V^ dépendrait seulement de /■ et t, et on prendrait 
pour W, l'expression 

TJ -^[tjj -{tT^J ^■•■^nX cos(f,■rcos9W^ 

Les valeurs de c, seraient racines de l'équation transcendante qu'on 
obtient en égalant a zéro cette expression, après y avoir substitué à r le 



398 JOURNAT, DE MATHÉMATIQUES 

rayon du tube. Mais nous ne croyons pas très utile de nous étendre 
sur cette question. 

§ VI H. — Ecoulement permanent d'un lii/uide dans un tube très-étroit 
imparfaitement cjlindriqne. 

Lorsque le liquide coule dans un tube très-étroit, son mouvement 
permanent est soumis à des lois simples, alors même que la section 
normale varie beaucoup, mais d'une manière continue, sur une lon- 
gueur furie. Que le tube soit droit ou courbe, on peut, dans une petite 
étendue, l'assimiler sensiblement à un cylindre, et prendre l'axe des x 
parallèle à ses génératrices. Dans celte petite étendue, le mouvement se 
fait à peu près suivant des droites parallèles à l'axe des oc; les compo- 
santes V, w de la vitesse y sont donc négligeables par rapport à u, et 
leurs dérivées de divers ordres en 7 et z le sont aussi relativement aux 
dérivées pareilles de u. Quant aux dérivées en .r de u, v, w, ainsi qu'aux 
accélérations «', v' , u'', elles sont du même ordre de grandeur que les 
vitesses des divers filets liquides, c'est-à-dire très-petites à cause de fé- 
troitesse du tube. Les équations (2 ) et (3) deviennent donc à très-peu 
près (.5) et (6), comme lorsque le mouvement se f lisait suivant des 

droites parallèles. Mais la condition — =0 n'a plus lieu. Les rela 

tions (6 bis) seront encore vérifiées, et donneront, au lieu de (■7) et 
(8), en supposant établi le mouvement permanent, 

d- u fPil l / dp dV 

^^'' df ' dz' H \ d.i- ' d.7- 

ou la parenthèse qui termine le premier membre indique une fonction 
de JC.Si on y joint la condition u = o sur la paroi, cette relation pourra 
s'intégrer dans toute l'étendue d'une section normale du tube. Soit a 
le rapport des dimensions de celte section aux dimensions homologues 
d'une .section semblable de grandeur fixe, prise pour terme de com- 
paraison, et F une fonction de deux variables, la même pour toutes 
les sections de même forme. 
I>a méthode du § IV donne 

, , I / dp dV\ .„ /r z' 

^ ' H \ d.r ' d.r J \ei a 



PURES Eï APPLIQUÉES. lU^c) 

La dépense Q, cesl-à-dire le volume qui s'écoule dans l'unité de 
temps, est à très-peu près 

(.3) g =./•/•„,,,,,.„ i(_| H- f S) .„', 

I désignant l'intégrale / / F {-■> -\ d - d -■, prise dans toute l'étendue 

de la section, et constante pour toutes les sections de même forme. 

Si dl désigne lui élément de l'axe, droit ou courbe, du tube, et l la 
somme des éléments pareils compris entre le commencement du tube 
et la section considérée, il est évident que I et a seront des fonctions 
déterminées de/, pourvu que la forme et la grandeur du tube en clia- 

.... T-vi II dp ciV . , , dp c/U 

que pomt soient connues. U ailleurs -7- et -— - sont icientiaues a 4r et -7- ^ 

' » aj: d.r » dl al 

de plus Q est constante. On peut donc, de (aS), tirer ^ et intégrer par 

rapport à /. Soietit : /)„, p, les pressions exercées sui- le fluide au com- 
mencement et à la fin du tube; U„, U, les deu.\ valeurs de U aux mêmes 
points; /, la longueur totale du tube. Il viendra 

: _ /, + U = - po H^ fj U„ + HQ /^ -/- , 

(M) ; ,,,, g^/^-/^PfU.-U^. 

i r'' dl 

Comme le terme p (U, — U„) sera généralement négligeable a côté 
de po — Pi-, on peut dire que /a dépense est proportionnelle à la pres- 
sion Pu — p,-, (jni produit l'écoulement. 

Quand toutes les sections normales du tube sont semblables. I est une 

constante, et la dépense varie en raison inverse de l'intégrale l — • 

Si en particulier le tidje est conique, ou du moins le devient quand 
on le rectifie sans changer la grandeur de ses sections normales, en dé- 
signant par a^, a, les valeurs de a à ses deux extrémités, on aura 



j r ' d^ A _ Ç"'dii /, (i\-À- "(.«I - "] 



4oo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Enfin, lorsque la différence a, — a^ sera assez petite pour qu'on 
puisse négliger son carré, la dernière fraction ne différera pas sensi- 
blement de l'unité, et il viendra 

/ t\ Q _ /^ — /^i + p(U, — U„) la; a; 



H /, 



La dépense sera : i° proportionnelle à la pression; a" en raison 
inverse de la longueiu- du tube; 3" proportionnelle au produit des 
deux sections normales extrêmes. 



§ IX. — J^erification e.vpériinentate des lois précédentes. 
Cas où elles cessent d être applicables. 

Examinons si l'observation confirme nos formules. Pour cela, nous 
avons les expériences très-précises de M. Poiseuille sin- l'écoulement 
permanent des liquides dans les tubes circulaires, de très-petite section, 
mouillés par ces liquides [*]. Le tube étant horizontal, M. Poiseuille 
a reconnu que la dépense est en raison inverse de sa lougueiu", pro- 
portionnelle à la différence des pressions exercées à ses deux extrémités 
et à la quatrième puissance de son diamètre. Ce sont précisément les 
lois générales que nous avons obtenues au § IV, et qu'exprime, pour 
le cas d'un tube circulaire, la formule (19 bis). Enfin, la nature du 
tube ne paraît pas influer sur la dépense, mais seulement celle du li- 
quide [**J : c'est encore conforme à notre théorie, qui n'introduit pas 
d'autre coefficient que celui de frottement intérieur du liquide. 

. Navier ne pensait pas que la vitesse fût ludlc prés d luie |iaroi 
mouillée : il la croyait simplement luie fonction de la force tangen- 
tielle exercée par le litpiide sur sa' surface. Poiu* un tube circulaire, 
son hypothèse donne une dépense qui ne peut pas vérifier à la fois les 
trois lois de M. Poiseuille |***]. On doit donc adopter la modification 



[*J ^oll aux Comptes rendus, .s<a[uc tlii 2.(3 décembre i84a, i- XV, p. i 167, où se 
trouve le Rapport de M. Regnault. 

[**] Voir Physique moléculaire de M. l'abbé Moigno, p. 35. 

[***] En effet, dans ce cas, la vitesse est la nnêmp en tous les points d'une même sec- 
tion situés à une même distance r dç Va\c Au tube. Kn négligeant l'action de la pcsan- 



PURES ET APPLIQUÉES. 401 

que j'ai introduite, et qui consiste à supposer la vitesse nulle près d'une 
paroi mouillée [']. 

A la températiu-e de 10 degrés centigrades, et en prenant la seconde 
pour unité de temps, le millimètre pour unité de longueur et le milli- 



teur, et désignant par L la longueur du tuije, par P la différence des pressions exercées 
à ses deux extrémités, l'équation (i4) devient 



Intégrons, et il viendra 



rf'V I dV P 
'dP' ~^' 7 rfT "*" HL 



rfV p 

o; 



dr 2 HL 



il ne faut pas de constante, car, pour r = o, le premier membre s'annule. 

Intégrons une seconde fois, et désignons par V, la vitesse à la paroi. Nous aurons 



^=-4hl(^'-^')^^- 



dV 



D'après JXavier, V, serait une fonction F du frottement, — H — , exercé par le li- 

dr ' 

quide sur sa surface. On aurait donc 



On en déduit 

Dépense ==..J%...= .R^[|5:-, F (^^)]. 

p 

Pour qu'elle soit proportionnelle au rapport -, la fonction F doit être du premier 

degré; mais alors la dépense n'est en raison directe de R' que pour F =. o on V, = : 
ce qu'il fallait démontrer. 

L'hypothèse de Navier sera sans doute exacte si le liquide ne mouille pas le tube. 
A cause delà petitesse de R, on pourra développer F suivant les puissances ascendantes 
de sa variable, et ne garder que le terme du premier degré. La dépense sera propor- 

p 
tionnelle au rapport -, et très-sensiblement au cube du rayon. 

[*] On vient de me faire remarquer que M. Émil* Mathieu avait, dans un article 
inséré aux Comptes rendus (séance du 10 août i863, t. LVII, p. 820), supposé aussi la 
vitesse nulle à la paroi d'un tube circulaire ou elliptique, ce qui l'a conduit, comme moi, 
à des résultats conformes aux expériences de M. Poiseuille. Je suis arrivé, comme otî 
voit, à des résultats plus généraux et plus nombreux. 

Tome XIII {-i' série). — Novembre j8(i8. 5l 



4o2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

gramme pour unité de force, les expériences de M. Poiseiiille condui- 
sent à poser pour l'eau 

^ = :j^ = 0,000 i336. 

(Cette valeiu' est déduite de la formule de M. Poiseuille 

Q= 183,783^, 
où D désigne le diamètre et L la longueur, comparée à la nôtre (19 bis) 

^ 128H L / 

Si i'uiiilé de longueur devient le mètre, et l'unité de force le kilo- 
gramme, la pression H restera la même; car cette pression, équivalant 
par millimètre carré à 1 milligramme divisé par 7488 ou à i kilo- 
gramme divisé par 7488000000, vaudra, sur la nouvelle unité de sur- 
face, qui est le mèlre carré, i kilogramme divisé par 7488. 

Le coefficient de frottement de l'eau est donc très-petit, et il faudra 
des variations rapides de vitesse dans un sens transversal aux fdets con- 
tigus poiu' lui fiire produire un effet sensible. Par exemple, dans le cas 
d'un canal découvert rempli d'eau, ayant pour section normale un 
demi-cercle de i mètre de rayon, et une pente seidement égaleà 0,0001 , 
la formule (17) donnera, pour la vitesse permanente du fdet central, 

r- T pi^sina /oo ; 

en V taisant 1. = ^-rj — = 7/(8, o et y = c := i , 

Des vitesses très-considérables sont donc nécessaires pour rjue le 
frottement fasse équilibre à la pesanteur dans un volume liquid\.e de 
dimensions finies, lorsque les vitesses u, c, i\' varient avec continuité 
d'un point aux points voisins, ainsi fjue le suppose notre théorie. t)r, 
bien avant que de pareilles vitesses aient pu s'établir, les plus petits 
tournoiements, produits par les inégalités du fond ou de toute autre 
manière, doivent amener une perte de force vive capable de neutra- 
liser l'accélération <luc à la pesanteur ou aux variations de pression. 



PURES ET APPLIQUÉES. 4o3 

Eii d'autres termes, clans un canal découvert ou dans un tuyau de 
conduite d'un certain calibre, les molécules liquides ne décrivent pas, 
avec une régularité absolue, la courbe continue qui représente eu 
somme leur trajectoire; mais elles s'en écartent en roulant autour de 
leurs voisines : ces irrégularités donnent naissance à des résistances 
spéciales, bien plus considérables que les frottements obtenus en sup- 
posant les vitesses continues, et capables de produire un état perma- 
nent très-distinct de celui dont nous sommes occupés. Voilà pourquoi 
le mouvement de l'eau dans les canaux découverts et dans les tuyaux 
de conduite d'une certaine dimension n'est pas soumis aux lois que 
nous avons trouvées. 

Les résistances ainsi produites ont peut-être une expression très- 
compliquée. Il est toutefois visible qu'elles doivent diminuer avec la 
section du tube et tendre vers zéro quand cette section décroît indé- 
finiment; car alors les écarts des molécules hors de leurs trajectoires 
moyennes deviennent forcément très-restreints. Aussi voyons-nous ces 
résistances disparaître en général, et ne plus masquer les forces régu- 
lières de frottement, lorsque le tube est capillaire. Des observations 
faites par M. Darcy lui ont montré que les forces qu'il croyait de visco- 
sité, et qui n'étaient, à mon avis, que le.s résistances dues aux tour- 
noiements des molécules, grandissaient au contraire avec les dimen- 
sions des tuyaux : ce fait, difficile à expliquer autrement, devient très- 
naturel dans ma manière de le concevoir. 



§ X. — Ecoulement permanent des gaz dans des tubes capdlaiies. 
— Digression sur la difjiision des gaz. 

Un gaz, contenu dans un réservoir à une pression constante y9„, s'é- 
coule par un long tube capillaire et se rend dans le récipient d'une 
machine pneumatique, où l'on maintient une très-petite pression »,. 
Proposons-nous d'obtenir les lois de son mouvement permanent, en 
supposant : i° les coefficients H et K des formules (2) très-petits et 
sensiblement constants; 2° la vitesse nulle tout près de la paroi du 
tube. 

Nous prendrons, dans ime petite étendue, comme au § VIII, un axe 

5i.. 



4o4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

des X parallèle aux génératrices du tube; mais il ne sera pas nécessaiie 
que celui-ci soit étroit au point de rendre la vitesse moyenne très-petite. 
Il suffira que cette vitesse ne soit pas très-grande. Les composantes »', 
w seront très-petites par rapport à u^ et leurs dérivées en j' et z pour- 
ront être négligées relativement aux dérivées pareilles de u. Celles-ci 
auront des valeurs considérables, à cause de la petitesse des coeificienis 
de frottement, tandis que les dérivées de j/, v^ w en x seront du nîème 
ordre que la vitesse et par consécjuent finies. D'ailleurs, p étant un 
petit nombre dans tous les gaz naturels, on poinra négliger les com- 
posantes jsX, pY,pZ de l'aclion extérieure, et même celles p m', pi'', ûw' 
de la force motrice, dés que le mouvement permanent sera établi et 
que l'accélération sera du même ordre que la vitesse. Les trois équa- 
tions du mouvement se réduiront donc, comme au § VIII, à la rela- 
tion (21), où la parentbèse qui termine le premier membre contiendra 
de moins le terme en jS, et sera encore une simple fonction de .r. I,a 
vitesse aura toujours pour formule (22), moins le terme en p. La 
masse M du gaz qui traversera la section dans l'unité de temps vaudra 

/ I pj<^<yr.. D'après la loi de Mariette, la température ne changeant 

pas, et A désignant une constante, on peut poser 

D'ailleurs p varie très-peu sur toute l'étendue d'une même section 
normale du tube. Nous aurons donc, au lieu de (23), 

^^ 

(26) ^i=-;^'«'- 

Elle se déduirait de (23), en faisant p = o, et en changeant Q eu M 
et p en -- . On en tirera donc denx équations semblables à (a/j): 

2 2 J,, Irt' 

(27) { M - ^^Pl-P'^ 

m — ^1^ 



Jo la* 



PURES ET APPLIQUÉES. 4o5 

Dans le cas particulier d'im labe légèrement conique, cette dernière' 
formule devient, pareillement à (aS), 

(28) M^^f/>^-/-?)Lî>I. 

^ ' 2H /, 

r.a masse du gaz qui s'écoide dans l'unité de temps est : i" eu raison 
directe de la différence des carrés des pressions exercées aux deux, 
extrémités du tube; 2° en raison inverse de la longueur; 3° propor- 
tionnelle au produit des deux sections uoi'males extrêmes. 

M. Graham a trouvé expérimentalement les deux premières lois [*]. 
Il a reconnu aussi que la vitesse, toutes choses égales d'ailleurs, varie 
avec la nature du gaz, mais non avec celle du tube : ce qui est bien con- 
forme à nos formules, et n'aurait pas lieu si la condition relative à la 
surface n'était pas la même pour toutes les parois. Enfin il a trouvé 
que la vitesse diminuait avec la température, ce qui prouve que H 
augmente avec elle, contrairement à ce qui a lieu pour beaucoup de 
liquides. 

Les expériences de M. Poiseuille et de M. Graham, ayant été faites 
dans des limites de pression étendues, et se trouvant d'accord avec 
l'hypothèse H =^ constante, prouvent que les coefficients de frolte- 
ment ne varient pas beaucoup avec la pression. 

Ou sait que M. Graham a fait encore de nombreuses recherches sur 
la diffusion des fluides, et qu'il est arrivé à cette loi remarquable : Lors- 
qu'un gaz traverse une paroi poreuse , sa vitesse est en raison inverse de 
la racine carrée de sa densité [voir Physique moléculaire de M. l'abbé 
Moigno, p. 1 1 1). Elle peut être obtenue théoriquement au moyen des 
consiilérations suivantes. 

Concevons un gaz en repos, dans un n)ilieu solide poreux sans ac- 
tion chimique sur lui : on doit naturellement penser, par analogie a 
ce qui arrive lors du mélange des fluides élastiques, qu'il se comportera 
comn)e s'il était seul, c'est-à-dire qu'il sera soumis dans tous les sens 
à une piession cori'espondante à sa densité il'aprés la loi de Mariette. 
Mais s'il entre en mouvement, une résistance spéciale se développera 

[*] Voir l'IiYsiijite moléculaire , de M. I'uIjI»'' Moigno, p. 1 l'j. 



4o6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

entre h-, nnlieu poreux et lui; rapportée à l'unité de masse du gaz, cette 
résistance devra être proportionnelle : i°à la vitesse u, ou au nombre 
des molécules du milieu poreux qui s'opposent, dans l'unité de temps, 
au mouvement du gaz; 2° à une certaine fonction de la vitesse,/(iO» 
s'annulant pour u = o, et représentant proportionnellement la résis- 
tance due à chaque molécule de milieu poreux. 

Supposons actuellement que le milieu poreux soit une plaque ou 
une membrane à faces parallèles, d'épaisseur E, à travers laquelle passe 
un gaz soumis respectivement à deux pressions constantes /;„, p,, à 
l'entrée et à la sortie. Si la plaque est composée de couches infiniment 
minces, parallèles à ses faces, et dont chacune soit homogène dans 
toute son étendue, le mouvement aura lieu perpendiculairement aux 
faces; /) désignant la pression et p la densité en chaque point, x une 
coordonnée comptée à partir de la face d'entrée dans le sens du mou- 
vement, la première équation de l'hydrodynamique donnera 

Admettons que la vitesse soit assez peu considérable pour que^/ (m) 
puisse être développée par la série de Maclaurin limitée au terme du 
premier degré: /(«) sera ainsi remplacée par Cm, C désignant un coef- 
ficient de résistance qui varie avec la nature des couches, et qui sera 
par conséquent une fonction déterminée de x. De plus, D étant un au- 
tre coefficient dépendant du gaz, et ip {p) une certaine fonction, qui, 
d'après la loi de Mariotte, n'est autre que p, mais que nous supposerons 
seulement la même pour tous les gaz, nous pourrons poser 

(/3) /= = D?(;j). 

Enfin, si nous appelons p» et Uo la densité et la vitesse au départ, la 
condition de continuité sera 

(y) pM=po"o "" Uf{p) = U^(f{po). 

On peut de (^) et (7) tirer les valeurs de p et u, pour les porter 



PURES ET APPLIQUÉES. 407 

dans (a). Cette équation devient alors intégrable, et donne 



W '^l9{Po) = 



r 



C./.: + l0g-^^''"^ 



Faisons jc ~ E, p = p,, et. multiplions les deux membres par D : il 
viendra 



(s) /5„ U 



2 






X 



E 



C di; + log 



>{Po) 



flP') 

Le second membre ne dépend que de C, E, /?„, p,; il ne varie pas avec 
la nature du gaz. Donc le produit po «0 ^^^ constant pour tous les gaz 
souu)is aux deux mêmes pressions p„, p,, à l'entrée et à la sortie de la 
plaque; c'est-à-dire que la vitesse de diffusion est bien en raison in- 
verse de la racine carrée de la densité. 

Il se peut que plusieurs gaz traversent à la fois la plaque ou la mem- 
brane, les uns dans un sens et les autres en sens contraire. Il est pro- 
bable que les actions qu'ils exerceront les uns sur les autres seront, à 
cause de leurs faibles densités, très-petites par rapport à la résistance 
exercée sur eux par le milieu poreux. L'équation [oc) sera donc sensi- 
blement vérifiée pour chacun d'eux, qui se comportera comme si les 
autres n'y étaient pas. 

§ XL — Mouvement permanent d'un liquide pnrjilets horiznniau.v 
circulaires et connjciques. 

Après le mouvement permanent d'un liquide par filets rectilignes et 
paiallèles, le plus simple est celui qui se fait par filets circulaires hori- 
zontaux, ayant tous leurs centres sur une même verticale. 

Nous prendrons pour axe des z cette verticale dirigée en haut, et 
pour axes des oc et des j deux horizontales rectangulaires. Si r désigne 
la distance sjx"^ -v-j'^ d'un point quelconque à l'axe des z, les compo- 
santes u, v^ w de la vitesse V de la molécule qui passe en [x, ? , s) à 
un instant quelconque, seront 

(29) ^/=V^^, (^ = V-, ir— o. 



4o8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

D'ailleurs, à cause de l'incompressibilité du fluide, la vitesse sera 
constante tout le long d'un même filet liquide, ce qui revient à dire 
que V est seulement fonction de r et z. En calculant les ex(3ressions 
Ao «, Ajf, A, H', on trouve aisément : 

j A,«= =^(a,V- J), A,«' = f ('a,V- J), ^,iv = o, 

f avec A2V=— j-H + -— . 

\ di^ r dr dz^ 

Portons ces valeurs dans les trois équations du mouvement 

dp „ , I du du 

— -7- -t- H A, i/ = p i/ -— + V- 

d.T • ' \ dx a 

(30 / ^ -h H A, c' = r> ( M -j^ -1- (^ " 

^ I dy " ' y d.r 

dp 



dp _ 

dx 


= H 


^(a.v 


V\ V= 


X 

r 


dp 

dr 


= H 


:(..v- 

dp _ 
dz 


V\ V y 
r- ) ~ r r 

- P8- 





et, de plus, évaluons, d'après (29), les seconds nombres de ces der- 
nières. Il viendra 



(32) 



Tirons en différentiant, de la première de ces équations, les valeurs 

, d'p d'p 1 , j ,, , d'p d'p , 1 ... 

de , , ; , , ; de la deuxième celles de . , > -r-^5 et de la troisième 

dz dx dx dy d.r dy dy dz 

celles de - — -> - — 7-; puis égalons deu,^ à deux ces dérivées secondes. 

dy dz dz dnr. ^ ° 

Nous aurons les trois conditions d'inlégrabilité 

l r dz 






(a„v 




1 + 


2p 


V.r 
1^ 


dV 
dz 


= 


0, 


A,V- 


-ï) 


+ 


2p 


Vy 
r' 


dV 


= 





-.^) 


d 


/ 

A 
\ 


2 V 


— 


}) 


= 






PURES ET APPLIQUÉES. 409 

Les deux premières, respectivement mullipliécs p;ir -1 - et ajoutées, 
donnent 

condition nécessaire et suffisante pour qu'elles soient salisfiiites. Celle 

relation entraîne une conséquence remarquable, savoir : que la section 

normale du fluide doit être l'espace, illimité injcrieureinent . compris 

entre deux droites verticales. Car, si les diverses verticales prises dans 

le fluide et suffisaniment prolongées rencontraient un fond, on y 

aurait V = o d'après la condition relative à toute paroi mouillée : par 

suite la vitesse V serait nulle partout. Il est clair qu'on arriverait au 

même résultat V = o, si la contlition à la surface était celle de Navier, 

dV 
c'est-à-dire de la forme — - = A, V + //o V" -f- . . . . 

La troisième condition (33), intégrée, donne à son tour, en dési- 
gnant par c lUie constante, 

(35) A,V-^ = ^^- 

Celle ci a elle-même pour intégrale générale 

(■36) V = ;[-''"gi + 7] 



- 1 



où A et B sont les deux constantes arbitraires. 

Ap|ielons r„, /-, les distances à l'axe des z des (\^K\y^ verticales qui 
limitent une section normale du fluide. La condition V = o siu" la 
paroi nous donnera, pour déterminer A et B, les deux écjualions du 
premier degré 

r„logA + "^ B = /'„ logr„, r, logA 4- i- B = /■, log/-,. 
\pres quelques simplifications faciles, on trouve 



(37) V = 

Tome XIII (2'' série). — Décembre 18CS 



I ^log-' — log- I- 



/,io JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

La signification de la constanle c est facile à obtenir. Les deux pre- 
mières équations (Sa), respectivement multipliées par — -, - et ajou- 
tées, donnent 

(38) J^->+ 'i!f = _HÎ. 

\ ' d.r r nj r i 

Le premier membre de celle-ci est la dérivée àe p le long de la tangente 
au filet liquide. Considérons deux sections normah'S du fluide, in- 
clinées l'une sur l'autre d'un angle de/. : rdoc sera l'élément du filet 
compris entre les deux sections, et, si ^^ désigne l'accroissement de 
pression que subit le filet de l'une à l'autre, la dérivée de p le long de 

cet élément sera — f-- La relation ci-dessus pourra s'écrire 

/• (la ' 

(39) ^ = ;, ^- 

On pourra remplacer c par cette valeur dans l'expression (.37) de 
la vitesse : pour que celle-ci soit positive, il faudra que -—; soit négatif, 
comme il était évitlent. 

Le rapport -j- est donc constant : d'où il résulte cpi'aux points 

correspondants de deux sections normales, les pressions ne différent 
que par une constante, proportionnelle à l'angle a. 

Il ne reste plus qu'à trouver comment varie la pression aux divers 
points d'une même section normale. Multiplions les deux premières 

des équations (32), respectivement par-. -, et ajoutons. Il Mcndra 

D'où, dans l'étendue d'une même section, 

p = const -+- M — ê'z -^- / — <■/'' ) ' 
et, en général, 

ca — gz ^ j — dr 

où V doit être remplacé par sa valeur (36). 



PURES ET APPLIQUÉES. , 4,1 

Evaluons la dérivée de V par rapport à /■, dérivée qui tiiesiire le 
glissement relatif de deux conclies cylindriques infiniment voisines. 
La lornude (3'j) la donne : 



(42) 



dr 2 



I02 - - !og - 

' U ' Q 



'& 



] 



Cette dérivée décroît, dans chacun de ses termes variables, quand ;• 
grandit : or nous verrons bientôt qu'elle est positive pour /• = /• et 
négative pour /• = /-,; donc elle ne s'annule qu'iuie fois, pour une 
valeur de /• comprise entre r„ et r, : V, nul pour r = r^ et pour 
r = ;•,, croît avec /jusqu'à ce que /■ soit égal à cette valeur intermé- 
diaire, et décroît ensuite. 

Les valeurs de la dérivée pour r = r^ et r — r, sont d'après (42), en 
changeant le signe de la dernière, et posant 

(43) • 5=9 = .-£, 

(44) 







7;=7 


d\\ 
drj 


.=u 


1 — q 


d\\ 


r\ 


^ ^-1 1 



3 \ a 2.3 i.!i 



Les actions tangentielles exercées par le fluide sur les deux parois 

sont respectivement égales à H, multiplié par \'--j-\ ou par — [- — ) . 

La première est plus grande que la seconde : donc la berge concave 
ou extérieure est soumise à un frottement moins considérable que la 
berge convexe. 

Ce dernier résultat pourrait n'être plus vrai, si la condition relative 
aux parois cessait d'être V = o. Admettons que cette condition soit 
généralement celle de Navier, c'est-à-dire de la forme 

pour /■==/■„, -- = A, V + /?,¥-+...; 

pour r~/\, — ~ = fl,\ -h /l,y- i-.... 



4i2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Notre hypothèse V = o à la paroi n'en est qu'un cas parlicuher, ce- 
lui où les coefficients h^, h^,-- seraient infinis. Examinons le cas par- 
ticulier contraire, celui où ces coefficients seraient très-petits. 

Alors on aurait sensiblement aux deux parois, 



non plus V = O, mais -7- = o. 

Toute notre analyse subsistera, sauf la formule (37) et s<>s consé- 
quences. Pour déterminer les constantes A et B de l'intégrale (36), 
nous aurons les deux relations 

ou 

-i-log--;,-o, _i_log--^ = o, 

qui donnent 

22. 2 .. 

B = -:^^log^, logA = i + Iogr„ + ^y^i^Jog^, 

eï, par suite, 

— = - -r ' .; loe oe — ) 

'J^l^ ( "■"' loe ^ - ,A = ^ 1':=-^ - '-- 






H est clair que cette dernière dérivée, d'abord positive pour / assez 
petit, s'annule une fois et ne cesse pas ensuite d'èlre négative. La valeijr 
de r qui l'annule est comprise entre /•„ et r,. En effet, on a 



q j 2r„ \i 6 



f</'V\ _ c / —lot) 

[HF) ,-~ 77,y -^ V=r^) - - T7\Z ^ -2T3 ^-■■■) 
Donc la dérivée première de V par rapport à /■ part de zéro pour 



PURES ET APPLIQUÉES. 4i3 

r = /■(,, croit jusqu'à celle valeur iiilermédiaire de /•, décioît ensuite et 
s'anmde pour /• = r, : elle est constamment positive, ou plutôt, à cause 
de A,, /îo,... très-petits, et non pas rigoureusement nuls, elle ne de- 
vient négative qu'au mom» ut où /• va devenir égal à r,. Par suite, la vi- 
tesse croît sans cesse avec r : elle a sa valeur la plus [petite pour ;■ = /'„, 
et sa valeur la plus grande pour r= r,. Ces deux valeurs sont 

V. = ^(^ + .) =""['- î(î- 5- ■•)]• 

La berge concave est donc, contrairement à ce cpii arrivait lors de la 
condition V := o à la paroi, soumise à un frottement plus giaud que la 
berge convexe. Seulement ces çleux frottements sont du même ordre 
de grandeur, et leur différence ne peut pas sans doute expliquer, d'une 
part, les dégradations que l'eau produit t-ur la première berge aux 
tournants des rivières, et, d'autre part, les atterrissements qu'elle 
forme sur la seconde. La vraie cause de ce phénomène est probable- 
ment celle indiquée à la fin de l'Introduction de ce Mémoire. 

Le cas général où les coefficients h,, h^i--- ne seraient ni nuls, ni in- 
finis, conduirait naturellement à des résultats intermédiaires. Je l'ai 
traité en supposant la vitesse assez petite |)our qu'on puisse négliger 
les termes de l'ordre de V^. Mais les formules me paraissent trop com- 
pliquées pour- qu'il en résulte quelque loi inlért ssante. 



§ XIL — Essai sur le inoiiveinciit pennanent d un liquide 
dans un canal horizontal à axe circulaire. 

Nous avons démontré que le mouvement permanent d'iui licpiide 
peut se faire par filets circulaires et conaxiques dans le cas serrlenrent 
où il n'y a ni fond, rn coirveicle. Cher'chorrs actuellement ce qui arrivera 
si le carrai horizoïrtal, à axe circirlaire, a irne sectiorr normale frrrie en 
tous sens et d'ailleur's constarrie. 

Adoptons les meures axes qu'air paragr'aplie pr'écéderrt, et décom- 
posons err ti'ois autres la vitesse du fliride eir un poirrt quelconque 



4i4 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 



(jt-, r, z) : la première composante V, la seule qui existât au paragra- 
phe précédent, sera prise parallèle à l'axe du canal; la deuxième V, 
horizontale comme la première, sera dirigée suivant le prolongement 
du rayon r; enfin la troisième, verticale, n'est autre que tv. La compo- 



— r 



santé V fait avec les axes des angles qui ont pour cosinus » -7 o, et 

la composante V des angles qui ont pour cosinus -•> '-■> o. On aura 
-donc 

(29 bis) Il = 



— y 



ji •"■ 



i;z=V- + V'--- 

r r 



Le mouvement permanent étant supposé établi, et toutes les sections 
normales du canal se trouvant dans les mêmes conditions, nous ad- 
mettrons que les vitesses V, V sont les mêmes aux points correspon- 
dants des diverses sections normales, c'est-à-dire qu'elles ne dépendent 
que de r et de z. Les lormules (3o) permettront d'écrire sans nouveau 
calcul : 



(3o bis) 



A^V 



^„v == -(a,v-^ 



AotV : 



Ao V - 



V 



Aj'V = 
I AoV = 



dUv 
dr-' 


l div 

H T- 

r dr 


+ 


d' (1' 
dz-- 


d^y 

dr- 


I dV 
+ 7 dr 


+ 


d-y 

dz' 


d'\' 
dr' 


I d\' 


-1- 


d'y' 

dz' 



Portons ces valeurs dans les trois é(iuations du mouvement 



dp I du du du 



I du I 'l" ''" '"'''' 

(3. bis) \-i^ + HA,. = p (^„_ + .- + u. - 



dy 

± 
dz 



-^-IIA,U.-pg-p «;^+»'^- + 



div 



diV 



W 



dz 



PURES ET APPLIQUÉES. 



4i5 



de plus, tirons, des formules (29 l'is), lesseconds nombres de ces der- 
nières. Il viendra 



A2V - 



A,V 



-m 



dr r \ '/'■ 






-/V V 

— H 

dr r 

x dV Y dV 

, r dz r ilz 



Les conditions d'intégrabililé pour la fonction />, oblenues en diffé- 
rentiant ces relations, sont 



X d 






(33 his 






&U' 



./v 



= o. 



Les deux premières, respectivement multipliées par ;' ; et ajoutées, 



4i6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

puis par — -^ - et ajoutées, se changent en 



(3/, /p/5) 



La troisième (33 bis), intégrée en même temps que la dernière de 
celles-ci, donne, en désignant par c une constante, 

(as;,,.) „ù.v-Y)-pv-(-S.I)_,.iY = ^. 



flr L ' \ dr dz 1 




= i[H(^=--r)^,(î;_v.iï:)_,.„-] 


|[h(a.v-I)-,v(^'. 


V \ dV ' 



La signification de la constante c s'obtiendra comme au paragraphe 
précédent (38) et (Sg). Elle n'est autre, changée de signe, cpie le quo- 
tient par H de la dérivée de la pression, quand on passe d'un point 
quelconque d'une section normale au point correspondant de la sec- 
tion infiniment voisine, inchnée sur la première d'un angle de/. : cette 

dérivée — est donc constante, comme si le mouvement se faisait par 

dy. 

filets circulaires et conaxiques. 

Les trois équations indéfinies qui serviront à déterminer V,V', iv en 
fonction de ret de z sont donc : la première (34 ^«\ la relation (35 bis), 
et la condition de continuité (/j), qni devient ici 

,,^, d\' V rfi<- drS' drV 

(45) _4_ + -=0, ou --^+^^=0. 

Ces trois équations sont facilement intégrables, quand le canal est 
un tid)c qui a pour section normale un rectangle à base horizontale et 
d'iuie hauteur ih très-petite. 

Supposons le plan des xy à mi-hauteur de la section. D'après les 
conditions V = o, V = o, tv = o à la paroi, V devra s'annider pour 
z = -)- ^ et pour z= — h : elle sera donc de l'ordre de petitesse de Ir. 
V devra s'annnier au moins ut)e fois de plus, poiu' une valeur de :; 
comprise entre z — — h, z = b : on doit avoir en effet 



(46) / VV/z = o; 



PURES ET APPLIQUÉES. 417 

car, si l'on considère le liquide conteini entre le bord convexe du tnhe, 
deux sections normales infiniment voisines, et un plan vertical quel- 
conque mené dans le fluide perpendiculairement à ces sections, il faut 
que le liquide qui entre par une partie tie celte face verticale soit égal 
à celui qui sort par l'autre partie de la même face, puisqu'il en entre 
autant par la première section normale qu'il en sort par la seconde. 
Ainsi V change de signe quand z va de — ^ à h, et est au plus de l'or- 
dre de Z(^ Les dérivées de V et V par rapport à r seront évidemment 
du même ordre que V et V, pour tous les points situés à une distance 
finie des bords verticaux du tube, tandis que leurs dérivées premières 
en z seront incomparablement plus grandes, et leurs dérivées secondes 
encore plus. 

Quant à la composante iv, l'équation (45) montre que sa dérivée 
première en z est de l'ordre de V, et qu'elle est par conséquent elle- 
même de l'ordre de Y'h. En négligeant d'après ces remarques, dans l'é- 
quation (35 bis) et dans la première (34 bis), les termes qui sont très- 
petits par rapport à d'autres, on les changera en 

La prenuère donne d'abord, en tenant compte des conditions V = o 
pour z = it A, 

M" v = ^(,-y. 

Cette valeur de V, portée dans la seconde, permet de l'intégrer. En 
tenant compte des conditions V = o pour z= ±h, et désignant par A 
une fonction de r, il vient 

-■=.^.[*(-F)-5('-s)-A('-ë)} 

Multiplions par dz et intégrons entre les limites z — — hel z = -^ h. 
La condition (46) donnera A = ^- Ensuite l'équation (45) sera de- 
venue elle-même intègrable en z, et, avec les conditions u- = o à la pa- 
roi, déterminera complètement w. Une décomposition facile en fac- 

Tome XIII (j' série). — Décembre 1868. 53 



4i8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

teiirs permettra finalement d'obtenir 

,,,, iv' = 7Sfc(--p)(-\/f-p)(-v/T-ï 

1 p r- A ' z I z- \- I f. z 



|,..= 



7 i2oU'/-' // V /i^/ \ //= 



Ces valeurs ne sont évidemment pas applicables aux points situés 
très-près des deux bords verticaux du tidje. 

V étant une fonction paire de z, et w une fonction impaire, les plié- 
noiuènes se passent symétriquement au-dessus et au-dessous du plan 
des xj : il suffit d'examiner ce qui a lieu au-dessus. 

V est positif de z = o à 2 = 7/ \ /a — 1/ — = o,43i/j; au delà V est 

négatif. Donc les molécules situées vers la partie moyenne du tube, 
entre les valeurs z = o et z = o,/j3i/î, c'est-à-dire celles qui, d'après 
(47I, sont animées de la plus grande vitesse, vont à la dérive en s'ap- 
prochant du Ijord concave ou extérieur du tube; celles qui sont plus 
près de la paroi supérieure s'approcbent au contraire du bord comexe 
ou inlérienr. Il y a deux maximuins pour la valeur absolue de V : l'un 

correspond à z = o, l'autre à z=Ai/^ "V/r^^^*-*' 1^^^^- Abstrac- 
tion faite du facteur ,., , 1 ces deux maximums sont resiiectivement 

2, 856 et a,i44- 

w est partout positif poiu- z > o : donc les molécules montent. Celles 
qni, sur une même verticale, ont le plus de vitesse ascendante, corres- 
pondent a — = o ou V = o, c'est-à-dire à la valeur 0,^3 1/^ de z, pour 

laquelle les molécules cessent d'aller vers le bord concave du tube 
pour revenir vers le bord convexe. La vitesse ascendante n'est indie 
que pour les molécules situées sur le plan des xj\, et pour celles cpii 
adhèrent aux parois [*]. 



[*] Il est clair que les molécules liquides, après être venues, eu montant, près du 
l)ord convexe du tube, descendent pour faire place à celles qui les suivcnl : mais nos 
formules ne s'appliquent pas à ceUe partie de leur mouvement. 



PURES ET APPLIQUÉES. ^l'O 

Si .■//• et clz sont les accroissements simultanés que reçi)iveiit, durant 
l'instant dt, le /■ et le z d'une molécule, il est clair qu'on aura 



(Ir dz 



I • ' J -17' '^ ''" 

OU bien, a cause de V ^= — —■ 
' 2 dz 



4H-jr(-ï)] 



'"' j(-^)'{^-ï 



dont l'intégrale est 



o 



(49) r==:3const.x^(i- j)'(^5- ^V "" /^v = const. 

Ainsi la vitesse ascendante de chaque molécule varie, durant son 
mouvement, en raison inverse de la racine carrée de sa distance à l'axe 
des 2 : elle est le plus petite possible au moment où la molécule se 
retourne vers le bord convexe. La relation (49) montre que les molé- 
cules ne vont pas jusqu'à la paroi supérieure, car l'hypothèse z — - h 
donne /• = o, valeur inadmissible. 

Le fem[)S qu'elles emploient à s'élever d'un niveau Zq à leur niveau 
actuel z s'obtiendrait aisément, en remplaçant, dans la seconde rela- 
tion (48), '" par sa valeur (49), '^^ par -f-' P^'S résolvant par rapport 

à dt^ et intégrant de z, à z. 

Il nous est actuellement facile de nous représenter l'ensemble du 
mouvement. En même temps (/ne le liquide avance dans le tube avec la 
vitesse V (47), H est animé d'un mouvement transversal beaucoup plus 
lent, qui le transforme en deux tourbillons , l'un supérieur, Vautre infé- 
rieur, séparés par le plan des xy. Les deux tourbillons sont symétriques 
par rapport à ce plan. Dans chacun d'eux, les molécules les plus éloi- 
gnées de la paroi, c'est-à-dire celles qui ont la plus grande vitesse, se 
rapprochent du bord concave tout en s'éloignant petit à petit du plan 
des xy. /Irrivées à la distance o,[^^ih de ce plan, elles reviennent vers 

53.. 



420 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

le bord convexe, et contiti tient cV ailleurs à s écarter du plan des xj, et à 
perdre leur vitesse. Il est évident qu'après s'être suffisamment appro- 
chées du bord convexe, elles repassent dans les régions moyennes où 
la vitesse est plus grande, et recommencent un trajet pareil. Mais nos 
formules ne s'appliquent plus à cette partie du mouvement, tout comme 
elles peuvent ne pas s'appliquer à la totalité de la première partie : elles 
n'ont été établies que pour les poin.ls situés à une dislance finie des 
bords latéraux. 

A cause de la petitesse de V et de w, la pression est à très-peu près 
donnée parla formule (4')- 

Si l'on supprime toute la partie du fiuide qui est au-dessus du plan 
des xy, et qu'on la remplace par une atmosphère exerçant sur chacpie 
élément de ce plan la même pression qu'elle, rien ne sera ch-mf^é au 
mouvement de la partie inférieure. En effet, les formules [l\'j), [k^] et 
(29 bis) donneront à la surface libre, ou pour z ^ o, 

f/ii' ilu (h dii' 

tt.i: iti iti <n 

et |)ar suite, d'après les formules (a), 

T, = o, Tj^o, 

c'est-à-dire que les conditions relatives à la surface libre seioni bien 
vérifiées. 

// nj a par cnnsé'jticnt , dans un canal découvert à axe circulaire, 
qu'un seul luurbilloti, analogue au tourbillon inférieur d'un tube de 
section deux fois plus haute. 

Nous avons admis l'hypothèse u = o, v — o aux deux parois supé- 
rieure et inférieure. Si l'on y su[)posait au contraire le frottement 
luil, les relations spéciales à ces siwfaces seraient 

du dv 

,v = o, - = o, - = o. 

On satisfait à ces conditions, ainsi qu'aux écpiations indéfinies, en 
faisant partout 

''V ,,, 

-— = o, V — o, IV := O. 
dz ' 



PURES El APPLIQUÉES. 421 

L'écoulemciU aurait donc lien par filcis circulaires et coiiaxiques, 
c'est-à-dire qu'il n'y aurait ariciin mouvement transversal. 

Il est clair que l'hypothèse intermédiaire d'un frottement sensible 
aux parois siqjérieure et inférieiu'e, mais pas assez grand pour y an- 
iniler les vitesses, donnerait des mouvements transversaux pareils à 
ceux que nous avons obtenus, mais moins rapides par rapport au 
mouvement longitudinal. 



NoTR I (relative au § I , p. 38i). 

Pour obtenir les fonnides (a), p. 38i, un observera : 
1° Que, si l'on change simplement le sens de l'axe des ce par les tran>- 
formations de X en — x, et de u en — u, les formules des N, T seront 
les mêmes dans le nouveau système d'axes que dans le premier. Or 
la nouvelle force N, sera celle qui est exercée sur le méine élén>ent 
parallèle aux 72, mais du côté des .r d'abord négatifs : elle sera égale 
à la force de même nom dans le premier système. Ou verra pareille- 
ment que les forces No, N3, T, restent les mêmes, et que Tj, T3 chan- 
gent de signe. Donc les transformations sinuiltanées de jc eu — a. et 
de M en — M doivent laisser invariables N,, N^, N.,, T,, et faire changer 
de signe T^ et T3. 

De même les transformations sininllanées de ^' en — _^ et de v eu 
— y doivent laisser invariables N^, N3,N|, T^, et changer de signe T3, 
T,. Enfin les changements de z en — z et de tv en — w ne chanoent 
pas N3,N,, N,,T3, et transforment T,, T^ en — T,, - T^. Il suit de 
là que l'expression de N, se réduit à une constante, suivie de trois ter- 

mes en --) -7-5 -y-, et que celle de T, contient seulement les deux 

rl.r ay riz ^ 

du dw —, ... , , 

termes en — -» -— • D ailleurs, comme ou peut iiermuter les deux axes 

dz dy 'Il 

des r et des z sans clian£;er les rormules, -7- et -^ auront un coelfi- 

•^ ~ dy dz 

cient égal dans N,, et il en sera de même de — et -^ dans T.. Nou^ 

<tz dy 

obtiendrons ainsi les formules (2) de N,, T,, dans lesquelles seule- 
ment nous n'aurons pas encore le droit de legnrder les deux coelfi- 
cients H comme égaux. 



423 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Les fonmiies (-2) de N. ei Nj, T, et T3, se déduiront évideimiieiit de 
celles de N, et T,. 

2" Que, si l'on fait tourner d'un jingle infiniment petit i, autour tle 
Taxe des z, le système des deux autres axes, les formules des N, T dans 
le nouveau système seront les mêmes que dans le premier. Appe- 
lons: x,^ } ,,^1 It's nouvelles coordonnées du point {x, j'^ z); u,, \',,w, 
les composantes, suivant les nouveaux axes, de la vitesse [n, t', ir). 
Nous aTU'ons les formules de transformation 



d d 

d.r d.i-, 


d 

dr, 


d d d 

dr dr, dx. 


d 

dz 


d 


U = r/, 


— ^v,. 


(' = V. -\- ^u,. 


U' 


= XV, 



D'autre part, appelons N',, N',, N'.,, T',, T',, T'3 les forces N, T rela- 
tives aux nouveaux axes. Les formules (i), ou plus directement celles 
qu'établit ^L Lamé au § 18 de &g^ Leçons sur l'Elasticité, donneront 

j N', = N, + 2.T3, n; = N, - 2^T3, N'3 = N3; 
Si nous substituons dans ces formules, à N,, Nj, N3, T,, T,, T,, leurs 

d (u, V, if') . . , . . , , , 

exnressiotis (2) en -r^, :■, puis, a ces dérivées, leurs valeurs en 

I ^ ' d[.v,y,z) 

^"" ''" "'s fournies par (a), les termes qui contiendront i devront 

d{.r„y,,z,) V \ ' , , . 

s'annuler quelles que soient ces dernières dérivées, puisque lesformules 
des N, T doivent être les mêmes dans le nouveau système que dans 
le premier. On verra ainsi qu'il est nécessaire et suffisant, pour cela, 
que le coefficient H qui entre dans l'expression des N soit égal au coef- 
ficient de même nom dans celle des T. Les formules (2) sont donc né- 
cessaires pour l'isotropie. U serait d'ailleurs aisé de voir qu'elles sont 
suffisantes, ou que toute transformation d'axes rectangulaires en d'autres 
rectangulaires ne les modifiera pas. 

3° Qu'un simule mouvement d'ensemble du fluide, c'est-à-dire une 
rotation élémentaire autour d'un axe quelconque, ne doit développer 
aucune force, et doit laisser par suite les N égaux à — p eX les T égaux 
à 7,cro. A cause de l'isotropie, on peut choisir l'axe de la rotation pour 
celui desz, ce qui, en appelant w la vitesse angulaire, doiuie» = — wj , 



PURES ET APPLIQUÉES. 423 

v =z: uiX, w =: o. Ccs valeups, portées dans (2), aiimilenl l)itn T|,To,Tj, 
et rendent N,, No, N3 égales à — p. 

11 n'y a donc pas de nouvelle réduction à faire. 

Ces trois remarques permettraient d'obtenir les ttimes K, T qui 

contiennent les ^- ' ' ' ' à des degrés supérieurs au premier. Eu nie 

bornant aux termes du second degré, et désignant par A, B, C, D, E tles 
coefficients arbitraires, j'ai trouvé 

. I tiv- du''' (lu- clu'\ ^ . du 

^^ = ^[lû^^ d7' - 'd7- d7') -'- ^^^T. 

„r du^ du I du dt>\ du I du da^\'^ i^ao 

+ ^^L^ 2? + 5^ U + ;z;j + ^fe U - d.)\ + ^®" 

^ V I dv dw \ 2 / dtv du \ ^ / du dv\- 



Idv dw dtv du du di> \ ~] 

\dj dz dz dx dx dj j J 

(du du (h dv dw dw dv dw dv dw dv dw\ 

' \dy dz dy dz dj dz dx dx dy dj dz dz j 

, Idv dw\ „ r idv dw dr dw dv dw\ 

\ rfz dy ) L \d-r dx dy dy dz dz J 

dv dw\ Idv di<'\ du dw du dv 

dy dz j \dz d} I dy dx dz il.r 

On en déduit N2 et T.,, Nj et T;,, par une ou par deux permutations 
circulaires effectuées sur : u, v, w, 3C,j, z. 

Dans le cas du § II, ou du mouvement rectiligiie d'un liquide liomo- 
gene par filets parallèles à l'axe des x, on a 

du 

v = o, w = o, ~ = o; 
et ces formules se réduisent à 

du' du' 



N. = (-A + 2C , ^,^^^, , ^^ 



N 



, du- „ / du' du-\ 

^ = ^ify^-^^[dy'^dz=r 

(du'' du'' 
'dy''^ dî' 



TVT • du' „ 

N3 = A-4-E 

^ . du du _ ,,1 

T. =A^^, T, = o, L.=o 



424 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

Ces nouveaux termes, portés (J.iiis les équations du mouveineiit, ne 
changent pas la première (6), mais augmentent respectivement les 
premiers nombres des deux autres de 

/^ A\ d I diO dii'\ . , ^ .du 



et de 

E 



k\ d (du} du'\ ... .du 

En suivant la marche du § II, on trouvera, pour déterminer u, les 
mêmes équations indéfinies et les mêmes conditions relatives à la sur- 
face, que si l'on négligeait les termes du second degré. Mais il y aura de 
plus une condition d'intégrabilité 

/du d'u du d'u\ 

[ih dydt ~ d^ dzdtj ~ °' 

qui devra être vérifiée en tous les points du fluide. Elle l'est identi- 
quement quand l'état permanent existe. Ainsi la considération des 
termes du second degré ne modifie en rien les résultais des §§ iV, 
V et VI. 

Observons que ces termes n'ajoutent rien aux composantes langen- 
tiellesTj, Tj, c'est-à-dire qu'ils ne donnent auc(nî frottement sur tout 
élément plan parallèle aux filets liquides. 

Note II (après le § VI). 

État permanent dans un tube à section triangulaire équilatérale. 
— En prenant poiu' axe des z une des trois hauteurs de la section, 
pour axe des j la base correspondante, et appelant ic un côté, 
7 l'étendue de la section, on trouve : 



^='-ii[(-,ii)'-(7)l 



4"" c^l\ 



Dépense = — Lc = p = o,0209L(7 . 

20 20 y/S 



PURES ET APPLIQUEES. 435 

ADDITION AU MÉMOIRE INTITULÉ: ^ 

THÉORIE NOUVELLE DES ONDES LUMINEUSES; 
Par m. BOUSSINESQ. 



§ I. — Puissance réfractive et pouvoir rotntoire 
des mélanges transparents. 

Dans ma Théorie des oncles lumineuses (t. XIII, p. 3r6), j'ai sup- 
posé que les déplacements «,, c,, ^v^ des molécnles pondérables con- 
tenues dans un volume très-|)etit sont, poiu' toutes celles-ci, les mêmes 
fonctions de l'état de l'éther adjacent. Cela revient à admettre qu'elles 
se comportent toutes de la même manière. Or il est probable que, 
dans un mélange de plusieurs corps, ou même dans tout milieu non 
cristallisé, amorphe ou fluide, les molécules de différente nature ou 
orientées diversement sont aussi diversement agitées par la même onde 
lumineuse qui les atteint. Si le corps est toujours supposé transparent, 
les déplacements, que j'appellerai «'^ , »'\ , i\'', , de ces molécules, seront 
bien des fonctions linéaires des déplacements [u, f, w) de l'éther en 
un point quelconque très-voisin, et des dérivées des divers ordres de i/, 
f, iv par rapport à .tc,j, z; mais les coefficients de ces fonctions li- 
néaires varieront d'une molécule à une autre. 

L'action totale exercée par la matière pondérable, suivant l'axe 
des .r, sur un volume élémentaire rz d'éther, s'obtiendra en nudtipliant 
hi masse de chaque molécule pondérable contenue dans ce volume à 

l'époque / par l'accélération correspondante -^rr> changée de signe, 

et en faisant la somme de tous les produits pareils. Cette somme vaut, 
sauf le signe, la masse totale pondérable p,» multipliée par ce que 

d^ Il 

j'appellerai la moyenne des valeurs de -jj-- Il suffira d'admettre que, 

Tome Xm (a- série). — Dêcemoke 1868. 54 



426 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

flans réquation (2) du Mémoiie, la première du mouvement, -~ re- 
présente cette valeur moyenne : î«,, déplacement moyen suivant les x 
des molécules pondérables, aura les mêmes expressions (3) avec E = o, 
et (10), si le milieu est isotrope, et la même expression approchée (i3), 
si le milieu est presque isotrope et presque symétrique. D'ailleurs, 
tous les déplacements étant très-petits, les variations des coefficients 
A,B,C,D,Q,Q',...,R,R',...,S,S',...,A(i+a), A(.-H/5),A(i+-y), 
durant le mouvement, ne donneront que des termes négligeables du 
second ordre en u, f, îv. Les résultats seront par conséquent les mêmes 
que s'il n'y avait qu'une seule espèce de molécules pondérables, vi- 
brant toutes pareillement. 

L'hypothèse la plus simple qu'on puisse faire sur la manière dont 
l'éther agite les molécules pondérables, consiste à admettre que son 
action sur chacune d'elles est la même que si les autres n'y étaient pas, 
et ne dépend, par exemple, la température étant supposée constante, 
que de la forme, du volume, de la densité et de l'orientation [* ^ de la 
molécule considérée. Alors chacun des coefficients A, B,. . . , A(i +7) 
des formules (3), (10), (i 3), multiplié par ^c,-, sera la somme des masses 
des molécules pondérables contenues dans l'élément tû de volume, res- 
pectivement multipliées par le coefficient analogue relatif à la molé- 
cule prise isolément. Comme il y aura généralement dans le milieu des 
molécules de plusieurs espèces, appelons p', p", p", ... les densités par- 
tielles relatives aux diverses espèces. Considérons les molécules de la 
première : il est clair que le volume en contient, d'orientées dans un 
sens quelconque, un nombre proportionnel à (s'sû. Donc les termes 
qui les concernent dans les sommes ci-dessus donneront un total pro- 
portionnel à cj'ts. Il en sera de même des termes concernant les mo- 
lécules des autres espèces, et, par suite, si A', A", . . ., B', B", . . . , ... 
désignent des constantes, les coefficients seront donnés par des rela- 
tions de la forme 

Aj5, =A>' -4- A"/-/' -+-.,., B/5, = B'|5' + n'>"-l-.. ., 



[*j Dans le cas où la chaleur serait consliluce par des rotations lApides des molé- 
cules pondérables, rindueiice de l'orientation sciait remplacée par celle de ces rota- 
tions. 



PURES ET APPLIQUÉES. 427 

Soient m^ ia vitesse de la lumière dans l'éther libre, w sa vitesse dans 
le mélange considéré, sMjiposé isotrope. D'après la forinule sensible- 
ment exacte w^yL, qui termine le § llî, rapprocbée des formules (7), 
on aura, en négligeant le terme en D, 

Le premier nombre est dit la puissance réfracti^'e du corps. Nous 
pourrons donc énoncer la loi suivante, (pie Texpérience a déjà fait dé- 
couvrir cbez les gaz : 

Jbslractinn faite de la dispersion, la puissance réfractive dun mé- 
lange transparent est lu somme des puissances léfractives des divers 
corps qui composent le mélange, et chacune de celles-ci est elle-même 
proportionnelle h la densité du corps correspondant. 

Si nous négligeons toujours le terme en D, l'angle i}^[(i2)], dont 
tourne le plan de polarisation, sera proportionnel à (S|B [fornniles 
(10 bis)], où B est une fonction linéaire des coefficienis R, R',... des 
formules (10). Ces coefficients, multipliés ainsi parp,, sont eux-mêmes 
des fonctions linéaires de (/ , fj'\ .... Par conséquent ; 

abstraction Jaite de la dispersion, le pouvoir rotatoire (T un mélange 
tiansparent est la somme des pouvoirs rotaloires des corps qui le com- 
posent, et chacun de ces pouvoirs partiels est lui-même proportionnel 
à ta densité du corps correspoTidant. 

C'est la loi appioeliée généralement admise pour les dissolutions. 

§ IL — Essai sur la rotation du plan de polarisation 
par le magnétisme. 

Supposons qu'un aimant se termine à ses deux pôles par deux cylin- 
dres circulaires égaux, à axe coiiimr.n, laissant entre eux un intervalle. 
L'expérience démontre qu'en adaptant à leurs bases des armatiu'es 
d'une certaine forme, et en amenant, au moyen de vis, les deux pôles 
à une distance convenable l'un de l'autre, l'espace compris entre eux 
constituera un champ magnétique d'intensité constante, c'est-à-dire que 
l'action magnétique y sera partout sensiblement la même. Cela posé, 
plaçons dans cet espace un corps homogène transparent, isotrope- 

54.. 



428 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

symétrique, et proposons-nous d'obtenir les lois des ondes lumineuses 

qui le traverseront.' 

Prenons pour axe des z l'axe commun des deux cylindres, pour 
origine des coordonnées le milieu de la distance des pôles, et pour 
axes des x et des y deux droites perpendiculaires entre elles et à l'axe 
des z. Il est clair que le milieu transparent, primitivement homogène 
et isotrope-symétrique, mais actuellement soumis à des actions ma- 
gnétiques constantes, sera resté homogène, et, de plus, semhlablement 
constitué par rapport à tous les systèmes d'axes qu'on obtient en fai- 
sant tourner d'un angle quelconque autour de celui des z l'ensemble 
des deux autres. D'ailleurs, en observant que l'aimant peut être assi- 
milé à une infinité de courants électriques disposés deux à deux symé- 
triquement de part et d'autre du plan des xy, on verra que le milieu 
transparent est aussi constitué symétriquement par rapport à ce plan. 
Donc, si, conune nous l'avons admis jusqu'ici, les déplacements moyens 
u^, (',, M', des molécules pondérables ne sont fonctions linéaires que 
des déplacements u, v, w de l'éther au même point, et des dérivées 
ef\ X, y, z de u, t-, ir, ces fonctions devront être telles ici, qu'elles ne 
changent pas quand on change à la fois z en — z, w en — tv, \\\ en 
— u', ; ou encore x en — x, j en — 7", u en — «, v en — c, u, en — ii^ , 
Vf en — l'i ; ou enfin x en j,j en — x, n en v, v en — «, i<, en <',, 
^,^ en — Ui- En effet, ces transformations reviennent, la première à chan- 
ger le sens de l'axe des z, la seconde et la troisième à faire tourner au- 
tour de cet axe, de i8o et de 90 degrés respectivement, le système des 
deux autres. En nous bornant aux termes qui contiennent u, v, w et 
leurs dérivées premières^ il viendra ainsi des relations de la forme 

(24) u,—Au — B,K', v, = .\i^-^B,ii, iv, = A,H'. 

Il serait facile de voir qu'une rotation quelconque des axes des x et 
des j-, autour de celui des s, les laisse invariables. 

Ces valeurs de «,, t',, iv,, portées dans l'équation (2) et dans ses 
deux pareilles, donneront les trois équations du mouvement. 

Dans le cas particulier d'ondes transversales perpendiculaires à l'axe 
des z, ces équations se réduisent à 

f^^ = (P + P' ^) TF - i'' ^^' ;?^' ^- ;^ = ^''^ + ''' ^^liT' -' P'^' IJ? ■ 



PURES ET APPLIQUÉES. 429 

Subslituons-y les valeurs de «, v, w données par 



(25) 



M N 
et nous trouverons 



ii = ^ = '-l' = /^('"y''"', 



d'où 

N=q:Mv'-T et -^^ = p -+- p, A ± p, B, V^^ ■ 

Si B, n'est pas nu!, w am-a un terme imaginaire; par suite, l'exponen- 
tielle qui lermine les relations (20) sera en partie réelle, les expres- 
sions dos déplacements contiendront une exponentielle décroissante 
pour z giandissant, et le milieu éteindra la lumière. Puisqu'on le sup- 
pose trans|)arent, il faut poser B,=o, et il n'y a pas de rotation du 
plan de polarisation. 

Le résultat serait le même si l'on étendait les expressions de 11,, c,, 
iv, aux dérivées d'ordre quelconque de z/, c, iv en se, r, z. Les mêmes 
considérations de symétrie par rapport au plan des x/ et d'isotropie 
autour de l'axe des z montreraient que ces expressions, spécifiées pour 
le cas d'ondes perpendiculaires aux z, ne contiennent pas de dérivées 
d'ordre impair, et se réduisent respectivement, pour celle de l'ordre 
pair 211, à des fermes de la forme 

-'^-TT^ — BiT^' A., —- +B., -7-~v A,—-- 
- dû'" dz-" dz'" dz-" ' dz'" 

Une méthode, employée au § IV, p. 32G, permet de réduire à un 
seul, dans l'expression de chacun des déplacements ;/,, c,, tr,, la 
somme de tous les termes qui contiennent les dérivées de la même va- 
riable u, V, w; M,, (',, H'i acquerront ainsi la forme (24), dans la- 
quelle chaque coefficient sera une série ordonnée suivant les puis- 
sances négatives de t^w'. Si donc le milieu est transparent, il n'y auia 
pas de pouvoir rotatoiie. 

L'expérience prouve, au contraire, que le pl;ui de polarisation de 



43o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

la lumière est dévié en traversHiit le corps. Nous ne devons donc pas 
regarder comme suffisamment générale notre hypothèse, d'après la- 
quelle les déplacements moyens //,, i',, ir, de la matière poTidérai)le 
en im point quelconque ne seraient fonctions que des dé|olacemeM(s 
de l'éther aux points environnants. Et, en effet, poni' que l'état méca- 
nique actuel de l'éther soit complètement déterminé dans un certain 
espace, on conçoit qu'il ne suffit pas de donner les positions actuelles 
des diverses molécules contenues dans cet espace, c'est-à-dire les va- 
leurs qu'ont pour chacune u, i', tr, mais qu'd faut encore connaître 

les vitesses actuelles -^ — de ces molécules, vitesses qui définissent 

leur mouvement. L'idée fondamentale de notre théorie étant que les 
déplacements ;«,, i>,, w, dépendent de cet état mécanique, nous devons 
les regarder comme des fondions linéaires, non-seulement de «/, c, î\' 

, , 1 , . , .-Il , du dti f/<r 

et de leurs dérivées parlieiles en .r, ?■, z, mais encore de—» --) — - et 

de leurs dérivées en x, j, z. Lors de tout changement de coordonnées, 
ces vitesses se transformeront comme les déplacements correspondants. 
Par suite, dans le cas d'un milieu isotrope, et dans celui d'un milieu 
presque isotrope et presque symétrique, nous devrons ajouter aux se- 
sonds memhres des relations (3) avec E = o, (lo) et (i3), de nou- 
velles parties exactement pareilles à ces seconds membres, mais con- 

tlu dv div 1 • I ,^ , . , 

tenant parlout — -> — ? -— au lien de u, c, w. On reconnaîtra aisément, 

r dt dt dt ^ ^ ' 

comme nous venons de le faire pour un autre cas, cjue ces nouvelles 
parties ont des coefficients nuls si les corps sont transparents, c'est-à- 
dire si les ondes ne s'éteignent pas en les traversant sous une épais- 
seur finie. Donc, les expressions de «,, t», , \\\ resteront en définitive 
telles que je les ai données dans mon Mémoire, et il n'y aura rien à 
changer aux lois" obtenues. 

Mais, dans le cas actuel d'un milieu symétrique par rapport au plan 
des xj G.\ isotrope autour de l'axe des z, les relations (24) montrent 
qu'en nous bornant aux dérivées premières, nous devrons respective- 
ment ajouter, aux expressions (a-;) de//,, i',, n',, des pariies de la 
forme 

du di- dr du t/iv 

de dt dt dl ' dt 



PURES ET APPLIQUÉES. /,3i 

AmiuloMs les coefficients B,, ,i,, -V.,, incompatibles avec la transpa- 
rence, et supposons, conformément à l'expérience, que notre nnlieu 
soit resté nionoréfringent, ce qui revient à égaler A, à A; nous ainons 

(26) n,=An — Ml'-^, K',=Ai>-i-Ml'—j iv, = Atv. 

^ ' ' dt ' il'. 

Poitons ces valeurs dans les trois équations du mouvement, puis 
substituons dans celles-ci, à u, v, i\\ leurs expressions données par 
Tintégrale simple 



»' 



Il <• If 

M ~ N ^ P ^ '' 



■i;t / jTsiti 1 -)- ;cos/\ ,- 



qui correspond aux ondes planes dont la normale fait un angle / avec 
les z positifs. 11 viendra 



/ '■ + f- 



(Msinj -f- Pcos/)sin/-^ i-^^—p — p,A\M=— ~^~ iibNy — i , 



(27) j i^^^-p~p,Aj^= ^^ItMv-i, 

I '-—^ (Msin/-f- Pcos/)cos/+ ( -^ — p— ^/, A j P == o. 

Ces trois équations, respectivement multipliées par M, N, P, et ajou- 
tées, donnent 

^^(Msin/-4-Pcos/)=-f- {^,-p -,'5,A)(M--f-N--HP^)=o; 

ce qui cbange la troisième en 

(28) 



N = + V— I \/m--\-P- ^(Msin?-|-Pcos/), 

' y cos; ^ ' 

et, par suite, la seconde (27) eu 



'■*"'"' M. 



(29)(£-p-p.A)y/M= + P^-^:^.(Msin/ + Pcos/)=:FÎiL 
Ou éliminera le rapport -• entre (29) et la troisième (27), ce qui 



432 JOURNAL DE MATHEMATIQUES 

donnera l'équation aux vitesses; puis on prendra INI de la forme 3e'^~' , 
J et s étant deux constantes arbitraires réelles ; la troisième relation (27) 
et ia relation (28) donneront ensuite P et N; enfin ou choisira pour 
les déplacements de l'éther les parties réelles de ?/, i', i\\ 

Supposons nî, très-petit, ainsi que cela a toujours lieu dans les expé- 
riences. Alors les équations 27) donnent : soit, avec N très-petit, des 
ondes quasi-longitudinales ayant même vitesse de propagation, sauf 
erreur du second ordre, que si vb était nul ; soit, avec Msinz 4- Pcos? 
très-petit, des vibrations quasi-transversales. 

Dans ce dernier cas, si nous posons 



^"' V 



VM='-I-P' = le ■ 
d'où, à très-peu près, 

;M=Ie* cosi, P = — le - sin/, 

les relations (28) et (29) deviendront seusiblenient 

(3o) N = rp\ — ile^ , oj = 1/ '_ , [ 1 ± ^ . - • 

V p "t" fl-A- \ p + p, A T/ 

Appelons w,, oj^ les deux valeurs de o). Les parties réelles de 11, f, w 
seront, avec la première, qui correspond aux signes supérieurs, 

, . 2-,' jrsin( + 3C0S( \ 

Il = I cos ( cos -7- U — ■ ^ Ç ]■ 

., . . 1-1 xsin/-4- zcos/ \ 

u' = — I sni i cos ^-\t 1~ f ) ' 

, . 2-, JT sin/ -H zoos/ \ 

f = I sin — \t H o • 

Chaque molécule d'élher décrh-a, dans le plan de l'onde, un cercle de 
rayon I, qui a pour équations 

u^ 4- V' -t- H'" =^ 1", «sin( -1- (vcosi ;= o. 

De plus, si nous supposons l'axe des jr à droite de celui des x, rela- 
tivement à un observateur qui aurait les pieds à l'origine et la tète du 



PURES ET APPLIQUÉES. 433 

côté des z positifs, ce cercle sera décrit de gauche à droite pour un 
autre observateur qui auniit les pieds à sou centre et la tète du côté où 
va l'onde. 

A la seconde racine «o correspondront des vibrations circulaires 
pareilles, mais décrites de droite à gauche. 

Lorsque ift, est positif, oo, est > Wj pour i<C^o°, et <C'j^i pour / > 90". 
C'est le contraire quand v\ est négatif. 

En continuant comme au § III, p. S^j, on verra que le milieu peut 
propager, dans chaque direction, un svstéme d'ondes planes à vibra- 
tions rectilignes quasi-transversales, dont le plan de polarisation 
tourne, à mesure que l'onde avance, dans un sens qui est le même, 
pa!" lapport à un observateur tixe, pour deux ondes de direction con- 
traire. L'angle qui mesure celte rotation est proportionnel au chemin 
parcouru et au cosinus de l'angle que fait la normale à l'onde avec 
l'axe de l'aimant; il varie, de plus, à très-peu près, en raison inverse 
du carré de la longueur d'onde. 

Si l'on joint à ces lois celle-ci très-naturelle, que le petit coeih- 
cient D>o, dû à l'action magnétique, est sensiblement proportionnel à 
cette action, on aura toutes celles que l'expérience a doiuiécs. 

§ III. — Oncles lumineuses dans les corps en niouvenienl. 

Concevons un corps transparent, animé de vitesses comparables à 
celles de la lumière, et telles que, pendant la durée d'un nombre fini 
de vibrations lumineuses, la vitesse de chaque portion du corps reste 
à peu près constante. Chaque molécule, à l'époque t, se trouvera en 
un certain point, que nous appellerons sa position actuelle d'équilibre. 
Comme les actions développées entre l'éther et la matière pondérable, 
lors de tout mouvement d'amplitude finie, sont extrémemeut faibles, 
l'éther du corps ne sera presque pas entraîné avec lui, mais restera 
comparativement immobile. 

Supposons actuellement qu'une onde lumineuse pénètre dans ce 
milieu, et proposons-nous d'obtenir les lois de sa propagation. 

Nous appellerons : x, j, z les coordonnées, par rapport à un système 
d'axes rectangulaires fixes, d'un point tle l'espace occupé |iar le corps 
à l'époque t; u, v, w les déplacements à la même époque, comptés à 

Tome XllI y-i' 5érie\ — DtcEMor.F, iSfiS. JJ 



/,34 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES 

partir de la position actuelle d'équilibre, de la molécule d'élher dont 
cette position, sensiblement fixe, est actuellement en (x,j, z); n\, 
('', , w\ les déplacements pareils d'une molécule pondérable qui a sa 
|)ositioii d'équilibre, au moment t, en {jc, y, z); enfin V la vitesse 
dont se trouve animée la position d'équilibre de la molécule consi- 
dérée, et V,, Vo, V3 les composantes de "V, qui seront des fondions 
continues de .t,j~, z, t 

D'après notre manière de concevoir la transparence d'un corps, 
n\, i'\, iv\ dépendront des déplacements et des vitesses vibratoires de 

1-1,1 • 1 • r • 1 du du dtv 

1 ether cnvu'onnant, et seront les mêmes toncticns de n, i', tv, —1 —■, — 

et de leuis dérivées par rappori à .r, j', z, que si toutes les positions 
d'équilibre étaient rendues immobiles aux points qu'elles occupent 
actuellement. Or, avec ces positions actuelles d'équilibre, l'étlier du 
corps doit être, à fort peu près, constitué comme l'édier libre, car la 
lenteur relative de ses mouvements lui permet d'être sans cesse en 
équilibre de tension et de densité avec i'éther libre qui l'environne. Si 

donc nous désignons par "S une somme de termes pareils à celui qui 

suivra ce signe, et respectivement égaux à des coefficients (7, multipliés 

lia th> diV , , , . , 11* 1 

l)ar «, V, u', -~-i — ) -—■> ou par leurs dérivées de divers ordres en x. 

' ^ ' ^ dt dt de ' 

j\ Z, nous pourrons poser 

et regarder les coffficients a comme variables peut-être, pour la même 
molécule, avec son orientation ou avec d'autres éléments, mais non 
avec la vitesse V de sa position d'équilibre. Pendant la durée d'une 
vibration liunineuse, Torieutation, ou, à sa place, tout autre élément 
capable de modifier ces coefficients, changea peine, et, par suite, les 
variations du déplacement u\ de la même molécule durant un instant 
très-court seront les mêmes que si les coefficients étaient constants. 

La portion de la vitesse suivant les ,r de la même molécule, qui coi- 
respond au mouvement vibratoire, s'ohtieiulra en prenant le rapport 
à dl de l'accroissement que reçoil //, (piand on y fait croître t de c//, 
X de \,'lt, j de y^'lf, z <le Vj^//. Celte vitesse peut s'écrire symbo- 



PURES ET APPLIQUEES. /i35 

liqiiemenl 



T +^ I -r + V., — 4- V3 — 

h dx - dy ■■ dz 



La portion de l'accélération suivant les jr de la même molécule, qui 
correspond au mouvement vibratoire^ sera de même, en observant 
que V,, Vj, V3 ne varient pas d'iuic manière appréciable diu-ant une 
vibration, 

(Il d.r • dy ^ dzj 

La partie correspondante de la force motrice exercée suivant lésa- 
sur la matière pondérable contenue dans le volume sr, s'obtiendra en 
multipliant la masse de chaque molécule qui en fait partie par la por- 
tion pareille de son accélération, et en ajoutant les produits. Le résultat 
aura la forme 

p, ro'Vrt, ( -^ -f- V, 4- + ^'"-T" -+- V3 4- ) "• 

"' <u ' \dt ' d.r - dy 'dzj 

Ou peut regarder les coefficients rt, comme constants dans une éten- 
due assez petite et durant un temps très-court. Ils le seraient même 
dans de plus larges limites, si le corjjs ne cessait pas d'être homogène 
et isotrope, ou si, étant homogène, mais d'une constitution d'ailleurs 
quelconque, il n'était soumis qu'à un mouvement de translation in- 
capable de changer son orientation. 

Appelons î/,, i^,, iv, les déplacements moyens, dont le |)rémier est 

y'rti"! des molécules pondérables qui, à 1 époque <, ont leurs posi- 
tions d'équilibre autour de (x, 7% z) : ces dé|)lacemenls moyens se- 
ront donnés : dans le cas d'iiu milieu isotrope, par les formules (3 ) avec 
E = et (10); dans celui d'un milieu presque isotrope et presque svmé- 
trique rapporté à ses axes, par les formules (i3); enfin, dans le cas 
d'un milieu monoréfringent, symétrique par rapport au plan des xj et 
isotrope autour de l'axe des z, par les formules (aGj. 

La portion, correspondante au mouvement vibratoire, de la force 
motrice exercée suivant les x sur la matière pondérable contenue dans 
le volume sr, vaudra 

d ,, d ,, d ,, d 



■-U + ^';z; + ^»^^^'»;7ï 



O'J. 



4 '30 JOURNAL UE MATHÉMATIQUES 

La partie pareille de l'action qui meut l'éther du même volume 

, . , d^ Il . , . , , 

est, a tres-pen près, (jzs -rj-> puisque les vitesses analogues a V, , \ o? * 3 
sont comme nulles pour l'étlier. 

La force motrice qui est appliquée suivant les x à la matière du vo- 
lume ïô, en sus de celle qui agirait seule si les vibrations étudiées 
n'existaient pas, vaut donc en tout 

,„ , d'^ Il Id ^T à ir <"' T7- '^ \ ^ 

(3.) f=^lf7^ + P'^U + ^'ZÏ + ^^;7? + V»,7;) "'■ 

Elle est égale à la somme des forces qui, émanées de points exté- 
lieurs et produites par le mouvement vibratoire, agissent suivant les x 
sur la même matière. Ces forces sont de trois sortes. Il y a : 

1° Les actions élastiques que les petites vibrations considérées dé- 
veloppent dans réther : celui-ci, avec les positions actuelles d'équi- 
libre de ses molécules, est, à fort peu près, constitué comme l'éther 
libre, et les déplacements [u^ v, n) donnent, suivant les x, une résul- 
tante élastique très-peu différente de 



;32j w[(X + /^)^ + ^.A,mJ; 



2" Les forces pareilles de la matière pondérable : nous avons \u 
au § I qu'elles sont insensibles; 

3° Les actions exercées, sur la matière pondérable qui appartient au 
voliune zô et qui se trouve près de sa surface, par l'étlier extérieur ad- 
jacent, et celles qui le sont sur l'éther superficiel du même volume par 
la matière pondérable extérieure adjacente. Ces actions, dues aux dil- 
férences de vitesse entre les molécules des deux espèces de matière, 
sont très-petites par rapport à celles de même nature qui sont pro- 
duites entre toute la matière pondérable du volume rs et tout l'éther 
de ce volume. Comme celles-ci ne sont que de l'ordre de w, les pre- 
mières sont négligeables. 

Nous pouvons donc égaler les expressions (3i) et (32) : ce qui donne, 
pour la première équation du mouvement, à laquelle les deux autres 
seraient pareilles, 

(33) (^■+i'-)T.-^i'^^''=p-dF^P'[d^ + '^'d:- + '^"-dj-^-^'^di) "'■ 



PURES ET APPLIQUÉES. /|37 

Dans le cas d'un système d'ondes pianos, de période t, de vitesse w', 
et perpendiculaires à la direction [m, n, /j), les déplacements suivant 
les axes, à l'époque t, de la molécule d'élher dont la position d'écpii- 
lihre est en {x, j, z) à cette époque, sont les parties réelles dos expres- 
sions de u, V, w données par des intégrales simples de la forme 



■i-n I mx -t- nj- -I- /<j \ , 



M 

,. . , . , . , du âv (•/«' , , , , . 

;/,, i»,, (P,, lonctions uneaires cio /<, f, u', — ) y) — » et de leurs <leri- 

vées partielles en x, j, z, deviendront, ainsi que leurs dérivées, égales 
à des constantes multipliées par la même exponentielle. On ama 
donc 



dUt 


m du, 


du, 


Il du, 


du, p du. 


d'K, 


m- d' «, 
















dx 


t./ dt 


'iy~ 


w' dt 


dz (a dt 


<•/.»■= 


~ t.)'» dt 



et la première équation du mouvement deviendra 

,, ,dfi ^ d-u ( u,y,-hn\,-hpV,yd'H, 

(X + f^);Z; + P-A.« = r>7?F7 + ^(' —' ) -TIF- 

L'expression mY , -h iiY^ + pY ^ est égale à la composante, sni- 
vanl la normale à l'onde, de la vitesse du corps : nous la désignemns 
par V. 

Les équations des ondes planes se déduiront, par conséquent, Je 
celles qu'on aurait dans le cas V =: o, par les simples changements de w 

en oj et de p, en p, ( I 7 1 • 

Lorsque V est assez petit par rapport à la vitesse u des ondes do 
même direction dans le corps supposé en repos, w' diffère peu de oj, et 

V V 
l'on peut, saut erreur négligeable, remplacer — par — ' Si, de |j1us, le 

corps est un de ceux étudiés aux §§ III, IV, V, VI et au paragraphe pré- 
cédent, on pourra négliger les termes qui seront à la fois de l'ordre du 

V 
facteur — ? et de celui du pouvoir dispersif, ou biréfringent, ou rola- 

toire : on remplacera par exem|de, dans ce facteur, w par sa valeur 



438 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES, ETC. 



approchée coiisîanlp, qui est t/ ^ pour les ondes longitudinales, 

et i/ — - — ponr les ondes transversales. 
V c -f p, A ' 

Ainsi les ondes se |)ropageront comme si le corps était en repos et 
avait pour densité, au lieu def,,, 

m ». 4--^'\/W^'^ - f.(.-vV^y- 

Les pouvoirs dispersif, biréfringent, rotatoire ne seront modifiés 
que très-peu. De ]iliis, le carré de la vitesse u^ se composant de l'rm 
des deux termes 

— OU '■ 1 

p-4-piA f/-(-p,A 

plus de termes trés-pelits, si Ton y change o, en l'expression (34) cor- 
respondante, le terme principal aura seul une variation chi premier 
ordre. Cette variation vaudra respectivement 



et 



- 2p . ,„ /p— p,A p,A -„ 

!-- A 2 C , V t / Ç ■ = 2 0) — f -r V , 

p, A)^ ' ' V / +2p p +p,A ' 



p 



(p-l-p,A) 
On aura donc 



— — A 2 0, V \ — = 2 W -^ r V . 

,A)^ • ' V V- p + p,A 



piA ,,, , p,A -T, 
2 oj — V , on w = u\ -\ V . 

p + pi A ' p + p,A 



Appelons 3b l'indice de réfraction du corps, indice dont le carré est 
égal, sauf des termes tns-petits, à — —^-5 et cette relation deviendra 



(35) ,'=,+ (,__L)v'. 

C est la formule connue, que Fresnel a déduite de plusieurs hypo- 
thèses, et que confirment diverses expériences, dues notanunent à Arago 
et à M. Fizean. 

FIN DU TOME TREIZli:Mr, (a'SÉRIE). 



l'AHIS, — I.MI'RIMIÎRIE DE GAUTHIEll-VILLAIlS, SUCCESSEUR EE MALLET-BACHELIEK, 

rue de Seinc-Sainl-Gerniaiii, lo, près rinslitut. 



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sér.2 

1. 13 

PlWsical & 
ApbUed Sci. 

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Journal de mathématiques 
pures et appliquées 



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